【数学】2020届一轮复习（文）通用版4-2三角恒等变换作业

【数学】2020届一轮复习（文）通用版4-2三角恒等变换作业

‎§4.2　三角恒等变换 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 两角和与 差的三 角公式 ‎①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;③能利用两角和与差的三角公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并了解它们的内在联系;④能正用、逆用或变形用公式进行求值、化简和证明 ‎2018课标全国Ⅲ,4,5分 三角恒等变换 二倍角公式,同角三角函数的平方关系 ‎★★★‎ ‎2018课标全国Ⅱ,15,5分 三角恒等变换 两角差的正切公式 ‎2017课标全国Ⅰ,15,5分 三角恒等变换 两角差的余弦公式以及同角三角函数的平方关系 ‎2016课标全国Ⅲ,6,5分 三角恒等变换 二倍角公式,同角三角函数的基本关系式 ‎2016课标全国Ⅰ,14,5分 三角恒等变换 两角和的正弦以及两角差的正切 分析解读　　从近几年的高考试题来看,两角和与差的三角公式及二倍角公式一直是高考命题的热点之一,全面考查两角和与差及二倍角公式的综合应用:1.以两角和与差的三角公式为基础,求三角函数的值或化简三角函数式;2.二倍角公式是热点和难点,要理解“倍角”的含义,注意“倍角”的相对性,并能灵活应用;3.与两角和与差的三角公式及二倍角公式有关的综合问题一般先把三角函数式化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式,再讨论三角函数的性质.常以解答题的形式出现,与解三角形问题结合在一起,分值约为12分,属于中档题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点　两角和与差的三角公式 ‎1.(2019届安徽皖中10月联考,3)已知sin α=-‎4‎‎5‎,且α是第四象限角,则sinπ‎4‎‎-α的值为(　　)　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.‎5‎‎2‎‎10‎ B.‎3‎‎2‎‎5‎ C.‎7‎‎2‎‎10‎ D.‎‎4‎‎2‎‎5‎ 答案　C　‎ ‎2.(2018福建德化一中等三校联考,8)已知sin 2α=‎4‎‎5‎,则cos2α+‎π‎4‎=(　　)‎ A.‎1‎‎6‎ B.‎1‎‎10‎ C.‎1‎‎5‎ D.‎‎4‎‎5‎ 答案　B　‎ ‎3.(2018河南新乡一模,5)已知函数f(x)=tan(φ-x)π‎2‎‎<φ<‎‎3π‎2‎的图象经过原点,若f(-α)=‎1‎‎2‎,则fα+‎π‎4‎=(　　)‎ A.-3 B.-‎1‎‎3‎ C.3 D.‎‎1‎‎3‎ 答案　A　‎ ‎4.(2018吉林第一次调研,7)已知α,β为锐角,且cos α=‎5‎‎13‎,cos(α+β)=-‎4‎‎5‎,则cos β=(　　)‎ A.-‎56‎‎65‎ B.-‎16‎‎65‎ C.‎16‎‎65‎ D.‎‎56‎‎65‎ 答案　C　‎ ‎5.(2019届辽宁六校10月联考,13)已知tan α=3,则cos 2α的值为　　　　. ‎ 答案　-‎‎4‎‎5‎ ‎6.(2019届广东珠海四校摸底考试,14)已知sin α=‎3‎‎5‎,且α为第二象限角,则tan‎2α+‎π‎4‎=　　　　. ‎ 答案　-‎‎17‎‎31‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　三角函数式的化简方法 ‎1.(2019届广东顶级名校10月联考,3)设0≤x≤2π,且‎1-sin2x=sin x-cos x,则(　　)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.0≤x≤π B.π‎4‎≤x≤‎‎7π‎4‎ C.π‎4‎≤x≤‎5π‎4‎ D.π‎2‎≤x≤‎‎3π‎2‎ 答案　C　‎ ‎2.化简:‎(1+sinθ+cosθ)‎sinθ‎2‎-cosθ‎2‎‎2+2cosθ(0<θ<π)=　　　　. ‎ 答案　-cos θ 方法2　三角函数式的求值方法 ‎1.(2019届湖北武汉重点中学9月调研,10)‎2‎‎2‎cos 375°+‎2‎‎2‎sin 375°的值为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎1‎‎2‎ C.-‎3‎‎2‎ D.-‎‎1‎‎2‎ 答案　A　‎ ‎2.(2018湖北咸宁重点高中联考,9)已知tan(α+β)=2,tan β=3,则sin 2α=(　　)‎ A.‎7‎‎25‎ B.‎14‎‎25‎ C.-‎7‎‎25‎ D.-‎‎14‎‎25‎ 答案　C　‎ ‎3.(2018山东济南第一次模拟,5)若sinA+‎π‎4‎=‎7‎‎2‎‎10‎,A∈π‎4‎‎,π,则sin A的值为(　　)‎ A.‎3‎‎5‎ B.‎4‎‎5‎ C.‎3‎‎5‎或‎4‎‎5‎ D.‎‎3‎‎4‎ 答案　B　‎ ‎4.(2017安徽二模,8)sin 40°(tan 10°-‎3‎)=(　　)‎ A.-‎1‎‎2‎ B.-1 C.‎3‎‎2‎ D.-‎‎3‎‎3‎ 答案　B　‎ ‎5.(2017吉林六校联考,11)若cos α+sin α=‎2‎‎3‎,则‎2‎sin‎2α-‎π‎4‎+1‎‎1+tanα的值为(　　)‎ A.‎5‎‎9‎ B.0 C.-‎5‎‎18‎ D.-‎‎5‎‎9‎ 答案　D　‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点　两角和与差的三角公式 ‎1.(2018课标全国Ⅲ,4,5分)若sin α=‎1‎‎3‎,则cos 2α=(　　)　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.‎8‎‎9‎ B.‎7‎‎9‎ C.-‎7‎‎9‎ D.-‎‎8‎‎9‎ 答案　B　‎ ‎2.(2016课标全国Ⅲ,6,5分)若tan θ=-‎1‎‎3‎,则cos 2θ=(　　)‎ A.-‎4‎‎5‎ B.-‎1‎‎5‎ C.‎1‎‎5‎ D.‎‎4‎‎5‎ 答案　D　‎ ‎3.(2018课标全国Ⅱ,15,5分)已知tanα-‎‎5π‎4‎=‎1‎‎5‎,则tan α=　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎2‎ ‎4.(2016课标全国Ⅰ,14,5分)已知θ是第四象限角,且sinθ+‎π‎4‎=‎3‎‎5‎,则tanθ-‎π‎4‎=　　　　. ‎ 答案　-‎‎4‎‎3‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点　两角和与差的三角公式 ‎1.(2017山东,4,5分)已知cos x=‎3‎‎4‎,则cos 2x=(　　)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.-‎1‎‎4‎ B.‎1‎‎4‎ C.-‎1‎‎8‎ D.‎‎1‎‎8‎ 答案　D　‎ ‎2.(2015重庆,6,5分)若tan α=‎1‎‎3‎,tan(α+β)=‎1‎‎2‎,则tan β=(　　)‎ A.‎1‎‎7‎ B.‎1‎‎6‎ C.‎5‎‎7‎ D.‎‎5‎‎6‎ 答案　A　‎ ‎3.(2016浙江,11,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　,b=　　　　. ‎ 答案　‎2‎;1‎ ‎4.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tan α=‎4‎‎3‎,cos(α+β)=-‎5‎‎5‎.‎ ‎(1)求cos 2α的值;‎ ‎(2)求tan(α-β)的值.‎ 解析　(1)因为tan α=sinαcosα=‎4‎‎3‎,‎ 所以sin α=‎4‎‎3‎cos α.‎ 因为sin2α+cos2α=1,‎ 所以cos2α=‎9‎‎25‎,‎ 所以cos 2α=2cos2α-1=-‎7‎‎25‎.‎ ‎(2)因为α,β为锐角,‎ 所以α+β∈(0,π).‎ 又因为cos(α+β)=-‎5‎‎5‎,‎ 所以sin(α+β)=‎1-cos‎2‎(α+β)‎=‎2‎‎5‎‎5‎,‎ 因此tan(α+β)=-2.‎ 因为tan α=‎4‎‎3‎,‎ 所以tan 2α=‎2tanα‎1-tan‎2‎α=-‎24‎‎7‎.‎ 因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β)‎‎1+tan2αtan(α+β)‎=-‎2‎‎11‎.‎ ‎5.(2015广东,16,12分)已知tan α=2.‎ ‎(1)求tanα+‎π‎4‎的值;‎ ‎(2)求sin2αsin‎2‎α+sinαcosα-cos2α-1‎的值.‎ 解析　(1)因为tan α=2,‎ 所以tanα+‎π‎4‎=tanα+tanπ‎4‎‎1-tanα·tanπ‎4‎=‎2+1‎‎1-2×1‎=-3.‎ ‎(2)因为tan α=2,所以sin2αsin‎2‎α+sinαcosα-cos2α-1‎ ‎=‎‎2sinαcosαsin‎2‎α+sinαcosα-(cos‎2‎α-sin‎2‎α)-(sin‎2‎α+cos‎2‎α)‎ ‎=‎2sinαcosαsin‎2‎α+sinαcosα-2cos‎2‎α=‎2tanαtan‎2‎α+tanα-2‎=‎2×2‎‎2‎‎2‎‎+2-2‎=1.‎ C组　教师专用题组 考点　两角和与差的三角公式 ‎1.(2013课标Ⅱ,6,5分)已知sin 2α=‎2‎‎3‎,则cos2α+‎π‎4‎=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎1‎‎6‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎2‎‎3‎ 答案　A　‎ ‎2.(2010课标全国,10,5分)若cos α=-‎4‎‎5‎,α是第三象限的角,则sinα+‎π‎4‎=(　　)‎ A.-‎7‎‎2‎‎10‎ B.‎7‎‎2‎‎10‎ C.-‎2‎‎10‎ D.‎‎2‎‎10‎ 答案　A　‎ ‎3.(2017江苏,5,5分)若tanα-‎π‎4‎=‎1‎‎6‎,则tan α=　　　　. ‎ 答案　‎‎7‎‎5‎ ‎4.(2014陕西,13,5分)设0<θ<π‎2‎,向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(1,-cos θ),若a·b=0,则tan θ=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ ‎5.(2015四川,19,12分)已知A,B,C为△ABC的内角,tan A,tan B是关于x的方程x2+‎3‎px-p+1=0(p∈R)的两个实根.‎ ‎(1)求C的大小;‎ ‎(2)若AB=3,AC=‎6‎,求p的值.‎ 解析　(1)由已知得,方程x2+‎3‎px-p+1=0的判别式Δ=(‎3‎p)2-4(-p+1)=3p2+4p-4≥0.‎ 所以p≤-2,或p≥‎2‎‎3‎.‎ 由根与系数的关系,得tan A+tan B=-‎3‎p,tan Atan B=1-p.‎ 于是1-tan Atan B=1-(1-p)=p≠0,‎ 从而tan(A+B)=tanA+tanB‎1-tanAtanB=-‎3‎pp=-‎3‎.‎ 所以tan C=-tan(A+B)=‎3‎,‎ 所以C=60°.‎ ‎(2)由正弦定理,得sin B=ACsinCAB=‎6‎sin60°‎‎3‎=‎2‎‎2‎,‎ 解得B=45°,或B=135°(舍去).‎ 于是A=180°-B-C=75°.‎ 则tan A=tan 75°=tan(45°+30°)=‎tan45°+tan30°‎‎1-tan45°tan30°‎ ‎=‎1+‎‎3‎‎3‎‎1-‎‎3‎‎3‎=2+‎3‎.‎ 所以p=-‎1‎‎3‎(tan A+tan B)=-‎1‎‎3‎(2+‎3‎+1)=-1-‎3‎.‎ ‎6.(2015湖南,17,12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A.‎ ‎(1)证明:sin B=cos A;‎ ‎(2)若sin C-sin Acos B=‎3‎‎4‎,且B为钝角,求A,B,C.‎ 解析　(1)证明:由a=btan A及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sin B=cos A.‎ ‎(2)因为sin C-sin Acos B ‎=sin[180°-(A+B)]-sin Acos B ‎=sin(A+B)-sin Acos B ‎=sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B ‎=cos Asin B,‎ 所以cos Asin B=‎3‎‎4‎.由(1)知sin B=cos A,因此sin2B=‎3‎‎4‎.‎ 又B为钝角,所以sin B=‎3‎‎2‎,故B=120°.‎ 由cos A=sin B=‎3‎‎2‎知A=30°.‎ 从而C=180°-(A+B)=30°.‎ 综上所述,A=30°,B=120°,C=30°.‎ ‎7.(2014广东,16,12分)已知函数f(x)=Asinx+‎π‎3‎,x∈R,且f‎5π‎12‎=‎3‎‎2‎‎2‎.‎ ‎(1)求A的值;‎ ‎(2)若f(θ)-f(-θ)=‎3‎,θ∈‎0,‎π‎2‎,求fπ‎6‎‎-θ.‎ ‎8.(2014天津,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a-c=‎6‎‎6‎b,sin B=‎6‎sin C.‎ ‎(1)求cos A的值;‎ ‎(2)求cos‎2A-‎π‎6‎的值.‎ 解析　(1)在△ABC中,由bsinB=csinC,及sin B=‎6‎sin C,可得b=‎6‎c.又由a-c=‎6‎‎6‎b,有a=2c.‎ 所以,cos A=b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc=‎6c‎2‎+c‎2‎-4‎c‎2‎‎2‎‎6‎c‎2‎=‎6‎‎4‎.‎ ‎(2)在△ABC中,由cos A=‎6‎‎4‎,可得sin A=‎10‎‎4‎.‎ 于是cos 2A=2cos2A-1=-‎1‎‎4‎,sin 2A=2sin A·cos A=‎15‎‎4‎.‎ 所以cos‎2A-‎π‎6‎=cos 2A·cos π‎6‎+sin 2A·sin π‎6‎=‎15‎‎-‎‎3‎‎8‎.‎ ‎9.(2014江西,16,12分)已知函数f(x)=(a+2cos2x)·cos(2x+θ)为奇函数,且fπ‎4‎=0,其中a∈R,θ∈(0,π).‎ ‎(1)求a,θ的值;‎ ‎(2)若fα‎4‎=-‎2‎‎5‎,α∈π‎2‎‎,π,求sinα+‎π‎3‎的值.‎ 解析　(1)因为f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)是奇函数,而y1=a+2cos2x为偶函数,所以y2=cos(2x+θ)为奇函数,又θ∈(0,π),则θ=π‎2‎,所以f(x)=-sin 2x·(a+2cos2x),‎ 由fπ‎4‎=0得-(a+1)=0,即a=-1.‎ ‎(2)由(1)得, f(x)=-‎1‎‎2‎sin 4x,因为fα‎4‎=-‎1‎‎2‎sin α=-‎2‎‎5‎,即sin α=‎4‎‎5‎,又α∈π‎2‎‎,π,从而cos α=-‎3‎‎5‎,‎ 所以有sinα+‎π‎3‎=sin αcos π‎3‎+cos αsin π‎3‎=‎4-3‎‎3‎‎10‎.‎ ‎【三年模拟】‎ 时间:45分钟　分值:60分 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.(2019届广东惠州二调,2)已知tan(π-α)=-2,tan β=3,则tan(α+β)=(　　)　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.1 B.-1 C.‎1‎‎7‎ D.-‎‎1‎‎7‎ 答案　B　‎ ‎2.(2019届四川顶级名校9月诊断测试,9)已知π‎2‎<β<α<‎3‎‎4‎π,cos(α-β)=‎12‎‎13‎,sin(α+β)=-‎3‎‎5‎,则sin 2α=(　　)‎ A.‎56‎‎65‎ B.-‎56‎‎65‎ C.‎65‎‎56‎ D.-‎‎65‎‎56‎ 答案　B　‎ ‎3.(2019届山西康杰中学等名校9月联考,12)已知α-β=π‎6‎,tan α-tan β=3,则cos(α+β)的值为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎+‎3‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎-‎‎3‎‎3‎ C.‎1‎‎3‎+‎3‎‎2‎ D.‎1‎‎3‎-‎‎3‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎4.(2019届辽宁顶级名校10月联考,11)若‎1+tanα‎1-tanα=2 018,则‎1‎cos2α+tan 2α=(　　)‎ A.2 017 B.2 018 C.2 019 D.1 004‎ 答案　B　‎ ‎5.(2018安徽江淮十校第三次(4月)联考,7)已知tanπ‎4‎‎-α=‎4‎‎3‎,则sin2π‎4‎‎+α=(　　)‎ A.‎7‎‎25‎ B.‎9‎‎25‎ C.‎16‎‎25‎ D.‎‎24‎‎25‎ 答案　B　‎ ‎6.(2017广东七校12月联考,7)锐角α,β满足cos α=‎12‎‎13‎,cos(2α+β)=‎3‎‎5‎,那么sin(α+β)=(　　)‎ A.‎63‎‎65‎ B.‎53‎‎65‎ C.‎43‎‎65‎ D.‎‎33‎‎65‎ 答案　D　‎ ‎7.(2018河南南阳期中联考,10)已知tan α=2 018tanπ‎2 018‎,则sinα+‎‎2 017π‎2 018‎sinα+‎π‎2 018‎=(　　)‎ A.-1 B.1 C.-‎2 017‎‎2 019‎ D.‎‎2 017‎‎2 019‎ 答案　C　‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎8.(2019届辽宁顶级名校10月联考,15)求值:tan 70°cos 10°·(‎3‎tan 20°-1)=　　　　. ‎ 答案　-1‎ ‎9.(2019届广东普宁一中10月联考,15)已知tanα-‎π‎6‎=2,α∈π‎6‎‎,‎‎7π‎6‎,则sin α‎2‎cos α‎2‎+‎3‎cos2α‎2‎-‎3‎‎2‎=　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎5‎ ‎10.(2018湖南G10教育联盟4月联考,16)已知cosπ‎2‎‎+α=3sinα+‎‎7π‎6‎,则tanπ‎12‎‎+α=　　　　. ‎ 答案　2‎3‎-4‎ 三、解答题(共10分)‎ ‎11.(2019届福建漳州八校10月模拟,17)已知函数f(x)=sin x+acos x(x∈R),π‎4‎是函数f(x)的一个零点.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)若α,β∈‎0,‎π‎2‎,且fα+‎π‎4‎=‎10‎‎5‎,fβ+‎‎3π‎4‎=‎3‎‎5‎‎5‎,求sin(α+β)的值.‎ 解析　(1)∵π‎4‎是函数f(x)的一个零点,‎ ‎∴fπ‎4‎=sin π‎4‎+acos π‎4‎=0,∴a=-1.‎ ‎(2)由(1)可得f(x)=sin x-cos x=‎2‎×‎2‎‎2‎sinx-‎2‎‎2‎cosx=‎2‎sinx-‎π‎4‎.‎ ‎∵fα+‎π‎4‎=‎2‎sinα+π‎4‎-‎π‎4‎=‎2‎sin α=‎10‎‎5‎,∴sin α=‎5‎‎5‎.‎ ‎∵α∈‎0,‎π‎2‎,∴cos α=‎1-sin‎2‎α=‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎∵fβ+‎‎3π‎4‎=‎3‎‎5‎‎5‎,∴‎2‎sinβ+‎π‎2‎=‎3‎‎5‎‎5‎.∴cos β=‎3‎‎10‎‎10‎.‎ ‎∵β∈‎0,‎π‎2‎,∴sin β=‎1-cos‎2‎β=‎10‎‎10‎.‎ ‎∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=‎5‎‎5‎×‎3‎‎10‎‎10‎+‎2‎‎5‎‎5‎×‎10‎‎10‎=‎2‎‎2‎.‎