2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题27 锐角三角函数与特殊角

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文档介绍

2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题27 锐角三角函数与特殊角

锐角三角函数与特殊角 ‎ 一.选择题 ‎1.(2020·四川省攀枝花市·4分)sin60°=  .‎ ‎【分析】根据我们记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案.‎ ‎【解答】解:sin60°=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,注意一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容.‎ ‎2. (2020·天津市·3分)2sin45°的值等于(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎【分析】根据sin45°=解答即可.‎ ‎【解答】解:2sin45°=2×=.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算,特殊角三角函数值计算在中考中经常出现,要熟练掌握.‎ ‎3. (2020•山东省泰安市•4分)如图,四边形ABCD是一张平行四边形纸片,其高AG=2cm,底边BC=6cm,∠B=45°,沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形,若∠BEF=30°,则AF的长为(  )‎ A.lcm B.cm C.(2-3)cm D.(2-)cm ‎【分析】根据直角三角形的三角函数得出BG,HE,进而利用梯形的性质解答即可.‎ ‎【解答】解:过F作FH⊥BC于H,‎ ‎∵高AG=2cm,∠B=45°,∴BG=AG=2cm,∵FH⊥BC,∠BEF=30°,‎ ‎∴EH=,∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形,∴AF=CE,‎ ‎∵AG⊥BC,FH⊥BC,∴AG∥FH,∵AG=FH,∴四边形AGHF是矩形,‎ ‎∴AF=GH,∴BC=BG+GH+HE+CE=2+2AF+2=6,∴AF=2-(cm),故选D.‎ ‎【点评】此题考查梯形,关键是根据直角三角形的三角函数得出BG,HE解答.‎ ‎4. (2020•山东省威海市•3分)如图,矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3,l4,l2,l1上.若直线l1∥l2∥∥l3∥l4且间距相等,AB=4,BC=3,则tanα的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据题意,可以得到BG的长,再根据∠ABG=90°,AB=4,可以得到∠BAG的正切值,再根据平行线的性质,可以得到∠BAG=∠α,从而可以得到tanα的值.‎ ‎【解答】解:作CF⊥l4于点F,交l3于点E,设CB交l3于点G,由已知可得,GE∥BF,CE=EF,‎ ‎∴△CEG∽△CFB,∴,∵,∴,∵BC=3,∴GB=,‎ ‎∵l3∥l4,∴∠α=∠GAB,∵四边形ABCD是矩形,AB=4,∴∠ABG=90°,‎ ‎∴tan∠BAG==,∴tanα的值为,故选A.‎ ‎【点评】‎ 本题考查矩形的性质,解直角三角形,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.‎ ‎5.(2020•广东省•3分)如题9图,在正方形ABCD中,AB=3,点E.F分别在边AB.CD上,∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为 A.1  B. C.   D.2‎ ‎【答案】D ‎【解析】解法一:排除法 过点F作FG∥BC交BE与点G,可得∠EFG=30°,∵FG=3,由三角函数可得EG=,∴BE>.‎ 解法二:角平分线的性质 延长EF、BC.B’C’交于点O,可知∠EOB=∠EOB’=30°,可得∠BEO=∠B’EO=60°, ∴∠AEB’=60°.设BE=B’E=2x,由三角函数可得AE=x,由AE+BE=3,可得x=1,∴BE=2.‎ ‎【考点】特殊平行四边形的折叠问题、辅助线的作法、三角函数.‎ ‎6.(2020•广西省玉林市•3分)sin45°的值是(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎【分析】根据特殊角的三角函数值求解.‎ ‎【解答】解:sin45°=.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值.‎ ‎7. (2020•山东淄博市•4分)已知sinA=0.9816,运用科学计算器求锐角A时(在开机状态下),按下的第一个键是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据计算器求锐角的方法即可得结论.‎ ‎【解答】解:∵已知sinA=0.9816,运用科学计算器求锐角A时(在开机状态下)的按键顺序是:2ndF,sin,0,‎ ‎∴按下的第一个键是2ndF.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了计算器﹣三角函数,解决本题的关键是熟练利用计算器.‎ ‎8. (2020•安徽省•4分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,∠DBC=∠A.若AC=4,cosA=,则BD的长度为(  )‎ A. B. C. D.4‎ ‎【分析】在△ABC中,由三角函数求得AB,再由勾股定理求得BC,最后在△BCD中由三角函数求得BD.‎ ‎【解答】解:∵∠C=90°,AC=4,cosA=,‎ ‎∴AB=,‎ ‎∴,‎ ‎∵∠DBC=∠A.‎ ‎∴cos∠DBC=cos∠A=,‎ ‎∴,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查了勾股定理,解直角三角形的应用,关键是解直角三角形.‎ ‎9.(2020•安徽省•4分)已知点A,B,C在⊙O上,则下列命题为真命题的是(  )‎ A.若半径OB平分弦AC,则四边形OABC是平行四边形 ‎ B.若四边形OABC是平行四边形,则∠ABC=120° ‎ C.若∠ABC=120°,则弦AC平分半径OB ‎ D.若弦AC平分半径OB,则半径OB平分弦AC ‎【分析】根据垂径定理,平行四边形的性质判断即可.‎ ‎【解答】解:A.如图,‎ 若半径OB平分弦AC,则四边形OABC不一定是平行四边形;原命题是假命题;‎ B.若四边形OABC是平行四边形,‎ 则AB=OC,OA=BC,‎ ‎∵OA=OB=OC,‎ ‎∴AB=OA=OB=BC=OC,‎ ‎∴∠ABO=∠OBC=60°,‎ ‎∴∠ABC=120°,是真命题;‎ C.如图,‎ 若∠ABC=120°,则弦AC不平分半径OB,原命题是假命题;‎ D.如图,‎ 若弦AC平分半径OB,则半径OB不一定平分弦AC,原命题是假命题;‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.‎ ‎10.(2020•贵州省黔西南州•4分)如图,某停车场入口的栏杆AB,从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置,已知AO的长为4米.若栏杆的旋转角∠AOA′=α,则栏杆A端升高的高度为(  )‎ A.米 B.4sinα米 C.米 D.4cosα米 ‎【分析】过点A′作A′C⊥AB于点C,根据锐角三角函数的定义即可求出答案.‎ ‎【解答】解:过点A′作A′C⊥AB于点C,‎ 由题意可知:A′O=AO=4,‎ ‎∴sinα=,‎ ‎∴A′C=4sinα,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形,解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义,本题属于基础题型.‎ ‎11. (2020•四川省凉山州•4分)如图所示,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,则tanA的值为(  )‎ A. B. C.2 D.2‎ ‎【分析】根据网格构造直角三角形,由勾股定理可求AD.BD,再根据三角函数的意义可求出tanA的值.‎ ‎【解答】解:如图,连接BD,由网格的特点可得,BD⊥AC,‎ AD==2,BD==,‎ ‎∴tanA===,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查直角三角形的边角关系,掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提,利用网格构造直角三角形是解决问题的关键.‎ ‎12. (2020•四川省南充市•4分)如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sin∠BAC=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作BD⊥AC于D,根据勾股定理求出AB.AC,利用三角形的面积求出BD,最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解.‎ ‎【详解】解:如图,作BD⊥AC于D,‎ 由勾股定理得,,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了勾股定理,解直角三角形,三角形的面积,三角函数的意义等知识,根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键.‎ 二.填空题 ‎1.‎ 三.解答题 ‎1.(2020•广东省•8分)如题22图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,AB是⊙O的直径,CO平分∠BCD.‎ ‎(1)求证:直线CD与⊙O相切;‎ ‎(2)如题22﹣2图,记(1)中的切点为E,P为优弧上一点,AD=1,BC=2,求tan∠APE的值.‎ E ‎【答案】‎ (1) 证明:过点O作OE⊥CD交于点E ‎∵AD∥BC,∠DAB=90°‎ ‎∴∠OBC=90°即OB⊥BC ‎∵OE⊥CD,OB⊥BC,CO平分∠BCD ‎∴OB=OE ‎∵AB是⊙O的直径 ‎∴OE是⊙O的半径 ‎∴直线CD与⊙O相切 ‎(2)连接OD.OE ‎∵由(1)得,直线CD.AD.BC与⊙O相切 ‎∴由切线长定理可得AD=DE=1,BC=CE=3,‎ ‎∠ADO=∠EDO,∠BCO=∠ECO ‎∴∠AOD=∠EOD,CD=3‎ ‎∵= ‎∴∠APE=∠AOE=∠AOD ‎∵AD∥BC ‎∴∠ADE+∠BCE=180°‎ ‎∴∠EDO+∠ECO=90°即∠DOC=90°‎ ‎∵OE⊥DC,∠ODE=∠CDO ‎∴△ODE∽△CDO ‎∴即 ‎∴OD=‎ ‎∵在Rt△AOD中,AO=‎ ‎∴tan∠AOD==‎ ‎∴tan∠APE=‎ ‎【解析】无切点作垂直证半径,切线长定理,直角三角形的判定,相似三角形的运用、辅助线的作法 ‎【考点】切线的判定、切线长定理、圆周角定理、相似三角形、三角函数 ‎2. (2020•四川省甘孜州•10分)如图,中,,将绕点C顺时针旋转得到,点D落线段AB上,连接BE.‎ ‎(1)求证:DC平分;‎ ‎(2)试判断BE与AB的位置关系,并说明理由:‎ ‎(3)若,求的值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)BE⊥AB,理由见解析;(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据旋转的性质可得AC=CD,∠A=∠CDE,再由等腰三角形的性质得到∠A=∠ADC即可证明∠ADC=∠CDE;‎ ‎(2)根据旋转的性质得到∠ACD=∠BCE,CB=CE,AC=CD,从而得出∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB,再根据∠ACB=90°即可得到∠ABE=90°;‎ ‎(3)设BD=BE=a,根据勾股定理计算出AB=DE=,表达出AD,再证明△ACD∽△BCE,得到即可.‎ ‎【详解】解:(1)由旋转可知:AC=CD,∠A=∠CDE,‎ ‎∴∠A=∠ADC,‎ ‎∴∠ADC=∠CDE,即DC平分∠ADE;‎ ‎(2)BE⊥AB,‎ 理由:由旋转可知,∠ACD=∠BCE,CB=CE,AC=CD,‎ ‎∴∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB,‎ 又∵∠ACB=90°,‎ ‎∴∠CAD+∠ABC=90°,‎ ‎∴∠CBE+∠ABC=90°,‎ 即∠ABE=90°,‎ ‎∴BE⊥AB;‎ ‎(3)∵∠ABE=90°,BD=BE,‎ ‎∴设BD=BE=a,则,‎ 又∵AB=DE,‎ ‎∴AB=,则AD=,‎ 由(2)可知,∠ACD=∠BCE,∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB,‎ ‎∴△ACD∽△BCE,‎ ‎∴,‎ ‎∴tan∠ABC=.‎ ‎【点睛】本题考查了旋转的综合应用以及相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的定义,解题的关键是熟练掌握旋转的性质,并熟记锐角三角函数的定义.‎ ‎3. (2020•四川省凉山州•10分)如图,⊙O的半径为R,其内接锐角三角形ABC中,∠A.∠B.∠C所对的边分别是A.B.c.‎ ‎(1)求证:===2R;‎ ‎(2)若∠A=60°,∠C=45°,BC=4,利用(1)的结论求AB的长和sin∠B的值.‎ ‎【分析】(1)证明:作直径BE,连接CE,如图所示:则∠BCE=90°,∠E=∠A,根据三角函数的定义得到sinA=sinE==,求得=2R,同理:=2R,=2R,于是得到结论;‎ ‎(2)由(1)得:=,得到AB==4,2R==8,过B作BH⊥AC于H,解直角三角形得到AC=AH+CH=2(),根据三角函数的定义即可得到结论.‎ ‎【解答】(1)证明:作直径BE,连接CE,如图所示:‎ 则∠BCE=90°,∠E=∠A,‎ ‎∴sinA=sinE==,‎ ‎∴=2R,‎ 同理:=2R,=2R,‎ ‎∴===2R;‎ ‎(2)解:由(1)得:=,‎ 即==2R,‎ ‎∴AB==4,2R==8,‎ 过B作BH⊥AC于H,‎ ‎∵∠AHB=∠BHC=90°,‎ ‎∴AH=AB•cos60°=4×=2,CH=BC=2,‎ ‎∴AC=AH+CH=2(),‎ ‎∴sin∠B===.‎ ‎【点评】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、三角函数定义、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握圆周角定理和三角函数定义是解题的关键.‎
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