重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）14

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14.1.4 整式的乘法 第十四章 整式的乘法与因式分解 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 1 课时 单项式与单项式、多项式相乘 八年级数学上（RJ） 教学课件 学习目标 1. 掌握 单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算法则 . （重点） 2. 能够 灵活地进行单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算 . （难点） 导入新课 复习引入 1. 幂的运算性质有哪几条？ 同底数幂的乘法法则： a m ·a n =a m+n ( m 、 n 都是正整数 ). 幂的乘方法则： ( a m ) n =a mn ( m 、 n 都是正整数 ). 积的乘方法则： ( ab ) n =a n b n ( m 、 n 都是正整数 ). 2. 计算 ：（ 1 ） x 2 · x 3 · x 4 = ; (2)( x 3 ) 6 = ; (3)(-2 a 4 b 2 ) 3 = ; (4) ( a 2 ) 3 · a 4 = ； （ 5 ） . x 9 x 18 -8 a 12 b 6 a 10 1 讲授新课 单项式与单项式相乘 一 问题 1 光的速度约为 3×10 5 km / s ，太阳光照射到地球上需要的时间大约是 5×10 2 s ，你知道地球与太阳的距离约是多少吗 ? 地球与太阳的距离约是 (3×10 5 )×(5×10 2 )km 互动探究 (3×10 5 )×(5×10 2 ) =(3×5)×(10 5 ×10 2 ) =15×10 7 . 乘法交换律、结合律 同底数幂的乘法 这种书写规范吗？ 不规范，应为 1.5×10 8 . 想一想 ： 怎样计算 （ 3 ×10 5 ） × （ 5 ×10 2 ）？ 计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？ 问题 2 如果将上式中的数字改为字母，比如 ac 5 · bc 2 , 怎样计算这个式子？ 根据以上计算，想一想如何计算单项式乘以单项式？ ac 5 · bc 2 =( a ·b ) ·( c 5 · c 2 ) ( 乘法交换律、结合律 ） = abc 5+2 ( 同底数幂的乘法 ） = abc 7 . 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 . 知识要点 单项式与单项式的乘法法则 （ 1 ） 系数相乘； （ 2 ） 相同字母的幂相乘； （ 3 ） 其余字母连同它的指数不变，作为积的因式 . 注意 典例精析 例 1 计算： (1) (-5 a 2 b )(-3 a ) ； (2) ( 2 x ) 3 (- 5 xy 3 ) . 解 : (1) (-5 a 2 b )(-3 a ) = [(-5)×(-3)]( a 2 • a ) b = 15 a 3 b ； (2) (2 x ) 3 (-5 xy 3 ) =8 x 3 (-5 xy 3 ) =[8×(-5)]( x 3 • x ) y 3 =-40 x 4 y 3 . 单项式与单项式相乘 有理数的乘法与同底数幂的乘法 乘法交换律和结合律 转化 单项式相乘的结果仍是单项式 方法总结： (1) 在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积； (2) 注意按顺序运算； (3) 不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式； (4) 此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 计算： ( 1 ) 3 x 2 ·5 x 3 ； (2)4 y ·(-2 xy 2 ) ； ( 3 ) (-3 x ) 2 ·4 x 2 ； (4)(-2 a ) 3 (-3 a ) 2 . 解： ( 1) 原式 =(3×5)( x 2 · x 3 )=15 x 5 ； (2) 原式 =[4×(-2)]( y·y 2 ) · x =-8 xy 3 ； ( 3 ) 原式 =9 x 2 ·4 x 2 =(9×4)( x 2 · x 2 )=36 x 4 ； (4) 原式 =-8 a 3 ·9 a 2 =[(-8)×9]( a 3 · a 2 )=-72 a 5 单独因式 x 别漏乘漏写 有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘 . 注意 针对训练 下面计算结果对不对？如果不对，应当怎样改正？ （ 1 ） 3 a 3 ·2 a 2 =6 a 6 ( ) 改正： . (2) 2 x 2 ·3 x 2 =6 x 4 ( ) 改正： . (3)3 x 2 ·4 x 2 =12 x 2 ( ) 改正： . (4) 5 y 3 ·3 y 5 =15 y 15 ( ) 改正： . 3 a 3 ·2 a 2 =6 a 5 3 x 2 ·4 x 2 =12 x 4 5 y 3 ·3 y 5 =15 y 8 × × × 练一练 例 2 已知－ 2 x 3 m ＋ 1 y 2 n 与 7 x n － 6 y － 3 － m 的积与 x 4 y 是同类项，求 m 2 ＋ n 的值． 解： ∵ － 2 x 3 m ＋ 1 y 2 n 与 7 x n － 6 y － 3 － m 的积与 x 4 y 是同类项， ∴ m 2 ＋ n ＝ 7. 解得 方法总结： 单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘，结合同类项的定义，列出二元一次方程组求出参数的值，然后代入求值即可． 单项式与多项式相乘 二 问题 如图，试求出三块草坪的总面积是多少？ 如果把它看成三个小长方形，那么它们的面积可分别表示为 _____ 、 _____ 、 _____. p p a b p c p a p c p b p p a b p c c b a p 如果把它看成一个大长方形，那么它的边长为 ________, 面积可表示为 _________. p ( a+b+c ) ( a+b+c ) 如果把它看成三个小长方形，那么它们的面积可分别表示为 _____ 、 _____ 、 _____. 如果把它看成一个大长方形，那么它的面积可表示为 _________. c b a p p a p c p b p ( a+b+c ) p a+ p b+ p c p ( a+b+c ) p a+ p b+ p c p ( a+b+c ) p ( a + b+ c ) p b + p c p a + 根据乘法的分配律 知识要点 单项式乘以多项式的法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 . （ 1 ） 依据是乘法分配律 （ 2 ） 积的项数与多项式的项数相同 . 注意 m b p a p c 例 3 计算： (1)(-4 x ) · (2 x 2 +3 x -1) ； 解： (1) (-4 x )·(2 x 2 +3 x -1) ＝ ＝ -8 x 3 -12 x 2 +4 x ； (-4 x )· (2 x 2 ) (-4 x )·3 x (-4 x )·(-1) + + 典例精析 (2) 原式 单项式与多项式相乘 单项式与单项式相乘 乘法分配律 转化 例 4 先化简，再求值： 3 a (2 a 2 － 4 a ＋ 3) － 2 a 2 (3 a ＋ 4) ， 其中 a ＝－ 2. 当 a ＝－ 2 时， 解： 3 a (2 a 2 － 4 a ＋ 3) － 2 a 2 (3 a ＋ 4) ＝ 6 a 3 － 12 a 2 ＋ 9 a － 6 a 3 － 8 a 2 ＝－ 20 a 2 ＋ 9 a . 原式＝－ 20×4 － 9×2 ＝－ 98. 方法总结： 在做乘法计算时，一定要注意单项式的符号和多项式中每一项的符号，不要搞错． 例 5 如果 ( － 3 x ) 2 ( x 2 － 2 nx ＋ 2) 的展开式中不含 x 3 项，求 n 的值． 方法总结：在整式乘法的混合运算中，要注意运算顺序 . 注意当要求多项式中不含有哪一项时，则表示这一项的系数为 0. 解： ( － 3 x ) 2 ( x 2 － 2 nx ＋ 2) ＝ 9 x 2 ( x 2 － 2 nx ＋ 2) ＝ 9 x 4 － 18 nx 3 ＋ 18 x 2 . ∵ 展开式中不含 x 3 项， ∴ n ＝ 0. 1. 计算 3 a 2 ·2 a 3 的结果是（ ） A.5 a 5 B.6 a 5 C.5 a 6 D.6 a 6 2. 计算（ -9 a 2 b 3 )·8 ab 2 的结果是（ ） A.-72 a 2 b 5 B.72 a 2 b 5 C.-72 a 3 b 5 D.72 a 3 b 5 3. 若（ a m b n ） ·( a 2 b )= a 5 b 3 那么 m + n =( ) A.8 B.7 C.6 D.5 当堂练习 B C D (1)4( a - b +1)= ___________________ ； 4 a -4 b +4 (2)3 x (2 x - y 2 )= ___________________ ； 6 x 2 -3 xy 2 ( 3)(2 x -5 y +6 z ) (-3 x ) = ___________________ ； -6 x 2 +15 xy -18 xz ( 4)(-2 a 2 ) 2 (- a -2 b + c )= ___________________. -4 a 5 -8 a 4 b +4 a 4 c 4. 计算 5. 计算： － 2 x 2 · ( xy + y 2 )-5 x ( x 2 y - xy 2 ). 解：原式 =( -2 x 2 ) · xy +(-2 x 2 ) · y 2 +(-5 x ) · x 2 y +(-5 x ) ·(- xy 2 ) =-2 x 3 y +(-2 x 2 y 2 )+(-5 x 3 y )+5 x 2 y 2 =-7 x 3 y +3 x 2 y 2 . 6. 解方程： 8 x （ 5 － x ） =34 － 2 x （ 4 x － 3 ） . 解得 x =1. 解：去括号，得 40 x － 8 x 2 =34 － 8 x 2 +6 x ， 移项，得 40 x － 6 x =34 ， 合并同类项，得 34 x =34 ， 住宅用地 人民广场 商业用地 3 a 3 a +2 b 2 a-b 4 a 7. 如图，一块长方形地用来建造住宅 、 广场 、 商厦，求这块地的面积 . 解： 4 a [(3 a +2 b )+(2 a - b )] ＝ 4 a (5 a + b ) ＝ 4 a ·5 a +4 a·b =20 a 2 +4 ab ， 答：这块地的面积为 20 a 2 +4 ab . 8. 某同学在计算一个多项式乘以－ 3 x 2 时，算成了加上－ 3 x 2 ，得到的答案是 x 2 － 2 x ＋ 1 ，那么正确的计算结果是多少？ 拓展提升 解：设这个多项式为 A ，则 ∴A ＝ 4 x 2 － 2 x ＋ 1. ∴A·( － 3 x 2 ) ＝ (4 x 2 － 2 x ＋ 1)( － 3 x 2 ) A ＋ ( － 3 x 2 ) ＝ x 2 － 2 x ＋ 1 ， ＝－ 12 x 4 ＋ 6 x 3 － 3 x 2 . 课堂小结 整式乘法 单项式 × 单项式 实质上是转化为同底数幂的运算 单项式 × 多项式 实质上是转化为单项式 × 单 项式 四点注意 （ 1 ）计算时,要注意符号问题,多项式中 每一项 都 包括 它 前面的符号 , 单项式分别与多项式的每一项相乘时， 同号相乘得正，异号相乘得负 （ 2 ）不要出现漏乘现象（ 3 ）运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减 （ 4 ）对于混合运算，注意最后应合并同类项