2013福州1月份质检文数试卷

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2013福州1月份质检文数试卷

福建省福州市 ‎2013届高三上学期期末质量检查 数学(文)试题 ‎(满分:150分;完卷时间:120分钟)‎ ‎ 参考公式:‎ ‎ 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 第Ⅰ卷(选择题共50分)‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上.)‎ ‎1.是虚数单位,复数在复平面上的对应点所在 ‎ A.第一象限 B.第二象限 ‎ C.第三象限 D.第三象限 ‎2.如图设全集U为整数集,集合则下图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为 ‎ A.3 ‎ ‎ B.‎4 ‎ ‎ ‎ C.7 ‎ ‎ D.8‎ ‎3.设命题p:函数的最小正周期为,命题q:函数的图象关于直线对称,则下列判断正确的是 ‎ A.p为真 B.为真 C.为真 D.为真 ‎4.对具有线性相关关系的变量x,y,测得一组数据如下表:‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎ 根据上表,利用最小二乘法得它们的回归直线方程为,据此模型来预测当x= 20时,y的估计值为 ‎ A. 210 B.210.‎5 ‎ C.211.5 D.212.5‎ ‎5.“∥”是“存在唯一实数,使得=”的 ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6.函数的大致图象是 ‎7.△ABC中,若sinB既是sinA,sinC的等差中项,又是sinA,sinC的等比中项,则∠B的大小是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.在区间[0,]上随机取一个数x,则事件“”发生的概率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.若运行如右图所示的程序,则输出S的值是 ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎10.已知函数 ‎ 半个周期内的图象如图所示,则函数的解析式为 ‎ A. ‎ ‎ B.‎ ‎ C. ‎ ‎ D.‎ ‎11.若点A(m、n)在第一象限,且在直线上,则的最小值为 ‎ A. B. C.4 D.5‎ ‎12.能够把圆O:x2 +y2‎ ‎= 16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”,下列函数不是圆O的“和谐函数”的是 ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题共100分)‎ 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上。)‎ ‎13.以椭圆的右焦点为焦点,且顶点在原点的抛物线标准议程为 。‎ ‎14.若函数 ,则函数的零点为 。‎ ‎15.已知O是坐标原点,点M的坐标为(2,1),若点N(x,y)为平面区域上的一个动点,则·的最大值是 。‎ ‎16.已知点是函数的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方,因此有结论成立.运用类比思想方法可知,若点A(x1,sinxl)、B(x2,sinx2)是函数y=sinx(z∈(0,))的图象上的不同两点,则类似地有____成立.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知数列 ‎ (I)证明:数列 是等比数列;‎ ‎ (Ⅱ)求数列的前n项和.‎ ‎18(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数·(其中>o),且函数的最小正周期为 ‎ (I)求的值;‎ ‎ (Ⅱ)将函数y= f(x)的图象向右平移 单位长度,再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的倍(纵坐标不变)得到函数y=g(x)的图象.求函数g(x)的单调区间.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎ 某学校为促进学生的全面发展,积极开展丰富多样的社团活动,根据调查,学校在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团,三个社团参加的人数如下表示所示:‎ 社团 泥塑 剪纸 年画 人数 ‎320‎ ‎240‎ ‎200‎ ‎ 为调查社团开展情况,学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本,已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人.‎ ‎ (I)求三个社团分别抽取了多少同学;‎ ‎ (Ⅱ)若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务,已知“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生,求至少有1名女同学被选为监督职务的概率.‎ ‎ ‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎ 没椭圆的左、右焦点分别F1、F2,点P是椭圆短轴的一个端点,且焦距为6,△P F‎1F2的周长为16.‎ ‎ (I)求椭圆C的方程;‎ ‎ (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为的直线被椭圆C所截线段的中点坐标。‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ ‎ 如图,某小区有一边长为2(单位:百米)的正方形地块OABC,‎ ‎ 其中OAE是一个游泳池,计划在地块OABC内修一条与池边AE相 ‎ 切的直路(宽度不计),切点为M,并把该地块分为两部分.现以点 ‎ O为坐标原点,以线段OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,‎ ‎ 若池边AE满足函数的图象,且点M到边 ‎ OA距离为.‎ ‎ (I)当时,求直路所在的直线方程;‎ ‎ (Ⅱ)当t为何值时,地块OABC在直路不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?‎ ‎22.(本小题满分14分)‎ ‎ 已知函数·的图象过点(1,0)‎ ‎ (I)求的解析式;‎ ‎ (Ⅱ)若为实数)恒成立,求的取值范围;‎ ‎ (Ⅲ)当时,讨论在区间(0,2)上极值点的个数。‎ 福州市2012—2013学年第一学期高三期末质量检查 数学(文科)试卷参考答案及评分意见 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.)‎ ‎1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.C 8.B 9.C 10.A 11.D 12.D 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.)‎ ‎13. 14. 1或0 15.3 16.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共74分.)‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)因点在直线的图象上,,‎ 令,故只需证是等比数列, 2分 ‎,, 4分 数列是以为首项,3为公比的等比数列.‎ 即数列是以为首项,3为公比的等比数列. 6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,数列是以为首项,3为公比的等比数列,‎ ‎∴, 8分 ‎ 9分 所以数列的前n项和 ‎ 10分 ‎. 12分 ‎18.(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)因为, 2分 因为,函数周期为 3分 所以,所以 4分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的倍,纵坐标不变,得到函数. 8分 由,;得 由 ;得 故函数的增区间为[] ;‎ 减区间为[],. 12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)设抽样比为,则由分层抽样可知,“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为. 1分 则由题意得,解得. 2分 故“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为,,. 4分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,从“剪纸”社团抽取的同学为6人,其中2位女生记为A,B,4位男生记为C,D,E,F. 6分 则从这6位同学中任选2人,不同的结果有 ‎{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},‎ ‎{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},‎ ‎{C,D},{C,E},{C,F},‎ ‎{D,E},{D,F},‎ ‎{E,F},‎ 共15种. 8分 其中含有1名女生的选法为 ‎{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},‎ ‎{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},‎ 共8种; 10分 含有2名女生的选法只有{A,B}1种.‎ 故至少有1名女同学被选中的概率为=. 12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,则由题设得,解得,所以,故所求的方程为. 6分 ‎ ‎(Ⅱ)解法一、过点且斜率为的直线方程为,……………………… 8分 将之代入的方程,得 ‎,即. 9分 因为在椭圆内,所以直线与椭圆有两个交点, 10分 因为,所以线段中点的横坐标为, ‎ 纵坐标为. 11分 故所求线段的中点坐标为. 12分 解法二、过点且斜率为的直线的方程为, 8分 因为在椭圆内,所以直线与椭圆有两个交点,‎ 设两交点的坐标分别为,中点M的坐标为 则有ks5u 9分 由(1)-(2)得,‎ 即 得,又, 11分 所以 故所求线段的中点坐标为. 12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)∵,∴,‎ y A O B x C ‎∴过点M 的切线的斜率为, 2分 所以过点M的切线方程为,即; ‎ 当时,切线的方程为……………………………4分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,切线的方程为:,‎ 令,得.故切线与线段AB交点为F,…………5分 令,得.故切线与线段BC交点为G……………………6分 地块OABC在切线右上部分的区域为一三角形,设其面积为,‎ ‎∴, 8分 ‎ 10分 ‎∵‎ ‎∴当时为单调递增函数;当时为单调递减函数,‎ ‎∴当时,的最大值为. 11分 ‎∴当点M到边OA距离为m时,‎ 地块OABC在直路不含游泳池那侧的面积取到最大,最大值为m2. 12分 ‎22.(本小题满分14分)‎ 解:(Ⅰ)函数的图象过定点(1,0),……………………………………1分 把点(1,0)代入得,‎ 所以,…………………………………………………………………………………2分 ‎(Ⅱ)恒成立,‎ 即恒成立,得,因为,‎ 所以, 3分 令, 4分 当时,,所以在为减函数; 5分 当时,,所以在为增函数; 6分 的最小值为,故 ; 7分 ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)知,,所以 所以 又,由得,,. 9分 ‎(1)当时,得,,在(0,2)为增函数,无极值点; 10分 ‎(2)当且时,得且,根据的变化情况检验,可知有2个极值点; 12分 ‎(3)当或时,得或时,根据的变化情况检验,可知有1个极值点; 13分 综上,当时,函数在(0,2)无极值点;当或时,有1个极值点;当且时,有2个极值点. 14分 ‎ ‎
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