高中数学人教a版选修1-1学业分层测评5全称量词与存在量词(3课时)word版含解析

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高中数学人教a版选修1-1学业分层测评5全称量词与存在量词(3课时)word版含解析

学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.下列命题是“∀x∈R,x2>3”的表述方法的是( ) A.有一个 x∈R,使得 x2>3 B.对有些 x∈R,使得 x2>3 C.任选一个 x∈R,使得 x2>3 D.至少有一个 x∈R,使得 x2>3 【答案】 C 2.下列四个命题中,既是全称命题又是真命题的是( ) A.斜三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数 x,使 x2>0 C.任意无理数的平方必是无理数 D.存在一个负数 x,使1 x >2 【解析】 只有 A,C 两个选项中的命题是全称命题,且 A 显然 为真命题.因为 2是无理数,而( 2)2=2 不是无理数,所以 C 为假 命题. 【答案】 A 3.给出四个命题:①末位数是偶数的整数能被 2 整除;②有的 菱形是正方形;③存在实数 x,x>0;④对于任意实数 x,2x+1 是奇 数.下列说法正确的是( ) A.四个命题都是真命题 B.①②是全称命题 C.②③是特称命题 D.四个命题中有两个是假命题 【答案】 C 4.(2014·湖南高考)设命题 p:∀x∈R,x2+1>0,则¬p 为( ) A.∃x0∈R,x20+1>0 B.∃x0∈R,x20+1≤0 C.∃x0∈R,x20+1<0 D.∀x∈R,x2+1≤0 【解析】 根据全称命题的否定为特称命题知 B 正确. 【答案】 B 5.下列四个命题: p1:∃x∈(0,+∞), 1 2 x< 1 3 x; p2:∃x∈(0,1),log1 2 x>log1 3 x; p3:∀x∈(0,+∞), 1 2 x>log1 2 x; p4:∀x∈ 0,1 3 , 1 2 x<log1 3 x. 其中的真命题是( ) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 【解析】 取 x=1 2 , 则 log1 2 x=1,log1 3 x=log32<1,p2 正确. 当 x∈ 0,1 3 时, 1 2 x<1,而 log1 3 x>1,p4 正确. 【答案】 D 二、填空题 6.(2016·大同二诊)已知命题 p:“∃x0∈R,sin x0>1”,则¬p 为________. 【解析】 根据特称命题的否定为全称命题,并结合不等式符号 的变化即可得出¬p 为∀x∈R,sin x≤1. 【答案】 ∀x∈R,sin x≤1 7.若∀x∈R,f(x)=(a2-1)x 是单调减函数,则 a 的取值范围是 ________. 【解析】 由题意知,00, 即 a2<2, a2>1, 解得 - 21 或 a<-1, ∴1n B.∀n∈N*,f(n)∉N*或 f(n)>n C.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且 f(n0)>n0 D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或 f(n0)>n0 【解析】 写全称命题的否定时,要把量词∀改为∃,并且否定 结论,注意把“且”改为“或”. 【答案】 D 2.(2015·合肥二模)已知命题 p:∀x∈R,2x<3x,命题 q:∃x0∈R, x30=1-x20,则下列命题中为真命题的是( ) A.p∧q B.p∧(¬q) C.(¬p)∧q D.(¬p)∧(¬q) 【解析】 对于命题 p,当 x=0 时,20=30=1,所以命题 p 为 假命题,¬p 为真命题;对于命题 q,作出函数 y=x3 与 y=1-x2 的图 象,可知它们在(0,1)上有一个交点,所以命题 q 为真命题,所以(¬p) ∧q 为真命题,故选 C. 【答案】 C 3.(2016·西城期末)已知命题 p:∃x0∈R,ax20+x0+1 2 ≤0.若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是________. 【解析】 因为命题 p 是假命题,所以¬p 为真命题,即∀x∈R, ax2+x+1 2>0 恒成立.当 a=0 时,x>-1 2 ,不满足题意;当 a≠0 时, 要使不等式恒成立,则有 a>0, Δ<0, 即 a>0, 1-4×1 2 ×a<0, 解得 a>0, a>1 2 , 所以 a>1 2 ,即实 数 a 的取值范围是 1 2 ,+∞ . 【答案】 1 2 ,+∞ 4.(2016·日照高二检测)已知 p:∀x∈R,2x>m(x2+1),q:∃x0 ∈R,x20+2x0-m-1=0,且 p∧q 为真,求实数 m 的取值范围. 【导学号:26160024】 【解】 2x>m(x2+1)可化为 mx2-2x+m<0. 若 p:∀x∈R,2x>m(x2+1)为真, 则 mx2-2x+m<0 对任意的 x∈R 恒成立. 当 m=0 时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立; 当 m≠0 时,有 m<0,Δ=4-4m2<0,所以 m<-1. 若 q:∃x0∈R,x20+2x0-m-1=0 为真, 则方程 x20+2x0-m-1=0 有实根, 所以Δ=4+4(m+1)≥0,所以 m≥-2. 又 p∧q 为真,故 p,q 均为真命题. 所以 m<-1 且 m≥-2,所以-2≤m<-1.
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