【数学】2020届一轮复习人教B版平面几何作业

【数学】2020届一轮复习人教B版平面几何作业

‎2016年~2018年全国高中数学联赛二试试题分类汇编 ‎1、平面几何部分 ‎2018A二、（本题满分40分）‎ 如图所示， 为锐角三角形，，为边的中点，点和分别为的外接圆弧和的中点，为内切圆在边上的切点，为与的交点，在线段上，满足.‎ 证明：若,则。（答题时请将图画在答卷纸上）‎ ‎★证明：由条件知，为外接圆的直径，于，。记为的内心，则在上，。由可知，‎ 又根据内心性质，有 从而。结合，所以，‎ 于是，故四点共圆。‎ 进而可知,故四点共圆。‎ 再由知，四点共圆，所以五点共圆，从而，即。‎ ‎2018B二、（本题满分40分）如图所示， 在等腰中，，边上一点及延长线上一点满足，以为直径的圆与线段交于一点。‎ 证明：四点共圆。（答题时请将图画在答卷纸上）‎ ‎★证明:取中点，则由知，故在圆上.延长至，使得，结合已知条件得，，故，‎ 从而为矩形，为平行四边形。‎ 由为矩形知，在圆上，故,‎ 又为平行四边形，由，得,‎ 所以，所以四点共圆。‎ ‎2017A一、（本题满分40分）如图所示，在中，，为的内心，以为圆心，为半径作圆，以为圆心，为半径作圆，过点的圆与、分别交于点、（不同于点）。设与交于点。证明：（答题时请将图画在答卷纸上）‎ ‎★证明：连接，由于点点在圆上，故，所以。‎ 又四点共圆，所以，于是，‎ 故~，从而，且,‎ 又，且为的内心，故，所以 所以~，则 又点在圆的弧上，故，‎ 因此，‎ ‎，即 ‎2017B三、（本题满分50分）如图，点是锐角的外接圆上弧的中点，直线与圆过点的切线分别相交于点,与的交点为，与的交点为，与的交点为．求证：平分线段． （答题时请将图画在答卷纸上） ‎ ‎★证明：首先证明，即证 连接，因为，‎ 所以， ①‎ 由题设，是圆的切线，所以，，又（注意是弧的中点），于是由①知 ②‎ 因为，所以，‎ 于是 ③‎ 而 ④‎ 由②，③，④得 ，‎ 即 又，‎ 故 设边的中点为，因为，‎ 所以由塞瓦定理知，三线共点，交点即为，故由可得平分线段 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2016A二、（本题满分40分）如图所示，在中，是直线上两点（顺序排列），使得,设，的外心分别为,，直线与，分别交于点.证明：是等腰三角形。‎ ‎★证明：作的内角平分线交于点.设 ‎，的外接圆分别为和，由角平分线定理知，，又又条件可得,‎ 从而，即，故对圆和的幂相等，‎ 所以在圆和的根轴上。‎ 于是，这表明点关于直线对称，从而是等腰三角形。‎ ‎2016B三、（本题满分50分）如图所示， 是平行四边形，是的重心，点在直线上，使得,证明：平分 ‎★解析：连接，与交于点由平行四边形的性质，点是的中点．因此，‎ 点在线段上．由于，所以四点共圆，并且其外接圆是以为直径的圆．由相交弦定理知 ①‎ 取的中点注意到故有 因此关于点对称．于是 ②‎ 结合①、②，有，因此四点共圆．‎ 又所以，即平分