高中数学选修2-2教案第一章 1_2

高中数学选修2-2教案第一章 1_2

‎1.2　类比推理 明目标、知重点 ‎1．通过具体实例理解类比推理的意义．‎ ‎2．会用类比推理对具体问题作出判断．‎ ‎1．类比推理 由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．‎ 类比推理是两类事物特征之间的推理．‎ ‎2．合情推理 合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．‎ 合情推理的结果不一定正确．‎ 探究点一　平面图形与立体图形间的类比 阅读下面的推理，回答后面提出的问题：‎ ‎1．科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：‎ ‎(1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；‎ ‎(2)有大气层，在一年中也有季节变更；‎ ‎(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．科学家猜想：火星上也可能有生命存在．‎ ‎2．根据等式的性质猜想不等式的性质．‎ 等式的性质：　　　　　　　　 猜想不等式的性质：‎ ‎(1)a＝b⇒a＋c＝b＋c; (1)a>b⇒a＋c>b＋c；‎ ‎(2)a＝b⇒ac＝bc; (2)a>b⇒ac>bc；‎ ‎(3)a＝b⇒a2＝b2等等. (3)a>b⇒a2>b2等等．‎ 思考1　这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？‎ 答　类比推理的定义：这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．‎ 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ 思考2　猜想正确吗？‎ 答　不一定正确．‎ 思考3　类比圆的特征，填写下表中球的有关特征 圆的概念和性质 球的类似概念和性质 圆的周长 球的表面积 圆的面积 球的体积 圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦 球心与截面圆(不经过球心的截面圆)圆心的连线垂直于截面圆 与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长 与球心距离相等的两个截面圆面积相等；与球心距离不等的两个截面圆面积不等，距球心较近的截面圆面积较大 以点P(x0，y0)为圆心，r为半径的圆的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2‎ 以点P(x0，y0，z0)为球心，r为半径的球的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2‎ 例1　如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝，类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝K，则H1＋2H2＋3H3＋4H4等于多少？‎ 解　对平面凸四边形：‎ S＝a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4‎ ‎＝(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)‎ ‎＝(h1＋2h2＋3h3＋4h4)，‎ 所以h1＋2h2＋3h3＋4h4＝；‎ 类比在三棱锥中，‎ V＝S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4‎ ‎＝(KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4)‎ ‎＝(H1＋2H2＋3H3＋4H4)．‎ 故H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.‎ 反思与感悟　解决此类问题注意用类比推理的方法去分析问题，研究当条件变化时，问题的本质有哪些不同，有哪些变化，如本题中平面图形中点到直线的距离类比三棱锥中点到平面的距离，平面图形中的面积类比三棱锥中的体积，进而计算出结果．‎ 跟踪训练1　在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是__________________________________________________．‎ 答案　设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S＋S＋S＝S 解析　类比条件：‎ 两边AB、AC互相垂直侧面ABC、ACD、ADB互相垂直．‎ 结论：AB2＋AC2＝BC2S＋S＋S＝S.‎ 探究点二　定义、定理或性质中的类比 例2　在等差数列{an}中，若a10＝0，证明：等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，并类比上述性质相应的在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式__________________________________________成立．‎ 答案　b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)‎ 解析　在等差数列{an}中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，‎ ‎∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，‎ 即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，‎ 又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，‎ ‎∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.‎ 相应地，类比此性质在等比数列{bn}中，‎ 可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n，(n<17，n∈N＋)．‎ 反思与感悟　(1)运用类比思想找出项与项的联系，应用等差、等比数列的性质解题是解决该题的关键．‎ ‎(2)等差数列和等比数列有非常类似的运算和性质，一般情况下等差数列中的和(或差)对应着等比数列中的积(或商)．‎ 跟踪训练2　设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12‎ 成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，______，________，成等比数列．‎ 答案　　 ‎1．下列说法正确的是(　　)‎ A．由合情推理得出的结论一定是正确的 B．合情推理必须有前提有结论 C．合情推理不能猜想 D．合情推理得出的结论不能判断正误 答案　B 解析　根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．‎ ‎2．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．‎ 答案　1∶8‎ 解析　∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是相似的几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.‎ ‎3．若数列{cn}是等差数列，则当dn＝时，数列{dn}也是等差数列，类比上述性质，若数列{an}是各项均为正数的等比数列，则当bn＝________时，数列{bn}也是等比数列．‎ 答案　 ‎[呈重点、现规律]‎ ‎1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．‎ ‎2．合情推理的过程概括为 ―→―→―→ 一、基础过关 ‎1．下列推理正确的是(　　)‎ A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c 答案　D ‎2．下面几种推理是合情推理的是(　　)‎ ‎①由圆的性质类比出球的有关性质；‎ ‎②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；‎ ‎③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；‎ ‎④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.‎ A．①② B．①③‎ C．①②④ D．②④‎ 答案　C 解析　①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．所以①、②、④是合情推理．故C正确．‎ ‎3．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的(　　)‎ A．一条中线上的点，但不是重心 B．一条垂线上的点，但不是垂心 C．一条角平分线上的点，但不是内心 D．中心 答案　D 解析　由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．‎ ‎4．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R ‎，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．‎ 则四面体的体积为V四面体A－BCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，‎ ‎∴R＝.‎ ‎5．类比平面直角坐标系中△ABC的重点G(，)的坐标公式(其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，猜想以A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)、C(x3，y3，z3)、D(x4，y4，z4)为顶点的四面体A—BCD的重点G(，，)的公式为________________________．‎ 答案　 ‎6．公差为d(d≠0)的等差数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，则数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，且公差为100d，类比上述结论，相应地在公比为q(q≠1)的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有__________________________________．‎ 答案　，，也成等比数列，且公比为q100‎ ‎7．如图(1)，在平面内有面积关系＝，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．‎ 解　类比＝，‎ 有＝ 证明：如图：设C′，C到平面PAB的距离分别为h′，h.‎ 则＝，‎ 故＝ ‎＝＝.‎ ‎8．在△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．‎ 解　由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P－ABC中，三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1”．‎ 证明：设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记PO＝h，‎ 由PC⊥PA，PC⊥PB，得PC⊥面PAB，从而PC⊥PM，又∠PMC＝α，‎ cos α＝sin∠PCO＝，cos β＝，cos γ＝.‎ ‎∵VP－ABC＝PA·PB·PC＝(PA·PBcos α＋‎ PB·PCcos β＋PC·PA cos γ)·h，‎ ‎∴(＋＋)h＝1，即cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.‎ 二、能力提升 ‎9．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是(　　)‎ A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交 B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直 C．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行 D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行 答案　B 解析　推广到空间以后，对于A、C、D均有可能异面，故选B.‎ ‎10．已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N＋)，则am＋n＝.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N＋)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N＋)，则可以得到bm＋n＝________.‎ 答案　 解析　设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.‎ 因为an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，am＋n＝，‎ 所以类比得bm＋n＝ ‎11.如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．‎ 解　如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．‎ 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.‎ ‎12．(1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值b2－a2.‎ ‎(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线－＝1(a>0，b>0)与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．‎ ‎(1)证明　设点P(x0，y0)，(x0≠±a)．‎ 依题意，得A(－a,0)，B(a,0)，‎ 所以直线PA的方程为y＝(x＋a)，‎ 令x＝0，得yM＝.同理得yN＝－.‎ 所以yMyN＝.‎ 又点P(x0，y0)在椭圆上，‎ 所以＋＝1，‎ 因此y＝(a2－x)．‎ 所以yMyN＝＝b2.‎ 因为＝(a，yN)，＝(－a，yM)，‎ 所以·＝－a2＋yMyN＝b2－a2.‎ ‎(2)解　定值为－(a2＋b2)．‎ 三、探究与拓展 ‎13．在平面几何中，对于Rt△ABC，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，C＝90°.则(1)a2＋b2＝c2；(2)cos2A＋cos2B＝1；(3)Rt△ABC的外接圆的半径r＝；(4)S△ABC＝ab.把上面的结论类比到空间，写出相类似的结论．‎ 解　(1)设一个三棱锥中三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S＋S＋S＝S2.(检验：设PA，PB，PC两两互相垂直，PA＝m，PB＝n，PC＝t，PE⊥AB于点E，则S2＝(m2＋n2)·(t2＋)＝S＋S＋S.‎ ‎(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.(检验：因为S1＝Scos α，S2＝Scos β，S3＝Scos γ)‎ ‎(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为m、n、t，则这个直四面体的外接球半径为R＝.(检验：补形为长、宽、高分别为m、n、t的长方体)‎ ‎(4)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为m、n、t，则这个直四面体的体积为V＝mnt.‎