2020高中数学 第2章 平面解析几何初步 第二节 圆与方程2 直线与圆的位置关系习题 苏教版必修2

2020高中数学 第2章 平面解析几何初步 第二节 圆与方程2 直线与圆的位置关系习题 苏教版必修2

直线与圆的位置关系 ‎（答题时间：40分钟）‎ ‎*1. （临沂检测）设直线l过点（－2，0），且与圆x2＋y2＝1相切，则直线l的斜率是________。‎ ‎**2.（福建师大附中检测）若P（2，－1）为圆（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为______________。‎ ‎*3.（南京检测）直线ax＋y－a＝0与圆x2＋y2＝4的位置关系是________。‎ ‎*4. 设直线ax－y＋3＝0与圆（x－1）2＋（y－2）2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a＝________。‎ ‎**5. 直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，则b的取值范围是________。‎ ‎**6. 在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为__________。‎ ‎**7.（潮州检测）已知圆O：x2＋y2＝1与直线l：y＝kx＋2。‎ ‎（1）当k＝2时，求直线l被圆O截得的弦长；‎ ‎（2）当直线l与圆O相切时，求k的值。‎ ‎**8.（潍坊检测）已知一个圆的圆心在x轴上，圆心横坐标为整数，半径为3，圆与直线4x＋3y－1＝0相切。‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）过点P（2，3）的直线l交圆于A、B两点，且|AB|＝2。求直线l的方程。‎ ‎***9.（无锡检测）已知⊙O：x2＋y2＝1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足PQ＝PA。‎ ‎（1）求实数a、b间满足的等量关系；‎ ‎（2）求线段PQ长的最小值；‎ ‎（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径取最小值时的⊙P方程。‎ 4‎ ‎1. ± 解析：设直线l的方程为y＝k（x＋2），由题意可知＝1，解得k＝±。‎ ‎2. x－y－3＝0 解析：由圆的性质可知，此弦与过点P的直径垂直，故kAB＝－＝1。故所求直线方程为x－y－3＝0。‎ ‎3. 相交 解析：∵直线ax＋y－a＝0恒过（1，0）点，而点（1，0）落在圆x2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交。‎ ‎4. 0 解析：由弦长2及圆的半径为2，可知圆心到直线的距离为1，即＝1，解得a＝0。‎ ‎5. [1，） 解析：如图，直线夹在l1与l2之间，不含l2含l1，故1≤b＜。‎ ‎6. 10 解析：由x2＋y2－2x－6y＝0得（x－1）2＋（y－3）2＝10。‎ ‎∴圆心为（1，3），半径r＝。‎ ‎∴最长弦AC＝2r＝2，‎ 最短弦BD＝2＝2＝2。‎ ‎∴SABCD＝AC·BD＝×2×2＝10。‎ ‎7. 解：方法一　（1）当k＝2时，直线l的方程为：2x－y＋2＝0，‎ 设直线l与圆O的两个交点分别为A、B。‎ 过圆心O（0，0）作OD⊥AB于点D，则OD＝＝。‎ ‎∴AB＝2AD＝2＝；‎ ‎（2）当直线l与圆O相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。‎ ‎∴＝1。‎ 即＝2，解得k＝±。‎ 方法二　（1）当k＝2时，联立方程组消去y得5x2＋8x＋3＝0‎ 解出x＝－1或x＝－代入y＝2x＋2，得y＝0或y＝。‎ 4‎ ‎∴A（－1，0）、B（－，）。‎ ‎∴AB＝＝；‎ ‎（2）联立方程组，消去y得（1＋k2）x2＋4kx＋3＝0，当直线l与圆O相切时，即上面关于x的方程只有一个实数根。‎ 由Δ＝16k2－4×3×（1＋k2）＝0得k＝±。‎ ‎8. 解：（1）设圆心为M（m，0），m∈Z，‎ ‎∵圆与直线4x＋3y－1＝0相切，‎ ‎∴＝3即|‎4m－1|＝15，又∵m∈Z，∴m＝4。‎ ‎∴圆的方程为（x－4）2＋y2＝9；‎ ‎（2）①当斜率k不存在时，直线为x＝2，此时A（2，），B（2，－），AB＝2，满足条件。‎ ‎②当斜率k存在时，设直线为y－3＝k（x－2）即kx－y＋3－2k＝0，‎ ‎∴设圆心（4，0）到直线l的距离为d， ‎ ‎∴d＝＝＝2。‎ ‎∴d＝＝2，解得k＝－，‎ ‎∴直线方程为5x＋12y－46＝0。‎ 综上，直线方程为x＝2或5x＋12y－46＝0。‎ ‎9. 解：（1）连接OQ、OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，‎ 由勾股定理有PQ2＝OP2－OQ2，‎ 又由已知PQ＝PA，故PQ2＝PA2。‎ 即：（a2＋b2）－12＝（a－2）2＋（b－1）2。‎ 化简得实数a、b间满足的等量关系为：‎2a＋b－3＝0；‎ ‎（2）由‎2a＋b－3＝0，得b＝－‎2a＋3。‎ PQ＝＝＝＝。‎ 故当a＝时，PQmin＝。即线段PQ长的最小值为；‎ 4‎ ‎（3）方法一　设圆P的半径为R，∵圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，‎ ‎∴|R－1|≤OP≤R＋1。即R≥|OP－1|且R≤OP＋1。‎ 而OP＝＝＝，‎ 故当a＝时，OPmin＝。此时，b＝－‎2a＋3＝，Rmin＝－1。‎ 得半径取最小值时圆P的方程为（x－）2＋（y－）2＝（－1）2。‎ 方法二　圆P与圆O有公共点，圆P半径最小时为与圆O外切的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l′与l的交点P0。‎ r＝－1＝－1。‎ 又l′：x－2y＝0，‎ 解方程组，即得P0（，）。‎ ‎∴所求圆方程为（x－）2＋（y－）2＝（－1）2。‎ 4‎