人教版八年级下册数学导学案 第十八章 勾股定理

人教版八年级下册数学导学案 第十八章 勾股定理

第十八章 勾股定理 第一课时 勾股定理的内容、应用 1.我国古人把非等腰的直角三角形称为勾股形，他们把较短的直角边称为“勾”，把较长的直 角边称为 。斜边称为： 。 2.我们现在学习的勾股定理在西方数学中称为： 定理，因为他们以为这个定理是由 古西腊数学家先发现在，但我国古人先于西方两百多年前在<<周髀算经>>中就发现了直角三 角形的一种特殊的三边关系：称其为：“勾 3 股 4 弦 5” 3.真正对直角形三边关系有所正明的是我国汉代数学家他在对<<周髀算经>>进行注解时，对 这个关系进行了证明，他的这种对定理的证明方法被世界公认为 400 多种证明方法中最巧妙 的方法之一。 4.赵爽弦图充分的体现了我们古人在对勾股定理的证明上做出的不可磨灭的贡献，当然它也 是我们数学的标志，在 2002 年数学家大会上，作为会徽出现，我们的每本中学数学课本的封 面也是以它为体材，因此可见它在我们国人心中的位置是不可才替代的。 5.勾股定理：直角三角形等于。 几何语言表述：如图，在 RtΔABC 中， C＝ 90°。 则：___________2+___________2=___________2 若 BC=a，AC=b，AB=c， 则上面的定理可以表示为：___________________。 练习：如图，已知在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ①若 a=3，b=4，则 c=________②若 a=5，c=13，则 b=________ ③若 b=1，c=4，则 c=________④若 4:3: ba ， 10c ，则 a ， b . 5.同学们在学习的时候需注意：三角形的角和边的标记方法，在 Rt△ABC 中，∠B=900，；则 b 应该为斜边，而 a 和 c 应该为直角边。 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则 c 的长为（ ）. A．26 B．18 C．20 D．21 2．在平面直角坐标系中，已知点 P 的坐标是(3,4)，则 OP 的长为（ ）. A．3 B．4 C．5 D． 7 3 在△ABC 中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（） A．BC2=AB2+AC2; B．AB2=AC2+BC2; C．AB2=BC2-AC2; D．AC2=BC2-AB2 4．一直角三角形的斜边长比一条直角边大 2，另一条直角边长为 6，则斜边长为（） A．4 B．8 C．10 D．12 5．下面四组数中是勾股数的有（） a b c B C A （1）1.5，2.5，2 （2） 2 ， 2 ，2（3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.3 A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组 6．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高 2.5 米的木梯，准备把拉花挂到 2.4 米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（） A．0.7 米 B．0.8 米 C．0.9 米 D．1.0 米 7．若一直角三角形两边的长为 12 和 5，则第三边的长为（） A．13 B．13 或 119 C．13 或 15 D．15 8．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（） A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7 9．如图 18-8 所示，要在离地面 5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成 60°角，若要考 虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的 L1=5.2 米，L2=6.2 米，L3=7.8 米， L4=10 米四种备用拉线材料中，拉线 AC 最好选用（） A．L1 B．L2 C．L3 D．L4 10、如图，一只蚂蚁沿边长为 a 的正方体表面从顶点 A 爬到顶点 B，则它走过的路程最短为 （ ） （A） a3 （B） a)21(  （C） a3 （D） a5 二．填空题 11、等腰 Rt△ABC 中，底边长为２，则腰长为，面积为。 12、已知 Rt△ABC 中，∠C=900 , 25c ， a ︰b ＝3︰4, 则 a ， b 。 13 已知三角形三内角之比为 1︰2︰3，最大边长是 10cm，该三角形的周长是。 14．如图 3，已知一根长 8m 的竹杆在离地 3m 处断裂，竹杆顶部抵着地面， 此时，顶部距底部有 m . 15．看图求未知边. (1)如图 4，a=. （2）如图 5，a=，b＝. 16．如图 6，阴影正方形部分的面积是. 8 6 26 a b 4 10 8cm 图 7 C A B 30° a 10 17．如图 7，等边三角形的边长是 8cm，它的面积是. 三、解答题（第小题 7 分 共 35 分） 18. 如图 9，在海上观察所 A,我边防海警发现正北 6km 的 B 处有一可疑船只正在向东方向 8km 的 C 处行驶.我边防海警即刻派船前往 C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为 40km/h，则我边防 海警船的速度为多少时，才能恰好在 C 处将可疑船只截住？ 19.如图 10，小明在广场上先向东走 10 米，又向南走 40 米，再向西走 20 米，又向南走 40 米，再向东走 70 米.求小明到达的终止点与原出发点的距离. 20.一个无盖的纸盒，底面是面积为 100cm2 的正方形，高是 15cm.小丽将一小木棒如图 11 放 置,量得露出纸盒外面部分长是 2cm.请求出小丽的小木棒总长度.(精确到 0.1cm) 21、如图，在两面墙之间有一个底端在 A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在 B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在 D 点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点 D 到地 面的垂直距离 DE=3 2 m．求点 B 到地面的垂直距离 BC． 图 5图 4 图 6 60 45 A D C B E 图 11 100cm 15cm 2 C A B 图 9 10 4020 40 出发点 70 终止点 图 10 8km 6km 22．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1m，当他把绳子的下端 拉开 5m后，发现下端刚好接触地面，你能帮助他把旗杆的高度求出来吗？ 23．已知，如图 18-17 所示，折叠长方形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，如果 AB=8cm， BC=10cm，求 EC 的长． 第二课时 勾股定理的逆定理 1.命题是对事情（事物）的一种判断（下一个结论），由两部份组成，它们是： 和 ， 命题分为 和 两种，前者是正确的命题，后者是错误的命题。 2.一个命题利用数学原理证明以后得出它是正确的，这种命题我们称为： 也就是说命运题不一定正确，经过证明以后是正确的才能称为定理。 例如： 命题： 两直线平行，内错角相等。 它的题设是： ，结论是： 它是 （真、假）命题。经过我们利用数学知识证明后发现它是正确的，所以也可以 说它是一个定理。同理还有三角形的内角和定理、外角定理、勾股定理……… 3 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二 个命题的条件，那么这两个命题叫做________． 图 18-17 4．如果一个定理的逆命题能被证 明是真命题，那么就叫它是原定理的________，这两个定 理叫做_________． 5．每个命题都有它的________，但每个真命题的逆命题不一定是真命题． 6．线段垂直平分线性质定理的逆定理是_____________________． 7：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a,b,c 满足 2 2 2a b c  ,那么这个三角形是______ 三角形.也可说，知道一个三角形就可得这个特殊的三边关系，如果一个三角形有这样一个三 边关系就可得这个三角形的形状。 练习：. 试判断以如下的 a、 b、 c 为边长的三角形是不是直角三角形? （1） a＝25， b＝20，c＝15；（2） a＝1， b＝2， c＝3； （3） a∶b∶c＝5∶12∶13 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）. A．12，15，17 B．9，16，25 C．5a，12a，13a（a>0） D．2，3，4 2．在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，AB＝8，BC＝15，CA＝17，则下列结 论不正确的是（ ）. A．△ABC 是直角三角形，且 AC 为斜边 B△ABC 是直角三角形，且∠ABC＝90° C．△ABC 的面积是 60 D．△ABC 是直角三角形，且∠A＝60° 3．下列定理中,没有逆定理的是（ ）. A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 二、填空题(每小题 5 分，共 25 分) 4 命题：相等的角是对顶角。改写为如果…那么的形式是： 这个命题的题设是： 结论 是： ，这个命题是命题。它的逆命题是：它是命题。 5．若一三角形三边长分别为 5、12、13，则这个三角形长是 13 的边上的高是. 6．若一三角形铁皮余料的三边长为 12cm，16cm，20cm，则这块三角形铁皮余料的面积为 cm2. 7．如图 1，一根电线杆高 8m.为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离 6m 处 加一拉线.拉线工人发现所用线长为 10.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面（填“垂直” 或“不垂直”）. 8．一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为 6cm，杯深 16cm.今有一根长为 22cm 的吸管如 图 2 放入杯中，露在杯口外的长度为 2cm，则这玻璃杯的形状是体. 9．写出一组全是偶数的勾股数是. 三．解答题 图 1 图 2 B C A D 10.如图 3，AD=7，AB＝25，BC＝10，DC＝26，DB＝24，求四边形 ABCD 的面积. 11．如图 18-14，所示，四边形 ABCD 中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求 该四边形的面积． 12．在△ABC 中，AB=13cm，AC=24cm，中线 BD=5cm。 求证：△ABC 是等腰三角形。 13 △ABC 中，∠A＝300，∠B＝450，BC＝4，求 AB 的长。 14．如图，四边形 ABCD 中，AD＝3，AB＝4，BC＝12，CD＝13，∠BAD＝900， 图 18-14 B A D C 图 3 A B C D （1）求证：BD⊥BC （2）计算四边形 ABCD 的面积