【数学】2020届一轮复习北师大版第2讲古典概型学案

【数学】2020届一轮复习北师大版第2讲古典概型学案

第2讲　古典概型 ‎[最新考纲]‎ ‎1．理解古典概型及其概率计算公式．‎ ‎2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.‎ 知 识 梳 理 ‎1．基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是互斥的．‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．‎ ‎2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．‎ ‎3．古典概型的概率公式 P(A)＝.‎ 辨 析 感 悟 ‎1．古典概型的意义 ‎(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(×)‎ ‎(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(×)‎ ‎(3)(教材习题改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.(√)‎ ‎2．古典概型的计算 ‎(4)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为.(√)‎ ‎(5)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点 间的距离为的概率是0.2.(×)‎ ‎(6)(2018·新课标全国Ⅱ卷改编)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.(√)‎ ‎[感悟·提升]‎ ‎1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型，(1)、(2)不符合定义．‎ ‎2．从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集，故P(A)＝＝，如(4)；根据古典概型概率公式计算，如(5)、(6)．‎ 考点一　简单古典概型的概率 ‎【例1】 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：‎ ‎(1)所取的2道题都是甲类题的概率；‎ ‎(2)所取的2道题不是同一类题的概率．‎ 解　从6道题中任取2道有n＝C＝15(种)取法．‎ ‎(1)记“所取的2道题都是甲类题”为事件A，则A发生共有m＝C＝6种结果．‎ ‎∴所求事件概率P(A)＝＝＝.‎ ‎(2)记“所取的2道题不是同一类题”事件为B，事件B包含的基本事件有CC＝8(种)，则事件B的概率为P(B)＝.‎ 规律方法 有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．‎ ‎(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正 确使用.‎ 学生用书第183页 ‎【训练1】 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.‎ ‎(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；‎ ‎(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．‎ 解　(1)从5张卡片中任取两张，共有n＝C＝10种方法．‎ 记“两张卡片颜色不同且标号之和小于‎4”‎为事件A，则A包含基本事件m＝CC－1＝3个．‎ 由古典概型概率公式，P(A)＝＝.‎ ‎(2)从6张卡片中任取两张，共有n＝C＝15个基本事件，‎ 记“两张卡片颜色不同且标号之和小于‎4”‎为事件B，则事件B包含基本事件总数m＝C(C＋C)＋(CC－1)＝8，‎ ‎∴所求事件的概率P(B)＝＝.‎ 考点二　复杂的古典概型的概率 ‎【例2】 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：‎ ‎(1)两数中至少有一个奇数的概率；‎ ‎(2)以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率．‎ 解　由题意，先后掷2次，向上的点数(x，y)共有n＝6×6＝36种等可能结果，为古典概型．‎ ‎(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为.‎ ‎∵事件包含的基本事件数m＝CC＝9.‎ ‎∴P()＝＝，则P(B)＝1－P()＝，‎ 因此，两数中至少有一个奇数的概率为.‎ ‎(2)点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，则表示“点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆的外部”．‎ 又事件C包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共有8个．‎ ‎∴P(C)＝＝，从而P()＝1－P(C)＝1－＝.‎ ‎∴点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆外部的概率为.‎ 规律方法 (1)一是本题易把(2,4)和(4,2)，(1,2)和(2,1)看成同一个基本事件，造成计算错误．二是当所求事件情况较复杂时，一般要分类计算，即用互斥事件的概率加法公式或考虑用对立事件求解．‎ ‎(2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时，通常考虑用对立事件的概率公式P(A)＝1－P()求解．‎ ‎【训练2】 某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：‎ A B C D E 身高 ‎1.69‎ ‎1.73‎ ‎1.75‎ ‎1.79‎ ‎1.82‎ 体重指标 ‎19.2‎ ‎25.1‎ ‎18.5‎ ‎23.3‎ ‎20.9‎ ‎(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；‎ ‎(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．‎ 解　(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．‎ 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．‎ 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为 P＝＝.‎ ‎(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．‎ 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．‎ 因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P＝.‎ 考点三　古典概型与统计的综合问题 ‎【例3】 (2018·广东卷)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．‎ ‎(1)根据茎叶图计算样本均值；‎ ‎(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？‎ ‎(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．‎ 审题路线　(1)阅读茎叶图得出样本数据，利用平均数公式计算出样本均值．(2)根据样本算出优秀工人的比例，再估计12人中优秀工人的个数．(3)用组合数公式求出所有可能的组合的个数和符合条件的组合的个数，利用古典概型概率公式计算．‎ 解　(1)由茎叶图可知：样本数据为17,19,20,21,25,30.则＝(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，‎ 故样本均值为22.‎ ‎(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名，‎ 故优秀工人的频率为＝.‎ 该车间12名工人中优秀工人大约有12×＝4(名)，‎ 故该车间约有4名优秀工人．‎ ‎(3)记“恰有1名优秀工人”为事件A，其包含的基本事件总数为CC＝32‎ ‎，所有基本事件的总数为C＝66.‎ 由古典概型概率公式，得P(A)＝＝.‎ 所以恰有1名优秀工人的概率为.‎ 学生用书第184页 规律方法 (1)本题求解的关键在于从茎叶图准确提炼数据信息，进行统计与概率的正确计算．‎ ‎(2)一是题目考查茎叶图、样本均值、古典概型等基础知识，考查样本估计总体的思想方法，以及数据处理能力．二是求解时要设出所求事件，进行必要的说明，规范表达，这 都是得分的重点．‎ ‎【训练3】 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：‎ 分组(重量)‎ ‎[80,85)‎ ‎[85,90)‎ ‎[90,95)‎ ‎[95,100)‎ 频数(个)‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；‎ ‎(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？‎ ‎(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．‎ 解　(1)由题意知苹果的样本总数n＝50，在[90,95)的频数是20，∴苹果的重量在[90,95)的频率是＝0.4.‎ ‎(2)设从重量在[80,85)的苹果中抽取x个，则从重量在[95,100)的苹果中抽取(4－x)个．‎ ‎∵表格中[80,85)，[95,100)的频数分别是5,15，‎ ‎∴5∶15＝x∶(4－x)，解得x＝1.‎ 即重量在[80,85)的有1个．‎ ‎(3)在(2)中抽出的4个苹果中，重量在[80,85)中有1个，记为a，重量在[95,100)‎ 有3个，记为b1，b2，b3.‎ 任取2个，有ab1，ab2，ab3，b1b2，b1b3，b2b3共6种不同方法，记基本事件总数为n，则n＝6.‎ 其中重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件记为A，事件A包含的基本事件为ab1，ab2，ab3，共3个，‎ 由古典概型的概率计算公式得P(A)＝＝.‎ ‎1．古典概型计算三步曲 第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．‎ ‎2．确定基本事件的方法 ‎(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；(2)利用计数原理、排列与组合求基本事件的个数．‎ ‎3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．‎ 易错辨析10——基本事件计数不正确致误 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【典例】 (2018·江西卷，文)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图所示)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．‎ ‎(1)写出数量积X的所有可能取值；‎ ‎(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．‎ ‎[错解]　(1)数量积X的所有可能取值为－1,0,1.‎ ‎(2)X＝0时，有·，·，共2种情况；‎ X＝1时，有·，·，·，·，共4种情况；‎ X＝－1时，有·，·，共2种情况，‎ ‎∴所有基本事件总数n＝2＋4＋2＝8.‎ 因此，小波去下棋的概率p1＝＝，‎ 小波唱歌的概率p2＝＝，从而不去唱歌的概率p＝1－p2＝.‎ ‎[错因]　(1)没能准确计算出X的所有可能值，由数量积的运算知X可能取－2，－1,0,1，忽视·＝－2.‎ ‎(2)基本事件列举不全面，思维定势，如X＝－1，盲目认为向量共线，遗漏向量夹角为π的4种情形．‎ ‎[正解]　(1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1.‎ ‎(2)数量积为－2的有·，共1种，‎ 数量积为－1的有·，·，·，·，·，·，共6种．‎ 数量积为0的有·，·，·，·，共4种情形．‎ 数量积为1的有·，·，·，·，共4种情形．‎ 故所有可能的情况共有15种．‎ 所以小波去下棋的概率为p1＝；‎ 因为去唱歌的概率为p2＝，‎ 所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝1－＝.‎ ‎[防范措施]　(1)准确理解题意，向量数量积由向量的模、夹角共同确定，要考虑各种情形，注意分类求解．‎ ‎(2)‎ 计算基本事件总数时，画出几何图形、树形图、分类列举法、坐标网格法是克服此类错误的有效手段．‎ ‎【自主体验】‎ ‎1．(2018·安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　)．‎ A. B. C. D. 解析　设事件“甲或乙被录用”为事件A，则表示甲、乙都没被录用，由古典概型，P()＝＝，∴P(A)＝1－＝.‎ 答案　D ‎2．(2018·江苏卷)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．‎ 解析　因1≤m≤7,1≤n≤9且m，n∈N*，∴m为正奇数有4种情形，n为正奇数有5种，因此所求事件的概率P＝＝.‎ 答案