2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题6 不等式(组)

2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题6 不等式(组)

不等式(组)‎ 一.选择题 ‎1. （2020•新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团•5分）不等式组的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解不等式组中的两个不等式，再取解集的公共部分即可．‎ ‎【详解】解： ‎ 由①得： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由②得： ‎ ‎ ‎ ‎ 不等式组的解集是 ‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查是解不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键．‎ ‎2．（2020山东省德州市4分）若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（　　）‎ A．a≥2 B．a＜﹣2 C．a＞2 D．a≤2‎ ‎【分析】分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为x≤2可得关于a的不等式，解之可得．‎ ‎【解答】解：解不等式组，‎ 由①可得：x＜2，‎ 由②可得：x＜a，‎ 因为关于x的不等式组的解集是x＜2，‎ 所以，a≥2，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎3. （2020•甘肃省天水市•4分）若关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为(　　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式得出，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出，解之可得答案．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，‎ 则，‎ 不等式只有2个正整数解，‎ 不等式的正整数解为1.2，‎ 则，‎ 解得：，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出关于某一字母的不等式组．‎ ‎4. （2020•山东临沂市•3分）不等式2x+1＜0的解集是　x＜﹣　．‎ ‎【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得．‎ ‎【解答】解：移项，得：2x＜﹣1，‎ 系数化为1，得：x＜﹣，‎ 故答案为x＜﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．‎ ‎5. (2020•山东省潍坊市•3分)若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是(　　)‎ A．0≤a≤2 B．0≤a＜2 C．0＜a≤2 D．0＜a＜2‎ ‎【分析】先求出不等式组的解集(含有字母a)，利用不等式组有三个整数解，逆推出a的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：解不等式3x－5≥1得：x≥2，解不等式2x－a＜8得：x＜，‎ ‎∴不等式组的解集为：2≤x＜，‎ ‎∵不等式组有三个整数解，∴三个整数解为：2，3，4，‎ ‎∴4＜≤5，解得：0＜a≤2，故选C．‎ ‎【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键就是根据整数解的个数求出关于a的不等式组．‎ 二、填空题 ‎1.（2020•宁夏省•3分）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：‎ ‎（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；‎ ‎（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；‎ ‎（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．‎ 若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为　6　．‎ ‎【分析】设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b（a，b均为整数），根据给定的三个条件，即可得出关于a，b的二元一次不等式组，结合a，b均为整数即可得出b的取值范围，再取其中最大的整数值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b（a，b均为整数），‎ 依题意，得：，‎ ‎∵a，b均为整数 ‎∴4＜b＜7，‎ ‎∴b最大可以取6．‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】本题考查二元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出二元一次不等式组是解题的关键．‎ ‎2.（2020年山东省滨州市5分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为　a≥1　．‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得答案．‎ ‎【解答】解：解不等式x﹣a＞0，得：x＞2a，‎ 解不等式4﹣2x≥0，得：x≤2，‎ ‎∵不等式组无解，‎ ‎∴2a≥2，‎ 解得a≥1，‎ 故答案为：a≥1．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎3. （2020•贵州省黔西南州•3分）不等式组的解集为　﹣6＜x≤13　．‎ ‎【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可．‎ ‎【解答】解：，‎ 解①得：x＞﹣6，‎ 解②得：x≤13，‎ 不等式组的解集为：﹣6＜x≤13，‎ 故答案为：﹣6＜x≤13．‎ ‎【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．‎ ‎4. （2020•四川省凉山州•5分）若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是　﹣≤a＜﹣　．‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有4个整数解可得关于a的不等式组，解不等式组可得a的范围．‎ ‎【解答】解：解不等式2x＜3（x﹣3）+1，得：x＞8，‎ 解不等式＞x+a，得：x＜2﹣4a，‎ ‎∵不等式组有4个整数解，‎ ‎∴12＜2﹣4a≤13，‎ 解得：﹣≤a＜﹣，‎ 故答案为：﹣≤a＜﹣．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组有4个整数解得到关于a的不等式组是关键．‎ ‎5. （2020•四川省内江市•6分）若数a使关于x的分式方程+＝3的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为　40　．‎ ‎【分析】解分式方程的得出x＝，根据解为非负数得出≥0，且≠1，据此求出a≤5且a≠3；解不等式组两个不等式得出y≤0且y＜a，根据解集为y≤0得出a＞0；综合以上两点得出整数a的值，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：去分母，得：x+2﹣a＝3（x﹣1），‎ 解得：x＝，‎ ‎∵分式方程的解为非负数，‎ ‎∴≥0，且≠1，‎ 解得a≤5且a≠3，‎ 解不等式﹣≥﹣，得：y≤0，‎ 解不等式2（y﹣a）＜0，得：y＜a，‎ ‎∵不等式组的解集为y≤0，‎ ‎∴a＞0，‎ ‎∴0＜a≤5，‎ 则整数a的值为1.2.4.5，‎ ‎∴符合条件的所有整数a的积为1×2×4×5＝40，‎ 故答案为：40．‎ ‎【点评】本题主要考查分式方程的解和解一元一次不等式组，解题的关键是根据分式方程的解的情况及不等式组解集的情况得出a的取值范围．‎ ‎6. （2020·四川省攀枝花市·4分）世纪公园的门票是每人5元，一次购门票满40张，每张门票可少1元．若少于40人时，一个团队至少要有　33　人进公园，买40张门票反而合算．‎ ‎【分析】先求出购买40张票，优惠后需要多少钱，然后再利用5x ‎＞160时，求出买到的张数的取值范围再加上1即可．‎ ‎【解答】解：设x人进公园，‎ 若购满40张票则需要：40×（5﹣1）＝40×4＝160（元），‎ 故5x＞160时，‎ 解得：x＞32，‎ 则当有32人时，购买32张票和40张票的价格相同，‎ 则再多1人时买40张票较合算；‎ ‎32+1＝33（人）．‎ 则至少要有33人去世纪公园，买40张票反而合算．‎ 故答案为：33．‎ ‎【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，找到按5元的单价付款和4元单价付款的等量关系是解决本题的关键．‎ ‎7. （2020•四川省遂宁市•4分）若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是　1≤m＜4　．‎ ‎【分析】解不等式组得出其解集为﹣2＜x＜，根据不等式组有且只有三个整数解得出1＜≤2，解之可得答案．‎ ‎【解答】解：解不等式＜，得：x＞﹣2，‎ 解不等式2x﹣m≤2﹣x，得：x≤，‎ 则不等式组的解集为﹣2＜x≤，‎ ‎∵不等式组有且只有三个整数解，‎ ‎∴1≤＜2，‎ 解得1≤m＜4，‎ 故答案为：1≤m＜4．‎ ‎【点评】此题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．‎ 三、解答题 ‎1.（2020•四川省自贡市•10分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销，甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折.‎ ‎⑴.以（单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出关于的函数关系式；‎ ‎⑵.新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？；‎ ‎【解析】（1）；当在乙商场购买商品未超过100元时，乙商场按照原价售卖，即；当在乙商场购买物品超过100元时，超过部分按8折，‎ ‎∴，化简得；‎ ‎∴；‎ ‎（2）由题意可知，当购买商品原价小于等于100时，甲商场打9折，乙商场不打折，所以甲商场购物更加划算；‎ 当购买商品原价超过100元时，‎ 若，即此时甲商场花费更低，购物选择甲商场；‎ 若，即，此时甲乙商场购物花费一样；‎ 若，即时，此时乙商场花费更低，购物选择乙商场；‎ 综上所述：当购买商品原价金额小于200时，选择甲商场更划算；当购买商品原价金额等于200时，选择甲商场和乙商场购物一样划算；当购买商品原价金额大于200时，选择乙商场更划算.‎ ‎2. （2020·天津市·8分）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答．‎ ‎（Ⅰ）解不等式①，得　x≤1　；‎ ‎（Ⅱ）解不等式②，得　x≥﹣3　；‎ ‎（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：‎ ‎（Ⅳ）原不等式组的解集为　﹣3≤x≤1　．‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤1；‎ ‎（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣3；‎ ‎（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：‎ ‎（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣3≤x≤1．‎ 故答案为：x≤1，x≥﹣3，﹣3≤x≤1．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎3.（2020•陕西•5分）解不等式组：‎ ‎【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．‎ ‎【解答】解：，‎ 由①得：x＞2，‎ 由②得：x＜3，‎ 则不等式组的解集为2＜x＜3．‎ ‎【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．‎ ‎4. （2020•四川省甘孜州•12分）（1）计算：．‎ ‎（2）解不等式组：‎ ‎【答案】（1）1；（2）-3＜x≤5．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）原式根据二次根式的性质、特殊角三角函数值以及零指数幂的运算法则分别化简各项，然后再合并；‎ ‎（2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集．‎ ‎【详解】（1）计算：‎ ‎=，‎ ‎=，‎ ‎=1；‎ ‎（2）‎ 解不等式①得，x＞-3，‎ 解不等式②得，x≤5，‎ 所以，不等式组的解集为：-3＜x≤5．‎ ‎【点睛】本题主要考查了实数的混合运算以及求不等式组的解集，解答此题的关键是熟练掌握运算法则，确定不等式组的解集就熟练掌握口诀“大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）”．‎ ‎5. （2020•山东东营市•8分）2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：‎ 型号 价格(元/只)‎ 项目 甲 乙 成本 售价 ‎（1）若该公司三月份的销售收入为万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？‎ ‎（2）如果公司四月份投入成本不超过万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．‎ ‎【答案】（1）甲、乙两种型号口罩的产量分别为万只和万只；（2）从而安排生产甲种型号的口罩万只，乙种型号的口罩万只时，获得最大利润，最大利润为万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设甲种型号口罩的产量是万只，则乙种型号口罩的产量是万只，根据该公司三月份的销售收入为万元列出一元一次方程，从而可以得到甲、乙两种型号的产品分别是多少万只；‎ ‎（2）根据题意，可以得到利润和生产甲种产品数量的函数关系式，再根据公司四月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过216万元，可以得到生产甲种产品数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大，并求出最大利润．‎ ‎【详解】设甲种型号口罩的产量是万只，则乙种型号口罩的产量是万只，‎ 根据题意得：‎ 解得：‎ 则 则甲、乙两种型号口罩的产量分别为万只和万只；‎ 设甲种型号口罩的产量是万只，则乙种型号口罩的产量是万只，‎ 根据题意得：‎ 解得:.‎ 设所获利润为万元，‎ 则 由于，所以随的增大而增大，‎ 即当时，最大，‎ 此时.‎ 从而安排生产甲种型号的口罩万只，乙种型号的口罩 万只时，获得最大利润，最大利润为万元 ‎【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．‎ ‎6.（2020•山东菏泽市•10分）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．‎ ‎（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？‎ ‎（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．‎ ‎【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据“购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；‎ ‎（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，根据购买的总费用不能超过260元且购买跳绳的数量多于20根，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购买方案．‎ ‎【解答】解：（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，‎ 依题意，得：，‎ 解得：．‎ 答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．‎ ‎（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，‎ 依题意，得：，‎ 解得：20＜m≤22．‎ 又∵m为正整数，‎ ‎∴m可以为21，22．‎ ‎∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．‎ ‎7.（2020•山东济宁市•8分）为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．‎ ‎(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；‎ ‎(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5 000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？‎ ‎【答案】（1）1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；（2）共有3种方案，6辆大货车和6辆小货车，7辆大货车和5辆小货车；8辆大货车和4辆小货车，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；‎ ‎（2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W，根据运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元分别得出不等式，求解即可得出结果.‎ 详解】解：（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，‎ 根据题意，得：，‎ 解得：，‎ 答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；‎ ‎（2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W，‎ 则150m+（12-m）×100≥1500，‎ 解得：m≥6，‎ 而W=5000m+3000×（12-m）=2000m+36000＜54000，‎ 解得：m＜9，‎ 则6≤m＜9，‎ 则运输方案有3种：‎ ‎6辆大货车和6辆小货车；‎ ‎7辆大货车和5辆小货车；‎ ‎8辆大货车和4辆小货车；‎ ‎∵2000＞0，‎ ‎∴当m=6时，总费用最少，且为2000×6+36000=48000元.‎ ‎∴共有3种方案，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元.‎ ‎【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系和不等关系，列出式子.‎ ‎8.（2020•山东聊城市•7分）解不等式组并写出它的所有整数解．‎ ‎【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得．‎ ‎【解答】解：，‎ 解不等式①，x＜3，‎ 解不等式②，得x≥﹣，‎ ‎∴原不等式组的解集为﹣≤x＜3，‎ 它的所有整数解为0，1，2．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎9.（2020•山东聊城市•8分）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B 种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．‎ ‎（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？‎ ‎（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．‎ ‎【分析】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程解答即可；‎ ‎（2）分别求出A种树苗每棵的价格与B种树苗每棵的价格，设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，根据题意求出w与t的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列，得：‎ ‎，‎ 解这个方程，得x＝20，‎ 经检验，x＝20是原分式方程的解，并符合题意，‎ 答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；‎ ‎（2）由（1）可知A种树苗每棵的价格为：20×0.9＝18（元），B种树苗每棵的价格为：20×1.2＝24（元），‎ 设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，则：‎ w＝18t+24（5500﹣t）＝﹣6t+132000，‎ ‎∵w是t的一次函数，k＝﹣6＜0，‎ ‎∴w随t的增大而减小，‎ 又∵t≤3500，‎ ‎∴当t＝3500棵时，w最小，‎ 此时，B种树苗每棵有：5500﹣3500＝2000（棵），w＝﹣6×3500+132000＝111000，‎ 答：购进A种树苗3500棵，BA种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元．‎ ‎【点评】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．‎ ‎10. 2020年内蒙古通辽市用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．‎ ‎【答案】(1)；(2)，图见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；‎ ‎（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．‎ 详解】解：（1）=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴‎ 解得：‎ 将解集表示在数轴上如下：‎ ‎【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤 ‎11. （2020•甘肃省天水市•12分）天水市某商店准备购进、两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多20元，用2000元购进种商品和用1200元购进 种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元．‎ ‎（1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？‎ ‎（2）商店计划用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？‎ ‎（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．‎ ‎【答案】（1）种商品每件的进价为50元，种商品每件的进价为30元；（2）该商店有5种进货方案；（3）①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元，然后根据“用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同”的等量关系列分式方程解答即可；‎ ‎（2）设购进种商品件，购进种商品件，再根据“商店计划用不超过1560元的资金半”和“种商品的数量不低于种商品数量的一半”两个等量关系，列不等式组确定出a的整数值即可；‎ ‎（3）设销售、两种商品总获利元，然后列出y与a和m的关系式，然后分m=15.10＜m＜15.15＜m＜20三种情况分别解答，最后再进行比较即可．‎ ‎【详解】（1）设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元．‎ 依题意得，解得，‎ 经检验是原方程的解且符合题意 当时，．‎ 答：种商品每件的进价为50元，种商品每件的进价为30元；‎ ‎（2）设购进种商品件，购进种商品件，‎ 依题意得 解得，‎ ‎∵为整数∴．‎ ‎∴该商店有5种进货方案；‎ ‎（3）设销售、两种商品总获利元，‎ 则．‎ ‎①当时，，与的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元；‎ ‎②当时，，随的增大而增大，‎ ‎∴当时，获利最大，即在（2）的条件下，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；‎ ‎③当时，，随的增大而减小，‎ ‎∴当时，获利最大，‎ ‎∴在（2）条件下，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大．‎ ‎【点睛】本题考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，熟练应用所学知识解决实际问题是解答本题的关键．‎ ‎12.（2020•福建省•8分）解不等式组：‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：解不等式①，得：x≤2，‎ 解不等式②，得：x＞﹣3，‎ 则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎13.（2020•北京市•5分）解不等式组：‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：解不等式5x﹣3＞2x，得：x＞1，‎ 解不等式＜，得：x＜2，‎ 则不等式组的解集为1＜x＜2．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎14.（2020•安徽省•8分）解不等式：＞1．‎ ‎【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．‎ ‎【解答】解：去分母，得：2x﹣1＞2，‎ 移项，得：2x＞2+1，‎ 合并，得：2x＞3，‎ 系数化为1，得：x＞．‎ ‎【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．‎ ‎15.（2020•贵州省黔西南州•14分）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：‎ ‎（1）A型自行车去年每辆售价多少元？‎ ‎（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？‎ ‎【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；‎ ‎（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得 ‎＝，‎ 解得：x＝2000．‎ 经检验，x＝2000是原方程的根．‎ 答：去年A型车每辆售价为2000元；‎ ‎（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得 y＝（1800﹣1500）a+（2400﹣1800）（60﹣a），‎ y＝﹣300a+36000．‎ ‎∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，‎ ‎∴60﹣a≤2a，‎ ‎∴a≥20．‎ ‎∵y＝﹣300a+36000．‎ ‎∴k＝﹣300＜0，‎ ‎∴y随a的增大而减小．‎ ‎∴a＝20时，y有最大值 ‎∴B型车的数量为：60﹣20＝40辆．‎ ‎∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．‎ ‎【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．‎ ‎16. （2020•四川省泸州市•7分）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．‎ ‎（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？‎ ‎（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？‎ ‎【分析】（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了800元列方程30x+20（30﹣x）＝800，然后解方程求出x，再计算30﹣x即可；‎ ‎（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．‎ ‎【解答】解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，‎ 根据题意得30x+20（30﹣x）＝800，‎ 解得x＝20，‎ 则30﹣x＝10，‎ 答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；‎ ‎（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，‎ 根据题意得 30﹣x≤3x，解得x≥7.5，‎ w＝30x+20（30﹣x）＝10x+600，‎ ‎∵10＞0，‎ ‎∴w随x的增大而减小，‎ ‎∴x＝8时，w有最小值为：w＝10×8+600＝680．‎ 答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最小，最小费用为680元．‎ ‎【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用：对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解；一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，‎ ‎17. (2020•山东省青岛市•4分)解不等式组：‎ ‎【分析】‎ 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：解不等式2x－3≥－5，得：x≥－1，解不等式x+2＜x，得：x＞3，‎ 则不等式组的解集为x＞3．‎ ‎【点评】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎18. (2020•山东省泰安市•5分)解不等式：－1＜．‎ ‎【分析】根据解一元一次不等式的基本步骤依次计算可得．‎ ‎【解答】解：去分母，得：4(x+1)－12＜3(x－1)，去括号，得：4x+4－12＜3x－3，‎ 移项，得：4x－3x＜－3－4+12，合并同类项，得：x＜5．‎ ‎【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤．‎ ‎19. (2020•山东省威海市•7分)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎【分析】先求出每个不等式的解集，再求出这些不等式解集的公共部分．‎ ‎【解答】解：‎ 由①得：x≥－1；由②得：x＜3；∴原不等式组的解集为－1≤x＜3，‎ 在坐标轴上表示：‎ ‎．‎ ‎【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(＞，≥向右画；＜，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．‎ ‎20. (2020•山东省枣庄市•8分)解不等式组并求它的所有整数解的和．‎ ‎【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后找出整数求和即可．‎ ‎【解答】解：，‎ 由①得，x≥－3，由②得，x＜2，所以，不等式组的解集是－3≤x＜2，‎ 所以，它的整数解为：－3，－2，－1，0，1，所以，所有整数解的和为－5．‎ ‎【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．‎ ‎21.（2020•宁夏省•6分）解不等式组：．‎ ‎【分析】分别解出两个不等式的解集，然后确定解集的公共部分就可以求出不等式的解集．‎ ‎【解答】解：由①得：x≤2，‎ 由②得：x＞﹣1，‎ 所以，不等式组的解集是﹣1＜x≤2．‎ ‎【点评】本题考查了不等式组的解法，关键是求出两个不等式的解，然后根据口诀求出不等式组的解集．‎ ‎22.（2020•宁夏省•10分）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：‎ 鞋号（正整数）‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎…‎ 脚长（毫米）‎ ‎160±2‎ ‎165±2‎ ‎170±2‎ ‎175±2‎ ‎180±2‎ ‎185±2‎ ‎…‎ 为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据bn定义为[bn]如表2：‎ 序号n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎…‎ 鞋号an ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎…‎ 脚长bn ‎160±2‎ ‎165±2‎ ‎170±2‎ ‎175±2‎ ‎180±2‎ ‎185±2‎ ‎…‎ 脚长[bn]‎ ‎160‎ ‎165‎ ‎170‎ ‎175‎ ‎180‎ ‎185‎ ‎…‎ 定义：对于任意正整数m、n，其中m＞2．若[bn]＝m，则m﹣2≤bn≤m+2．‎ 如：[b4]＝175表示175﹣2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．‎ ‎（1）通过观察表2，猜想出an与序号n之间的关系式，[bn]与序号n之间的关系式；‎ ‎（2）用含an的代数式表示[bn]；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；‎ ‎（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？‎ ‎【分析】（1）观察表格里的数据，可直接得出结论；‎ ‎（2）把n用含有an的式子表示出来，代入[bn]＝5n+155化简整理，再计算鞋号为42对应的n的值，代入[bn]＝5n+155求解即可；‎ ‎（3）首先计算[bn]＝270，再代入[bn]＝5an+50求出an的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）an＝21+n；‎ ‎[bn]＝160+5（n﹣1）＝5n+155；‎ ‎（2）由an＝21+n与[bn]＝5n+155解得：[bn]＝5an+50，‎ 把an＝42代入an＝21+n得n＝21，‎ 所以[b21]＝5×42+50＝260，‎ 则：260﹣2≤b21≤260+2，即258≤b21≤262．‎ 答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm～262mm；‎ ‎（3）根据[bn]＝5n+155可知[bn]能被5整除，‎ ‎∵270﹣2≤271≤270+2，‎ ‎∴[bn]＝270，‎ 将[bn]＝270代入[bn]＝5an+50中得an＝44．‎ 故应购买44号的鞋．‎ ‎【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，读懂题意是解题的关键．‎ ‎23.（2020•江西省•3分）（2）解不等式组：‎ ‎ 【解析】 ‎ 解不等式①，得 解不等式②，得 ‎∴原不等式组的解集是 ‎24.（2020•辽宁省本溪市•12分）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．‎ ‎（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？‎ ‎（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？‎ ‎【分析】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；‎ ‎（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过1600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，‎ 依题意，得：，‎ 解得：．‎ 答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．‎ ‎（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，‎ 依题意，得：70m+50（30﹣m）≤1600，‎ 解得：m≤5．‎ 答：学校最多可购买甲种词典5本．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．‎ ‎25.（2020•江西省•6分）‎ 放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元.‎ ‎（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；‎ ‎（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明.‎ ‎【解析】（1）设笔芯元/支，笔记本元/本，依题意可得解得 答：笔芯3元/支，笔记本5元/本.‎ ‎（2）方法一：合买笔芯，合算.‎ ‎∵整盒购买比单只购买每支可优惠0.5元 ‎∴小贤和小艺可一起购买整盒笔芯 ‎∴共可节约：0.5×10=5元.‎ ‎∵小工艺品的单价为3元，5+2＞3×2，‎ ‎∴他们既能买到各自需要的文具用品，又都能购买到一个小工艺品.‎ 方法二：合买笔芯，单算.‎ ‎∵整盒购买比单支购买每支可优惠0.5元，∴小贤和小艺可一起购买整盒笔芯.‎ ‎∴小工艺品的单价为3元，小贤：3×0.5+2=3.5＞3，小艺：7×0.5=3.5＞3‎ ‎∴他们既能买到各自需要的文具用品，又都能购买到一个小工艺品.‎