天津市静海区第一中学2019-2020学年高二上学期期末学生学业能力调研数学试题 含解析

天津市静海区第一中学2019-2020学年高二上学期期末学生学业能力调研数学试题 含解析

静海一中2019-2020第一学期高二数学期末 学生学业能力调研试卷 ‎ 考生注意：‎ 本试卷分第Ⅰ卷基础题（132分）和第Ⅱ卷提高题（18分）两部分，共150分。‎ 知 识 与 技 能 学习能力 总分 内容 解析几何 逻辑 不等式 数列 导数 立体 关键环节 ‎150‎ 分数 ‎35‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎30‎ ‎65‎ ‎10‎ ‎24‎ 第Ⅰ卷 基础题（共132分）‎ 一、 选择题: (每小题5分，共30分)‎ ‎1．已知数列，满足，若，则＝（　　）‎ A． B．‎2 ‎C．﹣1 D．1‎ ‎2．下列命题的说法错误的是（　　）‎ A．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0．‎ B．“x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．‎ C．“ac2＜bc2“是“a＜b“的必要不充分条件．‎ D．是等比数列，则是为单调递减数列的充分条件 ‎3．设等差数列的前项和为，若，则等于　　‎ A．18 B．‎36 ‎C．45 D．60‎ ‎4．已知椭圆的两个焦点分别为，弦过点，若的周长为20，则的值为（ ）‎ A．5 B．－‎25 ‎C．25 D．5或－5‎ ‎5．若函数在内单调递减，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．为双曲线：的右焦点，圆：与在第一象限、第三象限的交点分别为，，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ 二、填空题：(每小题5分，共40分) ‎ ‎7.已知第一象限内的点在直线上，则的最小值为______．‎ ‎8．抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线 -- =1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=___________.‎ ‎9．双曲线离心率,与椭圆有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是_________‎ ‎10．已知函数，其中，R，若函数仅在处有极值，则实数的取值范围是_______.‎ ‎11．已知是等差数列，是等比数列，且，，，．则 的通项公式是______.；‎ ‎12．设点为函数上任意一点，点为直线上任意一点，则，两点距离的最小值为______.‎ ‎13．已知函数，，若，对任意的，总存在，使得，则b的取值范围是_______．‎ ‎14．已知函数， ，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是________.‎ 三、解答题：(本大题共5小题，共80分)‎ ‎15.（16分）各项均为正数的数列的前n项和为，且满足．各项均为正数的等比数列满足．‎ ‎（1）（4分）求证为等差数列并求数列、的通项公式；‎ ‎（2）若,数列的前n项和．‎ ‎①（6分）求；‎ ‎②（6分）若对任意,均有恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎16．（16分）如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面， 为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.‎ ‎（1）（4分）求证：平面；‎ ‎（2）（6分）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）（6分）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎17.（15分）已知函数 ‎(1)(7分)讨论函数的单调性 ‎（2）（8分）设，证明：对任意，‎ 18. ‎（15分）求导研究函数的性质是高考的热点，而求导后正负号的确定是一个重要的环节，请判断下列导函数的正负号。‎ （1） ‎（3分）‎ （2） ‎（3分）=‎ （3） ‎（3分）=‎ （4） ‎（3分）‎ （5） ‎（3分）请结合题目的解答过程，总结求导后判断正负号的方法。‎ 18. ‎（18分）如图，在平面直角坐标系中，焦点在轴上的鞘园C:经过点，且经过点作斜率为的直线交椭圆C与A、B两点(A在轴下方).‎ ‎ (1)（5分）求椭圆C的方程；‎ ‎(2)（6分）过点且平行于的直线交椭圆于点M、N，求的值；‎ ‎ (3)（7分）记直线与轴的交点为P，若，求直线的斜率的值.‎ 静海一中2019-2020第一学期高三数学（12月）‎ 学生学业能力调研试卷答题纸 得分框 知识与技能 学习能力 ‎（学法）‎ 习惯养成 ‎（卷面整洁）‎ 总分 ‎（备课组长阅）‎ 第Ⅰ卷 基础题（共135分）‎ 二、填空题（每题4分，共32分）‎ ‎7._________ 8. 9._________ 10.________11._________ 12._________ 13._________ 14._________ ‎ 三、解答题（本大题共4题，共88分）‎ ‎15.（15分）‎ ‎16.(15分）‎ E FE PE DE CDE BACDE ACDE ‎17.（13分）‎ ‎18.（15分）‎ 第Ⅱ卷 提高题（共15分）‎ ‎19.（15分）‎ 静海一中2019-2020第一学期高二数学期末 学生学业能力调研试卷 ‎ 考生注意：‎ 本试卷分第Ⅰ卷基础题（132分）和第Ⅱ卷提高题（18分）两部分，共150分。‎ 知 识 与 技 能 学习能力 总分 内容 解析几何 逻辑 不等式 数列 导数 立体 关键环节 ‎150‎ 分数 ‎35‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎30‎ ‎65‎ ‎10‎ ‎24‎ 第Ⅰ卷 基础题（共132分）‎ 一、 选择题: (每小题5分，共30分)‎ ‎1．已知数列，满足，若，则＝（ ）‎ A． B．‎2 ‎C．﹣1 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】数列满足，，‎ ‎，，故选A．‎ ‎2．下列命题的说法错误的是（ ）‎ A．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0．‎ B．“x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．‎ C．“ac2＜bc2“是“a＜b“的必要不充分条件．‎ D．是等比数列，则是为单调递减数列的充分条件 ‎【答案】D ‎3．设等差数列的前项和为，若，则等于 ‎ A．18 B．‎36 ‎C．45 D．60‎ ‎【答案】C ‎4．已知椭圆的两个焦点分别为，弦过点，若的周长为20‎ ‎，则的值为（ ）‎ A．5 B．－‎25 ‎C．25 D．5或－5‎ ‎【答案】D ‎5．若函数在内单调递减，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 若函数在内单调递减，即当时，，,如图所示，‎ ‎ ‎ 函数是一个开口向上的二次函 数，设其两个零点分别为，0）、（，0），其中,‎ 则有且，易见有，既有解得，故选A。‎ ‎6．为双曲线：的右焦点，圆：与在第一象限、第三象限的交点分别为，，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：不妨设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可得：四边形为矩形，‎ 则为直角三角形，设，，则，解得，即，即，则，则，得，故选：A.‎ 二、填空题：(每小题5分，共40分) ‎ ‎7.已知第一象限内的点在直线上，则的最小值为_9__．‎ ‎8．抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线 -- =1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=___6___.‎ 因为抛物线x2=2py的准线和双曲线-=1相交交点横坐标为 ‎9．双曲线离心率,与椭圆有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是 ‎10．已知函数，其中，R，若函数仅在处有极值，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【解】，如果仅在处有极值，那么的,∴.‎ ‎11．已知是等差数列，是等比数列，且，，，．则 的通项公式是______.；‎ 12． 设点为函数上任意一点，点为直线上任意一点，则，两点距离的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：设为函数上一点，且以点为切点的直线与直线平行，由，则 ，由已知有，化简得, 解得：，则，两点距离的最小值为点到直线的距离，由点到直线的距离公式 ‎，故答案为：.‎ ‎13．已知函数，，若，对任意的，总存在，使得，则b的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数在上单调递增，‎ 所以的值域为集合，函数，开口向下，对称轴为，‎ 所以在上单调递减，所以的值域为集合 因为任意的，总存在，使得，所以可得，‎ 所以，解得故答案为：‎ ‎14．已知函数， ，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：函数的导函数,，若,,为增函数;若,或,为减函数；在上有极值,在处取极小值也是最小值；,对称轴,,当时,在处取最小值；当时,在处取最小值；当时,在上是减函数,；对任意,存在,使,只要的最小值大于等于的最小值即可,当时,,‎ 计算得出,故无解;当时,,计算得出,综上:,因此，本题正确答案是:.‎ ‎ ‎ 三、解答题：(本大题共5小题，共80分)‎ ‎15.（16分）各项均为正数的数列的前n项和为，且满足．各项均为正数的等比数列满足．‎ ‎（1）（4分）求证为等差数列并求数列、的通项公式；‎ ‎（2）若,数列的前n项和．‎ ‎①（6分）求；‎ ‎②（6分）若对任意,均有恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）,（2）①; ②‎ ‎【解析】(1)∵,∴.‎ ‎∴,∴,又各项为正,‎ ‎∴,∴开始成等差,又, ∴,‎ ‎∴ ∴为公差为3的等差数列,∴,,‎ ‎∴．(2),①,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎,,‎ ‎​∴．‎ ‎②恒成立,‎ ‎∴,‎ 即恒成立,设,,‎ 当时,;当时,∴,‎ ‎∴．‎ ‎16．（16分）如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.‎ ‎ ‎ ‎（1）（4分）求证：平面；‎ ‎（2）（6分）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）（6分）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）在线段上存在一点满足题意，且 ‎【解析】‎ ‎（1）因为四边形为矩形，所以为的中点.连接，‎ 在中，分别为的中点，所以，‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）易知两两垂直，如图以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.‎ ‎ ‎ 则，所以.‎ 设平面的法向量为，‎ 则即解得 令，得 所以平面的一个法向量为.‎ 设平面的法向量为，‎ ‎ ，据此可得 ，‎ 则平面的一个法向量为，‎ ‎，于是.‎ 故二面角的正弦值为.‎ ‎（3）设存在点满足条件.‎ 由，‎ 设，整理得，‎ 则.‎ 因为直线与平面所成角的大小为，‎ 所以 解得，‎ 由知，即点与重合.‎ 故在线段上存在一点，且.‎ ‎17.（15分）已知函数 ‎(1)(7分)讨论函数的单调性 ‎（2）（8分）设，证明：对任意，‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用导数和单调性的关系分类求解；（Ⅱ）借助题设条件构造函数运用导数的知识推证.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）解：的定义域为，。‎ 当时，，故在单调递增；‎ 当时，，故在单调递减；‎ 当时，令，解得。由于在上单调递减，故当时，，故在单调递增；当时，，故在单调递减。‎ ‎（Ⅱ）证明：不妨假设．由于，故在单调递减。‎ ‎∴等价于。‎ 即。‎ 令，则。‎ 于是。‎ 从而在单调递减，故，‎ 即，故对任意。‎ 考点：导数在研究函数的单调性和极值等方面的综合运用。‎ ‎ ‎ 18. ‎（15分）求导研究函数的性质是高考的热点，而求导后正负号的确定是一个重要的环节，请判断下列导函数的正负号。‎ （1） ‎（3分）‎ （2） ‎（3分）=‎ （3） ‎（3分）=‎ （4） ‎（3分）‎ （5） ‎（3分）请结合题目的解答过程，总结求导后判断正负号的方法。‎ ‎ ‎ 19. ‎（18分）如图，在平面直角坐标系中，焦点在轴上的鞘园C:经过点，且经过点作斜率为的直线交椭圆C与A、B两点(A在轴下方).‎ ‎ (1)（5分）求椭圆C的方程；‎ ‎(2)（6分）过点且平行于的直线交椭圆于点M、N，求的值；‎ ‎(3)（7分）记直线与轴的交点为P，若，求直线的斜率的值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得e2，．又a2＝b2+c2，，解得b2；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．设直线l的方程为y＝k（x﹣1）．‎ 联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0，可设直线MN方程为y＝kx，联立直线MN与椭圆方程，消去y得（2k2+1）x2＝8，由MN∥l，得由（1﹣x1）•（x2﹣1）＝﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]．得（xM﹣xN）2＝4x2即可；‎ ‎（3）在y＝k（x﹣1）中，令x＝0，则y＝﹣k，所以P（0，﹣k），从而 ，由得 即 ①，由（2）知②，由①②得⇒50k4﹣83k2﹣34＝0，解得k2.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为椭圆C：1经过点所以．‎ 又∵a2＝b2+c2，，解得b2＝4或b2＝8（舍去）．‎ 所以椭圆C的方程为．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 因为T（1，0），则直线l的方程为y＝k（x﹣1）．‎ 联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0，‎ 所以x1+x2，x1x2．‎ 因为MN∥l，所以直线MN方程为y＝kx，‎ 联立直线MN与椭圆方程 消去y得（2k2+1）x2＝8，‎ 解得x2‎ 因为MN∥l，所以 因为（1﹣x1）•（x2﹣1）＝﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]．‎ ‎（xM﹣xN）2＝4x2．‎ 所以．‎ ‎（3）在y＝k（x﹣1）中，令x＝0，则y＝﹣k，所以P（0，﹣k），‎ 从而 ，‎ ‎∵，①‎ 由（2）知②‎ 由①②得 代入x1x2⇒50k4﹣83k2﹣34＝0，解得k2＝2或k2（舍）．‎ 又因为k＞0，所以k．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎