高考数学圆锥曲线专题复习

高考数学圆锥曲线专题复习

圆锥曲线 一、知识结构 ‎1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：‎ ‎(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；‎ ‎(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.‎ 点与曲线的关系 若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y 0)=0；‎ 点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)≠0‎ 两条曲线的交点 若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 ‎ f1(x0,y0)=0‎ 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点 ‎ f2(x0,y0) =0‎ 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点.‎ ‎2.圆 圆的定义：点集：｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.‎ 圆的方程：‎ ‎(1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是 ‎(x-a)2+(y-b)2=r2‎ 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是 x2+y2=r2‎ ‎(2)一般方程 当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0‎ 叫做圆的一般方程，圆心为(-,-），半径是.配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为 ‎(x+)2+(y+)2=‎ 当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点 ‎(-,-);‎ 当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.‎ 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则 ‎｜MC｜＜r点M在圆C内，｜MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，‎ 其中｜MC｜=.‎ ‎(3)直线和圆的位置关系 ‎①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交有两个公共点 直线与圆相切有一个公共点 直线与圆相离没有公共点 ‎②直线和圆的位置关系的判定 ‎(i)判别式法 ‎(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=与半径r的大小关系来判定.‎ ‎3.椭圆、双曲线和抛物线基本知识 曲 线 性 质 椭 圆 双曲线 抛物线 轨迹条件 ‎{M｜｜MF1｜+｜MF2｜=2a,｜F1F2｜＜2a}‎ ‎{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.‎ ‎=±2a,｜F2F2｜＞2a}.‎ ‎{M｜ ｜MF｜=点M到直线l的距离}.‎ 圆 形 标准方程 ‎+=1(a＞b＞0)‎ ‎-=1(a＞0,b＞0)‎ y2=2px(p＞0)‎ 顶 点 A1(-a,0),A2(a,0);‎ B1(0,-b),B2(0,b)‎ A1(0,-a),A2(0,a)‎ O(0,0)‎ 轴 对称轴x=0,y=0‎ 长轴长：2a 短轴长：2b 对称轴x=0,y=0‎ 实轴长：2a 虚轴长：2b 对称轴y=0‎ 焦 点 F1(-c,0),F2(c,0)‎ 焦点在长轴上 F1(-c,0),F2(c,0)‎ 焦点在实轴上 F(，0)‎ 焦点对称轴上 焦 距 ‎｜F1F2｜=2c，‎ c=‎ ‎｜F1F2｜=2c,‎ c=‎ 准 线 x=±‎ 准线垂直于长轴，且在椭圆外.‎ x=±‎ 准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.‎ x=-‎ 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.‎ 离心率 e=,0＜e＜1‎ e=,e＞1‎ e=1‎ ‎ 4.圆锥曲线的统一定义 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.‎ 当0＜e＜1时，轨迹为椭圆，当e=1时，轨迹为抛物线当e＞1时，轨迹为双曲线 ‎5.坐标变换 坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程.‎ 坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.‎ 坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 ‎ ‎ x=x′+h x′=x-h ‎(1) 或(2)‎ ‎ y=y′+k y′=y-k公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.‎ 方 程 焦 点 焦 线 对称轴 椭圆 ‎+=1‎ ‎(±c+h,k)‎ x=±+h x=h y=k ‎+ =1‎ ‎(h,±c+k)‎ y=±+k x=h y=k 双曲线 ‎-=1‎ ‎(±c+h,k)‎ ‎=±+k x=h y=k ‎-=1‎ ‎(h,±c+h)‎ y=±+k x=h y=k 抛物线 ‎(y-k)2=2p(x-h)‎ ‎(+h,k)‎ x=-+h y=k ‎(y-k)2=-2p(x-h)‎ ‎(-+h,k)‎ x=+h y=k ‎(x-h)2=2p(y-k)‎ ‎(h, +k)‎ y=-+k x=h ‎(x-h)2=-2p(y-k)‎ ‎(h,- +k)‎ y=+k x=h 二、知识点、能力点提示 ‎(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点 说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.‎ 三、 考纲中对圆锥曲线的要求：‎ 考试内容：‎ ‎. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；‎ ‎. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；‎ ‎. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；‎ 考试要求：‎ ‎. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；‎ ‎. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；‎ ‎. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；‎ ‎. (4)了解圆锥曲线的初步应用。‎ 四．对考试大纲的理解 高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计22分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。‎ 求圆锥曲线的方程 ‎【复习要点】‎ 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.‎ 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.‎ 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.‎ 定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0).‎ 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.‎ ‎【例题】‎ 【例1】 双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，‎ ‎|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________.‎ 解：设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则 ‎|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2),‎ 即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,‎ 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|,‎ 依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4,‎ 依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2‎ ‎∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜,‎ 又∵c2=4+b2＜,∴b2＜,∴b2=1.‎ 【例2】 已知圆C1的方程为，椭圆C2的方程为 ‎，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。‎ 解：由 设椭圆方程为 设 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 两式相减，得 ‎ 又 即 将 由 得 解得 故所有椭圆方程 【例1】 过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.‎ 解法一：由e=,得,从而a2=2b2,c=b.‎ 设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.‎ 则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，‎ ‎(x12－x22)+2(y12－y22)=0,‎ 设AB中点为(x0,y0),则kAB=－,‎ 又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,‎ 于是－=－1,kAB=－1,‎ 设l的方程为y=－x+1.‎ 右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),‎ 由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=.‎ ‎∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1.‎ 解法二：由e=,从而a2=2b2,c=b.‎ 设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),‎ 将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,‎ 则x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－.‎ 直线l：y=x过AB的中点(),则,‎ 解得k=0，或k=－1.‎ 若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.‎ 解法3：设椭圆方程为 直线不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。‎ 故可设直线 ‎，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ 则，‎ ‎，，‎ ‎， ‎ 所以所求的椭圆方程为：‎ 【例1】 如图，已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.‎ 解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.‎ 设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0)‎ 由e2=，得.‎ ‎∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=－x 设点P1(x1, x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0),‎ 则由点P分所成的比λ==2,‎ 得P点坐标为(),‎ 又点P在双曲线=1上，‎ 所以=1,‎ 即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①‎ 即x1x2= ②‎ 由①、②得a2=4,b2=9‎ 故双曲线方程为=1.‎ 【例1】 过椭圆C：上一动点P引圆O：x2 +y2 =b2的两条切线PA、PB，A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于M、N两点。(1) 已知P点坐标为(x0，y0 )并且x0y0≠0，试求直线AB方程；(2) 若椭圆的短轴长为8，并且，求椭圆C的方程；(3) 椭圆C上是否存在点P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。‎ 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2， y2)‎ 切线PA：，PB：‎ ‎∵P点在切线PA、PB上，∴‎ ‎∴直线AB的方程为 ‎(2)在直线AB方程中，令y=0，则M(，0)；令x=0，则N(0，)‎ ‎∴ ①‎ ‎∵2b=8 ∴b=4 代入①得a2 =25, b2 =16‎ ‎∴椭圆C方程： （注：不剔除xy≠0，可不扣分）‎ ‎(3) 假设存在点P(x0，y0)满足PA⊥PB，连接OA、OB由|PA|=|PB|知，‎ 四边形PAOB为正方形，|OP|=|OA| ∴ ① ‎ 又∵P点在椭圆C上 ∴ ②‎ 由①②知x ‎∵a>b>0 ∴a2 －b2>0‎ ‎(1)当a2－2b2>0，即a>b时，椭圆C上存在点，由P点向圆所引两切线互相垂直；‎ ‎(2)当a2－2b2<0，即b0‎ 设x1,x2为方程*的两根，则 ‎ ‎ 故AB中点M的坐标为(，)‎ ‎∴线段AB的垂直平分线方程为：‎ 将D(0，－1)坐标代入，化简得：4m=3k2－1‎ 故m、k满足，消去k2得：m2－4m>0‎ 解得：m<0或m>4‎ 又∵4m=3k2－1>－1 ∴m>－‎ 故m.‎ ‎【直线与圆锥曲线练习】‎ 一、选择题 ‎1．斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( )‎ A.2 B. C. D. ‎ ‎2．抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( )‎ A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3‎ C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0‎ 二、填空题 ‎3．已知两点M(1，)、N(－4，－)，给出下列曲线方程：①4x+2y－1=0,‎ ‎②x2+y2=3,③+y2=1,④－y2=1,在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_________.‎ ‎4．正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y2=x上，则正方形ABCD的面积为_________.‎ ‎5．在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.‎ 三、解答题 ‎6．已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p.‎ ‎(1)求a的取值范围.‎ ‎(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，‎ 求△NAB面积的最大值.‎ ‎7．已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6).‎ ‎(1)求双曲线方程.‎ ‎(2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论.‎ ‎8．已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称.‎ ‎(1)求双曲线C的方程.‎ ‎(2)设直线l过点A，斜率为k,当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时B点的坐标.‎ 直线与圆锥曲线参考答案 一、1.解析：弦长|AB|=≤.答案：C ‎2.解析：解方程组,得ax2－kx－b=0,可知x1+x2=,x1x2=－,x3=－,代入验证即可.答案：B 二、3.解析：点P在线段MN的垂直平分线上，判断MN的垂直平分线于所给曲线是否存在交点.答案：②③④‎ ‎4.解析：设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离，求出b的值，再代入求出|CD|的长.‎ 答案：18或50‎ ‎5.解析：设所求直线与y2=16x相交于点A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=16x1,y22=16x2,两式相减得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2).‎ 即kAB=8.‎ 故所求直线方程为y=8x－15.‎ 答案：8x－y－15=0‎ 三、6.解：(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0‎ ‎∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2‎ 又∵p＞0,∴a≤－.‎ ‎(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点 C(x,y),‎ 由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,‎ 则有x==p.‎ ‎∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0） 点N到AB的距离为 从而S△NAB=‎ 当a有最大值－时，S有最大值为p2.‎ ‎7.解：(1)如图，设双曲线方程为=1.由已知得,解得a2=9,b2=12.‎ 所以所求双曲线方程为=1.‎ ‎(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），‎ ‎∴其重心G的坐标为(2，2）‎ 假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2).则有 ‎，∴kl=‎ ‎∴l的方程为y= (x－2)+2,‎ 由,消去y,整理得x2－4x+28=0.‎ ‎∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在.‎ ‎8.解：(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d==1,解得k=±1.‎ 即渐近线为y=±x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0，).‎ ‎∴a==b,所求双曲线C的方程为x2－y2=2.‎ ‎(2)设直线l：y=k(x－)(0＜k＜1,依题意B点在平行的直线l′上，且l与l′间的距离为.‎ 设直线l′：y=kx+m,应有,化简得m2+2km=2. ②‎ 把l′代入双曲线方程得(k2－1)x2+2mkx+m2－2=0,‎ 由Δ=4m2k2－4(k2－1)(m2－2)=0.‎ 可得m2+2k2=2 ③‎ ‎②、③两式相减得k=m,代入③得m2=,解设m=,k=,此时x=,y=‎ ‎.故B(2,).‎