2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题24 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用(讲)(原卷版)

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2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题24 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用(讲)(原卷版)

专题24 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用 圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一,在高考中一般有1~2个选择或者填空题,一个解答题.选择或者填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用,主要针对圆锥曲线本身,综合性较小,试题的难度一般不大;解答题主要是以椭圆为基本依托,考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系.要求学生有较强的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生比较头疼的题目.分析原因,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以及运算能力不足造成,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.‎ ‎1. 圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本,利用圆锥曲线的定义解题是高考考查圆锥曲线的一个重要命题点,在历年的高考试题中曾多次出现.需熟练掌握.                   ‎ ‎【例】【山东省德州市2020届高三第二次练习数学试题】已知双曲线的左、右焦点分别为, ,离心率为, 为双曲线右支上一点,且满足,则的周长为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【例】【河南省郑州市2020届高三上期末】过抛物线()的焦点作斜率大于的直线交抛物线于, 两点(在的上方),且与准线交于点,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【例】已知,是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为 A. B. C. D.‎ ‎2 圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容,主要考查椭圆与双曲线的离心率的求解、双曲线的渐近线方程的求解,难度中档.  ‎ ‎【例】已知椭圆(a>b>0)的离心率为,则 A.a2=2b2 B.3a2=4b2‎ C.a=2b D.3a=4b ‎【例】【河北省唐山市2020届高三上期末】双曲线C:=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若,则△PFO的面积为 A. B.‎ C. D.‎ ‎【例】已知是抛物线上一点, 是抛物线的焦点,若, 是抛物线的准线与轴的交点,则( )‎ A. 45° B. 30° C. 15° D. 60°‎ ‎【例】已知双曲线C:的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若,,则C的离心率为____________.‎ ‎3 轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合,着重考查分析问题、解决问题的能力,对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求. ‎ ‎【例】已知双曲线的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点. 设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和,且,则双曲线的方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【例】已知抛物线的准线为与圆相交所得弦长为,则__ _.‎ ‎【例】设椭圆的左焦点为,上顶点为.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设点在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点为直线与轴的交点,点在轴的负半轴上.若(为原点),且,求直线的方程.‎ 4 在高考中,直线与圆锥曲线的位置关系是热点,通常围绕弦长、面积、定点(定值),范围问题来展开,其中设而不求的思想是处理相交问题的最基本方法,试题难度较大.‎ ‎【例】【2020届广西防城港市高中毕业班模拟】已知双曲线的左右焦点分别为,过点的直线交双曲线右支于两点,若是等腰三角形, .则的周长为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【例】【福建省泉州市2020届高三上期末】已知是椭圆的右焦点,过原点的直线与交于,两点,则的取值范围是______.‎ ‎【例】【广东省广州市2019届高三第一学期调研考试(一模) 】已知动圆过定点,且与定直线相切.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹的方程;‎ ‎(2)过点的任一条直线与轨迹交于不同的两点,试探究在轴上是否存在定点(异于点),使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【例】【2020届安徽省马鞍山市高三月考】已知椭圆经过点,离心率为,过原点作两条直线,直线交椭圆于,直线交椭圆于,且.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若直线的斜率分别为,求证: 为定值.‎ ‎【反思提升】圆锥曲线问题,往往利用的关系或曲线的定义,确定圆锥曲线方程是基础,通过联立直线方程与圆锥曲线方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题“出奇”之处在于有较浓的“几何味”,研究几何图形的面积等.这类题目能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力、数学的应用意识等.因此,在复习中,一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法,在抓住通性通法的同时,要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧.二要熟悉圆锥曲线的几何性质,重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略,提高运用函数与方程思想,向量与导数的方法来解决问题的能力.最后要注意运算能力的培养.‎
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