江苏省苏州陆慕高级中学2020届高三上学期第六次双周考数学试卷 含答案

江苏省苏州陆慕高级中学2020届高三上学期第六次双周考数学试卷 含答案

www.ks5u.com 数学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填在答题卡相应位置上 ‎1．集合，，则 ． ‎ ‎2. 在区间上随机地取一个数，则的概率为 . ‎ ‎3．已知：“”，：“直线与圆相交”，则是的 条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一个填空）‎ ‎4．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ． ‎ ‎5.已知等差数列的前11项的和为55，，则 ．‎ ‎6．已知函数 则不等式的解集为 ． ‎ ‎7．已知为锐角, ,则__________．‎ ‎8. 已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点E为侧棱的中点，则棱锥的体积为 .‎ ‎9．若将函数f(x)＝sin(wx+)(w＞0)的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数关于对称 ，则实数w的最小值是 ．‎ ‎10. 当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． ‎ 11. 已知椭圆和圆，若椭圆上存在点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为．若四边形PAOB的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是 ． ‎ 12. 已知，且．若点C满足，则的最小值是 , ‎ 13. 函数 若函数在上是增函数，则实数的取值范围为 ； ‎ 11. 数列的通项公式为，若对任意的，都有（为常数）成立，则的最大值为 ；‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15. （本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．‎ ‎（1）求A的大小； （2）若,求的取值范围 ‎16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，，，且 N是的中点．‎ ‎ (1)求证：直线平面；‎ ‎ (2)若M在线段上，且平面，求证： M是的中点．‎ ‎17. （本小题满分14分）已知点A(0，2) ，椭圆 的右焦点为F, 直线AF的斜率为，以焦点F及短轴两端点为顶点的三角形周长为6，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设过点A的定直线l与C相交于P、Q两点，当△OPQ的面积为1时，求直线l的方程．‎ 18. ‎（本小题满分16分）某山区有三个村庄、、，为了进一步改善山区的交通现状，计划修建道路连接三个村庄，在间修一条直线型道路，在线段上选取点（异于、），修建直线型道路.已知，，的修建费用为每千米，、的修建费用为每千米，设.‎ A B C P ‎（1）求修建这几条道路的总费用关于的函数关系式，并指出的取值范围；‎ ‎（2）求当在何处时，总费用最小.‎ ‎ ‎ ‎19. （本小题满分16分）已知数列中，，，其中是数列的前项和，且满足.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）证明数列为等差数列，并求出的通项公式；‎ ‎（3）数列中是否存在正整数，，（），使得，，成等差 数列？如果存在，求出，，的所有解；若不存在，请说明理由．‎ ‎20. （本小题满分16分）已知函数，.‎ ‎（1）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）函数的图像上是否存在两点，且，使得直线的斜率满足:？若存在，求出与之间的关系；若不存在，请说明理由.‎ 附加卷 本试卷共40分，测试时间30分钟 ‎21. （本小题满分10分）矩阵 的一个特征值为，其对应的一个特征向量为，已知，求.‎ ‎22. （本小题满分10分）在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程（是参数），若圆与圆相切，求实数的值．‎ ‎23. （本小题满分10分）如图，在三棱柱中，，，且．‎ ‎（1）求棱与BC所成的角的大小；‎ ‎（2）在棱上确定一点P，使二面角的平面角的余弦值为．‎ ‎24．(本小题满分10分)一个袋中装有黑球，白球和红球共n()个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球． ‎ ‎（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量的概率分布及数学期望；‎ ‎（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少?‎ 数学答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1． 集合，，则 ▲ ．‎ ‎2. 在区间上随机地取一个数，则的概率为 ▲ . ‎ ‎3． 已知：“”，：“直线与圆相交”，则是的 ▲ 条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一个填空）充分不必要 ‎4．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ． ‎ ‎5． 已知等差数列的前11项的和为55，，‎ ‎ 则 ▲ ．13‎ ‎6．已知函数 则不等式的解集为 ▲ ．‎ ‎7．已知α、β为锐角,cosα＝,tan(α−β)＝−,则tanβ＝来 33‎ ‎8. 已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点E为侧棱的中点，则棱锥的体积为 ▲ .‎ ‎9．若将函数f(x)＝sin(wx+)(w＞0)的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数关于对称 ，则实数w的最小值是 ．3‎ ‎10. 当时，关于的不等式恒成立，则实数 的取值范围是 ▲ ．‎ 11. 已知椭圆和圆，若椭圆上存在点，使得过点引圆 的两条切线，切点分别为．若四边形PAOB的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ．‎ 11. 已知，且．若点C满足，则的最小值是 ▲ ,‎ 12. 函数 若函数在上是增函数，则实数的取值范围为 ▲ ；‎ 13. 数列的通项公式为，若对任意的，都有（为常数）成立，则的最大值为 ▲ ；8‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱中，，，且 N是的中点．‎ ‎ (1)求证：直线平面；‎ ‎ (2)若M在线段上，且平面，求证： M是的中点．‎ ‎15．(1)证明：直三棱柱，‎ ‎，，，‎ ‎，,,‎ ‎， ..................................3分 ‎,‎ ‎，‎ ‎，且 N是的中点，‎ ‎，,，‎ 直线平面 ..................................7分 ‎(2)证明：平面，‎ 平面，‎ ‎，‎ ‎，N是的中点，‎ M是的中点． .............................14分 ‎16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．‎ ‎（1）求A的大小； （2）若,求的取值范围 ‎16.解：（1）‎ ‎ …………………………3分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 是三角形的内角 ‎ …………………………7分 （2） ‎………………………9分 ‎………………………14分 ‎17.已知点A(0，2) ，椭圆 的右焦点为F, 直线AF的斜率为，以焦点F及短轴两端点为顶点的三角形周长为6，O为坐标原点．‎ ‎(1) 求椭圆C的方程；‎ x O y F A P Q ‎（2）设过点A的定直线l与C相交于P、Q两点，当△OPQ的面积为1时，求直线l的方程．‎ ‎17. 解：（1）由， …………………………………2分 由解得，‎ 故椭圆方程为. …………………………………6分 ‎（2）法一：设方程为，‎ 令，‎ 联立 消去， …………………………………8分 ‎，‎ 解得 所以， …………………10分 则，‎ 解得 故方程为. ………………………14分 法二：设方程为，‎ 令，‎ 联立 消去， ………………………8分 ‎，‎ 则，‎ 所以， ………………………10分 则 解得 故方程为. …………………14分 18. ‎（本小题满分16分）‎ 某山区有三个村庄、、，为了进一步改善山区的交通现状，计划修建道路连接三个村庄，在间修一条直线型道路，在线段上选取点（异于、），修建直线型道路.已知，，的修建费用为每千米，、的修建费用为每千米，设.‎ A B C P ‎（1）求修建这几条道路的总费用关于的函数关系式，并指出的取值范围；‎ ‎（2）求当在何处时，总费用最小.‎ 解：（1）在中，，‎ 在中，由正弦定理得，‎ 所以，，‎ ‎……………………4分 所以 ‎……………………8分 ‎（2），令，，记，则，所以 极小值 所以时最小，此时……………………14分 答：当时，总费用最小……………………16分 ‎ ‎ ‎19.（本小题满分16分）‎ 已知数列中，，，其中是数列的前项和，且满足.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）证明数列为等差数列，并求出的通项公式；‎ ‎（3）数列中是否存在正整数，，（），使得，，成等差 ‎ 数列？如果存在，求出，，的所有解；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）令，，，，…………3分 ‎（2）①‎ 时，②‎ ①- ‎②得 为定值，‎ 为首项为，公差为的等差数列 ‎……………………9分 （1） 假设存在正整数、、使得，、、成等差数列，则 设，，所以为递减数列 ‎①时，‎ 左边，‎ 左边 右边 时，（舍），时（舍），时 时 ‎，，；……………………12分 ‎②时，左边 左边右边，方程无解 综上：，，.……………………16分 ‎ ‎20. （本小题满分16分）‎ 已知函数，.‎ ‎（1）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）函数的图像上是否存在两点，且，使得直线的斜率满足:？若存在，求出与之间的关系；若不存在，请说明理由.‎ 解（1）‎ 又 切线方程为……………………3分 ‎（2）对任意的恒成立.‎ 即 设，‎ ‎①若，则 在递增 又 不等式恒成立……………………5分 ‎②若，‎ 令得 ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ 递减 极小值 递增 ‎,‎ 设，,‎ 所以在递减，又因为.‎ 所以.‎ 所以无解.‎ 综上：……………………9分 ‎（3）假设存在两点，且，使得直线的斜率满足:，‎ 因为 因为，所以……………………11分 两边同除以得，‎ 设，‎ 因为，所以，‎ 得.‎ 设 因为，‎ 所以在递增，又因为.‎ 所以.‎ 故不存在两点，且，使得直线的斜率满足：.……………………16分 数学答案 ‎21.矩阵 的一个特征值为，其对应的一个特征向量为，已知，求.‎ 解：由题意. ……1分 ‎ ……3分 的特征多项式为.则. ……5分 当，特征方程属于特征值的一个特征向量为，‎ ‎. ……7分. ……10分 ‎22. （本小题满分10分）在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程（是参数），若圆与圆相切，求实数的值．‎ 解：，圆心，半径，‎ ‎，圆心，半径．………3分 圆心距， ……………5分 两圆外切时，； ………………7分 两圆内切时，．‎ 综上，或．…………………………………10分 ‎23. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 如图，在三棱柱中，，，且．‎ ‎（1）求棱与BC所成的角的大小；‎ ‎（第22题）‎ B A C A1‎ B1‎ C1‎ ‎（2）在棱上确定一点P，使二面角的平面角的余弦值为．‎ ‎【解】（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，‎ 则 ，‎ ‎，．‎ ‎，‎ 故与棱BC所成的角是． ………………………4分 B A C A1‎ B1‎ C1‎ z x y P ‎（2）P为棱中点，‎ 设，则．‎ 设平面的法向量为n1，，‎ 则 故n1……………………………………………8分 而平面的法向量是n2=(1，0，0)，则，‎ 解得，即P为棱中点，其坐标为…………………10分 ‎24．(本小题满分10分)‎ 一个袋中装有黑球，白球和红球共n()个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球． ‎ ‎（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量的概率分布及数学期望；‎ ‎（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少?‎ ‎23．解：（1）设袋中黑球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，则．‎ ‎∴． …………………………………………………1分 设袋中白球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，则，‎ ‎∴， ∴或(舍)． ‎ ‎∴红球的个数为(个)． …………………………………3分 ‎∴随机变量的取值为0，1，2，分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 的数学期望． …………6分 ‎（2）设袋中有黑球个，则…）．‎ 设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，‎ 则， …………………………………8分 当时，最大，最大值为．…………………………………10分