【数学】2020届一轮复习人教B版（文）第四章第7讲正弦定理与余弦定理作业

【数学】2020届一轮复习人教B版（文）第四章第7讲正弦定理与余弦定理作业

‎1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝(　　)‎ A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析：选C．易知cos A＝＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝，故选C．‎ ‎2．(2019·宝鸡质量检测(一))在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin(A＋B)＝，a＝3，c＝4，则sin A＝(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选B．因为＝，即＝，又sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝，所以sin A＝，故选B．　‎ ‎3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 解析：选B．依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B·cos C＋cos Bsin C＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，解得sin A＝1，所以A＝，故选B．‎ ‎4．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎ 解析：选C.因为S△ABC＝absin C，所以＝absin C．由余弦定理a2＋b2－c2＝2ab cos C，得2abcos C＝2absin C，即cos C＝sin C，所以在△ABC中，C＝.故选C.‎ ‎5．(2019·合肥质量检测(一))已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为(　　)‎ A．4π B．8π C．9π D．36π 解析：选C．c＝bcos A＋acos B＝2，由cos C＝得sin C＝，再由正弦定理可得2R＝＝6，R＝3，所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π，故选C．‎ ‎6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.‎ 解析：由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3.由余弦定理cos C＝，得－＝，解得c＝4.‎ 答案：4‎ ‎7．(2019·贵阳检测)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°，a＝2b，则tan A＝________．‎ 解析：c2＝a2＋b2－2abcos C＝4b2＋b2－2×2b×b×＝7b2，所以c＝b，cos A＝＝＝，所以sin A＝＝＝，所以tan A＝＝.‎ 答案： ‎8．(2019·广西三市第一次联考)设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2sin C＝4sin A，(ca＋cb)(sin A－sin B)＝sin C(2－c2)，则△ABC的面积为________．‎ 解析：由a2sin C＝4sin A得ac＝4，由(ca＋cb)(sin A－sin B)＝sin C(2－c2)得(a＋b)(a－b)＝2－c2，即a2＋c2－b2＝2，所以cos B＝，则sin B＝，所以S△ABC＝acsin B＝.‎ 答案： ‎9．(2019·兰州模拟)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＋bcos A＝0.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若a＝2，b＝2，求△ABC的面积S.‎ 解：(1)因为asin B＋bcos A＝0，‎ 所以sin Asin B＋sin Bcos A＝0，‎ 即sin B(sin A＋cos A)＝0，‎ 由于B为三角形的内角，‎ 所以sin A＋cos A＝0，‎ 所以sin＝0，而A为三角形的内角，‎ 所以A＝.‎ ‎(2)在△ABC中，a2＝c2＋b2－2cbcos A，‎ 即20＝c2＋4－4c，解得c＝－4(舍去)或c＝2，‎ 所以S＝bcsin A＝×2×2×＝2.‎ ‎10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知2acos2＋2ccos2＝b.‎ ‎(1)求证：2(a＋c)＝3b；‎ ‎(2)若cos B＝，S＝，求b.‎ 解：(1)证明：由已知得，a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝b.‎ 在△ABC中，过B作BD⊥AC，垂足为D，则 acos C＋ccos A＝b.‎ 所以a＋c＝b，即2(a＋c)＝3b.‎ ‎(2)因为cos B＝，所以sin B＝.‎ 因为S＝acsin B＝ac＝，所以ac＝8.‎ 又b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，‎ ‎2(a＋c)＝3b，‎ 所以b2＝－16×.‎ 所以b＝4.‎ ‎1．(2019·广东五校协作体模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝2，且C＝，则△ABC的面积为(　　)‎ A．＋1 B．－1‎ C．4 D．2‎ 解析：选A．法一：由余弦定理可得(2)2＝22＋a2－2×2×a×cos，即a2－2a－4＝0，解得a＝＋或a＝－(舍去)，△ABC的面积S＝absin C＝×2×(＋)sin＝×2××(＋)＝＋1，选A．‎ 法二：由正弦定理＝，得sin B＝＝，又c>b，且B∈(0，π)，所以B＝，所以A＝，所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×2sin＝×2×2×＝＋1，选A．‎ ‎2．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高为(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选B．在△ABC中，由余弦定理可得，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B，因为AC＝，BC＝2，B＝60°，所以7＝AB2＋4－4×AB×，所以AB2－2AB－3＝0，所以AB＝3，作AD⊥BC，垂足为D，则在Rt△ADB中，AD＝AB×sin 60°＝，即BC边上的高为.‎ ‎3．(2019·宝鸡质量检测(一))如图，在Rt△ABC中，两条直角边分别为AB，BC，且AB＝2，BC＝2，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.若PB＝1，则PA＝________．‎ 解析：依题意，在Rt△ABC中，AC＝＝4，sin∠ACB＝＝，所以∠ACB＝60°.在Rt△PBC中，PC＝＝，sin∠PCB＝＝，∠PCB＝30°，因此∠ACP＝∠ACB－∠PCB＝30°.在△ACP中，AP＝＝.‎ 答案： ‎4．(2019·洛阳第一次统考)在△ABC中，B＝30°，AC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则BC＝________．‎ 解析：依题意得S△ACD＝CD·AC·sin∠ACD＝2·sin∠ACD＝4，sin∠ACD＝.又∠ACD是锐角，因此cos∠ACD＝＝.在△ACD中，AD＝＝4，＝，sin A＝＝.在△ABC中，＝，BC＝＝4.‎ 答案：4‎ ‎5．(2017·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.‎ ‎(1)求c；‎ ‎(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．‎ 解：(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.‎ 在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，‎ 即c2＋2c－24＝0.‎ 解得c＝－6(舍去)，c＝4.‎ ‎(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.‎ 故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1.‎ 又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，所以△ABD的面积为.‎ ‎6．(2017·高考天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin A＝4bsin B，ac＝(a2－b2－c2)．‎ ‎(1)求cos A的值；‎ ‎(2)求sin(2B－A)的值．‎ 解：(1)由asin A＝4bsin B，及＝，得a＝2b.‎ 由ac＝(a2－b2－c2)，及余弦定理，得cos A＝＝＝－.‎ ‎(2)由(1)，可得sin A＝，代入asin A＝4bsin B，‎ 得sin B＝＝.‎ 由(1)知，A为钝角，所以cos B＝＝.‎ 于是sin 2B＝2sin Bcos B＝，cos 2B＝1－2sin2B＝，‎ 故sin(2B－A)＝sin 2Bcos A－cos 2Bsin A＝×－×＝－.‎