北师大-八年级（下）-数学期中

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第 1页（共 36页） 八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：（共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．（3 分）（2015 春•通州区校级期中）多边形的每一个外角都等于 72°，则其边数为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（3 分）（2015 春•通州区校级期中）点 P（﹣1，5）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A．（1，﹣5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，5） D．（5，1） 3．（3 分）（2013 春•白云区期末）平行四边形的一边长为 6cm，周长为 28cm，则这条边的 邻边长是（ ） A．22cmB．16cmC．11cm D．8cm 4．（3 分）（2015 春•通州区校级期中）对角线互相平分的四边形一定是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 5．（3 分）（2014•株洲）已知反比例函数 y= 的图象经过点（2，3），那么下列四个点中， 也在这个函数图象上的是（ ） A．（﹣6，1） B．（1，6） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2） 6．（3 分）（2015 春•通州区校级期中）正比例函数 y=6x 的图象与反比例函数 y= 的图象的 交点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第一、三象限 7．（3 分）（2009 秋•澄海区期末）一次函数 y=（m+1）x+5 中，y 的值随 x 的增大而减小， 则 m 的取值范围是（ ） A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m＞0D．m＜0 8．（3 分）（2004•哈尔滨）直线 y=x﹣1 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，点 C 在坐标轴上， 若△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 最多有（ ） A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个 二、填空题（每题 3 分，共 24 分） 9．（3 分）（2015•郴州）函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 ． 10．（3 分）（2007 秋•高淳县期末）若菱形的两条对角线的长是 6cm 和 8cm，那么这个菱形 的周长是 cm． 第 2页（共 36页） 11．（3 分）（2015 春•通州区校级期中）当 b＜0 时，函数 y=﹣x+b 的图象不经过第 象限． 12．（3 分）（2015 春•通州区校级期中）矩形的对角线相交成的角中，有一个角是 60°，这 个角所对的边长为 20cm，则其对角线长为 cm，矩形的面积为 cm2． 13．（3 分）（2014•新疆）若点 A（1，y1）和点 B（2，y2）在反比例函数 y= 图象上，则 y1 与 y2 的大小关系是：y1 y2（填“＞”、“＜”或“=”）． 14．（3 分）（2014•广安）直线 y=3x+2 沿 y 轴向下平移 5 个单位，则平移后直线与 y 轴的交 点坐标为 ． 15．（3 分）（2015 春•通州区校级期中）一次函数的图象如图所示，当 x＞0 时，y ． 16．（3 分）（2001•海南）如图，在边长为 6 的菱形 ABCD 中，∠DAB=60°，E 为 AB 的中 点，F 是 AC 上的一动点，则 EF+BF 的最小值为 ． 三、解答题（17-22 题每题 5 分，23，24 题每题 7 分，25 题 8 分） 17．（5 分）（2015 春•通州区校级期中）已知：如图，▱ ABCD 中，DE⊥AC 于 E，BF⊥AC 于 F．求证：DE=BF． 18．（5 分）（2015 春•通州区校级期中）在平面直角坐标系中，点 A，B 分别在 x 轴，y 轴 上，且线段 OA=6，OB=3， （1）请你画出过 A、B 两点的一次函数图象并求出表达式． （2）然后根据图象解答下列问题： ①求方程 y=0 的解； 第 3页（共 36页） ②求不等式 y＞0 的解． 19．（5 分）（2009 秋•洛江区期末）如图所示，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，CE∥DB，交 AD 的延长线于点 E，试说明 AC=CE． 20．（5 分）（2012•聊城）如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0），与 y 轴交于点 B（0，﹣ 2）． （1）求直线 AB 的解析式； （2）若直线 AB 上的点 C 在第一象限，且 S△BOC=2，求点 C 的坐标． 21．（5 分）（2012 春•江夏区期末）如图，P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，PE⊥DC， PF⊥BC，E、F 分别为垂足，若 CF=3，CE=4，求 AP 的长． 第 4页（共 36页） 22．（5 分）（2015 春•通州区校级期中）如图，已知直线 y= x 与双曲线 y= （k＞0）交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 4． （1）求 k 的值； （2）若双曲线 y= （k＞0）上一点 C 的纵坐标为 8，求△AOC 的面积； （3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y= （k＞0）于 P，Q 两点（P 点在第一象限），若 由点 A，B，P，Q 为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P 的坐标． 23．（7 分）（2014 春•阳新县期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，∠BAD 的平分线与 BC 边相交于点 E，∠ABC 的平分线与 AD 边相交于点 F． 请证明四边形 ABEF 是菱形． 24．（7 分）（2015 春•通州区校级期中）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P 是 x 轴上一动点，在直线 y=x 上是否存在点 Q，使以 A、B、P、Q 为顶点的四边形为平行 四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的 P、Q 的坐标；若不存在， 请说明理由． 25．（8 分）（2005•中山）如图，设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，以正方形 ABCD 的 对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF，再以第二个正方形的对角线 AE 为边作第三个正方 形 AEGH，如此下去…． （1）记正方形 ABCD 的边长为 a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为 a2，a3，a4，…， an，求出 a2，a3，a4 的值． （2）根据以上规律写出第 n 个正方形的边长 an 的表达式． 第 5页（共 36页） 第 6页（共 36页） 2014-2015 学年北京市通州四中八年级（下）期中数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．（3 分）（2015 春•通州区校级期中）多边形的每一个外角都等于 72°，则其边数为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 考点： 多边形内角与 外角． 菁优网版 权所有 分析： 用多边形的外 角和 360°除以 72°即可． 解答： 解：边数 n=360°÷72°=5． 故选：C． 点评： 本题考查了多 边形的外角和 等于 360°，解决 本题的关键是 熟记多边形的 外角和． 2．（3 分）（2015 春•通州区校级期中）点 P（﹣1，5）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A．（1，﹣5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，5） D．（5，1） 考点： 关于 x 轴、y 轴 对称的点的坐 标． 菁优网版 权所有 分析： 根据关于 x 轴对 称点的坐标特 点：横坐标不 变，纵坐标互为 相反数可得答 案． 解答： 解：点 P（﹣1， 5）关于 x 轴对 称的点的坐标 是（﹣1，﹣5）， 故选：B． 点评： 此题主要考查 了关于 x 轴对称 点的坐标特点， 第 7页（共 36页） 关键是掌握点 的坐标变化特 点． 3．（3 分）（2013 春•白云区期末）平行四边形的一边长为 6cm，周长为 28cm，则这条边的 邻边长是（ ） A．22cmB．16cmC．11cm D．8cm 考点： 平行四边形的 性质． 菁优网版 权所有 专题： 数形结合． 分析： 根据平行四边 形的对边相等， 得平行四边形 的一组邻边的 和等于周长的 一半，即 28÷2=14，已知 一边长可求另 一边长． 解答： 解：∵平行四边 形周长为 28， ∴一边长与另 一边长和为 14， ∴另一边长=14 ﹣6=8cm． 故选：D． 点评： 本题考查了平 行四边形的性 质，属于基础 题，其中运用了 平行四边形的 对边相等的性 质． 4．（3 分）（2015 春•通州区校级期中）对角线互相平分的四边形一定是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 考点： 平行四边形的 判定． 菁优网版 权所有 分析： 根据平行四边 形的判定可得 对角线互相平 分的四边形一 定是平行四边 形． 第 8页（共 36页） 解答： 解：对角线互相 平分的四边形 一定是平行四 边形， 故选：A． 点评： 此题主要考查 了平行四边形 的判定，关键是 掌握平行四边 形的判定定理． 5．（3 分）（2014•株洲）已知反比例函数 y= 的图象经过点（2，3），那么下列四个点中， 也在这个函数图象上的是（ ） A．（﹣6，1） B．（1，6） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2） 考点： 反比例函数图 象上点的坐标 特征． 菁优网版 权所有 分析： 先根据点（2， 3），在反比例函 数 y= 的图象 上求出 k 的值， 再根据 k=xy 的 特点对各选项 进行逐一判断． 解答： 解：∵反比例函 数 y= 的图象 经过点（2，3）， ∴k=2×3=6， A、∵（﹣6）×1= ﹣6≠6，∴此点 不在反比例函 数图象上； B、∵1×6=6，∴ 此点在反比例 函数图象上； C、∵2×（﹣3） =﹣6≠6，∴此点 不在反比例函 数图象上； D、∵3×（﹣2） =﹣6≠6，∴此点 第 9页（共 36页） 不在反比例函 数图象上． 故选：B． 点评： 本题考查的是 反比例函数图 象上点的坐标 特点，熟知反比 例函数中 k=xy 的特点是解答 此题的关键． 6．（3 分）（2015 春•通州区校级期中）正比例函数 y=6x 的图象与反比例函数 y= 的图象的 交点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第一、三象限 考点： 反比例函数与 一次函数的交 点问题． 菁优网版 权所有 分析： 根据两函数解 析式可知两函 数的图象在第 一、三象限，故 可知其交点也 在第一、三象 限． 解答： 解：∵正比例函 数 y=6x 的图象 过一、三象限， 反比例函数 y= 的图象在第 一、三象限， ∴两函数图象 的交点在一、三 象限， 故选 D． 点评： 本题主要考查 函数图象，掌握 正比例函数和 反比例函数当 比例系数大于 0 时图象过第一、 三象限，小于 0 时过第二、四象 第 10页（共 36页） 限是解题的关 键． 7．（3 分）（2009 秋•澄海区期末）一次函数 y=（m+1）x+5 中，y 的值随 x 的增大而减小， 则 m 的取值范围是（ ） A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m＞0D．m＜0 考点： 一次函数图象 与系数的关系．菁 优网版权 所有 专题： 计算题． 分析： y 的值随 x 的增 大而减小，则 m+1＜0，从而 求解． 解答： 解：∵y=（m+1） x+5，y 的值随 x 的增大而减小， ∴m+1＜0， ∴m＜﹣1． 故选 A． 点评： 根据一次函数 的增减性，来确 定自变量系数 的取值范围． 一次函数 y=kx+b， 当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增 大； 当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减 小． 8．（3 分）（2004•哈尔滨）直线 y=x﹣1 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，点 C 在坐标轴上， 若△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 最多有（ ） A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个 考点： 一次函数综合 题． 菁优网版 权所有 专题： 综合题；压轴 题． 分析： 确定 A、B 两点 的位置，分别以 AB 为腰、底讨 论 C 点位置． 第 11页（共 36页） 解答： 解：直线 y=x﹣1 与 y 轴的交点为 A（0，﹣1），直 线 y=x﹣1 与 x 轴的交点为 B （1，0）． ①以 AB 为底， C 在原点； ②以 AB 为腰， 且 A 为顶点，C 点有 3 种可能位 置； ③以 AB 为腰， 且 B 为顶点，C 点有 3 种可能位 置． 所以满足条件 的点 C 最多有 7 个． 故选 D． 点评： 本题考查了一 次函数的综合 应用，对于底和 腰不等的等腰 三角形，若条件 中没有明确哪 边是底哪边是 腰时，应在符合 三角形三边关 系的前提下分 类讨论． 二、填空题（每题 3 分，共 24 分） 第 12页（共 36页） 9．（3 分）（2015•郴州）函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 x≠2 ． 考点： 函数自变量的 取值范围；分式 有意义的条件．菁 优网版权 所有 专题： 计算题． 分析： 求函数自变量 的取值范围，就 是求函数解析 式有意义的条 件，分式有意义 的条件是：分母 不为 0． 解答： 解：要使分式有 意义，即：x﹣ 2≠0， 解得：x≠2． 故答案为：x≠2． 点评： 本题主要考查 函数自变量的 取值范围，考查 的知识点为：分 式有意义，分母 不为 0． 10．（3 分）（2007 秋•高淳县期末）若菱形的两条对角线的长是 6cm 和 8cm，那么这个菱形 的周长是 20 cm． 考点： 菱形的性质；勾 股定理． 菁优网版 权所有 分析： 根据菱形的对 角线互相垂直 平分求出 OA、 OB 的长，再利 用勾股定理列 式求出边长 AB，然后根据 菱形的周长公 式列式进行计 算即可得解． 解答： 解：如图，∵菱 形的两条对角 第 13页（共 36页） 线的长是 6cm 和 8cm， ∴OA= ×8=4c m， OB= ×6=3cm， 又∵菱形的对 角线 AC⊥BD， ∴AB= = =5cm， ∴这个菱形的 周长 =5×4=20cm． 故答案为：20． 点评： 本题考查了菱 形的性质，勾股 定理的应用，主 要利用了菱形 的对角线互相 垂直平分的性 质． 11．（3 分）（2015 春•通州区校级期中）当 b＜0 时，函数 y=﹣x+b 的图象不经过第 一 象 限． 考点： 一次函数图象 与系数的关系．菁 优网版权 所有 分析： 根据比例系数 得到相应的象 限，进而根据常 数得到另一象 限，判断即可． 解答： 解：∵k=﹣1＜ 0， ∴一次函数经 第 14页（共 36页） 过二四象限； ∵b＜0， ∴一次函数又 经过第三象限， ∴一次函数 y= ﹣x+b 的图象不 经过第一象限． 故答案为：一． 点评： 本题考查了一 次函数的图象 与系数的关系， 用到的知识点 为：k＜0，函数 图象经过二四 象限，b＞0，函 数图象经过第 一象限． 12．（3 分）（2015 春•通州区校级期中）矩形的对角线相交成的角中，有一个角是 60°，这 个角所对的边长为 20cm，则其对角线长为 40 cm，矩形的面积为 400 cm2． 考点： 矩形的性质． 菁优网版 权所有 专题： 计算题． 分析： 本题首先求证 由两条对角线 的所夹锐角为 60°的角的为等 边三角形，易求 出短边边长． 解答： 解：∵已知矩形 的两条对角线 所夹锐角为 60°，矩形的对 边平行且相等． ∴根据矩形的 性质可求得由 两条对角线所 夹锐角为 60°的 三角形为等边 三角形． 又∵这个角所 对的边长为 20cm，所以矩形 短边的边长为 第 15页（共 36页） 20cm． ∴对角线长 40cm． 根据勾股定理 可得长边的长 为 20 cm． ∴矩形的面积 为 20 ×20=400 cm2． 故答案为 400 ． 点评： 本题考查的是 矩形的性质（对 角线相等），先 求出短边边长 后根据勾股定 理可求出长边 边长，最后可求 出矩形的面积． 13．（3 分）（2014•新疆）若点 A（1，y1）和点 B（2，y2）在反比例函数 y= 图象上，则 y1 与 y2 的大小关系是：y1 ＞ y2（填“＞”、“＜”或“=”）． 考点： 反比例函数图 象上点的坐标 特征． 菁优网版 权所有 分析： 直接把点 A（1， y1）和点 B（2， y2）代入反比例 函数 y= ，求出 点 y1，y2 的值， 再比较出其大 小即可． 解答： 解：∵点 A（1， y1）和点 B（2， y2）在反比例函 数 y= 的图象 上， ∴y1= =1， 第 16页（共 36页） y2= ， ∵1＞ ， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 点评： 本题考查的是 反比例函数图 象上点的坐标 特点，熟知反比 例函数图象上 各点的坐标一 定适合此函数 的解析式是解 答此题的关键． 14．（3 分）（2014•广安）直线 y=3x+2 沿 y 轴向下平移 5 个单位，则平移后直线与 y 轴的交 点坐标为 （0，﹣3） ． 考点： 一次函数图象 与几何变换． 菁优网版 权所有 分析： 先由直线直线 y=3x+2 沿 y 轴 向下平移 5 个单 位可得 y=3x﹣ 3，再根据一次 函数 y=kx+b 与 y 轴交点为（0， b）可得答案． 解答： 解：直线直线 y=3x+2 沿 y 轴 向下平移 5 个单 位可得 y=3x+2 ﹣5， 即 y=3x﹣3， 则平移后直线 与 y 轴的交点坐 标为：（0，﹣3）． 故答案为：（0， ﹣3）． 点评： 此题主要考查 了一次函数图 象的几何变换， 关键是掌握直 第 17页（共 36页） 线 y=kx+b 沿 y 轴平移后，函数 解析式的 k 值不 变，b 值上移加、 下移减． 15．（3 分）（2015 春•通州区校级期中）一次函数的图象如图所示，当 x＞0 时，y ＞﹣ 2 ． 考点： 一次函数与一 元一次不等式．菁 优网版权 所有 专题： 数形结合． 分析： 观察函数图象 得到 x＞0 时对 应的函数值的 范围即可． 解答： 解：当 x＞0 时， y＞﹣2． 故答案为＞﹣ 2． 点评： 本题考查了一 次函数与一元 一次不等式：用 画函数图象的 方法解不等式 kx+b＞0（或＜ 0）对应一次函 数 y=kx+b，它 与 x 轴交点为 （﹣ ，0）．当 k＞0 时，不等式 kx+b＞0 的解 为：x＞﹣ ，不 等式kx+b＜0的 第 18页（共 36页） 解为：x＜﹣ ． 16．（3 分）（2001•海南）如图，在边长为 6 的菱形 ABCD 中，∠DAB=60°，E 为 AB 的中 点，F 是 AC 上的一动点，则 EF+BF 的最小值为 3 ． 考点： 轴对称-最短路 线问题；菱形的 性质；特殊角的 三角函数值． 菁优网版 权所有 专题： 压轴题；动点 型． 分析： 根据菱形的对 角线互相垂直 平分，点 B 关于 AC 的对称点是 点 D，连接 ED， EF+BF 最小值 =ED，然后解直 角三角形即可 求解． 解答： 解：∵在菱形 ABCD 中，AC 与 BD 互相垂直 平分， ∴点 B、D 关于 AC 对称， 连接 ED，则 ED 就是所求的 EF+BF 的最小 值的线段， ∵E 为 AB 的中 点， ∠DAB=60°， ∴DE⊥AB， ∴ED= = =3 第 19页（共 36页） ， ∴EF+BF 的最 小值为 3 ． 故答案为： 3 ． 点评： 本题主要考查 了三角形中位 线定理和解直 角三角形，关键 是判断出当F是 AC 的中点时， EF+BF 最小． 三、解答题（17-22 题每题 5 分，23，24 题每题 7 分，25 题 8 分） 17．（5 分）（2015 春•通州区校级期中）已知：如图，▱ ABCD 中，DE⊥AC 于 E，BF⊥AC 于 F．求证：DE=BF． 考点： 平行四边形的 性质；全等三角 形的判定与性 质． 菁优网版 权所有 专题： 证明题． 分析： 利用平行四边 形的性质得出 AD=BC， ∠DAE=∠BCA ，进而利用全等 三角形的判定 得出即可． 解答： 证明：∵四边形 ABCD 是平行 四边形， ∴AD=BC， ∠DAE=∠BCF ， ∵DE⊥AC， 第 20页（共 36页） BF⊥AC ∴∠DEA=∠B FC 在△ADE 和 △CBF 中， ， ∴△ADE≌△C BF（AAS）， ∴DE=BF． 点评： 此题主要考查 了平行四边形 的性质以及全 等三角形的判 定与性质，得出 △ADE≌△CB F 是解题关键． 18．（5 分）（2015 春•通州区校级期中）在平面直角坐标系中，点 A，B 分别在 x 轴，y 轴 上，且线段 OA=6，OB=3， （1）请你画出过 A、B 两点的一次函数图象并求出表达式． （2）然后根据图象解答下列问题： ①求方程 y=0 的解； ②求不等式 y＞0 的解． 考点： 一次函数的图 象；待定系数法 求一次函数解 析式；一次函数 与一元一次方 程；一次函数与 一元一次不等 式． 菁优网版 权所有 第 21页（共 36页） 分析： （1）根据描点 法，可得函数图 象； （2）根据函数 与方程的关系： 图象与 x 轴交点 的横坐标即为 方程的解； （3）根据函数 与不等式的关 系：x 轴上方的 部分是不等式 的解集，可得答 案． 解答： 解：（1）如图： ； （2）①由图象 与 x 轴交点的横 坐标为 6，得方 程 y=0 的解是 x=6； ②由图象位于 x 轴上方的部 分，得不等式 y ＞0 的解是 x＜ 6． 点评： 本题考查了一 次函数图象，利 用了函数与方 程的关系，函数 与不等式的关 系． 19．（5 分）（2009 秋•洛江区期末）如图所示，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，CE∥DB，交 AD 的延长线于点 E，试说明 AC=CE． 第 22页（共 36页） 考点： 矩形的性质；平 行四边形的判 定与性质． 菁优网版 权所有 专题： 证明题． 分析： 由矩形的性质， 可得 AC=BD， 欲求 AC=CE， 证 BD=CE 即 可．可通过证四 边形 BDEC 是 平行四边形，从 而得出 BD=CE 的结论． 解答： 解：在矩形 ABCD 中， AC=BD，（2 分） AD∥BC，（4 分） 又∵CE∥DB， ∴四边形 BDEC 是平行四边 形．（6 分） ∴BD=EC．（8 分） ∴AC=CE．（10 分） 点评： 此题主要考查 了矩形的性质 及平行四边形 的判定和性质． 20．（5 分）（2012•聊城）如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0），与 y 轴交于点 B（0，﹣ 2）． （1）求直线 AB 的解析式； （2）若直线 AB 上的点 C 在第一象限，且 S△BOC=2，求点 C 的坐标． 第 23页（共 36页） 考点： 待定系数法求 一次函数解析 式． 菁优网版 权所有 专题： 计算题． 分析： （1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，将点 A （1，0）、点 B （0，﹣2）分别 代入解析式即 可组成方程组， 从而得到 AB 的 解析式； （2）设点 C 的 坐标为（x，y）， 根据三角形面 积公式以及 S△BOC=2 求出 C 的横坐标，再代 入直线即可求 出 y 的值，从而 得到其坐标． 解答： 解：（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b（k≠0）， ∵直线 AB 过点 A（1，0）、点 B （0，﹣2）， ∴ ， 解得 ， ∴直线 AB 的解 析式为 y=2x﹣ 2． 第 24页（共 36页） （2）设点 C 的 坐标为（x，y）， ∵S△BOC=2， ∴ •2•x=2， 解得 x=2， ∴y=2×2﹣2=2， ∴点 C 的坐标 是（2，2）． 点评： 本题考查了待 定系数法求函 数解析式，解答 此题不仅要熟 悉函数图象上 点的坐标特征， 还要熟悉三角 形的面积公式． 21．（5 分）（2012 春•江夏区期末）如图，P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，PE⊥DC， PF⊥BC，E、F 分别为垂足，若 CF=3，CE=4，求 AP 的长． 考点： 正方形的性质； 全等三角形的 判定与性质；勾 股定理． 菁优网版 权所有 专题： 计算题． 分析： 要求 AP 的长， 根据已知条件 不能直接求出， 结合已知 CF=3，CE=4 发 现可以求出 EF 的长，也就是求 出了 CP 的长． 当连接 CP 时， 可以证明 第 25页（共 36页） △APD≌△CP D，然后根据全 等三角形的性 质可以得到 AP=CP，这样就 求出了 AP 的 长； 解答： 解：连接 PC ∵四边形 ABCD 是正方 形， ∴AD=DC， ∠ADP=∠CDP ， ∵PD=PD， ∴△APD≌△C PD，（4 分） ∴AP=CP，（5 分） ∵四边形 ABCD 是正方 形， ∴∠DCB=90°， ∵PE⊥DC， PF⊥BC， ∴四边形 PFCE 是矩形，（8 分） ∴PC=EF，（9 分） ∵∠DCB=90°， ∴在 Rt△CEF 中， EF2=CE2+CF2= 42+32=25， ∴EF=5，（11分） ∴AP=CP=EF= 5．（12 分） 第 26页（共 36页） 点评： 解答本题要充 分利用正方形 的特殊性质，利 用它们得到全 等三角形，然后 根据全等三角 形的性质把 AP 和 CP 联系起 来． 22．（5 分）（2015 春•通州区校级期中）如图，已知直线 y= x 与双曲线 y= （k＞0）交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 4． （1）求 k 的值； （2）若双曲线 y= （k＞0）上一点 C 的纵坐标为 8，求△AOC 的面积； （3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y= （k＞0）于 P，Q 两点（P 点在第一象限），若 由点 A，B，P，Q 为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P 的坐标． 考点： 反比例函数与 一次函数的交 点问题． 菁优网版 权所有 专题： 计算题． 分析： （1）先利用直 线 y= x 的解析 第 27页（共 36页） 式确定 A（4， 2），然后根据反 比例函数图象 上点的坐标特 征易得 k=8； （2）由反比例 函数解析式为 y= 可得到 C （1，8），作 AD⊥x 轴于 D， CE⊥x 轴于 E， 如图 1，由于 S△AOC+S△AOD= S△COD+S 梯形 ADOC，而根据反 比例函数比例 系数 k 的几何意 义得到 S△AOD=S△COD， 于是 S△AOC=S 梯 形 ADOC，然后根 据梯形的面积 公式计算； （3）如图 2，先 利用反比例函 数与正比例函 数的性质得到 OA=OB， OP=OQ，则可判 断四边形 AQBP 为平行四边形， 所以 S△APO= S 平行四边形 AQBP=6， 作 AM⊥x 轴于 M，PN⊥x 轴于 N，如图 1，与 （2）一样可得 S△AOC=S 梯形 AMNP，设 P（t， ）（t＞0），分 类讨论：当 t＞4 第 28页（共 36页） 时，根据梯形面 积得到 • （ +2）•（t﹣4） =6；当 t＜4 时， 根据梯形面积 得到 • （ +2）•（4﹣t） =6，然后分别解 方程求出满足 条件的 t 的值， 从而得到P 点坐 标． 解答： 解：（1）当 x=4 时，y= x=2， 则 A（4，2）， 把 A（4，2）代 入 y= 得 k=4×8； （2）反比例函 数解析式为 y= ， 当 y=8 时， =1， 解得 x=1，则 C （1，8）， 作 AD⊥x 轴于 D，CE⊥x 轴于 E，如图 1， ∵S△AOC+S△AO D=S△COD+S 梯形 ADOC， 而 S△AOD=S△COD， ∴S△AOC=S 梯形 ADOC= ×（2+8） ×（4﹣1）=15； 第 29页（共 36页） （3）如图 2，∵ 直线 PQ 和直线 AB 过原点， ∴点 A 与点 B， 点P与点Q 都关 于原点中心对 称， ∴OA=OB， OP=OQ， ∴四边形 AQBP 为平行四边形， ∴S△APO= S 平行 四边形 AQBP= ×24=6， 作 AM⊥x 轴于 M，PN⊥x 轴于 N，如图 1， 与（2）一样可 得 S△AOC=S 梯形 AMNP， 设 P（t， ）（t ＞0）， 当 t＞4 时， • （ +2）•（t﹣4） =6， 整理得 t2﹣6t﹣ 16=0，解得 t=8， t=﹣2（舍去）， 此时P 点坐标为 （8，1）， 当 t＜4 时， • （ +2）•（4﹣t） =6， 整理得 t2+6t﹣ 16=0，解得 t= ﹣8（舍去）， t=2，此时 P 点 第 30页（共 36页） 坐标为（2，4）， 综上所述，P 点 坐标为（2，4） 或（8，1）． 点评： 本题考查了反 比例函数与一 次函数的交点 问题：求反比例 函数与一次函 数的交点坐标， 把两个函数关 系式联立成方 程组求解，若方 程组有解则两 者有交点，方程 组无解，则两者 无交点．也考查 了平行四边形 的判定与性质． 23．（7 分）（2014 春•阳新县期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，∠BAD 的平分线与 BC 边相交于点 E，∠ABC 的平分线与 AD 边相交于点 F． 请证明四边形 ABEF 是菱形． 第 31页（共 36页） 考点： 菱形的判定；平 行线的性质；平 行四边形的性 质． 菁优网版 权所有 专题： 证明题． 分析： 根据平行四边 形性质和角平 分线性质求出 AF=AB， BE=AB，推出 AF=BE， AF∥BE，得出 平行四边形 ABEF，求出 ∠AOB=90°，根 据菱形的判定 求出即可． 解答： 证明：∵四边形 ABCD 是平行 四边形， ∴AD∥BC， ∴∠4=∠5， ∵∠ABC 的平 分线 BF， ∴∠3=∠4， ∴∠3=∠5， ∴AF=AB， ∵AD∥BC， ∴∠1=∠AEB， ∵∠BAC 的平 分线 AE， ∴∠1=∠2， ∴∠2=∠AEB， ∴BE=AB， ∴AF=BE， 第 32页（共 36页） ∵AF∥BE， ∴四边形 ABEF 是平行四边形， ∵AF=AB， ∴平行四边形 ABEF 是菱形． 点评： 本题考查了平 行四边形的性 质和判定，平行 线性质，菱形的 判定的应用，关 键是求出 AF=BE 和 ∠AOB=90°，主 要考查学生的 推理能力． 24．（7 分）（2015 春•通州区校级期中）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P 是 x 轴上一动点，在直线 y=x 上是否存在点 Q，使以 A、B、P、Q 为顶点的四边形为平行 四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的 P、Q 的坐标；若不存在， 请说明理由． 考点： 一次函数综合 题． 菁优网版 权所有 分析： 设 P（x，0），Q （a，a），再分 AB 是平形四边 形的边与对角 戏两种情况进 行讨论即可． 解答： 解：如 1，∵P 是 x 轴上一动 点，点 Q 在直线 y=x 上， ∴设 P（x，0）， Q（a，a）， 当 AB 是平形四 第 33页（共 36页） 边形的边时， ∵AB=3﹣1=2， ∴PQ=AB=2， ∴a=±2， ∴P1（﹣2，0）， Q1（﹣2，﹣2） 或 P2（2，0）， Q2（2，2）； 如图 2，当 AB 是平形四边形 的对角线时， BQ=AP 是 a2+ （a﹣3） 2=x2+12，即 2a2 ﹣6a=x2﹣8①； PB=AQ 是 a2+ （a﹣1） 2=32+x2，即 2a2 ﹣2a=x2﹣9②． ①﹣②得 a=4， 把 a=4 代入① 得，17=1+x2， 解得 x=±4， ∴P3（﹣4，0）， Q3（4，4）或 P4（4，0），Q4 （4，4）（舍去）． 第 34页（共 36页） 点评： 本题考查了一 次函数的性质， 与四边形结合， 使得题目难度 较大，数形结合 与分类讨论思 想的应用，使得 题目妙趣横生． 25．（8 分）（2005•中山）如图，设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，以正方形 ABCD 的 对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF，再以第二个正方形的对角线 AE 为边作第三个正方 形 AEGH，如此下去…． （1）记正方形 ABCD 的边长为 a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为 a2，a3，a4，…， an，求出 a2，a3，a4 的值． （2）根据以上规律写出第 n 个正方形的边长 an 的表达式． 考点： 勾股定理． 菁优网版 权所有 专题： 规律型． 分析： （1）求 a2 的长 即 AC 的长，根 据直角△ABC 中 AB2+BC2=AC2 可以计算，同理 计算 a3、a4． （2）由（1）知， a2= a1， a3= a2…， an= an﹣1 可以 第 35页（共 36页） 找出第 n 个正方 形边长的表达 式． 解答： 解：（1）a2=AC， 且在直角 △ABC 中， AB2+BC2=AC2 ， ∴a2= a1= ， 同理 a3= a2= a1=2 ， a4= a3= a1=2 ； （2）由（1）结 论可知： a2= a1= ， a3= a2= a1=2 ， a4= a3= a1=2 ； … 故找到规律 an= a1 = ． 点评： 本题考查了勾 股定理在直角 三角形中的运 用，考查了学生 找规律的能力， 第 36页（共 36页） 本题中找到 an 的规律是解题 的关键．