【物理】2018届一轮复习人教版 磁场对运动电荷的作用 学案
第2讲 磁场对运动电荷的作用
知|识|梳|理
微知识❶ 洛伦兹力
1．定义
运动电荷在磁场中所受的力。
2．大小
(1)v∥B时，F＝0。
(2)v⊥B时，F＝Bqv。
(3)v与B夹角为θ时，F＝Bqvsinθ。
3．方向
F、v、B三者的关系满足左手定则。
4．特点
由于F始终与v的方向垂直，故洛伦兹力永不做功。
注意：洛伦兹力是安培力的微观实质，安培力是洛伦兹力的宏观表现。
微知识❷ 带电粒子在磁场中的运动
1．若带电粒子的速度方向与匀强磁场方向平行，带电粒子以入射速度v做匀速直线运动。
2．若带电粒子的速度方向与匀强磁场方向垂直，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度v做匀速圆周运动。
(1)基本公式
①向心力公式：Bqv＝。
②轨道半径公式：R＝。
③周期、频率和角速度公式：
T＝＝，
f＝＝，
ω＝＝2πf＝。
④动能公式：Ek＝mv2＝。
(2)T、f和ω的特点
T、f和ω的大小与轨道半径R和运行速率v无关，只与磁场的磁感应强度和粒子的比荷有关。
基|础|诊|断
一、思维诊断
1．带电粒子在磁场中运动时一定受到磁场力作用(×)
2．带电粒子只受洛伦兹力作用时运动的动能一定不变(√)
3．根据公式T＝，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与速度大小成反比(×)
4．运动电荷在磁场中可能做匀速直线运动(√)
5．洛伦兹力的方向垂直于B和v决定的平面，洛伦兹力对运动电荷不做功(√)
二、对点微练
1．(洛伦兹力方向)(多选)关于洛伦兹力方向的判定，以下说法正确的是( )
A．用左手定则判定洛伦兹力方向时，“四指指向”与电荷定向运动方向相同
B．用左手定则判定洛伦兹力方向时，“四指指向”与电荷运动形成等效电流方向相同
C．正电荷在磁场中受洛伦兹力的方向即是该处磁场方向
D．若将在磁场中的运动电荷＋q换为－q且速度方向反向，则洛伦兹力方向不变
解析 运用左手定则时，“四指指向”应沿电荷定向移动形成的等效电流方向，而不一定沿电荷定向运动方向，因为负电荷定向移动形成电流的方向与其运动方向反向，通过左手定则所确定的洛伦兹力与磁场之间的关系可知：两者方向相互垂直，而不是相互平行。
答案 BD
2．(洛伦兹力大小)带电粒子垂直匀强磁场方向运动时，会受到洛伦兹力的作用。下列表述正确的是( )
A．洛伦兹力对带电粒子做功
B．洛伦兹力不改变带电粒子的动能
C．洛伦兹力的大小与速度无关
D．洛伦兹力不改变带电粒子的速度方向
解析 根据洛伦兹力的特点，洛伦兹力对带电粒子不做功，A错，B对。根据F＝qvB可知，大小与速度有关。洛伦兹力的效果就是改变物体的运动方向，不改变速度的大小。
答案 B
3．(带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动)质量和电量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列表述正确的是( )
A．M带负电，N带正电
B．M的速率小于N的速率
C．洛伦兹力对M、N做正功
D．M的运行时间大于N的运行时间
解析 由左手定则可知，N粒子带正电，M粒子带负电，A正确。又rN
x2 B．t1>t2
C．v1和v2大小相等 D．v1和v2方向相同
解析 当桌面右边存在磁场时，由左手定则可知，带正电的小球在飞行过程中受到斜向右上方的洛伦兹力作用，此力在水平方向上的分量向右，竖直分量向上，因此小球水平方向上存在加速度，竖直方向上的加速度at2；由x1＝v0t1＋at，x2＝v0t2知x1>x2，A、B对；又因为洛伦兹力不做功，故C对；两次小球着地时速度方向不同，D错。
答案 ABC
1－2.(多选)如图所示，a为带正电的小物块，b是一不带电的绝缘物块(设a、b间无电荷转移)，a、b叠放于粗糙的水平地面上，地面上方有垂直纸面向里的匀强磁场，现用水平恒力F拉b物块，使a、b一起无相对滑动地向左加速运动，在加速运动阶段( )
A．a对b的压力不变
B．a对b的压力变大
C．a、b物块间的摩擦力变小
D．a、b物块间的摩擦力不变
解析 a向左加速时受到的竖直向下的洛伦兹力变大，故对b的压力变大，B项正确；从a、b整体看，由于a受到的洛伦兹力变大，会引起b对地面的压力变大，滑动摩擦力变大，整体的加速度变小，再隔离a，b对a的静摩擦力提供其加速度，由Fba＝maa知，a、b间的摩擦力变小，选项C也正确。
答案 BC
(1)电荷在电场中一定受电场力，而在磁场中不一定受洛伦兹力。
(2)洛伦兹力方向与速度方向一定垂直，而电场力的方向与速度方向无必然联系。
(3)安培力是洛伦兹力的宏观表现，洛伦兹力是安培力的微观本质，但各自的表现形式不同，洛伦兹力对运动电荷永远不做功，而安培力对通电导线可做正功，可做负功，也可不做功。
核心微讲
1．圆心的确定
基本思路：圆心一定在与速度方向垂直的直线上，并且也在圆中一条弦的中垂线上。
有两种方法：
(1)已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图甲所示，图中P为入射点，M
为出射点。
(2)已知入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图乙所示，P为入射点，M为出射点。
2．半径的确定和计算
利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)。并注意以下两个重要的几何特点：(如图所示)
(1)粒子速度的偏向角φ等于回旋角α，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍，即φ＝α＝2θ＝ωt。
(2)相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ＋θ′＝180°。
3．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：t＝T(或t＝T)。
典例微探
【例1】 (2016·四川卷)如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b
点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb；当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc。不计粒子重力，则( )
A．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1
B．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2
C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1
D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2
解题导思：
(1)同一带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其速度大小之比等于轨道半径之比吗？
答：由公式r＝可知，速度大小之比等于轨道半径之比。
(2)同一粒子在磁场中的运动时间之比等于其圆弧所对圆心角之比吗？
答：由公式T＝和t＝T可知，运动时间之比等于圆心角之比。
解析 设正六边形的边长为L，一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径rb＝L，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对应的圆心角为120°，由洛伦兹力提供向心力Bqvb＝，得L＝，且T＝，得tb＝·；当速度大小为vc时，从c点离开磁场，由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对应的圆心角2θ＝60°，粒子在磁场中做圆周运动的半径rc＝L＋＝2L，同理有2L＝，tc＝·，解得vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1，A正确。
答案 A
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动解题“三步法”
1．画轨迹：即确定圆心，画出运动轨迹。
2．找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度的联系，偏转角度与圆心角、运动时间的联系，在磁场中的运动时间与周期的联系。
3．用规律；即牛顿运动定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式。
题组微练
2－1.如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角。现将带电粒子的速度变为v，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( )
A.Δt B．2Δt
C.Δt D．3Δt
解析 设带电粒子以速度v进入磁场做圆周运动，圆心为O1，半径为r1，则根据qvB＝，得r1＝，根据几何关系得＝tan，且φ1＝60°。
当带电粒子以v的速度进入时，轨道半径
r2＝＝＝r1，圆心在O2，则＝tan。
即tan＝＝＝3tan＝。
故＝60°，φ2＝120°；
带电粒子在磁场中运动的时间
t＝T，
所以＝＝，即Δt2＝2Δt1＝2Δt，故选项B正确，选项A、C、D错误。
答案 B
2－2.(2017·武汉模拟)如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。一带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v、方向与ab成30°角时，恰好从b点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为( )
A.v B.v
C.v D.v
解析 设圆形区域直径为d，粒子从a点射入从b点飞出磁场，运动时间t＝，半径R1＝d＝；若粒子从a点沿ab方向射入磁场，运动时间t＝，偏向角为60°，且tan30°＝，半径R2＝d＝，速度v′＝v，选项C正确。
答案 C
核心微讲
1．带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中的运动轨迹不同，因而形成多解。
2．磁场方向不确定形成多解
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须考虑由磁感应强度方向不确定而形成的多解。
3．临界状态不唯一形成多解
如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接穿过去了，也可能转过 180°从入射界面反向飞出，于是形成了多解。
4．运动的往复性形成多解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，往往具有往复性，因而形成多解。
典例微探
【例2】 (多选)一质量为m，电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是( )
A. B.
C. D.
解题导思：
(1)库仑力一定指向圆心，洛伦兹力一定指向圆心吗？
答：洛伦兹力可能指向圆心，也可能背离圆心。
(2)哪些力提供负电荷做圆周运动的向心力？其大小如何表示。
答：库仑力和洛伦兹力的合力提供向心力，当两者方向相同时向心力大小为F电＋F磁＝4qvB；当两者方向相反时向心力大小为F电－F磁＝2qvB。
解析 依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv＝m，得v＝，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝＝；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bqv＝m，v＝，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝＝，应选AC。
答案 AC
求解带电粒子在磁场中运动的多解问题的技巧
1．分析题目特点，确定题目多解性形成原因。
2．作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。
3．若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。
题组微练
3－1.(多选)如图所示，在0≤x≤b、0≤y≤a的长方形区域中有一磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外。O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内的第一象限内。已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，最先从磁场上边界飞出的粒子经历的时间为，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则 ( )
A．粒子射入磁场的速度大小v＝
B．粒子圆周运动的半径r＝2a
C．长方形区域的边长满足关系＝＋1
D．长方形区域的边长满足关系＝2
解析 速度沿y轴正方向的粒子，最先从上边界离开，由于粒子在磁场中的运动时间为，则磁场中的轨迹圆弧的圆心角为×360°＝30°。轨迹圆心在x轴上，作出轨迹图形，由几何关系可知，轨迹半径r＝＝2a；对带电粒子在磁场中的圆周运动有qvB＝m，解得v＝；最后离开的粒子从右边界射出，其轨迹圆心角为×360°＝90°，设粒子速度方向与y轴正方向夹角为θ，作出轨迹图形，由几何关系有rsin θ＝r－a，b＝rsin θ＋rcos θ，解得b＝(＋1)a，则＝＋1。选项D错误，A、B、C正确。
答案 ABC
3－2.(多选)长为l
的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
A．使粒子的速度v<
B．使粒子的速度v>
C．使粒子的速度v>
D．使粒子的速度0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为( )
A. B.
C. D.
解析 如图所示为粒子在匀强磁场中的运动轨迹示意图，设出射点为P
，粒子运动轨迹与ON的交点为Q，粒子入射方向与OM成30°角，则射出磁场时速度方向与MO成30°角，由几何关系可知，PQ⊥ON，故出射点到O点的距离为轨迹圆直径的2倍，即4R，又粒子在匀强磁场中运动的轨迹半径R＝，所以D正确。
答案 D
4．(多选)如图所示，在半径为R的圆形区域内有匀强磁场。在边长为2R的正方形区域里也有匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小相同。两个相同的带电粒子以相同的速率分别从M、N两点射入匀强磁场。在M点射入的带电粒子，其速度方向指向圆心；在N点射入的带电粒子，速度方向与边界垂直，且N点为正方形边长的中点，则下列说法正确的是( )
A．带电粒子在磁场中飞行的时间可能相同
B．从M点射入的带电粒子可能先飞出磁场
C．从N点射入的带电粒子可能先飞出磁场
D．从N点射入的带电粒子不可能比M点射入的带电粒子先飞出磁场
解析 画轨迹草图如图所示，容易得出粒子在圆形磁场中的轨迹长度(或轨迹对应的圆心角)不会大于在正方形磁场中的，故A、B、D正确。
答案 ABD
