（超强精品）高考数学第一轮系统复习资料
第一章 集合
第一节 集合的含义、表示及基本关系
A 组
1．已知 A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合 A 与 B 的关系为________．
解析：由集合 B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B
2．若∅ {x|x2≤a，a∈R}，则实数 a 的取值范围是________．
解析：由题意知，x2≤a 有解，故 a≥0.答案：a≥0
3．已知集合 A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合 B＝{x|－2≤x<8}，则集合 A 与 B 的关系是
________．
解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴B A.
答案：B A
4．(2009 年高考广东卷改编)已知全集 U＝R，则正确表示集合 M＝{－1,0,1}和 N＝{x|x2＋x＝
0}关系的韦恩(Venn)图是________．
解析：由 N={x|x2+x=0}，得 N={-1,0}，则 N M.答案：②
5．(2010 年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合 A＝{x|x>5}，集合 B＝{x|x>a}，若命题
“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是________．
解析：命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不必要条件，∴AB，∴a<5.
答案：a<5
6．(原创题)已知 m∈A，n∈B，且集合 A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又 C
＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断 m＋n 属于哪一个集合？
解：∵m∈A，∴设 m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设 n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1
＋a2)＋1，而 a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B.
B 组
1．设 a，b 都是非零实数，y＝ a
|a|＋ b
|b|＋ ab
|ab|可能取的值组成的集合是________．
解析：分四种情况：(1)a>0 且 b>0；(2)a>0 且 b<0；(3)a<0 且 b>0；(4)a<0 且 b<0，讨
论得 y＝3 或 y＝－1.答案：{3，－1}
2．已知集合 A＝{－1,3,2m－1}，集合 B＝{3，m2}．若 B⊆A，则实数 m＝________.
解析：∵B⊆A，显然 m2≠－1 且 m2≠3，故 m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1.答案：
1
3．设 P，Q 为两个非空实数集合，定义集合 P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若 P＝{0,2,5}，Q
＝{1,2,6}，则 P＋Q 中元素的个数是________个．
解析：依次分别取 a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋
Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：8
4．已知集合 M＝{x|x2＝1}，集合 N＝{x|ax＝1}，若 NM，那么 a 的值是________．
解析：M＝{x|x＝1 或 x＝－1}，NM，所以 N＝∅时，a＝0；当 a≠0 时，x＝1
a＝1 或－
1，∴a＝1 或－1.答案：0,1，－1
5．满足{1} A⊆{1,2,3}的集合 A 的个数是________个．
解析：A 中一定有元素 1，所以 A 有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：3
6．已知集合 A＝{x|x＝a＋1
6，a∈Z}，B＝{x|x＝b
2－1
3，b∈Z}，C＝{x|x＝c
2＋1
6，c∈Z}，则
A、B、C 之间的关系是________．
解析：用列举法寻找规律．答案：A B＝C
7．集合 A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x
5”的________．
解析：结合数轴若 A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：
必要不充分条件
8．(2010 年江苏启东模拟)设集合 M＝{m|m＝2n，n∈N，且 m<500}，则 M 中所有元素的和
为________．
解析：∵2n<500，∴n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和 S＝1＋2＋2 2＋…＋2 8＝
511.答案：511
9．(2009 年高考北京卷)设 A 是整数集的一个非空子集，对于 k∈A，如果 k－1∉A，且 k＋1∉
A，那么称 k 是 A 的一个“孤立元”．给定 S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由 S 的 3 个元素构成的所有
集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
解析：依题可知，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一
定是相连的三个数．故这样的集合共有 6 个．答案：6
10．已知 A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，且 A＝B，试求 x，y 的值．
解：由 lg(xy)知，xy>0，故 x≠0，xy≠0，于是由 A＝B 得 lg(xy)＝0，xy＝1.
∴A＝{x,1,0}，B＝{0，|x|，1
x}．
于是必有|x|＝1，1
x＝x≠1，故 x＝－1，从而 y＝－1.
11．已知集合 A＝{x|x2－3x－10≤0}，
(1)若 B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数 m 的取值范围；
(2)若 A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数 m 的取值范围；
(3)若 A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数 m 的取值范围．
解：由 A＝{x|x2－3x－10≤0}，得 A＝{x|－2≤x≤5}，
(1)∵B⊆A，∴①若 B＝∅，则 m＋1>2m－1，即 m<2，此时满足 B⊆A.
②若 B≠∅，则Error!解得 2≤m≤3.
由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．
(2)若 A⊆B，则依题意应有Error!解得Error!故 3≤m≤4，
∴m 的取值范围是[3,4]．
(3)若 A＝B，则必有Error!解得 m∈∅.，即不存在 m 值使得 A＝B.
12．已知集合 A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}．
(1)若 A 是 B 的真子集，求 a 的取值范围；
(2)若 B 是 A 的子集，求 a 的取值范围；
(3)若 A＝B，求 a 的取值范围．
解：由 x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得 1≤x≤2，故 A＝{x|1≤x≤2}，
而集合 B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，
(1)若 A 是 B 的真子集，即 AB，则此时 B＝{x|1≤x ≤ a}，故 a>2.
(2)若 B 是 A 的子集，即 B⊆A，由数轴可知 1≤a≤2.
(3)若 A=B，则必有 a=2
第二节 集合的基本运算
A 组
1．(2009 年高考浙江卷改编)设 U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则 A∩∁UB＝____.
解析：∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩∁UB＝{x|01}，集合 B＝{x|m≤x≤m＋3}．
(1)当 m＝－1 时，求 A∩B，A∪B；
(2)若 B⊆A，求 m 的取值范围．
解：(1)当 m＝－1 时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|11，即 m 的取值范围为(1，＋∞)
B 组
1．若集合 M＝{x∈R|－33}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|
－2≤x<0}
4．集合 A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若 A∩B＝{2}，则 A∪B＝________.
解析：由 A∩B＝{2}得 log2a＝2，∴a＝4，从而 b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．
答案：{2,3,4}
5．(2009 年高考江西卷改编)已知全集 U＝A∪B 中有 m 个元素，(∁ UA)∪(∁UB)中有 n 个元
素．若 A∩B 非空，则 A∩B 的元素个数为________．
解析：U＝A∪B 中有 m 个元素，
∵(∁ UA)∪(∁ UB)＝∁ U(A∩B)中有 n 个元素，∴A∩B 中 有 m － n
个元素．答案：m－n
6．(2009 年高考重庆卷)设 U＝{n|n 是小于 9 的正整数}，A＝ {n∈U|n
是奇数}，B＝{n∈U|n 是 3 的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.
解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，
得∁U(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}
7．定义 A⊗B＝{z|z＝xy＋x
y，x∈A，y∈B}．设集合 A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}，则集合(A
⊗B)⊗C 的所有元素之和为________．
解析：由题意可求(A⊗B)中所含的元素有 0,4,5，则(A⊗B)⊗C 中所含的元素有 0,8,10，故
所有元素之和为 18.答案：18
8．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0 且 x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则 b＝________.
解析：由Error!⇒Error!点(0,2)在 y＝3x＋b 上，∴b＝2.
9．设全集 I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合 M
的所有子集是________．
解析：∵A∪(∁IA)＝I，∴{2,3，a2＋2a－3}＝{2,5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且 a2＋2a－3
＝5，解得 a＝－4 或 a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1,2}．
答案：∅，{1}，{2}，{1,2}
10．设集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若 A∩B＝{2}，求实数 a 的值；
(2)若 A∪B＝A，求实数 a 的取值范围．
解：由 x2－3x＋2＝0 得 x＝1 或 x＝2，故集合 A＝{1,2}．
(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入 B 中的方程，得 a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1 或 a＝－3；当
a＝－1 时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当 a＝－3 时，B＝{x|x 2－4x＋4＝0}＝
{2}，满足条件；综上，a 的值为－1 或－3.
(2)对于集合 B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B⊆A，
①当 Δ<0，即 a<－3 时，B＝∅满足条件；②当 Δ＝0，即 a＝－3 时，B＝{2}满足条件；
③当 Δ>0，即 a>－3 时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得
Error!⇒Error!矛盾.综上，a 的取值范围是 a≤－3.
11．已知函数 f(x)＝ 6
x＋1－1的定义域为集合 A，函数 g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集
合 B.
(1)当 m＝3 时，求 A∩(∁RB)；
(2)若 A∩B＝{x|－19
8.
综上可知，若 A＝∅，则 a 的取值范围应为 a>9
8.
(2)当 a＝0 时，方程 ax2－3x＋2＝0 只有一根 x＝2
3，A＝{2
3}符合题意．
当 a≠0 时，则 Δ＝9－8a＝0，即 a＝9
8时，
方程有两个相等的实数根 x＝4
3，则 A＝{4
3}．
综上可知，当 a＝0 时，A＝{2
3}；当 a＝9
8时，A＝{4
3}．
(3)当 a＝0 时，A＝{2
3}≠∅.当 a≠0 时，要使方程有实数根，
则 Δ＝9－8a≥0，即 a≤9
8.
综上可知，a 的取值范围是 a≤9
8，即 M＝{a∈R|A≠∅}＝{a|a≤9
8}
第二章 函数
第一节 对函数的进一步认识
A 组
1．(2009 年高考江西卷改编)函数 y＝
－x2－3x＋4
x 的定义域为________．
解析：Error!⇒x∈[－4,0)∪(0,1]
答案：[－4,0)∪(0,1]
2．(2010 年绍兴第一次质检)如图，函数 f(x)的图象是曲线 段 OAB，
其中点 O，A，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f( 1
f(3))的值
等于________．
解析：由图象知 f(3)＝1，f( 1
f(3))＝f(1)＝2.答案：2
3．(2009 年高考北京卷)已知函数 f(x)＝Error!若 f(x)＝2，则 x＝________.
解析：依题意得 x≤1 时，3x＝2，∴x＝log32；
当 x>1 时，－x＝2，x＝－2(舍去)．故 x＝log32.答案：log32
4．(2010 年黄冈市高三质检)函数 f：{1， 2}→{1， 2}满足 f[f(x)]>1 的
这样的函数个数有________个．
解析：如图．答案：1
5．(原创题)由等式 x3＋a1x2＋a2x＋a3＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3 定义一个映射 f(a1，
a2，a3)＝(b1，b2，b3)，则 f(2,1，－1)＝________.
解析：由题意知 x3＋2x2＋x－1＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3，
令 x＝－1 得：－1＝b3；
再令 x＝0 与 x＝1 得Error!，
解得 b1＝－1，b2＝0.
答案：(－1,0，－1)
6．已知函数 f(x)＝Error!(1)求 f(1－ 1
2－1
)，f{f[f(－2)]}的值；(2)求 f(3x－1)；(3)若 f(a)＝3
2，
求 a.
解：f(x)为分段函数，应分段求解．
(1)∵1－ 1
2－1
＝1－( 2＋1)＝－ 2<－1，∴f(－ 2)＝－2 2＋3，
又∵f(－2)＝－1，f[f(－2)]＝f(－1)＝2，∴f{f[f(－2)]}＝1＋1
2＝3
2.
(2)若 3x－1>1，即 x>2
3，f(3x－1)＝1＋ 1
3x－1＝ 3x
3x－1；
若－1≤3x－1≤1，即 0≤x≤3
2，f(3x－1)＝(3x－1)2＋1＝9x2－6x＋2；
若 3x－1<－1，即 x<0，f(3x－1)＝2(3x－1)＋3＝6x＋1.
∴f(3x－1)＝Error!
(3)∵f(a)＝3
2，∴a>1 或－1≤a≤1.
当 a>1 时，有 1＋1
a＝3
2，∴a＝2；
当－1≤a≤1 时，a2＋1＝3
2，∴a＝±
2
2 .
∴a＝2 或±
2
2 .
B 组
1．(2010 年广东江门质检)函数 y＝ 1
3x－2
＋lg(2x－1)的定义域是________．
解析：由 3x－2>0,2x－1>0，得 x>2
3.答案：{x|x>2
3}
2．(2010 年山东枣庄模拟)函数 f(x)＝Error!则 f(f(f(3
2)＋5))＝_.
解析：∵－1≤3
2≤2，∴f(3
2)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f(2)＝－3，
∴f(－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：7
3．定义在区间(－1,1)上的函数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则 f(x)的解析式为
________．
解析：∵对任意的 x∈(－1,1)，有－x∈(－1,1)，
由 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①
由 2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)，②
①×2＋②消去 f(－x)，得 3f(x)＝2lg(x＋1)＋lg(－x＋1)，
∴f(x)＝2
3lg(x＋1)＋1
3lg(1－x)，(－1f(1)的解集是________．
解析：由已知，函数先增后减再增，当 x≥0，f(x)>f(1)＝3 时，令 f(x)＝3，
解得 x＝1，x＝3.故 f(x)>f(1)的解集为 0≤x<1 或 x>3.
当 x<0，x＋6＝3 时，x＝－3，故 f(x)>f(1)＝3，解得－33.
综上，f(x)>f(1)的解集为{x|－33}．答案：{x|－33}
8．(2009 年高考山东卷)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝Error!则 f(3)的值为________．
解析：∵f(3)＝f(2)－f(1)，又 f(2)＝f(1)－f(0)，∴f(3)＝－f(0)，∵f(0)＝log24＝2，∴f(3)＝－
2.答案：－2
9．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5 分
钟内只进水，不出水，在随后的 15 分钟内既进水，又出水，得到时间 x 与容器中的水量 y
之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即 x≥20)，y 与 x 之间
函数的函数关系是________．
解析：设进水速度为 a1 升/分钟，出水速度为 a2 升/分钟，则由题意得Error!，得Error!，
则 y＝35－3(x－20)，得 y＝－3x＋95，又因为水放完为止，所以时间为 x≤95
3 ，又知 x≥20，
故解析式为 y＝－3x＋95(20≤x≤95
3 )．答案：y＝－3x＋95(20≤x≤95
3 )
10．函数 f(x)＝ (1－a2)x2＋3(1－a)x＋6.
(1)若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；
(2)若 f(x)的定义域为[－2,1]，求实数 a 的值．
解：(1)①若 1－a2＝0，即 a＝±1，
(ⅰ)若 a＝1 时，f(x)＝ 6，定义域为 R，符合题意；
(ⅱ)当 a＝－1 时，f(x)＝ 6x＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意．
②若 1－a2≠0，则 g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6 为二次函数．
由题意知 g(x)≥0 对 x∈R 恒成立，
∴Error!∴Error!
∴－ 5
11≤a<1.由①②可得－ 5
11≤a≤1.
(2)由题意知，不等式(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6≥0 的解集为[－2,1]，显然 1－a2≠0 且－2,1
是方程(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6＝0 的两个根．
∴Error!∴Error!∴a＝2.
11．已知 f(x＋2)＝f(x)(x∈R)，并且当 x∈[－1,1]时，f(x)＝－x 2＋1，求当 x∈[2k－1,2k＋
1](k∈Z)时、f(x)的解析式．
解：由 f(x＋2)＝f(x)，可推知 f(x)是以 2 为周期的周期函数．当 x∈[2k－1,2k＋1]时，2k
－1≤x≤2k＋1，－1≤x－2k≤1.∴f(x－2k)＝－(x－2k)2＋1.
又 f(x)＝f(x－2)＝f(x－4)＝…＝f(x－2k)，
∴f(x)＝－(x－2k)2＋1，x∈[2k－1,2k＋1]，k∈Z.
12．在 2008 年 11 月 4 日珠海航展上，中国自主研制的 ARJ 21 支线客机备受关注，接到了
包括美国在内的多国订单．某工厂有 216 名工人接受了生产 1000 件该支线客机某零部件的
总任务，已知每件零件由 4 个 C 型装置和 3 个 H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工 6
个 C 型装置或 3 个 H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，
设加工 C 型装置的工人有 x 位，他们加工完 C 型装置所需时间为 g(x)，其余工人加工完 H
型装置所需时间为 h(x)．(单位：h，时间可不为整数)
(1)写出 g(x)，h(x)的解析式；
(2)写出这 216 名工人完成总任务的时间 f(x)的解析式；
(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？
解：(1)g(x)＝2000
3x (0f(x2)”的是________．
①f(x)＝1
x ②f(x)＝(x－1)2 ③f(x)＝ex ④f(x)＝ln(x＋1)
解析：∵对任意的 x1，x2∈(0，＋∞)，当 x 1f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)
上为减函数．答案：①
2．函数 f(x)(x∈R)的图象如右图所示，则函数 g(x)＝f(logax)(00 时，f(x)＝e x＋ a
ex，则满足 f′(x)＝ex－ a
ex≥0 在 x∈[0,1]上恒成
立．只需满足 a≤(e2x)min 成立即可，故 a≤1，综上－1≤a≤1.
答案：－1≤a≤1
5．(原创题)如果对于函数 f(x)定义域内任意的 x，都有 f(x)≥M(M 为常数)，称 M 为 f(x)的下
界 ， 下 界 M 中 的 最 大 值 叫 做 f(x) 的 下 确 界 ， 下 列 函 数 中 ， 有 下 确 界 的 所 有 函 数 是
________．
①f(x)＝sinx；②f(x)＝lgx；③f(x)＝ex；④f(x)＝Error!
解析：∵sinx≥－1，∴f(x)＝sinx 的下确界为－1，即 f(x)＝sinx 是有下确界的函数；∵f(x)
＝lgx 的值域为(－∞，＋∞)，∴f(x)＝lgx 没有下确界；∴f(x)＝ex 的值域为(0，＋∞)，∴f(x)＝
ex 的下确界为 0，即 f(x)＝ex 是有下确界的函数；
∵f(x)＝Error!的下确界为－1.∴f(x)＝Error!是有下确界的函数．答案：①③④
6．已知函数 f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
(1)若存在 x∈R 使 f(x)0b<0 或 b>4.
(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4，
①当 Δ≤0 即－2 5
5 ≤m≤2 5
5 时，则必需
Error!－2 5
5 ≤m≤0.
②当 Δ>0 即 m<－2 5
5 或 m>2 5
5 时，设方程 F(x)＝0 的根为 x1，x2(x10.
∴Error!∴－40)在(3
4，＋∞)上是单调增函数，则实数 a 的取值范围__．
解析：∵f(x)＝x＋a
x(a>0)在( a，＋∞)上为增函数，∴ a≤3
4，00，a≠1)在区间(0，1
2)内恒有 f(x)>0，则 f(x)的单调递增区间
为__________．
解析：令 μ＝2x2＋x，当 x∈(0，1
2)时，μ∈(0,1)，而此时 f(x)>0 恒成立，∴00，即 x>0 或 x<－1
2.∴f(x)的
单调递增区间为(－∞，－1
2)．答案：(－∞，－1
2)
10．试讨论函数 y＝2(log1
2x)2－2log1
2x＋1 的单调性．
解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令 u＝g(x)＝log1
2x，y＝f(u)＝2u2－2u＋1，那
么原函数 y＝f[g(x)]是由 g(x)与 f(u)复合而成的复合函数，而 u＝log1
2x 在 x∈(0，＋∞)内是减
函数，y＝2u2－2u＋1＝2(u－1
2)2＋1
2在 u∈(－∞，1
2)上是减函数，在 u∈(1
2，＋∞)上是增函
数．又 u≤1
2，即 log1
2x≤1
2，得 x≥ 2
2 ；u>1
2，得 01 时，f(x)<0.
(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的单调性；(3)若 f(3)＝－1，解不等式 f(|x|)<－2.
解：(1)令 x1＝x2>0，代入得 f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故 f(1)＝0.
(2)任取 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1>x2，则x1
x2>1，由于当 x>1 时，f(x)<0，
所以 f(x1
x2)<0，即 f(x1)－f(x2)<0，因此 f(x1)9，∴x>9 或 x<－9.因此不等式的解集为{x|x>9 或 x<－9}．
12．已知：f(x)＝log3
x2＋ax＋b
x ，x∈(0，＋∞)，是否存在实数 a，b，使 f(x)同时满足下列三
个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f(x)的最小值是 1.若存在，求
出 a、b；若不存在，说明理由．
解：∵f(x)在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x＝1 时，f(x)最小，log3
1＋a＋b
1
＝1.即 a＋b＝2.
设 0＜x1＜x2≤1，则 f(x1)＞f(x2)．即x12＋ax1＋b
x1 ＞x22＋ax2＋b
x2 恒成立．
由此得(x1－x2)(x1x2－b)
x1x2 ＞0 恒成立．
又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b＜0 恒成立，∴b≥1.
设 1≤x3＜x4，则 f(x3)＜f(x4)恒成立．∴(x3－x4)(x3x4－b)
x3x4 ＜0 恒成立．
∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b 恒成立．∴b≤1.由 b≥1 且 b≤1 可知 b＝1，∴a＝1.∴
存在 a、b，使 f(x)同时满足三个条件．
第三节 函数的性质
A 组
1．设偶函数 f(x)＝log a|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则 f(a＋1)与 f(b＋2)的大小关系为
________．
解析：由 f(x)为偶函数，知 b＝0，∴f(x)＝loga|x|，又 f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以
0f(b＋2)．答案：f(a＋1)>f(b＋
2)
2．(2010 年广东三校模拟)定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数又是以 2 为周期的周期函数，
则 f(1)＋f(4)＋f(7)等于________．
解析：f(x)为奇函数，且 x∈R，所以 f(0)＝0，由周期为 2 可知，f(4)＝0，f(7)＝f(1)，又
由 f(x＋2)＝f(x)，令 x＝－1 得 f(1)＝f(－1)＝－f(1)⇒f(1)＝0，所以 f(1)＋f(4)＋f(7)＝0.答案：
0
3．(2009 年高考山东卷改编)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区间
[0,2]上是增函数，则 f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系为________．
解析：因为 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，所以 f(x－8)＝f(x)，所以函数是以 8 为周期的周期
函数，则 f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因为 f(x)在 R 上是奇函数，f(0)＝0，
得 f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由 f(x－4)＝－f(x)得 f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－
f(1－4)＝f(1)，又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以 f(1)>f(0)＝0，所以－f(1)<0，即 f(－
25)0)，由 f(1)＋f(4)＝0，得 a(1－2)2－5＋
a(4－2)2－5＝0，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－2)2－5(1≤x≤4)．
(3)∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)＝0，又知 y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设
f(x)＝kx(0≤x≤1)，而 f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k＝－3，∴当 0≤x≤1 时，f(x)＝－3x，从
而当－1≤x<0 时，f(x)＝－f(－x)＝－3x，故－1≤x≤1 时，f(x)＝－3x.∴当 4≤x≤6 时，有
－1≤x－5≤1，∴f(x)＝f(x－5)＝－3(x－5)＝－3x＋15.当 60，若
f(－1)＝0，那么关于 x 的不等式 xf(x)<0 的解集是________．
解析：在(0，＋∞)上有 f′(x)>0，则在(0，＋∞)上 f(x)是增函数，在(－∞，0)上是减函
数，又 f(x)在 R 上是偶函数，且 f(－1)＝0，∴f(1)＝0.从而可知 x∈(－∞，－1)时，f(x)>0；
x∈(－1,0)时，f(x)<0；x∈(0,1)时，f(x)<0；x∈(1，＋∞)时，f(x)>0.∴不等式的解集为(－∞，－
1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)．
5．(2009 年高考江西卷改编)已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于 x≥0，都有 f(x
＋2)＝f(x)，且当 x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则 f(－2009)＋f(2010)的值为________．
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－2009)＝f(2009)．∵f(x)在 x≥0 时 f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)周期
为 2.∴f(－2009)＋f(2010)＝f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(0)＝log22＋log21＝0＋1＝1.答案：1
6．(2010 年江苏苏州模拟)已知函数 f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的 x，满足 f(x＋2)＝
－ 1
f(x)，若当 2a，且|x1－a|<|x2－a|时，则 f(2a－x1)与 f(x2)的大小关系为________．
解析：∵y＝f(x＋a)为偶函数，∴y＝f(x＋a)的图象关于 y 轴对称，∴y＝f(x)的图象关于 x
＝a 对称．又∵f(x)在(－∞，a]上是增函数，∴f(x)在[a，＋∞)上是减函数．当 x1a，
且|x1－a|<|x2－a|时，有 a－x1f(x2)．答案：f(2a－x1)>f(x2)
8．已知函数 f(x)为 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x(x＋1)．若 f(a)＝－2，则实数 a＝
________.
解析：当 x≥0 时，f(x)＝x(x＋1)>0，由 f(x)为奇函数知 x<0 时，f(x)<0，∴a<0，f(－a)＝
2，∴－a(－a＋1)＝2，∴a＝2(舍)或 a＝－1.答案：－1
9．(2009 年高考山东卷)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上
是增函数．若方程 f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1＋x2＋
x3＋x4＝________.
解析：因为定义在 R 上的奇函数，满足 f(x－4)＝－f(x)，所以 f(4－x)＝f(x)，因此，函
数图象关于直线 x＝2 对称且 f(0)＝0.由 f(x－4)＝－f(x)知 f(x－8)＝f(x)，所以函数是以 8 为周
期的周期函数．又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以 f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，
如图所示，那么方程 f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，不妨设 x1
＜x2＜x3＜x4.由对称性知 x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以 x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8. 答
案：-8
10．已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x∈(－∞，0)时，f(x)＝－xlg(2－x)，求 f(x)的解析
式．
解：∵f(x)是奇函数，可得 f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.当 x>0 时，－x<0，由已知 f(－x)＝xlg(2
＋x)，∴－f(x)＝xlg(2＋x)，即 f(x)＝－xlg(2＋x) (x>0)．
∴f(x)＝Error!即 f(x)＝－xlg(2＋|x|)(x∈R)．
11．已知函数 f(x)，当 x，y∈R 时，恒有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如
果 x∈R＋，f(x)<0，并且 f(1)＝－1
2，试求 f(x)在区间[－2,6]上的最值．
解：(1)证明：∴函数定义域为 R，其定义域关于原点对称．
∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令 y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令 x＝y＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，
得 f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，得 f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)法一：设 x，y∈R＋，∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)．
∵x∈R＋，f(x)<0，∴f(x＋y)－f(x)<0，∴f(x＋y)x，∴f(x)在(0，＋∞)上是
减函数．又∵f(x)为奇函数，f(0)＝0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f(－2)为最大值，
f(6)为最小值．∵f(1)＝－1
2，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴
所求 f(x)在区间[－2,6]上的最大值为 1，最小值为－3.
法二：设 x10，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.即 f(x)在 R 上单调递减．∴f(－2)为最大值，f(6)为最
小值．∵f(1)＝－1
2，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求 f(x)
在区间[－2,6]上的最大值为 1，最小值为－3.
12．已知函数 f(x)的定义域为 R，且满足 f(x＋2)＝－f(x)．
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)若 f(x)为奇函数，且当 0≤x≤1 时，f(x)＝1
2x，求使 f(x)＝－1
2在[0,2010]上的所有 x 的
个数．
解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴f(x)是以 4 为周期的周期函数．
(2)当 0≤x≤1 时，f(x)＝1
2x，
设－1≤x≤0，则 0≤－x≤1，∴f(－x)＝1
2(－x)＝－1
2x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－1
2x，即 f(x)＝1
2x.故 f(x)＝1
2x(－1≤x≤1)
又设 11，b<0，且 a b＋a －b ＝2 2，则 ab－a －b 的值等于
________．
解析：∵a>1，b<0，∴01.又∵(ab＋a－b)2＝a2b＋a－2b＋2＝8，∴a2b＋a－2b＝
6，∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴ab－a－b＝－2.答案：－2
2．已知 f(x)＝ax＋b 的图象如图所示，则 f(3)＝________.
解析：由图象知 f(0)＝1＋b＝－2，∴b＝－3.又 f(2) ＝ a2 － 3
＝0，∴a＝ 3，则 f(3)＝( 3)3－3＝3 3－3.
答案：3 3－3
3．函数 y＝(1
2)2x－x2 的值域是________．
解析：∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
∴(1
2)2x－x2≥1
2.答案：[1
2，＋∞)
4．(2009 年高考山东卷)若函数 f(x)＝ax－x－a(a>0，且 a≠1)有两个零点，则实数 a 的取值
范围是________．
解析：函数 f(x)的零点的个数就是函数 y＝ax 与函数 y＝x＋a 交点的个数，由函数的图
象可知 a>1 时两函数图象有两个交点，01. 答案：(1，
+∞)
5．(原创题)若函数 f(x)＝a x －1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数 a 等于
________．
解析：由题意知Error!无解或Error!⇒a＝ 3.答案： 3
6．已知定义域为 R 的函数 f(x)＝
－2x＋b
2x＋1＋a是奇函数．(1)求 a，b 的值；
(2)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立，求 k 的取值范围．
解：(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f(0)＝0，即
－1＋b
2＋a ＝0，解得 b＝1.
从而有 f(x)＝
－2x＋1
2x＋1＋a.又由 f(1)＝－f(－1)知
－2＋1
4＋a ＝－
－1
2＋1
1＋a ，解得 a＝2.
(2)法一：由(1)知 f(x)＝
－2x＋1
2x＋1＋2＝－1
2＋ 1
2x＋1，
由上式易知 f(x)在 R 上为减函数，又因 f(x)是奇函数，从而不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0
⇔f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因 f(x)是 R 上的减函数，由上式推得 t2－2t>－2t2＋k.
即对一切 t∈R 有 3t2－2t－k>0，从而 Δ＝4＋12k<0，解得 k<－1
3.
法二：由(1)知 f(x)＝
－2x＋1
2x＋1＋2，又由题设条件得
－2t2－2t＋1
2t2－2t＋1＋2＋
－22t2－k＋1
22t2－k＋1＋2<0
即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)(－22t2－k＋1)<0
整理得 23t2－2t－k>1，因底数 2>1，故 3t2－2t－k>0
上式对一切 t∈R 均成立，从而判别式 Δ＝4＋12k<0，解得 k<－1
3.
B 组
1．如果函数 f(x)＝ax＋b－1(a>0 且 a≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
那么一定有________．
①00 ②01 且 b<0 ④a>1 且 b>0
解析：当 00，a≠1)；
②g(x)≠0；若f(1)
g(1)＋f(－1)
g(－1)＝5
2，则 a 等于________．
解析：由 f(x)＝ax·g(x)得 f(x)
g(x)＝ax，所以f(1)
g(1)＋f(－1)
g(－1)＝5
2⇒a＋a－1＝5
2，解得 a＝2 或1
2.答
案：2 或1
2
4．(2010 年北京朝阳模拟)已知函数 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)，其反函数为 f－1(x)．若 f(2)＝9，
则 f－1(1
3)＋f(1)的值是________．
解析：因为 f(2)＝a2＝9，且 a>0，∴a＝3，则 f(x)＝3x＝1
3，∴x＝－1，
故 f－1(1
3)＝－1.又 f(1)＝3，所以 f－1(1
3)＋f(1)＝2.答案：2
5．(2010 年山东青岛质检)已知 f(x)＝(1
3)x，若 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称的图象对应的函
数为 g(x)，则 g(x)的表达式为________．
解析：设 y＝g(x)上任意一点 P(x，y)，P(x，y)关于 x＝1 的对称点 P′(2－x，y)在 f(x)＝
(1
3)x 上，∴y＝(1
3)2－x＝3x－2.答案：y＝3x－2(x∈R)
6．(2009 年高考山东卷改编)函数 y＝ex＋e－x
ex－e－x的图象大致为________．
解析：∵f(－x)＝e－x＋ex
e－x－ex＝－ex＋e－x
ex－e－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除④.
又∵y＝ex＋e－x
ex－e－x＝e2x＋1
e2x－1＝e2x－1＋2
e2x－1 ＝1＋ 2
e2x－1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，
排除②、③.答案：①
7．(2009 年高考辽宁卷改编)已知函数 f(x)满足：当 x≥4 时，f(x)＝(1
2)x；当 x<4 时，f(x)＝f(x
＋1)，则 f(2＋log23)＝________.
解析：∵2<3<4＝22，∴10，且
a≠1)在区间[－1,1]上的最大值为 14，求实数 a 的值．
解：f(x)＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，∵x∈[－1,1]，
(1)当 01 时，1
a≤ax≤a，∴当 ax＝a 时，f(x)取得最大值．
∴(a＋1)2－2＝14，∴a＝3.综上可知，实数 a 的值为1
3或 3.
11．已知函数 f(x)＝
－2
2x－a＋1.(1)求证：f(x)的图象关于点 M(a，－1)对称；
(2)若 f(x)≥－2x 在 x≥a 上恒成立，求实数 a 的取值范围．
解：(1)证明：设 f(x)的图象 C 上任一点为 P(x，y)，则 y＝－ 2
2x－a＋1，
P(x，y)关于点 M(a，－1)的对称点为 P′(2a－x，－2－y)．
∴－2－y＝－2＋ 2
2x－a＋1＝
－2·2x－a
2x－a＋1 ＝
－2
1＋2－(x－a)＝
－2
2(2a－x)－a＋1，
说明点 P′(2a－x，－2－y)也在函数 y＝
－2
2x－a＋1的图象上，由点 P 的任意性知，f(x)的
图象关于点 M(a，－1)对称．
(2)由 f(x)≥－2x 得
－2
2x－a＋1≥－2x，则 2
2x－a＋1≤2x，化为 2x－a·2x＋2x－2≥0，则有(2x)2＋
2a·2x－2·2 a≥0 在 x≥a 上恒成立．令 g(t)＝t 2＋2a·t－2·2 a，则有 g(t)≥0 在 t≥2a 上恒成
立．∵g(t)的对称轴在 t＝0 的左侧，∴g(t)在 t≥2a 上为增函数．
∴g(2a)≥0.∴(2a)2＋(2a)2－2·2a≥0，∴2a(2a－1)≥0，则 a≥0.即实数 a 的取值范围为 a≥0.
12．(2008 年高考江苏)若 f1(x)＝3|x－p1|，f2(x)＝2·3|x－p2|，x∈R，p1、p2 为常数，且
f(x)＝Error!(1)求 f(x)＝f1(x)对所有实数 x 成立的充要条件(用 p1、p2 表示)；(2)设 a，b
是两个实数，满足 ap2 时，g(x)＝Error!
所以 g(x)max＝p1－p2，故只需 p1－p2≤log32.
当 p1log32 时，不妨设 p1log32.于是，当 x≤p1 时，有 f1(x)＝3p1－
x<3p2－x3log32·3x－p2＝f2(x)，从而 f(x)＝f2(x)．
当 p10，且 a≠1)的反函数，其图象经
过点( a，a)，则 f(x)＝________.
解析：由题意 f(x)＝logax，∴a＝logaa
1
2＝1
2，∴f(x)＝log
1
2x.答案：log
1
2x
2．(2009 年高考全国卷Ⅱ)设 a＝log3π，b＝log2 3，c＝log3 2，则 a、b、c 的大小关系是________．
解析：a＝log 3π>1，b＝log 2 3＝1
2log23∈(1
2，1)，c＝log 3 2＝1
2log32∈(0， 1
2)，故有
a>b>c.答案：a>b>c
3．若函数 f(x)＝ ，则 f(log43)＝________.
解析：01.
又 1
x＋1是单调递减的，故 g(x)递减且过(0,0)点，∴④正确．答案：④
5．(原创题)已知函数 f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且 f( 1
2010)＝4，则 f(2010)的值为_．
解析：设 F(x)＝f(x)－2，即 F(x)＝alog2x＋blog3x，则 F(1
x)＝alog2
1
x＋blog3
1
x＝－(alog2x＋
blog3x)＝－F(x)，∴F(2010)＝－F( 1
2010)＝－[f( 1
2010)－2]＝－2，
即 f(2010)－2＝－2，故 f(2010)＝0.答案：0
6．若 f(x)＝x2－x＋b，且 f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a>0 且 a≠1)．(1)求 f(log2x)的最小值及相
∈
−∈
]1,0[,4
)0,1[,4
1
x
x
x
x
应 x 的值；(2)若 f(log2x)>f(1)且 log2f(x)0；④f(x1＋x2
2 )lg x1x2，所以④错误．
答案：②③
3．(2010 年枣庄第一次质检)对任意实数 a、b，定义运算“*”如下：
a*b＝Error!，则函数 f(x)＝log
1
2(3x－2)*log2x 的值域为________．
解析：在同一直角坐标系中画出 y＝log1
2(3x－2)和 y＝log2x 两个函数的图象，
由图象可得
f(x)＝Error!，值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]
4．已知函数 y＝f(x)与 y＝ex 互为反函数，函数 y＝g(x)的图象与 y＝f(x)的图象关于 x 轴对称，
若 g(a)＝1，则实数 a 的值为________．
解析：由 y＝f(x)与 y＝ex 互为反函数，得 f(x)＝lnx，因为 y＝g(x)的图象与 y＝f(x)的图象
关于 x 轴对称，故有 g(x)＝－lnx，g(a)＝1⇒lna＝－1，所以 a＝1
e.
答案：1
e
5．已知函数 f(x)满足 f( 2
x＋|x|)＝log2 x|x|，则 f(x)的解析式是________．
解析：由 log2 x|x|有意义可得 x>0，所以，f( 2
x＋|x|)＝f(1
x)，log2 x|x|＝log2x，即有 f(1
x)＝
log2x，故 f(x)＝log2
1
x＝－log2x.答案：f(x)＝－log2x，(x>0)
6．(2009 年高考辽宁卷改编)若 x1 满足 2x＋2x＝5，x2 满足 2x＋2log2(x－1)＝5，则 x1＋x2＝
________.
解析：由题意 2x1＋2x1＝5，①2x2＋2log2(x2－1)＝5，②所以 2x1＝5－2x1，x1＝log2(5－
2x1)，即 2x1＝2log2(5－2x1)．令 2x1＝7－2t，代入上式得 7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－
1)，∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得 t＝x2，于是 2x1＝7－2x2.∴x1＋x2＝T
2.答案：7
2
7．当 x∈[n，n＋1)，(n∈N)时，f(x)＝n－2，则方 程 f(x)
＝log2x 根的个数是________．
解析：当 n＝0 时，x∈[0,1)，f(x)＝－2；
当 n＝1 时，x∈[1,2)，f(x)＝－1；
当 n＝2 时，x∈[2,3)，f(x)＝0；
当 n＝3 时，x∈[3,4)，f(x)＝1；
当 n＝4 时，x∈[4,5)，f(x)＝2；
当 n＝5 时，x∈[5,6)，f(x)＝3.答案：2
8．(2010 年福建厦门模拟)已知 lga＋lgb＝0，则函数 f(x)＝ax 与函数 g(x)＝－logbx 的图象可
能是________．
解析：由题知，a＝1
b，则 f(x)＝(1
b)x＝b－x，g(x)＝－logbx，当 01 时，f(x)单调递减，g(x)单调递减．
答案：②
9．已知曲线 C：x 2＋y2＝9(x≥0，y≥0)与函数 y＝log 3x 及函数 y＝3x 的图象分别交于点
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x12＋x22 的值为________．
解析：∵y＝log3x 与 y＝3x 互为反函数，所以 A 与 B 两点关于 y＝x 对称，所以 x1＝y2，
y1＝x2，∴x12＋x22＝x12＋y12＝9.答案：9
10．已知函数 f(x)＝lgkx－1
x－1 (k∈R 且 k>0)．(1)求函数 f(x)的定义域；
(2)若函数 f(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，求 k 的取值范围．
解：(1)由kx－1
x－1 >0 及 k>0 得
x－1
k
x－1>0，即(x－1
k)(x－1)>0.
①当 01
k；②当 k＝1 时，x∈R 且 x≠1；③当 k>1 时，x<1
k或 x>1.综
上可得当 00，∴k> 1
10.
又 f(x)＝lgkx－1
x－1 ＝lg(k＋k－1
x－1)，故对任意的 x1，x2，当 10≤x1 1
x2－1，∴k－1<0，∴k<1.综上可知 k∈( 1
10，1)．
11．(2010 年天津和平质检)已知 f(x)＝loga
1＋x
1－x(a>0，a≠1)．(1)求 f(x)的定义域；
(2)判断 f(x)的奇偶性并给予证明；(3)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围．
解：(1)由1＋x
1－x>0 ，解得 x∈(－1,1)．
(2)f(－x)＝loga
1－x
1＋x＝－f(x)，且 x∈(－1,1)，∴函数 y＝f(x)是奇函数．
(3)若 a>1，f(x)>0，则1＋x
1－x>1，解得 00，则 0<1＋x
1－x<1，解得－
10 且 a≠1.
(1)对于函数 f(x)，当 x∈(－1,1)时，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数 m 的集合；
(2)x∈(－∞，2)时，f(x)－4 的值恒为负数，求 a 的取值范围．
解：令 logax＝t(t∈R)，则 x＝at，∴f(t)＝ a
a2－1(at－a－t)，
∴f(x)＝ a
a2－1(ax－a－x)．∵f(－x)＝ a
a2－1(a－x－ax)＝－f(x)，
∴f(x)是 R 上的奇函数．
当 a>1 时， a
a2－1>0，ax 是增函数，－a－x 是增函数，∴f(x)是 R 上的增函数；
当 00 且 a≠1 时，f(x)是 R 上的增函数．
(1)由 f(1－m)＋f(1－m2)<0 有 f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)，
∴Error!解得 m∈(1， 2)．
(2)∵f(x)是 R 上的增函数，∴f(x)－4 也是 R 上的增函数，由 x<2，得 f(x)1 且 01 的解集为________．
解析：∵a>1,01⇔log b(x－3)>0⇔log b(x－3)>log b1⇔01 时， ＝x >1，∴x>x ，∴排
除①.答案：④
3．(2010 年江苏海门质检)若 x∈(0,1)，则下列结论正确的是__________．
①2x>x >lgx ②2x>lgx>x ③x >2x>lgx ④lgx>x >2x
3
2
3
2
3
2
x
x 3
1
3
2
2
1
2
1
2
1
2
1
解析：∵x∈(0,1)，∴2>2x>1,00，即 a<0.由 a2≥1 知 a≤－1.因此，a 的取值
范围为(－∞，－1]．
(2)记 f(x)的最小值为 g(a)．则有 f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|
＝Error!
(ⅰ)当 a≥0 时，f(－a)＝－2a2，由①②知 f(x)≥－2a2，此时 g(a)＝－2a2.
(ⅱ)当 a<0 时，f(a
3)＝2
3a2.若 x>a，则由①知 f(x)≥2
3a2；
若 x≤a，则 x＋a≤2a<0，由②知 f(x)≥2a2>2
3a2.此时 g(a)＝2
3a2.
综上，得 g(a)＝Error!
(3)(ⅰ)当 a∈(－∞，－ 6
2 ]∪[
2
2 ，＋∞)时，解集为(a，＋∞)；
(ⅱ)当 a∈[－ 2
2 ， 2
2 )时，解集为[a＋ 3－2a2
3 ，＋∞)；
(ⅲ)当 a∈(－ 6
2 ，－ 2
2 )时，解集为(a，a－ 3－2a2
3 ]∪[a＋ 3－2a2
3 ，＋∞)．
B 组
2
1
2
1
1．(2010 年江苏无锡模拟)幂函数 y＝f(x)的图象经过点(－2，－1
8)，则满足 f(x)＝27 的 x 的值
是__________．
解析：设幂函数为 y＝xα，图象经过点(－2，－1
8)，则－1
8＝(－2)α，∴α＝－3，∵x－3＝
27，∴x＝1
3.答案：1
3
2．(2010 年安徽蚌埠质检)已知幂函数 f(x)＝xα 的部分对应值如下表：
x 1 1
2
f(x) 1 2
2
则不等式 f(|x|)≤2 的解集是__________．
解析：由表知 2
2 ＝(1
2)α，∴α＝1
2，∴f(x)＝x
1
2.∴(|x|)
1
2≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.
答案：{x|－4≤x≤4}
3．(2010 年广东江门质检)设 k∈R，函数 f(x)＝Error!F(x)＝f(x)＋kx，x∈R.当 k＝1 时，F(x)
的值域为__________．
解析：当 x>0 时，F(x)＝1
x＋x≥2；当 x≤0 时，F(x)＝ex＋x，根据指数函数与幂函数的
单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)≤F(0)＝1，所以 k＝1 时，F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋
∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)
4．设函数 f(x)＝Error!若 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于 x 的不等式 f(x)≤1 的解集为
__________．
解析：由 f(－4)＝f(0)，得 b＝4.又 f(－2)＝0，可得 c＝4，∴Error!或Error!可得－3≤x≤
－1 或 x>0.答案：{x|－3≤x≤－1 或 x>0}
5．(2009 年高考天津卷改编)已知函数 f(x)＝Error!若 f(2－a2)>f(a)，则实数 a 的取值范围是
__________．
解析：函数 f(x)＝Error!的图象如图．
知 f(x)在 R 上为增函数．
∵f(2－a2)>f(a)，即 2－a2>a.
解得－20 时，g(x)＝－
2＋2x＝0，∴x＝1；当 x≤0 时，g(x)＝－x2＋1
2x＋1＋x＝0，∴x2－3
2x－1＝0，∴x＝2(舍)或
x＝－1
2，所以有两个零点．答案：2
8．设函数 f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①c＝0 时，f(x)是奇函数；②b＝0，c>0
时，方程 f(x)＝0 只有一个实根；③f(x)的图象关于(0，c)对称；④方程 f(x)＝0 至多有两个实
根．其中正确的命题是__________．
解析：c＝0 时，f(－x)＝－x|－x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故 f(x)是奇函数；b＝0，
c>0 时，f(x)＝x|x|＋c＝0，∴x≥0 时，x 2＋c＝0 无解，x<0 时，f(x)＝－x 2＋c＝0，∴x＝－
c，有一个实数根．答案：①②③
9．(2010 年湖南长沙质检)对于区间[a，b]上有意义的两个函数 f(x)与 g(x)，如果对于区间[a，
b]中的任意数 x 均有|f(x)－g(x)|≤1，则称函数 f(x)与 g(x)在区间[a，b]上是密切函数，[a，b]
称为密切区间．若 m(x)＝x2－3x＋4 与 n(x)＝2x－3 在某个区间上是“密切函数”，则它的一
个密切区间可能是________．
①[3,4] ②[2,4] ③[2,3] ④[1,4]
解析：|m(x)－n(x)|≤1⇒|x2－5x＋7|≤1，解此绝对值不等式得 2≤x≤3，故在区间[2,3]
上|m(x)－n(x)|的值域为[0,1]，∴|m(x)－n(x)|≤1 在[2,3]上恒成立．
答案：③
10．设函数 f(x)＝x2＋2bx＋c(c0，
∴f(m－4)的符号为正．
11．(2010 年安徽合肥模拟)设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，且 f(1)＝－a
2，3a>2c>2b，求证：(1)a>0
且－32c>2b，∴3a>0,2b<0，∴a>0，b<0.又 2c＝－3a－2b，由 3a>2c>2b，
∴3a>－3a－2b>2b.∵a>0，∴－30 时，∵a>0，∴f(0)＝c>0 且 f(1)＝－a
2<0，
∴函数 f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点．
②当 c≤0 时，∵a>0，∴f(1)＝－a
2<0 且 f(2)＝a－c>0，∴函数 f(x)在区间(1,2)内至少有
一个零点．综合①②得 f(x)在(0,2)内至少有一个零点．
(3)∵x1、x2 是函数 f(x)的两个零点，则 x1、x2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，∴x1＋x2
＝－b
a，x1x2＝c
a＝－3
2－b
a，∴|x1－x2|＝ (x1＋x2)2－4x1x2＝ (－f(b,a))2－4(－f(3,2)－f(b,a))＝
(f(b,a)＋2)2＋2.∵－30，α＋β＝－3
a，α·β＝b
a.由|α－β|＝1 得(α－β)2＝1，
即(α＋β)2－4αβ＝ 9
a2－4b
a ＝1，∴9－4ab＝a2，即 a2＋4ab＝9(a<0，a、b∈R)．
(2)由(1)得 a(a＋4b)＝9，∵a、b 均为负整数，
∴Error!或Error!或Error!显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有Error!∴Error!
故所求函数解析式为 f(x)＝－x2＋4x－2.
(3)证明：由已知得 x1＋x2＝－4
a，x1·x2＝b
a，又由 α<1<β<2 得 α＋β＝－3
a<3，α·β＝b
a<2，∴
－1
a<1，∴(x1＋1)(x2＋1)＝x1·x2＋(x1＋x2)＋1＝b
a－4
a＋1<2＋4＋1＝7，
即(x1＋1)(x2＋1)<7.
第四节 函数的图像特征
A 组
1．命题甲：已知函数 f(x)满足 f(1＋x)＝f(1－x)，则 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称．命题乙：
函 数 f(1 ＋ x) 与 函 数 f(1 － x) 的 图 象 关 于 直 线 x ＝ 1 对 称 ． 则 甲 、 乙 命 题 正 确 的 是
__________．
解析：可举实例说明如 f(x)＝2x，依次作出函数 f(1＋x)与函数 f(1－x)的图象判断．答案：
甲
2．(2010 年济南市高三模拟考试)函数 y＝ x
|x|·ax(a>1)的图象的基本形状是_____．
解析：先去绝对值将已知函数写成分段函数形式，再作图象即可，函数解析式：y＝Error!，
由指数函数图象易知①正确．
答案：①
3．已知函数 f(x)＝(1
5)x－log3x，若 x0 是方程 f(x)＝0 的 解 ， 且
0log3x1，
∴f(x1)>0.答案：正值
4．(2009 年高考安徽卷改编)设 ab 时，y>0.由数轴穿根法，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有③
正确．答案：③
5．(原创题)已知当 x≥0 时，函数 y＝x2 与函数 y＝2x 的图象如图所示，则当 x≤0 时，不等
式 2x·x2≥1 的解集是__________．
解析：在 2x·x2≥1 中，令 x＝－t，由 x≤0 得 t≥0，
∴2－t·(－t)2≥1，即 t2≥2t，由所给图象得 2≤t≤4，
∴2≤－x≤4，解得－4≤x≤－2.
答案：－4≤x≤－2
6．已知函数 f(x)＝
(1)画出 f(x)的图象；(2)写出 f(x)的单调递增区间．
解：(1)函数 f(x)的图象如图所示．,
(2)由图象可知，函数 f(x)的单调递增区间为[-1,0]，[2,5]．
B 组
1.(2010 年合肥市高三质检)函数 f(x)＝ln 1－x
1＋x的图象只可能是__________．
解析：本题中 f(x)的定义域为{x|－10 时，g(x)＝
log2x，则函数 y＝f(x)·g(x)的大致图象为__________．
解析：f(x)为偶函数，g(x)是奇函数，所以 f(x)·g(x)为奇函数，图象关于原点对称，当 x→
＋∞时，f(x)→－∞，g(x)→＋∞，所以 f(x)·g(x)→－∞ 答 案 ：
②
5．某加油机接到指令，给附近空中一运输机加油．运输机的余油量为 Q1(吨)，加油机加油
箱内余油 Q2(吨)，加油时间为 t 分钟，Q1、Q2 与时间 t 的函数关系式的图象如右图．若运输
机加完油后以原来的速度飞行需 11 小时到达目的地，问运输机的油料是否够用？________.
解析：加油时间 10 分钟，Q1 由 30 减小为 0.Q2 由 40 增加到 69，因而 10 分钟时间内运
输机用油 1 吨．以后的 11 小时需用油 66 吨．因 69>66，故运输机的油料够用．答案：够用
6．已知函数 y＝f(x)(x∈R)满足 f(x＋2)＝f(x)，且 x∈(－1,1]时，f(x)＝|x|，则 y＝f(x)与 y＝log7x
的交点的个数为__________．
解析：由 f(x＋2)＝f(x)知函数 y＝f(x)为周期为 2 的周期函数，作图．
答案：6
7．函数 y＝x
m
n(m，n∈Z，m≠0，|m|，|n|互质)图象如图所 示 ， 则 下
列结论正确的是__________．
①mn>0，m，n 均为奇数
②mn<0，m，n 一奇一偶
③mn<0，m，n 均为奇数
④mn>0，m，n 一奇一偶
解析：由于幂函数在第一象限的图象趋势表明函数在(0，＋∞)上单调递减，此时只需
保证m
n<0，即 mn<0，有 y＝x
m
n＝x－
|m|
|n|；同时函数只在第一象限有图象，则函数的定义域为
(0，＋∞)，此时|n|定为偶数，n 即为偶数，由于两个数互质，则 m 定为奇数．答案：②
8．(2009 年高考福建卷改编)定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，
下列函数中与 f(x)的单调性不同的是
①y＝x2＋1
②y＝|x|＋1
③y＝Error!
④y＝Error!
解析：∵f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在(－ 2,0)上为减函
数，而 y＝x3＋1 在(－∞，0)上为增函数．答案：③
9．(2010 年安徽合肥模拟)已知函数图象 C′与 C：y(x＋a＋1)＝ax＋a2＋1 关于直线 y＝x 对
称，且图象 C′关于点(2，－3)对称，则 a 的值为__________．
解析：∵C′与 C：y(x＋a＋1)＝ax＋a2＋1 关于直线 y＝x 对称，
∴C′为 x(y＋a＋1)＝ay＋a2＋1.整理得，y＋1＋a＝1－a
x－a.
∵C′关于点(2，－3)对称，∴a＝2.答案：2
10．作下列函数的图象：
(1)y＝ 1
|x|－1；(2)y＝|x－2|(x＋1)；(3)y＝1－|x|
|1－x|；(4)y＝|log2x－1|；(5)y＝2|x－1|.
解：(1)定义域{x|x∈R 且 x≠±1}，且函数是偶函数．又当 x≥0 且 x≠1 时，y＝ 1
x－1.先
作函数 y＝1
x的图象，并将图象向右平移 1 个单位，得到函数 y＝ 1
x－1(x≥0 且 x≠1)的图象(如
图(a)所示)．
又函数是偶函数，作关于 y 轴对称图象，得 y＝ 1
|x|－1的图象(如图(b)所示)．
(2)函数式可化为 y＝Error!其图象如图①所示．
(3)函数式化为 y＝Error!其图象如图②所示．
(4)先作出 y＝log2x 的图象，再将其图象向下平移 1 个单位长度，保留 x 轴上方的部分，
将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，即得 y＝|log2x－1|的图象，如图③所示．
(5)先作出 y＝2x 的图象，再将其图象在 y 轴左边的部分去掉，并作出 y 轴右边的图象关
于 y 轴对称的图象，即得 y＝2|x|的图象，再将 y＝2|x|的图象向右平移 1 个单位长度，即得 y＝
2|x－1|的图象，如图④所示．
11．已知函数 f(x)＝－ a
ax＋ a(a>0 且 a≠1)．(1)证明：函数 y＝f(x)的图象关于点(1
2，－1
2)对
称；(2)求 f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
解：(1)证明：函数 f(x)的定义域为 R，任取一点(x，y)，它关于点(1
2，－1
2)对称的点的坐
标为(1－x，－1－y)．由已知，y＝－ a
ax＋ a
，则－1－y＝－1＋ a
ax＋ a
＝－ ax
ax＋ a.,f(1－x)＝－
a
a1－x＋ a
＝－ a
a
ax＋ a
＝－ a·ax
a＋ a·ax
＝－ ax
ax＋ a.
∴－1－y＝f(1－x)．即函数 y＝f(x)的图象关于点(1
2，－1
2)对称．
(2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)．即 f(x)＋f(1－x)＝－1.
∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1.
则 f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.
12．设函数 f(x)＝ x＋b
ax－1(x∈R，且 a≠0，x≠1
a)．(1)若 a＝1
2，b＝－3
2，指出 f(x)与 g(x)＝1
x的
图象变换关系以及函数 f(x)的图象的对称中心；(2)证明：若 ab＋1≠0，则 f(x)的图象必关于
直线 y＝x 对称．
解：(1)a＝1
2，b＝－3
2，f(x)＝
x－3
2
1
2x－1
＝2x－3
x－2 ＝2＋ 1
x－2，
∴f(x)的图象可由 g(x)的图象沿 x 轴右移 2 个单位，再沿 y 轴上移 2 个单位得到，f(x)的
图象的对称中心为点(2,2)．
(2)证明：设 P(x0，y0)为 f(x)图象上任一点，则 y0＝ x0＋b
ax0－1，P(x0，y0)关于 y＝x 的对称点
为 P′(y0，x0)．由 y0＝ x0＋b
ax0－1得 x0＝ y0＋b
ay0－1.∴P′(y0，x0)也在 f(x)的图象上．故 f(x)的图象关
于直线 y＝x 对称.
第四章 函数应用
A 组
1．已知函数 f(x)＝Error!则函数 f(x)的零点个数为________．
解析：只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与 x 轴有三个交点，即函数的零点有
3 个．答案：3
2．根据表格中的数据，可以判定方程 ex－x－2＝0 的一个根所在的区间为___．
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2
1 2 3 4 5
解析：据题意令 f(x)＝ex－x－2，由于 f(1)＝e1－1－2＝2.72－3<0，f(2)＝e2－4＝7.39－
4>0，故函数在区间(1,2)内存在零点，即方程在相应区间内有根．
答案：(1,2)
3．偶函数 f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且 f(0)·f(a)<0，则方程 f(x)＝0 在区间[－a，
a]内根的个数是__________．
解析：由题意函数 f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且 f(0)·f(a)<0，根据零点存在
定理知：在区间[0，a]内函数 f(x)一定存在惟一零点且 f(0)≠0，又函数 f(x)是偶函数，故其
在[－a,0]也惟一存在一个零点，所以方程 f(x)＝0 在区间[－a，a]内根的个数为 2.答案：2
4．(2009 年高考浙江卷)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该
地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表
高峰月用电量
(单位：千瓦时)
高峰电价
(单位：元/千
瓦时)
低谷月用电量
(单位：千瓦时)
低谷电价
(单位：元/千瓦
时)
50 及以下的部分 0.568 50 及以下的部分 0.288
超过 50 至 200 的
部分
0.598 超过 50 至 200 的部分 0.318
超过 200 的部分 0.668 超过 200 的部分 0.388
若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间段用电量为 100 千瓦时，
则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元
解析：高峰时段电费 a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．
低谷时段电费 b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．
故该家庭本月应付的电费为 a＋b＝148.4(元)．答案：148.4
5．(原创题)已知 f(x)＝|x|＋|x－1|，若 g(x)＝f(x)－a 的零点个数不为 0，则 a 的最小值为
________．
解析：作 f(x)的图象，如图，g(x)=f(x)-a=0，即 f(x)=a，当 a=1 时，g(x)有无数个零点；
当 a>1 时，g(x)有 2 个零点；∴a 的最小值为 1.答案：1
6．(2009 年高考上海卷)有时可用函数 f(x)＝Error!
描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数(x∈N*)，f(x)表示
对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关．
(1)证明：当 x≥7 时，掌握程度的增长量 f(x＋1)－f(x)总是下降；
(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，
(127,133]．当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科．
解：(1)证明：当 x≥7 时，f(x＋1)－f(x)＝ 0.4
(x－3)(x－4).而当 x≥7 时，函数 y＝(x－3)(x－
4)单调递增，且(x－3)(x－4)＞0，故 f(x＋1)－f(x)单调递减．
∴当 x≥7，掌握程度的增长量 f(x＋1)－f(x)总是下降．
(2)由题意可知 0.1＋15ln a
a－6＝0.85，整理得 a
a－6＝e0.05，
解得 a＝ e0.05
e0.05－1·6≈20.50×6＝123.0，123．0∈(121,127]．
由此可知，该学科是乙学科．
B 组
1．(2010 年浙江温州质检)某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数
据：
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
________
①y＝2x－2 ②y＝(1
2)x ③y＝log2x ④y＝1
2(x2－1)
解析：代入点(2,1.5)，(3,4)检验．答案：④
2．(2010 年安徽省江南十校模拟)函数 f(x)＝2x＋x－7 的零点所在的区间是____．
①(0,1) ②(1,2) ③(2,3) ④(3,4)
解析：因为 f(0)＝－6<0，f(1)＝2＋1－7＝－4<0，f(2)＝22＋2－7＝－1<0，f(3)＝23＋3－
7＝4>0，所以函数的零点在区间(2,3)内．答案：③
3．已知函数 f(x)＝x＋log2x，则 f(x)在[1
2，2]内的零点的个数是______．
解析：易知 g(x)＝x 与 h(x)＝log2x 均为增函数，故函数 f(x)为增函数，且 f(2)·f(1
2)<0，故
函数有且只有一个零点．答案：1
4．(2010 年珠海质检)某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻 t(单位：分钟)与细胞数 n(单
位：个)的部分数据如下：
t 0 20 60 140
n 1 2 8 128
根据表中数据，推测繁殖到 1000 个细胞时的时刻 t 最接近于________分钟．
解析：由表格中所给数据可以得出 n 与 t 的函数关系为 n＝2
t
20，令 n＝1000，得 2
t
20＝1000，
又 210＝1024，所以时刻 t 最接近 200 分钟．答案：200
5．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该
生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n)＝1
2n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过 150 吨，将
会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是
________年．
解析：由题知第一年产量为 a1＝1
2×1×2×3＝3；以后各年产量分别为 an＝f(n)－f(n－1)
＝1
2n·(n＋1)(2n＋1)－1
2n·(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N*)，令 3n2≤150，得 1≤n≤5 2⇒1≤n≤7，
故生产期限最长为 7 年．答案：7
6．(2010 年苏、锡、常、镇四市调研)某市出租车收费标准如下：
起步价为 8 元，起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费)；超过 3 km 但不超过 8 km
时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.85 元收费，另每次
乘坐需付燃油附加费 1 元．现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了
________km.
解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为 f(x)元，由题意可得：
f(x) ＝
令 f(x)＝22.6，解得 x＝9.答案：9
7.(2010 年绍兴第一次质检)一位设计师在边长为 3 的正方形 ABCD 中设计图案，他分别以 A、
B、C、D 为圆心，以 b(015000，解得 00，f(x)是增函数；
当 x∈(5
9，1)时，f′(x)<0，f(x)是减函数．
∴当 x＝5
9时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(5
9)＝20000.
即当 x＝5
9时，本年度的年利润最大，最大利润为 20000 万元
第五章三角函数
第一节 角的概念的推广与弧度制
A 组
1．点 P 从(－1,0)出发，沿单位圆 x2＋y2＝1 顺时针方向运 动π
3弧长
到达 Q 点，则 Q 点的坐标为________．
解析：由于点 P 从(－1,0)出发，顺时针方向运动π
3弧长 到 达 Q
点，如图，因此 Q 点的坐标为(cos2π
3 ，sin2π
3 )，即 Q(－1
2， 3
2 )．答
案：(－1
2， 3
2 )
2．设 α 为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．
①tanα
2 ②sinα
2 ③cosα
2 ④cos2α
解析：α 为第四象限角，则α
2为第二、四象限角，因此 tanα
2<0 恒成立，应填①，其余三
个符号可正可负．答案：①
3．(2008 年高考全国卷Ⅱ改编)若 sinα<0 且 tanα>0，则 α 是第_______象限的角．
答案：三
4．函数 y＝|sinx|
sinx ＋ cosx
|cosx|＋|tanx|
tanx 的值域为________．
解析：当 x 为第一象限角时，sinx>0，cosx>0，tanx>0，y＝3；
当 x 为第二象限角时，sinx>0，cosx<0，tanx<0，y＝－1；
当 x 为第三象限角时，sinx<0，cosx<0，tanx>0，y＝－1；
当 x 为第四象限角时，sinx<0，cosx>0，tanx<0，y＝－1.答案：{－1,3}
5．(原创题)若一个 α 角的终边上有一点 P(－4，a)，且 sinα·cosα＝ 3
4 ，则 a 的值为
________．
解析：依题意可知 α 角的终边在第三象限，点 P(－4，a)在其终边上且 sinα·cosα＝ 3
4 ，
易得 tanα＝ 3或 3
3 ，则 a＝－4 3或－4
3 3.答案：－4 3或－4
3 3
6．已知角 α 的终边上的一点 P 的坐标为(－ 3，y)(y≠0)，且 sinα＝ 2
4 y，求 cosα，tanα 的
值．
解：因为 sinα＝ 2
4 y＝ y
(－r(3))2＋y2，所以 y2＝5，
当 y＝ 5时，cosα＝－ 6
4 ，tanα＝－ 15
3 ；
当 y＝－ 5时，cosα＝－ 6
4 ，tanα＝ 15
3 .
B 组
1．已知角 α 的终边过点 P(a，|a|)，且 a≠0，则 sinα 的值为________．
解析：当 a>0 时，点 P(a，a)在第一象限，sinα＝ 2
2 ；
当 a<0 时，点 P(a，－a)在第二象限，sinα＝ 2
2 .答案： 2
2
2．已知扇形的周长为 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_____．
解析：设扇形的圆心角为 α rad，半径为 R，则
Error!，解得 α＝1 或 α＝4.答案：1 或 4
3．如果一扇形的圆心角为 120°，半径等于 10 cm，则扇形的面积为________．
解析：S＝1
2|α|r2＝1
2×2
3π×100＝100
3 π(cm2)．答案：100
3 π cm2
4．若角 θ 的终边与 168°角的终边相同，则在 0°～360°内终边与θ
3角的终边相同的角的集合
为__________．答案：{56°，176°，296°}
5．若 α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则 α 是第________象限．
解析：当 k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故 α 为第三象限角；
当 k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故 α 为第一象限角．
答案：一或三
6．设角 α 的终边经过点 P(－6a，－8a)(a≠0)，则 sinα－cosα 的值是________．
解析：∵x＝－6a，y＝－8a，∴r＝ (－6a)2＋(－8a)2＝10|a|，
∴sinα－cosα＝y
r－x
r＝
－8a＋6a
10|a| ＝
－a
5|a|＝±1
5.答案：±1
5
7．(2010 年北京东城区质检)若点 A(x，y)是 300°角终边上异于原点的一点，则 y
x的值为
________．
解析：y
x＝tan300°＝－tan60°＝－ 3.答案：－ 3
8．(2010 年深圳调研)已知点 P(sin3π
4 ，cos3π
4 )落在角 θ 的终边上，且 θ∈[0,2π)，则 θ 的值为
________．
解析：由 sin3π
4 >0，cos3π
4 <0 知角 θ 在第四象限，∵tanθ＝
cos3π
4
sin3π
4
＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝
7π
4 .答案：7π
4
9．已知角 α 的始边在 x 轴的非负半轴上，终边在直线 y＝kx 上，若 sinα＝ 2
5
，且 cosα<0，
则 k 的值为________．
解析：设 α 终边上任一点 P(x，y)，且|OP|≠0，∴y＝kx，
∴r＝ x2＋(kx)2＝ 1＋k2|x|.又 sinα>0，cosα<0.∴x<0，y>0，
∴r＝－ 1＋k2x，且 k<0.∴sinα＝y
r＝ kx
－ 1＋k2x
＝－ k
1＋k2，又 sinα＝ 2
5.
∴－ k
1＋k2＝ 2
5
，∴k＝－2.答案：－2
10．已知一扇形的中心角是 α，所在圆的半径是 R.若 α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及
该弧所在的弓形面积．
解：设弧长为 l，弓形面积为 S 弓，∵α＝60°＝π
3，R＝10，∴l＝10
3 π(cm)，
S 弓＝S 扇－S△＝1
2·10
3 π·10－1
2·102sin60°＝50(π
3－ 3
2 )(cm2)．
11．扇形 AOB 的周长为 8 cm.
(1)若这个扇形的面积为 3 cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB.
解：设扇形 AOB 的半径为 r，弧长为 l，圆心角为 α，
(1)由题意可得Error!解得Error!或Error!
∴α＝l
r＝2
3或 α＝l
r＝6.
(2)∵2r＋l＝2r＋αr＝8，∴r＝ 8
2＋α.∴S 扇＝1
2αr2＝1
2α· 64
(2＋α)2＝ 32
α＋4
α＋4
≤4，
当且仅当 α＝4
α，即 α＝2 时，扇形面积取得最大值 4.此时，r＝ 8
2＋2＝2 (cm)，
∴|AB|＝2×2sin1＝4 sin1 (cm)．
12．(1)角 α 的终边上一点 P(4t，－3t)(t≠0)，求 2sinα＋cosα 的值；
(2)已知角 β 的终边在直线 y＝ 3x 上，用三角函数定义求 sinβ 的值．
解：(1)根据题意，有 x＝4t，y＝－3t，所以 r＝ (4t)2＋(－3t)2＝5|t|，
①当 t＞0 时，r＝5t，sinα＝－3
5，cosα＝4
5，所以 2sinα＋cosα＝－6
5＋4
5＝－2
5.
②当 t＜0 时，r＝－5t，sinα＝
－3t
－5t＝3
5，cosα＝ 4t
－5t＝－4
5，
所以 2sinα＋cosα＝6
5－4
5＝2
5.
(2)设 P(a， 3a)(a≠0)是角 β 终边 y＝ 3x 上一点，若 a＜0，则 β 是第三象限角，r＝－
2a，此时 sinβ＝ 3a
－2a＝－ 3
2 ；若 a＞0，则 β 是第一象限角，r＝2a，
此时 sinβ＝ 3a
2a ＝ 3
2 .
第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式
A 组
1．若 cosα＝－3
5，α∈(π
2，π)，则 tanα＝________.
解析：cosα＝－3
5，α∈(π
2，π)，所以 sinα＝4
5，∴tanα＝sinα
cosα＝－4
3.
答案：－4
3
2．(2009 年高考北京卷)若 sinθ＝－4
5，tanθ>0，则 cosθ＝________.
解析：由 sinθ＝－4
5<0，tanθ>0 知，θ 是第三象限角，故 cosθ＝－3
5.
答案：－3
5
3．若 sin(π
6＋α)＝3
5，则 cos(π
3－α)＝________.
解析：cos(π
3－α)＝cos[π
2－(π
6＋α)]＝sin(π
6＋α)＝3
5.答案：3
5
4．(2010 年合肥质检)已知 sinx＝2cosx，则5sinx－cosx
2sinx＋cosx＝______.
解析：∵sinx＝2cosx，∴tanx＝2，∴5sinx－cosx
2sinx＋cosx＝5tanx－1
2tanx＋1＝9
5.
答案：9
5
5．(原创题)若 cos2θ＋cosθ＝0，则 sin2θ＋sinθ＝________.
解析：由 cos2θ＋cosθ＝0，得 2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以 cosθ＝－1 或 cosθ＝1
2，当 cosθ
＝－1 时，有 sinθ＝0，当 cosθ＝1
2时，有 sinθ＝±
3
2 .于是 sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0 或 3
或－ 3.答案：0 或 3或－ 3
6．已知 sin(π－α)cos(－8π－α)＝ 60
169，且 α∈(π
4，π
2)，求 cosα，sinα 的值．
解：由题意，得 2sinαcosα＝120
169.①又∵sin2α＋cos2α＝1，②
①＋②得：(sinα＋cosα)2＝289
169，②－①得：(sinα－cosα)2＝ 49
169.
又∵α∈(π
4，π
2)，∴sinα>cosα>0，即 sinα＋cosα>0，sinα－cosα>0，
∴sinα＋cosα＝17
13.③sinα－cosα＝ 7
13，④
③＋④得：sinα＝12
13.③－④得：cosα＝ 5
13.
B 组
1．已知 sinx＝2cosx，则 sin2x＋1＝________.
解析：由已知，得 tanx＝2，所以 sin2x＋1＝2sin2x＋cos2x＝2sin2x＋cos2x
sin2x＋cos2x ＝2tan2x＋1
tan2x＋1 ＝
9
5.答案：9
5
2．(2010 年南京调研)cos10π
3 ＝________.
解析：cos10π
3 ＝cos4π
3 ＝－cosπ
3＝－1
2.答案：－1
2
3．(2010 年西安调研)已知 sinα＝3
5，且 α∈(π
2，π)，那么sin2α
cos2α的值等于________．
解析：cosα＝－ 1－sin2α＝－4
5， sin2α
cos2α＝2sinαcosα
cos2α ＝2sinα
cosα ＝
2 × 3
5
－4
5
＝－3
2.
答案：－3
2
4．(2010 年南昌质检)若 tanα＝2，则sinα＋cosα
sinα－cosα＋cos2α＝_________________.
解析：sinα＋cosα
sinα－cosα＋cos2α＝sinα＋cosα
sinα－cosα＋ cos2α
sin2α＋cos2α＝tanα＋1
tanα－1＋ 1
tan2α＋1＝16
5 .答案：16
5
5．(2010 年苏州调研)已知 tanx＝sin(x＋π
2)，则 sinx＝___________________.
解析：∵tanx＝sin(x＋ π
2)＝cosx，∴sinx＝cos 2x，∴sin 2x＋sinx－1＝0，解得 sinx＝
5－1
2 .答案： 5－1
2
6．若 θ∈[0，π)，且 cosθ(sinθ＋cosθ)＝1，则 θ＝________.
解析：由 cosθ(sinθ＋cosθ)＝1⇒sinθ·cosθ＝1－cos 2θ＝sin2θ⇒sinθ(sinθ－cosθ)＝0⇒sinθ
＝0 或 sinθ－cosθ＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0 或π
4.答案：0 或π
4
7．已知 sin(α＋ π
12)＝1
3，则 cos(α＋7π
12)的值等于________．
解析：由已知，得 cos(α＋7π
12)＝cos[(α＋ π
12)＋π
2]＝－sin(α＋ π
12)＝－1
3.
答案：－1
3
8．(2008 年高考浙江卷改编)若 cosα＋2sinα＝－ 5，则 tanα＝________.
解析：由Error!
将①代入②得( 5sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－2 5
5 ，cosα＝－ 5
5 ，∴tanα＝2.
答案：2
9．已知 f(α)＝sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋f(3π,2))
cos(－π－α) ，则 f(－31π
3 )的值为________．
解析：∵f(α)＝sinα·cosα·cotα
－cosα ＝－cosα，∴f(－31
3 π)＝－cosπ
3＝－1
2.答案：－1
2
10．求 sin(2nπ＋2π
3 )·cos(nπ＋4π
3 )(n∈Z)的值．
解：(1)当 n 为奇数时，sin(2nπ＋2π
3 )·cos(nπ＋4π
3 )＝sin2π
3 ·cos[(n＋1)π＋π
3]
＝sin(π－π
3)·cosπ
3＝sinπ
3·cosπ
3＝ 3
2 ×1
2＝ 3
4 .
(2) 当 n 为 偶 数 时 ， sin(2nπ ＋2π
3 )·cos(nπ ＋ 4π
3 ) ＝ sin2π
3 ·cos4π
3 ＝ sin(π －π
3)·cos(π ＋ π
3) ＝
sinπ
3·(－cosπ
3)＝ 3
2 ×(－1
2)＝－ 3
4 .
11．在△ABC 中，若 sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)， 3cosA＝－ 2cos(π－B)，求△ABC 的三
内角．
解：由已知，得Error!
①2＋②2 得：2cos2A＝1，即 cosA＝±
2
2 .
(1)当 cosA＝ 2
2 时，cosB＝ 3
2 ，又 A、B 是三角形内角，∴A＝π
4，B＝π
6，∴C＝π－(A＋B)
＝ 7
12π.(2)当 cosA＝－ 2
2 时，cosB＝－ 3
2 .又 A、B 是三角形内角，∴A＝3
4π，B＝5
6π，不合题
意．综上知，A＝π
4，B＝π
6，C＝ 7
12π.
12．已知向量 a＝( 3，1)，向量 b＝(sinα－m，cosα)．
(1)若 a∥b，且 α∈[0,2π)，将 m 表示为 α 的函数，并求 m 的最小值及相应的 α 值；(2)
若 a⊥b，且 m＝0，求cos(f(π,2)－α)·sin(π＋2α)
cos(π－α) 的值．
解：(1)∵a∥b，∴ 3cosα－1·(sinα－m)＝0，∴m＝sinα－ 3cosα＝2sin(α－π
3)．
又∵α∈[0,2π)，∴当 sin(α－π
3)＝－1 时，mmin＝－2.
此时 α－π
3＝3
2π，即 α＝11
6 π.
(2)∵a⊥b，且 m＝0，∴ 3sinα＋cosα＝0.∴tanα＝－ 3
3 .
∴cos(f(π,2)－α)·sin(π＋2α)
cos(π－α) ＝sinα·(－sin2α)
－cosα ＝tanα·2sinα·cosα
＝tanα· 2sinα·cosα
sin2α＋cos2α＝tanα· 2tanα
1＋tan2α＝1
2.
第三节 正弦函数与余弦函数的图像与性质
A 组
1．(2009 年高考四川卷改编)已知函数 f(x)＝sin(x－π
2)(x∈R)，下面结论错误的是．
①函数 f(x)的最小正周期为 2π②函数 f(x)在区间[0，π
2]上是增函数
③函数 f(x)的图象关于直线 x＝0 对称④函数 f(x)是奇函数
解析：∵y＝sin(x－π
2)＝－cosx，y＝－cosx 为偶函数，
∴T＝2π，在[0，π
2]上是增函数，图象关于 y 轴对称．答案：④
2．(2009 年高考广东卷改编)函数 y＝2cos2(x－π
4)－1 是________．
①最小正周期为 π 的奇函数 ②最小正周期为 π 的偶函数 ③最小正周期为π
2的奇函数
④最小正周期为π
2的偶函数
解析：y＝2cos2(x－π
4)－1＝cos(2x－π
2)＝sin2x，∴T＝π，且为奇函数．
答案：①
3．(2009 年高考江西卷改编)若函数 f(x)＝(1＋ 3tanx)cosx，0≤x< π
2，则 f(x)的最大值为
________．
解析：f(x)＝(1＋ 3· sinx
cosx)·cosx＝cosx＋ 3sinx＝2sin(x＋π
6)，
∵0≤x<π
2，∴π
6≤x＋π
6<2π
3 ，∴当 x＋π
6＝π
2时，f(x)取得最大值 2.答案：2
4．已知函数 f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为 x＝ π
12，则 a 的值为
________．
解析：∵x＝ π
12是对称轴，∴f(0)＝f(π
6)，即 cos0＝asinπ
3＋cosπ
3，∴a＝ 3
3 .
答案： 3
3
5．(原创题)设 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象关于直线 x＝π
3对称，它的最小正周期是
π，则 f(x)图象上的一个对称中心是________(写出一个即可)．
解析：∵T＝2π
ω＝π，∴ω＝2，又∵函数的图象关于直线 x＝π
3对称，所以有 sin(2×π
3＋φ)
＝±1，∴φ＝k1π－π
6(k1∈Z)，由 sin(2x＋k1π－π
6)＝0 得 2x＋k1π－π
6＝k2π(k2∈Z)，∴x＝π
12＋(k2
－k1)π
2，当 k1＝k2 时，x＝ π
12，∴f(x)图象的一个对称中心为( π
12，0)．答案：( π
12，0)
6．(2010 年宁波调研)设函数 f(x)＝ 3cos2x＋sinxcosx－ 3
2 .
(1)求函数 f(x)的最小正周期 T，并求出函数 f(x)的单调递增区间；
(2)求在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和．
解：(1)f(x)＝ 3
2 (cos2x＋1)＋1
2sin2x－ 3
2 ＝ 3
2 cos2x＋1
2sin2x＝sin(2x＋π
3)，
故 T＝π.由 2kπ－π
2≤2x＋π
3≤2kπ＋π
2(k∈Z)，得 kπ－ 5
12π≤x≤kπ＋ π
12，
所以单调递增区间为[kπ－ 5
12π，kπ＋ π
12](k∈Z)．
(2)令 f(x)＝1，即 sin(2x＋ π
3)＝1，则 2x＋ π
3＝2kπ＋π
2(k∈Z)．于是 x＝kπ＋ π
12(k∈Z)，
∵0≤x<3π，且 k∈Z，∴k＝0,1,2，则 π
12＋(π＋ π
12)＋(2π＋ π
12)＝13π
4 .
∴在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和为 13
4 π.
B 组
1．函数 f(x)＝sin(2
3x＋π
2)＋sin2
3x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．
解析：f(x)＝cos2x
3 ＋sin2x
3 ＝ 2sin(2x
3 ＋π
4)，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T
＝2π
2
3
＝3π，∴T
2＝3π
2 .答案：3π
2
2．(2010 年天津河西区质检)给定性质：a 最小正周期为 π；b 图象关于直线 x＝π
3对称．则下
列四个函数中，同时具有性质 ab 的是________．
①y＝sin(x
2＋π
6) ②y＝sin(2x＋π
6) ③y＝sin|x| ④y＝sin(2x－π
6)
解析：④中，∵T＝2π
ω＝π，∴ω＝2.又 2×π
3－π
6＝π
2，所以 x＝π
3为对称轴．
答案：④
3．(2009 年高考全国卷Ⅰ改编)若π
41，令 tan2x－1＝t>0，则 y＝tan2xtan3x＝ 2tan4x
1－tan2x＝2(t＋1)2
－t ＝－2(t＋
1
t＋2)≤－8，故填－8.答案：－8
4．(2010 年烟台质检)函数 f(x)＝sin2x＋2cosx 在区间[－2
3π，θ]上的最大值为 1，则 θ 的值是
________．
解析：因为 f(x)＝sin2x＋2cosx＝－cos2x＋2cosx＋1＝－(cosx－1) 2＋2，又其在区间[－
2π
3 ，θ]上的最大值为 1，可知 θ 只能取－π
2. 答案：－π
2
5．(2010 年苏北四市调研)若函数 f(x)＝2sinωx(ω>0)在[－2π
3 ，2π
3 ]上单调递增，则 ω 的最大
值为________．
解析：由题意，得2π
4ω≥2π
3 ，∴0<ω≤3
4，则 ω 的最大值为3
4.答案：3
4
6．(2010 年南京调研)设函数 y＝2sin(2x＋π
3)的图象关于点 P(x0,0)成中心对称，若 x0∈[－π
2，
0]，则 x0＝________.
解析：因为图象的对称中心是其与 x 轴的交点，所以由 y＝2sin(2x0＋π
3)＝0，x0∈[－π
2，
0]，得 x0＝－π
6.答案：－π
6
7．已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋m 的最大值为 4，最小值为 0，最小正周期为π
2，直线 x＝π
3是
其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________．
①y＝4sin(4x＋π
6)②y＝2sin(2x＋π
3)＋2③y＝2sin(4x＋π
3)＋2 ④y＝2sin(4x＋π
6)＋2
解析：因为已知函数的最大值为 4，最小值为 0，所以Error!，解得 A＝m＝2，又最小
正周期为2π
ω＝π
2，所以 ω＝4，又直线 x＝π
3是其图象的一条对称轴，将 x＝π
3代入得 sin(4×π
3＋
φ)＝±1，所以 φ＋4π
3 ＝kπ＋π
2(k∈Z)，即 φ＝kπ－5π
6 (k∈Z)，当 k＝1 时，φ＝π
6.答案：④
8．有一种波，其波形为函数 y＝sinπ
2x 的图象，若在区间[0，t]上至少有 2 个波峰(图象的最
高点)，则正整数 t 的最小值是________．
解析：函数 y＝sinπ
2x 的周期 T＝4，若在区间[0，t]上至少出现两个波峰，则 t≥5
4T＝5.
答案：5
9．(2009 年高考安徽卷改编)已知函数 f(x)＝ 3sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线 y＝
2 的两个相邻交点的距离等于 π，则 f(x)的单调递增区间是________．
解析：∵y＝ 3sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋π
6)，且由函数 y＝f(x)与直线 y＝2 的两个相邻交
点间的距离为 π 知，函数 y＝f(x)的周期 T＝π，∴T＝2π
ω＝π，解得 ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋
π
6)．令 2kπ－π
2≤2x＋π
6≤2kπ＋π
2(k∈Z)，得 kπ－π
3≤x≤kπ＋π
6(k∈Z)．答案：[kπ－π
3，kπ＋π
6](k∈Z)
10．已知向量 a＝(2sinωx，cos2ωx)，向量 b＝(cosωx,2 3)，其中 ω>0，函数 f(x)＝a·b，若 f(x)
图象的相邻两对称轴间的距离为 π.(1)求 f(x)的解析式；(2)若对任意实数 x∈[π
6，π
3]，恒有|f(x)
－m|<2 成立，求实数 m 的取值范围．
解：(1)f(x)＝a·b＝(2sinωx，cos 2ωx)·(cosωx,2 3)＝sin2ωx＋ 3(1＋cos2ωx)＝2sin(2ωx＋
π
3)＋ 3.∵相邻两对称轴的距离为 π，∴2π
2ω＝2π，∴ω＝1
2，
∴f(x)＝2sin(x＋π
3)＋ 3.
(2)∵x∈[π
6，π
3]，∴x＋π
3∈[π
2，2π
3 ]，∴2 3≤f(x)≤2＋ 3.又∵|f(x)－m|<2，
∴－2＋m0)的最小正周期为 3π，且当 x∈[0，π]时，函数
f(x)的最小值为 0.(1)求函数 f(x)的表达式；(2)在△ABC 中，若 f(C)＝1，且 2sin2B＝cosB＋cos(A
－C)，求 sinA 的值．
解：(1)f(x)＝ 3sinωx＋cosωx－1＋m＝2sin(ωx＋π
6)－1＋m.
依题意，函数 f(x)的最小正周期为 3π，即2π
ω＝3π，解得 ω＝2
3.
∴f(x)＝2sin(2x
3 ＋π
6)－1＋m.
当 x∈[0，π]时，π
6≤2x
3 ＋π
6≤5π
6 ，1
2≤sin(2x
3 ＋π
6)≤1，
∴f(x)的最小值为 m.依题意，m＝0.∴f(x)＝2sin(2x
3 ＋π
6)－1.
(2)由题意，得 f(C)＝2sin(2C
3 ＋π
6)－1＝1，∴sin(2C
3 ＋π
6)＝1.
而π
6≤2C
3 ＋π
6≤5π
6 ，∴2C
3 ＋π
6＝π
2，解得 C＝π
2.∴A＋B＝π
2.
在 Rt△ABC 中，∵A＋B＝π
2，2sin2B＝cosB＋cos(A－C)．
∴2cos2A－sinA－sinA＝0，解得 sinA＝
－1 ± 5
2 .∵01 时，T<2π.当 0<|a|<1 时，T>2π，观察图
形中周期与振幅的关系，发现④不符合要求．答案：④
2．(2009 年高考湖南卷改编)将函数 y＝sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函
数 y＝sin(x－π
6)的图象，则 φ 等于________．
解析：y＝sin(x－π
6)＝sin(x－π
6＋2π)＝sin(x＋11π
6 )．答案：11π
6
3．将函数 f(x)＝ 3sinx－cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，
则 φ 的最小值为________．
解析：因为 f(x)＝ 3sinx－cosx＝2sin(x－π
6)，f(x)的图象向右平移 φ 个单位所得图象对应
的函数为奇函数，则 φ 的最小值为5π
6 .
答案：5π
6
4．如图是函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)， x∈R 的
部 分 图 象 ， 则 下 列 命 题 中 ，正确 命 题 的 序 号 为 ________．
①函数 f(x)的最小正周期为π
2；
②函数 f(x)的振幅为 2 3；
③函数 f(x)的一条对称轴方程为 x＝ 7
12π；
④函数 f(x)的单调递增区间为[ π
12， 7
12π]；
⑤函数的解析式为 f(x)＝ 3sin(2x－2
3π)．
解析：据图象可得：A＝3，T
2＝5π
6 －π
3⇒T＝π，故 ω＝2，又由 f(7π
12)＝ 3⇒sin(2×7π
12＋φ)
＝1，解得 φ＝2kπ－2π
3 (k∈Z)，又－π<φ<π，故 φ＝－2π
3 ，故 f(x)＝ 3sin(2x－2π
3 )，依次判断
各选项，易知①②是错误的，由图象易知 x＝7π
12是函数图象的一条对称轴，故③正确，④函
数的单调递增区间有无穷多个，区间[ π
12，7π
12]只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推导
易知正确．答案：③⑤
5．(原创题)已知函数 f(x)＝sinωx＋cosωx，如果存在实数 x 1，使得对任意的实数 x，都有
f(x1)≤f(x)≤f(x1＋2010)成立，则 ω 的最小值为________．
解析：显然结论成立只需保证区间[x1，x1＋2010]能够包含函数的至少一个完整的单调
区间即可，且 f(x)＝sinωx＋cosωx＝ 2sin(ωx＋π
4)，则 2010≥
2π
ω
2 ⇒ω≥ π
2010.答案： π
2010
6．(2010 年苏北四市质检)已知函数 f(x)＝sin2ωx＋ 3sinωx·sin(ωx＋ π
2)＋2cos2ωx，x∈R(ω>0)，
在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π
6. (1)求 ω；
(2)若将函数 f(x)的图象向右平移π
6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来
的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，求函数 g(x)的最大值及单调递减区间．
解：(1)f(x)＝ 3
2 sin2ωx＋1
2cos2ωx＋3
2＝sin(2ωx＋π
6)＋3
2，
令 2ωx＋π
6＝π
2，将 x＝π
6代入可得：ω＝1.
(2)由(1)得 f(x)＝sin(2x＋π
6)＋3
2，
经过题设的变化得到的函数 g(x)＝sin(1
2x－π
6)＋3
2，
当 x＝4kπ＋4
3π，k∈Z 时，函数取得最大值5
2.
令 2kπ＋π
2≤1
2x－π
6≤2kπ＋3
2π(k∈Z)，
∴4kπ＋4π
3 ≤x≤4kπ＋10
3 π(k∈Z)．
即 x∈[4kπ＋4π
3 ，4kπ＋10
3 π]，k∈Z 为函数的单调递减区间．
B 组
1．(2009 年高考宁夏、海南卷)已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，
则 φ＝________.
解析：由图可知，T
2＝2π－3
4π，
∴T＝5
2π，∴2π
ω＝5
2π，∴ω＝4
5，
∴y＝sin(4
5x＋φ)．
又∵sin(4
5×3
4π＋φ)＝－1，
∴sin(3
5π＋φ)＝－1，
∴3
5π＋φ＝3
2π＋2kπ，k∈Z.
∵－π≤φ<π，∴φ＝ 9
10π. 答案： 9
10π
2 ．(2010 年南京调研) 已知函数 y ＝sin(ωx ＋ φ)(ω>0 ，
|φ|<π)的图象如图所示，则 φ＝________.
解析：由图象知 T＝2(2π
3 －π
6)＝π.
∴ω＝2π
T ＝2，把点(π
6，1)代入，可得 2×π
6＋φ＝π
2，φ＝π
6.答案：π
6
3．(2009 年高考天津卷改编)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋π
4)(x∈R，ω>0)的最小正周期为 π，为了
得到函数 g(x)＝cosωx 的图象，只要将 y＝f(x)的图象________．
解析：∵f(x)＝sin(ωx＋π
4)(x∈R，ω>0)的最小正周期为 π，
∴2π
ω＝π，故 ω＝2.
又 f(x)＝sin(2x＋π
4)∴g(x)＝sin[2(x＋π
8)＋π
4]＝sin(2x＋π
2)＝cos2x.
答案：向左平移π
8个单位长度
4 ．(2009 年 高 考 辽 宁 卷 改 编 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ Acos(ωx＋φ)
的图象如图所示，f(π
2)＝－2
3，则 f(0)＝________.
解析：T
2＝11
12π－ 7
12π＝π
3，∴ω＝2π
T ＝3.
又( 7
12π，0)是函数的一个上升段的零点，
∴3× 7
12π＋φ＝3π
2 ＋2kπ(k∈Z)，得 φ＝－π
4＋2kπ，k∈Z，
代入 f(π
2)＝－2
3，得 A＝2 2
3 ，∴f(0)＝2
3. 答案：2
3
5．将函数 y＝sin(2x＋π
3)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(－
π
12，0)中心对称．
解析：由 y＝sin(2x＋π
3)＝sin2(x＋π
6)可知其函数图象关于点(－π
6，0)对称，因此要使平移
后的图象关于(－ π
12，0)对称，只需向右平移 π
12即可．答案：右 π
12
6．(2010 年深圳调研)定义行列式运算：|a1 a2
a3 a4 |＝a1a4－a2a3，将函数 f(x)＝| 3 cosx
1 sinx |的图象向
左平移 m 个单位(m>0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则 m 的最小值是________．
解析：由题意，知 f(x)＝ 3sinx－cosx＝2(
3
2 sinx－1
2cosx)＝2sin(x－π
6)，
其图象向左平移 m 个单位后变为 y＝2sin(x－π
6＋m)，平移后其对称轴为 x－π
6＋m＝kπ＋
π
2，k∈Z.若为偶函数，则 x＝0，所以 m＝kπ＋2π
3 (k∈Z)，故 m 的最小值为2π
3 .答案：2π
3
7．(2009 年高考全国卷Ⅱ改编)若将函数 y＝tan(ωx＋π
4)(ω>0)的图象向右平移π
6个单位长度后，
与函数 y＝tan(ωx＋π
6)的图象重合，则 ω 的最小值为________．
解析：y＝tan(ωx＋π
4)向右平移π
6个单位长度后得到函数解析式 y＝tan[ω(x－π
6)＋π
4]，即 y
＝ tan(ωx ＋ π
4－ πω
6 ) ， 显 然 当 π
4－ πω
6 ＝ π
6＋ kπ(k∈Z) 时 ， 两 图 象 重 合 ， 此 时 ω ＝ 1
2－
6k(k∈Z)．∵ω>0，∴k＝0 时，ω 的最小值为1
2.答案：1
2
8．给出三个命题：①函数 y＝|sin(2x＋π
3)|的最小正周期是π
2；②函数 y＝sin(x－3π
2 )在区间[π，
3π
2 ]上单调递增；③x＝5π
4 是函数 y＝sin(2x＋5π
6 )的图象的一条对称轴．其中真命题的个数是
________．
解析：由于函数 y＝sin(2x＋π
3)的最小正周期是 π，故函数 y＝|sin(2x＋π
3)|的最小正周期
是π
2，①正确；y＝sin(x－3π
2 )＝cosx，该函数在[π，3π
2 )上单调递增， ②正确；当 x＝5π
4 时，y
＝sin(2x＋5π
6 )＝sin(5π
2 ＋5π
6 )＝sin(π
2＋5π
6 )＝cos5π
6 ＝－ 3
2 ，不等于函数的最值，故 x＝5π
4 不是
函数 y＝sin(2x＋5π
6 )的图象的一条对称轴，③不正确．答案：2
9．(2009 年高考上海卷)当 0≤x≤1 时，不等式 sinπx
2 ≥kx 恒成立，则实数 k 的取值范围是
________．
解析：当 0≤x≤1 时，y＝sin πx
2 的图象如图所示， y ＝ kx 的
图象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方，当 k≤0 时，y ＝ kx 在
[0,1]上的图象恒在 x 轴下方，原不等式成立．
当 k>0，kx≤sinπx
2 时，在 x∈[0,1]上恒成立，k≤1 即可．
故 k≤1 时，x∈[0,1]上恒有 sinπx
2 ≥kx.答案：k≤1
10．(2009 年高考重庆卷)设函数 f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π
3 .(1)
求 ω 的值；(2)若函数 y＝g(x)的图象是由 y＝f(x)的图象向右平移π
2个单位长度得到，求 y＝g(x)
的单调增区间．
解：(1)f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋2sinωx·cosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝ 2
sin(2ωx＋π
4)＋2，依题意，得2π
2ω＝2π
3 ，故 ω＝3
2.
(2)依题意，得 g(x)＝ 2sin[3(x－π
2)＋π
4]＋2＝ 2sin(3x－5π
4 )＋2.
由 2kπ－π
2≤3x－5π
4 ≤2kπ＋π
2(k∈Z)，解得 2
3kπ＋π
4≤x≤2
3kπ＋7π
12(k∈Z)．
故 g(x)的单调增区间为[2
3kπ＋π
4，2
3kπ＋7π
12](k∈Z)．
11．(2009 年高考陕西卷)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中 A>0，ω>0,0<φ< π
2)的周期
为 π，且图象上一个最低点为 M(2π
3 ，－2)．
(1)求 f(x)的解析式；(2)当 x∈[0， π
12]时，求 f(x)的最值．
解：(1)由最低点为 M(2π
3 ，－2)得 A＝2.由 T＝π 得 ω＝2π
T ＝2π
π ＝2.
由点 M(2π
3 ，－2)在图象上得 2sin(4π
3 ＋φ)＝－2，即 sin(4π
3 ＋φ)＝－1，
∴4π
3 ＋φ＝2kπ－π
2(k∈Z)，即 φ＝2kπ－11π
6 ，k∈Z.又 φ∈(0，π
2)，∴φ＝π
6，
∴f(x)＝2sin(2x＋π
6)．
(2)∵x∈[0， π
12]，∴2x＋π
6∈[π
6，π
3]，∴当 2x＋π
6＝π
6，即 x＝0 时，f(x)取得最小值 1；当
2x＋π
6＝π
3，即 x＝ π
12时，f(x)取得最大值 3.
12．(2009 年高考福建卷)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中 ω>0，|φ|<π
2.
(1)若 cosπ
4cosφ－sin3π
4 sinφ＝0，求 φ 的值；
(2)在(1)的条件下，若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π
3，求函数 f(x)
的解析式；并求最小正实数 m，使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶
函数．
解：法一：(1)由 cosπ
4cosφ－sin3π
4 sinφ＝0 得 cosπ
4cosφ－sinπ
4sinφ＝0，
即 cos(π
4＋φ)＝0.又|φ|<π
2，∴φ＝π
4.
(2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋π
4)．依题意，T
2＝π
3，又 T＝2π
ω，故 ω＝3，
∴f(x)＝sin(3x＋π
4)．函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为
g(x)＝sin[3(x＋m)＋π
4]，g(x)是偶函数当且仅当 3m＋π
4＝kπ＋π
2(k∈Z)，
即 m＝kπ
3 ＋ π
12(k∈Z)．从而，最小正实数 m＝ π
12.
法二：(1)同法一．
(2)由(1)得 ，f(x)＝sin(ωx＋π
4)．依题意，T
2＝π
3.又 T＝2π
ω，故 ω＝3，
∴f(x)＝sin(3x＋π
4)．
函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g(x)＝sin[3(x＋m)＋π
4]．
g(x)是偶函数当且仅当 g(－x)＝g(x)对 x∈R 恒成立，
亦即 sin(－3x＋3m＋π
4)＝sin(3x＋3m＋π
4)对 x∈R 恒成立．
∴sin(－3x)cos(3m＋π
4)＋cos(－3x)·sin(3m＋π
4)
＝sin3xcos(3m＋π
4)＋cos3xsin(3m＋π
4)，
即 2sin3xcos(3m＋π
4)＝0 对 x∈R 恒成立．∴cos(3m＋π
4)＝0，故 3m＋π
4＝kπ＋π
2(k∈Z)，
∴m＝kπ
3 ＋ π
12(k∈Z)，从而，最小正实数 m＝ π
12.
第六章 三角恒等变形
第一节 同角三角函数的基本关系
A 组
1．已知 sinα＝ 5
5 ，sin(α－β)＝－ 10
10 ，α、β 均为锐角，则 β 等于________．
解析：∵α、β 均为锐角，∴－π
2<α－β<π
2，∴cos(α－β)＝ 1－sin2(α－β)＝3 10
10 .
∵sinα＝ 5
5 ，∴cosα＝ 1－(f(r(5),5))2＝2 5
5 .
∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝ 2
2 .
∵0<β<π
2，∴β＝π
4.答案：π
4
2．已知 0<α<π
2<β<π，cosα＝3
5，sin(α＋β)＝－3
5，则 cosβ 的值为________．
解析：∵0<α<π
2，π
2<β<π，∴π
2<α＋β<3
2π.∴sinα＝4
5，cos(α＋β)＝－4
5，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－ 4
5)×3
5＋(－3
5)×4
5＝－24
25.答
案：－24
25
3．如果 tanα、tanβ 是方程 x2－3x－3＝0 的两根，则sin(α＋β)
cos(α－β)＝________.
解析：tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝－3，则sin(α＋β)
cos(α－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
cosαcosβ＋sinαsinβ
＝ tanα＋tanβ
1＋tanαtanβ＝ 3
1－3＝－3
2.答案：－3
2
4．(2008 年高考山东卷改编)已知 cos(α－π
6)＋sinα＝4
5 3，则 sin(α＋7π
6 )的值是___．
解析：由已知得 3
2 cosα＋1
2sinα＋sinα＝4
5 3，即 1
2cosα＋ 3
2 sinα＝4
5，
得 sin(α＋π
6)＝4
5，sin(α＋7
6π)＝－sin(α＋π
6)＝－4
5.答案：－4
5
5．(原创题)定义运算 ab＝a2－ab－b2，则 sin π
12cos π
12＝________.
解析：sin π
12cos π
12＝sin2 π
12－sin π
12cos π
12－cos2 π
12＝－(cos2 π
12－sin2 π
12)－1
2×2sin π
12cos π
12
＝－cosπ
6－1
2sinπ
6＝－1＋2 3
4 .答案：－1＋2 3
4
6．已知 α∈(π
2，π)，且 sinα
2＋cosα
2＝ 6
2 .
(1)求 cosα 的值；(2)若 sin(α－β)＝－3
5，β∈(π
2，π)，求 cosβ 的值．
解：(1)因为 sinα
2＋cosα
2＝ 6
2 ，两边同时平方得 sinα＝1
2.
又π
2<α<π.所以 cosα＝－ 3
2 .
(2)因为π
2<α<π，π
2<β<π，所以－π<－β<－π
2，故－π
2<α－β<π
2.
又 sin(α－β)＝－3
5，得 cos(α－β)＝4
5.
cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝－ 3
2 ×4
5＋1
2×(－3
5)＝－4 3＋3
10 .
B 组
1. cos2α
1＋sin2α·1＋tanα
1－tanα的值为________．
解析： cos2α
1＋sin2α·1＋tanα
1－tanα＝ cos2α－sin2α
(sinα＋cosα)2·1＋tanα
1－tanα
＝cosα－sinα
sinα＋cosα·1＋tanα
1－tanα＝1－tanα
1＋tanα·1＋tanα
1－tanα＝1.
2．已知 cos(π
4＋x)＝3
5，则sin2x－2sin2x
1－tanx 的值为________．
解析：∵cos(π
4＋x)＝3
5，∴cosx－sinx＝3
5 2，
∴1－sin2x＝18
25，sin2x＝ 7
25，∴sin2x－2sin2x
1－tanx ＝2sinx(cosx－sinx)
cosx－sinx
cosx
＝sin2x＝ 7
25.
3．已知 cos(α＋π
3)＝sin(α－π
3)，则 tanα＝________.
解析：cos(α＋π
3)＝cosαcosπ
3－sinαsinπ
3＝1
2cosα－ 3
2 sinα，sin(α－π
3)
＝sinαcosπ
3－cosαsinπ
3＝1
2sinα－ 3
2 cosα，
由已知得：(1
2＋ 3
2 )sinα＝(1
2＋ 3
2 )cosα，tanα＝1.
4．设 α∈(π
4，3π
4 )，β∈(0，π
4)，cos(α－π
4)＝3
5，sin(3π
4 ＋β)＝ 5
13，则 sin(α＋β)＝________.
解析：α∈(π
4，3π
4 )，α－π
4∈(0，π
2)，又 cos(α－π
4)＝3
5，∴sin(α－π
4)＝4
5.
∵β∈(0，π
4)，∴3π
4 ＋β∈(3π
4 ，π)．∵sin(3π
4 ＋β)＝ 5
13，∴cos(3π
4 ＋β)＝－12
13，
∴sin(α＋β)＝－cos[(α－π
4)＋(3π
4 ＋β)]
＝－cos(α－π
4)·cos(3π
4 ＋β)＋sin(α－π
4)·sin(3π
4 ＋β)＝－3
5×(－12
13)＋4
5× 5
13＝56
65，
即 sin(α＋β)＝56
65.
5．已知 cosα＝1
3，cos(α＋β)＝－1
3，且 α，β∈(0，π
2)，则 cos(α－β)的值等于________．
解析：∵α∈(0，π
2)，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝1
3，∴cos2α＝2cos2α－1＝－7
9，∴sin2α＝
1－cos22α＝4 2
9 ，而 α，β∈(0，π
2)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝ 1－cos2(α＋β)＝2 2
3 ，
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－ 7
9)×(－1
3)＋4 2
9 ×2 2
3
＝23
27.
6．已知角 α 在第一象限，且 cosα＝3
5，则1＋ 2cos(2α－f(π,4))
sin(α＋f(π,2)) ＝________.
解 析 ： ∵α 在 第 一 象 限 ， 且 cosα ＝ 3
5， ∴sinα ＝ 4
5， 则 1＋ 2cos(2α－f(π,4))
sin(α＋f(π,2)) ＝
1＋ 2(f(r(2),2)cos2α＋f(r(2),2)sin2α)
cosα ＝2cos2α＋2sinαcosα
cosα ＝2(sinα＋cosα)＝2(4
5＋3
5)＝14
5 .
7．已知 a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈( π
2，π)，若 a·b＝ 2
5，则 tan(α＋π
4)的值为
________．
解析：a·b＝cos2α＋2sin 2α－sinα＝1－2sin 2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝ 2
5，∴sinα＝3
5，
又 α∈(π
2，π)，∴cosα＝－4
5，tanα＝－3
4，∴tan(α＋π
4)＝tanα＋1
1－tanα＝1
7.
8. tan10°tan70°
tan70°－tan10°＋tan120°的值为______．
解析：由 tan(70°－10°)＝ tan70°－tan10°
1＋tan70°·tan10°＝ 3，
故 tan70°－tan10°＝ 3(1＋tan70°tan10°)，代入所求代数式得：
tan70°tan10°
3(1＋tan70°tan10°)＋tan120°
＝ tan70°tan10°
3(1＋tan70°tan10°)－ 3
＝ tan70°tan10°
3tan70°tan10°
＝ 3
3 .
9．已知角 α 的终边经过点 A(－1， 15)，则 sin(α＋f(π,4))
sin2α＋cos2α＋1的值等于________．
解析：∵sinα＋cosα≠0，cosα＝－1
4，∴ sin(α＋f(π,4))
sin2α＋cos2α＋1＝ 2
4cosα＝－ 2.
10．求值：cos20°
sin20°·cos10°＋ 3sin10°tan70°－2cos40°.
解：原式＝cos20°cos10°
sin20° ＋ 3sin10°sin70°
cos70° －2cos40°
＝cos20°cos10°＋ 3sin10°cos20°
sin20° －2cos40°
＝cos20°(cos10°＋r(3)sin10°)
sin20° －2cos40°
＝2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°)
sin20° －2cos40°
＝2cos20°sin40°－2sin20°cos40°
sin20° ＝2.
11．已知向量 m＝(2cosx
2，1)，n＝(sinx
2，1)(x∈R)，设函数 f(x)＝m·n－1.
(1)求函数 f(x)的值域；(2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为 A，B，C，若 f(A)＝5
13，f(B)
＝3
5，求 f(C)的值．
解：(1)f(x)＝m·n－1＝(2cosx
2，1)·(sinx
2，1)－1＝2cosx
2sinx
2＋1－1＝sinx.
∵x∈R，∴函数 f(x)的值域为[－1,1]．
(2)∵f(A)＝ 5
13，f(B)＝3
5，∴sinA＝ 5
13，sinB＝3
5.
∵A，B 都为锐角，∴cosA＝ 1－sin2A＝12
13，cosB＝ 1－sin2B＝4
5.
∴f(C)＝sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB
＝ 5
13×4
5＋12
13×3
5＝56
65.∴f(C)的值为56
65.
12．(2010 年南京调研)已知：0<α<π
2<β<π，cos(β－π
4)＝1
3，sin(α＋β)＝4
5.
(1)求 sin2β 的值；(2)求 cos(α＋π
4)的值．
解：(1)法一：∵cos(β－π
4)＝cosπ
4cosβ＋sinπ
4sinβ＝ 2
2 cosβ＋ 2
2 sinβ＝1
3，
∴cosβ＋sinβ＝ 2
3 ，∴1＋sin2β＝2
9，∴sin2β＝－7
9.
法二：sin2β＝cos(π
2－2β)＝2cos2(β－π
4)－1＝－7
9.
(2)∵0<α<π
2<β<π，∴π
4<β－π
4<3π
4 ，π
2<α＋β<3π
2 ，∴sin(β－π
4)>0，cos(α＋β)<0.
∵cos(β－π
4)＝1
3，sin(α＋β)＝4
5，∴sin(β－π
4)＝2 2
3 ，cos(α＋β)＝－3
5.
∴cos(α＋π
4)＝cos[(α＋β)－(β－π
4)]＝cos(α＋β)cos(β－π
4)＋sin(α＋β)sin(β－π
4)
＝－3
5×1
3＋4
5×2 2
3 ＝8 2－3
15 .
第二节 两角和与差及二倍角的三角函数
A 组
1．若 sinα＝3
5，α∈(－π
2，π
2)，则 cos(α＋5π
4 )＝________.
解析：由于 α∈(－π
2，π
2)，sinα＝3
5得 cosα＝4
5，由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋5π
4 )＝
－ 2
2 (cosα－sinα)＝－ 2
10.
2．已知 π<θ<3
2π，则 1
2＋1
2 1
2＋1
2cosθ＝________.
解析：∵π<θ<3π
2 ，∴π
2<θ
2<3π
4 ，π
4<θ
4<3π
8 .
1
2＋1
2 1
2＋1
2cosθ＝ 1
2＋1
2 cos2θ
2
＝ 1
2－1
2cosθ
2＝sinθ
4.
3．(2010 年南京市调研)计算：cos10°＋ 3sin10°
1－cos80°
＝________.
解析：cos10°＋ 3sin10°
1－cos80°
＝2cos(10°－60°)
2sin240°
＝ 2cos50°
2sin40°
＝ 2.
4．(2009 年高考上海卷)函数 y＝2cos2x＋sin2x 的最小值是__________________．
解析：y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1
＝ 2sin(2x＋π
4)＋1≥1－ 2.
5．(原创题)函数 f(x)＝(sin2x＋ 1
2010sin2x)(cos2x＋ 1
2010cos2x)的最小值是________．
解析：f(x)＝(2010sin4x＋1)(2010cos4x＋1)
20102sin2xcos2x
＝20102sin4xcos4x＋2010(sin4x＋cos4x)＋1
20102sin2xcos2x
＝sin2xcos2x＋ 2011
20102sin2xcos2x－ 2
2010≥ 2
2010( 2011－1)．
6．已知角 α∈(π
4，π
2)，且(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0.
(1)求 tan(α＋π
4)的值；(2)求 cos(π
3－2α)的值．
解：∵(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0，
又 α∈(π
4，π
2)，∴tanα＝4
3，sinα＝4
5，cosα＝3
5，
(1)tan(α＋π
4)＝
tanα＋tanπ
4
1－tanαtanπ
4
＝
4
3＋1
1－4
3
＝－7.
(2)cos2α＝2cos2α－1＝－ 7
25，sin2α＝2sinαcosα＝24
25，
cos(π
3－2α)＝cosπ
3cos2α＋sinπ
3sin2α＝1
2×(－ 7
25)＋ 3
2 ×24
25＝24 3－7
50 .
B 组
1．若 tan(α＋β)＝2
5，tan(β－π
4)＝1
4，则 tan(α＋π
4)＝_____.
解析：tan(α＋π
4)＝tan[(α＋β)－(β－π
4)]＝ tan(α＋β)－tan(β－f(π,4))
1＋tan(α＋β)tan(β－f(π,4))＝
2
5－1
4
1＋2
5 × 1
4
＝ 3
22.
2．(2009 年高考陕西卷改编)若 3sinα＋cosα＝0，则 1
cos2α＋sin2α的值为________．
解 析 ： 由 3sinα ＋ cosα ＝ 0 得 cosα ＝ － 3sinα ， 则 1
cos2α＋sin2α＝ sin2α＋cos2α
cos2α＋2sinαcosα＝
9sin2α＋sin2α
9sin2α－6sin2α＝10
3 .
3．设 a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝ 6
2 ，则 a、b、c 的大小关系是
解析：a＝ 2sin59°，c＝ 2sin60°，b＝ 2sin61°，∴a1＋1
2＝3
2，c2＝3
2，∴a== naaa
=11a
2
2
1)( x
xxf += =++++++ )4
1()4()3
1()3()2
1()2()1( fffffff 7
2
{ }na 4243 11 aaaa ⋅=+ n2
n2 { }na =na 2
1
10n−
{ }na 3,60 11
+=−= + nn aaa |||||| 3021 aaa +++
{ }na 01
>a 138 53 aa = }{ nS 20S
13、已知一个等差数列前五项的和是 120，后五项的和是 180，又各项之和是 360，则此数
列共有 12 项。
14、设 ，利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法，可求得：
的值为
15、已知数列 的通项 ，前 n 项和为 ，则 = 。
16、数列 前 n 项的和等于 。
17、已知数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，若数列 是等比
数列，则其公比为（ B ）
18、已知在数列 中， +d ( >0) ．
（1）若 求 并猜测 ；
（2）若 是等比数列，且 是等差数列，求 满足的条件．
解：（1） 猜测 ．
（2）由 ，得 ．
当 时，显然 ， 是等比数列．
当 时，因为 只有 时， 才是等比数列．
由 ，得 即 ，或 ．
由 得 ．
当 ，显然 是等差数列，
当 时， ，
只有 时， 才是等差数列．
由 ，得 即 ．
综上所述： ．
33
1)( +
=
xxf
)13()12()11()0()10()11()12( fffffff ++++++−+−+− 33
13
{ }na 12)12( −⋅+= n
n na nS nS nn 2)12(1 −+
,84
1,63
1,42
1,21
1
2222 ++++ )2)(1(2
32
4
3
++
+−
nn
n
{ }na 1a (0 2 )d d π< < {cos }na
.A 1 .B 1− .C 1± .D 2
{ }na nnnn aaqaaa 212,1221 ,1 === +− qRdq ，、 ∈
,1,2 −== dq 43,aa 2006a
{ }12 −na { }na2 dq,
∴===−=== ,22,11,2,1 342321 aaaaaa 22006 =a
nnnn aaqaa 212,122 == +− ( ), , 0d q d R q+ Î ¹ dqaa nn += −+ 1212
0=d 1212 −+ = nn qaa { }12 −na
0≠d ,11 =a 112 =−na { }12 −na
dqaa nn += −+ 1212 ,1=+ dq 0,0 ≠= qd 1q d+ =
daaqaa nnnn +== −−− 2212,122 )2(222 ≥+= − nqdqaa nn
)2(,1 222 ≥+== − ndaaq nn
{ }na2
1≠q qqaa == 12
qa n =2
{ }na2
)( 222 daqa nn +=+ ,1=+ dq 1,1 =+= dqq
1q d+ =
19.已知一个等差数列的前 10 项和是 310，前 20 项和是 1220，试求其前 项和。
解：由题设： 得：
∴
第九章 平面向量
1 ． 已 知 三 个 向 量 a=(cos ， sin ) ， b=(cos ， sin ) ， c= ， sin ) ， 满 足
，则 a 与 b 的夹角为
2、．下列命题：
(1)若 a 与 b 为非零向量，且 a∥b 时，则 a—b 必与 a 或 b 中之一的方向相同；
(2)若 e 为单位向量，且 a∥e，则 a=|a|e；
(3)a·a·a=|a|3
(4)若 a 与 b 共线，又 b 与 c 共线，则 a 与 c 必共线
(5)若平面内四个点 A、B、C、D 则必有 AC+BD=BC+AD
正确的命题个数为（ D ）
A、1 B、2 C、3 D、0
3、若 o 为平行四边形 ABCD 的中心， =4 1, 等于（ B ）
A． B． C． D．
4、若 ，且（ ） ，则实数 的值为______ ______.
5、已知 ， 与 的夹角为 ，则 在 上的投影为 3 。
6、在直角坐标平面上，向量 ，向量 ，两向量在直线 上的正射影长
度相等，则直线 的斜率为
7 、 设 平 面 向 量 =(-2,1) ， =(1, ) ， 若 与 的 夹 角 为 钝 角 ， 则 的 取 值 范 围 是
。
8、．已知向量 ,则向量 的夹角范围
是
n
31010 =S 122020 =S
=+
=+
122019020
3104510
1
1
da
da
=
=⇒
6
41
d
a
nnnnnSn +=×−+= 2362
)1(4
1θ 1θ 2θ 2θ 3(cosθ 3θ
0=++ cba π
3
2
BA e 122 23,6 eeeCB −= 则
OA OB OC OD
)2,1(),7,5( −=−= ba ba λ+ b⊥ λ
5
19
2|||| == ba a b 3
π
ba + a
)1,4(=OA )3,2( −=OB l
l 2
1-3或
a b λ a b λ
)2,2
1()2
1,( −−−∞
)sin2,cos2(),2,2(),0,2( αα=== CAOCOB OBOA,
。
9、将函数 的图象按向量 平移后得到 的图象，给出以下四个命题：
① 的坐标可以是 ； ② 的坐标可以是 和 ；
③ 的坐标可以是 ； ④ 的坐标可以有无数种情况。
上述说法正确的是 ①②③④ 。
10 、 已 知 中 ， ， 则 与 的 夹 角 为
。
11、若△ABC 三边长 AB=5，BC=7，AC=8，则 等于 。
12.已知 的夹角为 120°，且 ， ，当 时，k= .
13.已知 A（3，y），B（ ，2），C（6， ）三点共线，则 y=_________.
14. 若 =（1，2）， =（ ，2）， k 为何值时:
（1）k + 与 －3 垂直；（2）k + 与 －3 平行？
15. 已 知 | |=4 ， | |=3 ， （ 2 － 3 ） · （ 2 + ） =61 ， 求 ： (i) 与 的 夹 角 θ ; (ii)
.
]12
5,12[
ππ
xy 2=
→
a 62 += xy
→
a )0,3(−
→
a )0,3(− )6,0(
→
a )6,0(
→
a
ABC∆ 5||,3||,4
15,0,, ===<⋅== ∆ baSbabCAaCB ABC a b
0150
BCAB⋅ 5−
| | 4, | | 3, ,a b a b= = 2c a b= + 2d a kb= + c d⊥
5− 9−
a b 3−
a b a b a b a b
a b a b a b a b
| 2 |a b+
16. 已知 的顶点坐标分别为 A（1,2），B（2,3），C（－2,5），求 .
17. 设 =（sinx－1，cosx－1）， =（ ， ）. （1）若 为单位向量，求 x 的值；
（2）设 f（x）= · ，则函数 y=f（x）的图象是由 y=sinx 的图象如何平移得到？
18.已知 ,且 .
（i）求 及 ; （ii）求函数 的最小值.
ABC∆ cos A
a b
2
2
2
2 a
a b
3 3(cos ,sin ), (cos , sin )2 2 2 2
x xa x x b= = − [0, ]2x
π∈
a b⋅ a b+ ( ) sinf x a b a b x= ⋅ − +
第十章 算法
第一节 程序框图
A 组
1．(2009 年高考福建卷改编)阅读如图所示的程序框图， 运 行 相 应 的
程序，输出的结果是________．
解析：试将程序分步运行：
第一循环：S＝ 1
1－2＝－1，n＝2；
第二循环：S＝ 1
1－(－1)＝1
2，n＝3；
第三循环：S＝ 1
1－1
2
＝2，n＝4.答案：4
2．(2009 年高考宁夏、海南卷改编)如果执行如图的程序框图，输入 x＝－2，h＝0.5，那么
输出的各个数的和等于________．
解析：由框图可知，当 x＝－2 时，y＝0；
当 x＝－1.5 时，y＝0；当 x＝－1 时，y＝0；
当 x＝－0.5 时，y＝0；当 x＝0 时，y＝0；
当 x＝0.5 时，y＝0.5；当 x＝1 时，y＝1；
当 x＝1.5 时，y＝1；当 x＝2 时，y＝1.
∴输出的各数之和为 3.5. 答案：3.5
3．(2009 年高考山东卷改编)执行下面的程序框图，输出的 T＝________.
第 2 题 第 3 题
解析：据框图依次为：
Error!Error!Error!Error!Error!
故此时应输出 T＝30.答案：30
4．(2010 年南京市高三调研)阅读下面的流程图，若输入 a＝6，b＝1，则输出的结果是
________．
解析：a＝6，b＝1，则 x＝5>2，再次进入循环得 a＝4，b＝6，此时 x＝2，退出循
环．故输出 2.答案：2
5．(2010 年苏、锡、常、镇四市高三调研)阅读如图所示的程序框图，若输入的 n 是 100，
则输出的变量 S 的值是多少？
第 5 题 第 6 题
解析：由循环结构可得 S＝100＋99＋…＋3＋2＝5049.
故输出的变量 S 的值为 5049.答案：5049
6．(原创题)已知如图所示的程序框图(未完成)，设当箭头 a 指向①时，输出的结果为 S
＝m，当箭头 a 指向②时，输出的结果为 S＝n，求 m＋n 的值．
解：(1)当箭头 a 指向①时，输出 S 和 i 的结果如下：
S 0＋1 0＋2 0＋3 0＋4 0＋5
i 2 3 4 5 6
∴S＝m＝5.
(2)当箭头 a 指向②时，输出 S 和 i 的结果如下：
S 0＋1 0＋1＋2 0＋1＋2＋3 0＋1＋2＋3＋4
i 2 3 4 5
S 0＋1＋2＋3＋4＋5
i 6
∴S＝n＝1＋2＋3＋4＋5＝15，于是 m＋n＝20.
B 组
1．(2010 年温州调研)如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为 s＝720，则在判断框
中应填入的关于 k 的判断条件是__________．
解析：s＝10×9×8,10≥8,9≥8,8≥8，判断条件为“是”时进入循环体，7≥8 判断条件
为“否”，跳出循环，输出 s.答案：k≥8
（第 1 题） （第 2 题） （第 3 题）
2．若 R＝8，则下列流程图的运行结果为___4___．
3．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的 x 的值与输出的 y 的值相等，则 x 的可能
值的个数为________．
解析：x≤2 时，x2＝x，∴x＝0 或 x＝1；25 时，1
x＝x，∴x＝－1 或 x＝1(都舍去)．所以共有 3 个可取值．答案：3
4．如图，该程序运行后输出的结果为________．
解析：A＝1≤9，“是”，则 S＝0＋1，A 变为 2；A＝2≤9，“是”，则 S＝0＋1＋2，A
变为 3；…；A＝9≤9，“是”，则 S＝0＋1＋…＋9，A 变为 10；A＝10≤9，“否”，则输出
S＝45.
答案：45
5．已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的 b 值为 16，则循环体的判断框内①处
应填____．
解析：a＝1 时进入循环，此时 b＝21＝2；a＝2 时再进入循环，此时 b＝22＝4；a＝3 时
再进入循环，此时 b＝24＝16，∴a＝4 时应跳出循环，∴循环满足的条件为 a≤3，∴填 3.
答案：3
（第 4 题） （第 5 题） （第 6 题）
6．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是 63，则判断框中的整数 M 的值是
________．
解析：A＝1≤M，“是”，则 S＝2×1＋1＝3，A 变为 2；
A＝2≤M，“是”，则 S＝2×3＋1＝7，A 变为 3；
A＝3≤M，“是”，则 S＝2×7＋1＝15，A 变为 4；
A＝4≤M，“是”，则 S＝2×15＋1＝31，A 变为 5；
A＝5≤M，“是”，则 S＝2×31＋1＝63，A 变为 6；
A＝6≤M，“否”，则跳出循环，故填 5.
7．(2009 年高考广东卷改编)某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如
下表所示：
队员 i 1 2 3 4 5 6
三分球个数 a1 a2 a3 a4 a5 a6
下图是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框
应填______，输出的 s＝______.
(注：框图中的赋值符号“←”也可以写成“＝”或“：＝”)
（第 7 题） （第 8 题）
解析：由题意该程序框图实际上是求该 6 名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故
判断框应填 i≤6 或 i<7，输出 s 为 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6.
8．(2009 年高考上海卷)某算法的程序框图如图所示，则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式
是________．
解析：由程序框图的条件结构知：x>1 时，y＝x－2；x≤1 时，y＝2x.
故 y＝Error!
9．某流程如图所示，现输入如下四个函数
①f(x)＝x2；②f(x)＝1
x；③f(x)＝lnx；④f(x)＝sinx.
则输入函数与输出函数为同一函数的是_____________.
解析：由程序框图易知只需函数为奇函数且存在零点时，输出与输入函数必是同一函数，
分析上述四个函数，易知只有 y＝sinx 满足条件．答案：④
（第 9 题） （第 10 题）
10．如图所示的算法中，令 a＝tanθ，b＝sinθ，c＝cosθ，若在集合Error!中，给 θ 取一个值，
输出的结果是 sinθ，求 θ 值所在的范围．
解：由框图知，要输出 a、b、c 中最大的，当 θ∈(π
2，3
4π)时，sinθ 最大．
∴θ 值所在的范围为(π
2，3
4π)．
11．画出计算 1＋1
2＋1
3＋…＋1
9＋ 1
10值的一个算法的流程图．
（第 11 题） （第 12 题）
12．到银行办理个人异地汇款(不超过 100 万元)时，银行要收取一定的手续费．汇款额不超
过 100 元，收取 1 元手续费；超过 100 元但不超过 5000 元，按汇款额的 1%收取；超过
5000 元，一律收取 50 元手续费．设计算法求汇款额为 x 元时，银行收取的手续费 y 元，
只画出流程图．
解：要计算手续费，首先要建立汇款数与手续费之间的函数关系式，依题意知 y＝Error!
流程图如上图所示．
第二节 程序语句
A 组
1．(2010 年徐州调研)如图，给出一个算法的伪代码，
则 f(－3)＋f(2)＝____－8____.
T←1
I←3
While I<50
T←T＋I
I←I＋2
End While
Print T
Input x
If x<0 Then
y←(x＋1)(x－
1)
Else
y←(x－1)2
End If
Print y
End
Input x
If x≤0 Then
f(x)←4x
Else
f(x)←2x
End If
Print f(x)
（第 1 题） （第 2 题） （第 3 题）
2．输入 x＝5，运行下面的程序之后得到的 y 等于___16_____．
3．(2010 年泰州质检)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 T 为___625_____．
4 ． (2009 年 高 考 安 徽 卷 改 编 ) 程 序 框 图 ( 即 算 法 流 程 图 ) 如 图 所 示 ， 其 输 出 结 果 是
___127_____．
（ 第 4 题 ） （第 5 题） （第 6
题）
5．(原创题)编写程序求 S＝1＋2 ＋3＋…＋n 的和(n 由键盘输
入)，程序如图，则横线上应填_____ I≤n ___．
6．(2009 年高考江苏卷改编)下图是一个算法的流程图，求最后输出的 W 的值．
解：第一次：T＝1，S＝12－0＝1；
第二次：T＝3，S＝32－1＝8；
第三次：T＝5，S＝52－8＝17.
此时满足 S≥10.
所以 W＝S＋T＝17＋5＝22.
B 组
Input n
S←0
I←1
While________
S←S＋I
I←I＋1
Wend
Print “S＝”；S
End
n←5
S←0
While S<15
S←S＋n
n←n－1
End While
1．右面程序执行后输出的结果是___0_____．
2．下列程序的功能是：判断任意输入的数 x 是否是正数，若是，输出它的平方值；若不是，
输出它的相反数．则填入的条件应该是_____ x≤0___．
x←Input(“x＝”)
If________
y←－x；
Else
y←x2
End If
Print y
3．程序如下：
a←Input(“a＝”)
b←Input(“b＝”)
c←Input(“c＝”)
a←b
b←c
c←a
Print a，b，c
若输入 10,20,30，则输出结果为____20,30,20____．
4．(2010 年南通调研)程序如下：
t←1
i←2
While i≤4
t←t×i
i←i＋1
End While
Print t
以上程序输出的结果是____24____．
Print n
5．有下面算法：
p←1
For k From 1 To 10 Step 3
p←p＋2×k－6
End For
Print p
则运行后输出的结果是____21____．
6 ． (2010 年 南 京 第 一 次 调 研 ) 根 据 如 图 所 示 的 伪 代 码 ， 可 知 输 出 的 结 果 I 为
___5_____．
S←1
I←1
While S<5
S←S×I＋1
I
I←I＋1
End While
Print I
7．现欲求 1＋1
3＋1
5＋…＋ 1
2n－1的和(其中 n 的值由键盘输入)，已给出了其程序框图，
请将其补充完整并设计出程序．
解：①i←i＋1 ②S←S＋ 1
2i－1
程序如下：
Input n
S←0
i←0
While i30)＝________.
解析：P(ξ>30)＝1－P(ξ<10)－P(10≤ξ≤30)＝1－0.3－0.4＝0.3.答案：0.3
5．某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相同的，有 3 个这样的电子元件，则出现
至少有一个接通的概率为________．
解析：设电子元件接通记为 1，没有接通记为 0.又设 A 表示“3 个电子元件至少有一个
接通”，显然A表示“3 个电子元件都没有接通”，Ω 表示“3 个电子元件的状态”，则 Ω＝
{(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1)(0,0,0)}．Ω 由 8 个基本事件组成，
而且这些基本事件的出现是等可能的，A＝{(0,0,0)}，事件A由 1 个基本事件组成，因此
P(A)＝1
8，∵P(A)＋P(A)＝1，∴P(A)＝1－P(A)＝1－1
8＝ 7
8.答案：
7
8
6．(2010 年南京调研)某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓 球 队 各
有 10 名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况 如 图 所
示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
解：从图中可以看出，3 个球队共有 20 名队员，
(1)记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件 A，则 P(A)＝3＋5＋4
20 ＝3
5.
故随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队的概率为3
5.
(2)记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件 B，则 P(B)＝1－P(B)＝
1－ 2
20＝ 9
10.
故随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队的概率为 9
10.
B 组
1．(2009 年高考安徽卷)从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条，则以这三条
线段为边可以构成三角形的概率是________．
解析：从四条线段中任取三条有 4 种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构
成三角形的取法有 3 种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为3
4.
答案：3
4
2．甲射手击中靶心的概率为1
3，乙射手击中靶心的概率为1
2，甲、乙两人各射击一次，那么，
甲、乙不全击中靶心的概率为________．
解析：P＝1－1
3×1
2＝5
6.答案：5
6
3．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率是
0.42，摸出白球的概率是 0.28，那么摸出黑球的概率是________．
解析：P＝1－0.42－0.28＝0.30.答案：0.30
4．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一
人的概率是________．
解析：(甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都
送给丁)共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种．
答案：1
2
5．(2008 年高考江苏卷)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正
方体玩具)先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和为 4 的概率是___．
解析：基本事件共 6×6 个，点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共 3 个．故 P＝ 3
6 × 6＝
1
12.答案： 1
12
6．有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字 1、2、3、
4，把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面写有的数字之和能被 5 整除的概率为________．
解析：由于正四面体各面都完全相同，故每个数字向上都是等可能的，被 5 整除的可能
为(2,3)，(3,2)，(1,4)，(4,1)共 4 种，而总共有 4×4＝16(种)，故 P＝ 4
16＝1
4.答案：1
4
7．有一个奇数列 1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有 1 个数为 1，第二组有 2 个数
为 3、5，第三组有 3 个数为 7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为 3
的倍数的概率为________．
解析：由已知可得前九组共有(1＋2＋3＋…＋9)＝45(个)奇数，第十组共有 10 个奇数且
依次构成公差为 2 的等差数列，且第一个奇数为 a1＝1＋2×(46－1)＝91，所以，第十组的
奇数为 91,93,95,97,99,101,103,105,107,109 这十个数字，其中恰为 3 的倍数的数有 93,99,105
三个，故所求概率为 P＝ 3
10.答案： 3
10
8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6)，骰子
朝上的面的点数分别为 x、y，则满足 log2xy＝1 的概率为________．
解析：由 log2xy＝1 得 y＝2x，满足条件的 x、y 有 3 对，而骰子朝上的点数 x、y 共有 6×6
＝36，∴概率为 3
36＝ 1
12.答案： 1
12
9．(2010 年江苏宿迁模拟)将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为 b、c 则方程 x2＋
bx＋c＝0 有实根的概率为____________．
解析：一枚骰子掷两次，其基本事件总数为 36，方程有实根的充要条件为 b2≥4c.
b 1 2 3 4 5 6
使 b2≥4c 的基本
事件个数
0 1 2 4 6 6
由此可见，使方程有实根的基本事件个数为 1＋2＋4＋6＋6＝19，于是方程有实根的概
率为 P＝19
36.答案：19
36
10．如图，四边形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角 形，若每
个小三角形用 4 种不同颜色中的任一种涂染，求出现相 邻三角形
均不同色的概率．
解：若不考虑相邻三角形不同色的要求，则有 44＝ 256( 种 )
涂法，下面求相邻三角形不同色的涂法种数：①若△AOB 与△COD 同色，它们共有 4 种涂
法，对每一种涂法，△BOC 与△AOD 各有 3 种涂法，所以此时共有 4×3×3＝36(种)涂
法．②若△AOB 与△COD 不同色，它们共有 4×3＝12(种)涂法，对每一种涂法△BOC 与
△AOD 各有 2 种涂法，所以此时有 4×3×2×2＝48(种)涂法．故相邻三角形均不同色的概
率 P＝36＋48
256 ＝21
64.
11．在数学考试中，小明的成绩在 90 分及以上的概率是 0.18，在 80～89 分的概率是 0.51，
在 70～79 分的概率是 0.15，在 60～69 分的概率是 0.09，计算小明在数学考试中取得 80 分
及以上成绩的概率和小明考试不及格(低于 60 分)的概率．
解：设小明的数学考试成绩在 90 分及以上，在 80～89 分，在 70～79 分，在 60～69 分
分别为事件 B，C，D，E，这 4 个事件是彼此互斥的．
根据互斥事件的加法公式，小明的考试成绩在 80 分及以上的概率为 P(B＋C)＝P(B)＋
P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
小明考试及格的概率，即成绩在 60 分及以上的概率为 P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋
P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
而小明考试不及格与小明考试及格互为对立事件，所以小明考试不及格的概率为 1－
P(B＋C＋D＋E)＝1－0.93＝0.07.
12．盒中有 6 只灯泡，其中 2 只次品，4 只正品，有放回地从中任取 2 次，每次只取 1 只，
试求下列事件的概率：(1)取到的 2 只都是次品；(2)取到的 2 只中正品、次品各 1 只；(3)取
到的 2 只中至少有 1 只正品．
解：从 6 只灯泡中有放回地任取 2 次，每次只取 1 只，共有 62＝36(种)不同取法．
(1)取到的 2 只都是次品的情况有 22＝4(种)，因而所求概率为 P＝ 4
36＝1
9.
(2)由于取到的 2 只中正品、次品各 1 只有 2 种可能：第一次取到正品，第二次取到次
品；第一次取到次品，第二次取到正品，所以所求的概率为
P＝4 × 2
36 ＋2 × 4
36 ＝4
9.
(3)由于“取到的 2 只中至少有 1 只正品”是事件“取到的 2 只都是次品”的对立事件，
因而所求的概率为 P＝1－1
9＝8
9.
第二节 概率的应用
A 组
1．在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相
同 ． 现 从 中 随 机 取 出 2 个 小 球 ， 则 取 出 的 小 球 标 注 的 数 字 之 和 为 3 或 6 的 概 率 是
________．
解析：当取出的小球标注的数字之和为 3 时只有{1,2}一种取法；当取出的小球标注的
数字之和为 6 时，有{1,5}，{2,4}两种取法，所以符合条件的取法种数为 3 种，而所有的取
法有 10 种，故所求的概率为 3
10.答案： 3
10
2．已知 k∈Z，AB
→
＝(k,1)，AC
→
＝(2,4)，若|A B
→
|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率为________．
解析：|A B
→
|≤4，k2＋1≤16，k2≤15，k＝－3，－2，－1,0,1,2,3.
B C
→
＝(2－k,3)．若 A B
→
·B C
→
＝－k2＋2k＋3＝0，则 k＝－1，k＝3；若 B C
→
·A C
→
＝0，则 k
＝8(舍)；若 A B
→
·A C
→
＝0，则 k＝－2.故 P＝3
7.答案：3
7
3．(2010 年南京调研)甲盒子里装有分别标有数字 1,2,4,7 的 4 张卡片，乙盒子里装有分别标
有数字 1,4 的 2 张卡片．若从两个盒子中各随机地取出 1 张卡片，则 2 张卡片上的数字之和
为奇数的概率是________．
解析：数字之和为奇数的有(1,4)，(2,1)，(4,1)，(7,4)共 4 种情形，而从两个盒子中各抽
取一张卡片共有 8 种情况，所以所求概率为1
2.答案：1
2
4．(2009 年高考江苏卷)现有 5 根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若
从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为________．
解析：在 5 个长度中一次随机抽取 2 个，则有(2.5,2.6)，(2.5，2.7)，(2.5,2.8)，(2.5,2.9)，
(2.6,2.7)，(2.6,2.8)，(2.6,2.9)，(2.7,2.8)，(2.7,2.9)，(2.8,2.9)，共 10 种情况．满足长度恰好相
差 0.3 m 的基本事件有(2.5,2.8)，(2.6,2.9)，共 2 种情况，所以它们的长度恰好相差 0.3 m 的
概率为 P＝ 2
10＝1
5.答案：1
5
5．(原创题)连掷两次骰子分别得到点数 m，n，向量 a＝(m，n)，b＝(－1,1)，若在△ABC 中，
A B
→
与 a 同向，C B
→
与 b 反向，则∠ABC 是钝角的概率是________．
解析：要使∠ABC 是钝角，必须满足 A B
→
·C B
→
<0，即 a·b＝n－m>0.连掷两次骰子所得
点数 m，n 共有 36 种情形，其中 15 种满足条件，故所求概率是 5
12.
6．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共 24 个，除颜色外其他特征完全相同，已知蓝色
球 3 个．若从袋子中随机取出 1 个球，取到红色球的概率是1
6.
(1)求红色球的个数；
(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将 1 号红色球，1 号白色球，2 号蓝色球和 3
号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取
出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率．
解：(1)设红色球有 x 个，依题意得 x
24＝1
6，解得 x＝4，∴红色球有 4 个．
(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件 A，所有的基本事件有(红 1，白 1)，(红
1，蓝 2)，(红 1，蓝 3)，(白 1，红 1)，(白 1，蓝 2)，(白 1，蓝 3)，(蓝 2，红 1)，(蓝 2，
白 1)，(蓝 2，蓝 3)，(蓝 3，红 1)，(蓝 3，白 1)，(蓝 3，蓝 2)，共 12 个．事件 A 包含的
基本事件有(蓝 2，红 1)，(蓝 2，白 1)，(蓝 3，红 1)，(蓝 3，白 1)，(蓝 3，蓝 2)，共 5
个，所以 P(A)＝
5
12.
B 组
1．(2009 年高考浙江卷)有 20 张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数 k，k＋1，其
中 k＝0,1,2，…，19.从这 20 张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例
如：若取到标有 9,10 的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为 9＋1＋0＝10)不小于 14”
为 A，则 P(A)＝________.
解析：对于大于 14 的情况通过列举可得有 5 种情况：
(7,8)、(8,9)、(16,17)、(17,18)、(18,19)，而基本事件有 20 种，因此 P(A)＝1
4.
答案：1
4
2．用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律拼成若干图形，则按此规律第 100 个图形
中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第 100 个图形中，则豆子落在白色地砖上
的概率是________．
解析：白色地砖构成等差数列：8,13,18，…，5n＋3，…
∴an＝5n＋3，a100＝503，第 100 个图形中有地砖 503＋100＝603，故所求概率 P＝503
603.
答案：503 503
603
3．设集合 A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b，确定平面上
的一个点 P(a，b)，记“点 P(a，b)落在直线 x＋y＝n 上”为事件 Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事
件 Cn 的概率最大，则 n 的所有可能值为________．
解析：分别从 A 和 B 中各取 1 个数，一共有 6 种等可能的取法，点 P(a，b)恰好落在直
线 x＋y＝2 上的取法只有 1 种：(1,1)；恰好落在直线 x＋y＝3 上的取法有 2 种：(1,2)，(2,1)；
恰好落在直线 x＋y＝4 上的取法也有 2 种：(1,3)，(2,2)；恰好落在直线 x＋y＝5 上的取法只
有 1 种：(2,3)，故事件 C n 的概率分别为1
6，1
3，1
3，1
6(n＝2,3,4,5)，故当 n＝3 或 4 时概率最
大．答案：3 和 4
4．先后从分别标有数字 1,2,3,4 的 4 个大小、形状完全相同的球中，有放回地随机抽取 2 个
球，则抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的概率等于________．
解析：基本事件共有 4×4＝16 个，其中抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的情况有：
(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1)，共 10 种，所以所求概率
为10
16＝5
8.答案：5
8
5．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 a，第二次出现的点
数为 b，向量 m＝(a，b)，n＝(1，－2)，则向量 m 与向量 n 垂直的概率是________．
解析：显然 m·n＝a－2b＝0，所有可能的结果为(a，b)＝(2,1)、(4,2)、(6,3)．基本事件
总数为 36，则概率为 1
12.答案： 1
12
6.(2010 年南京高三调研)如图，将一个体积为 27 cm3 的 正 方 体
木块表面涂上蓝色，然后锯成体积为 1 cm3 小正方体，从 中 任 取
一块，则这一块恰有两面涂有蓝色的概率是 .
解析：据题意知两面涂色的小正方体当且仅当它们是 大 正 方
体的各条棱的中点时满足条件．正方体共 12 条棱，所以两面涂色的小正方体有 12 个，而所
有小正方体有 27 个，所以，所求的概率为 P＝12
27＝4
9.答案：4
9
7．集合 A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在 A 中任取一元素 m 和在 B 中任取一元素 n，则
所取两数 m>n 的概率是________．
解析：基本事件总数为 25 个．m＝2 时，n＝1；m＝4 时，n＝1,3；m＝6 时，n＝1,3,5；
m＝8 时，n＝1,3,5,7；m＝10 时，n＝1,3,5,7,9；共 15 个．故 P＝15
25＝0.6.答案：0.6
8．集合 A＝{(x，y)|y≥|x－1|}，集合 B＝{(x，y)|y≤－ x＋5}．先后
掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作 a，掷第二颗 骰子得点数记
作 b，则(a，b)∈A∩B 的概率等于 .
解析：如图：满足(a，b)∈(A∩B)的(a，b)值共有 8 个 ， (1,1) ，
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．∴P＝ 8
6 × 6＝2
9.答案：2
9
9．(2010 年江苏泰兴模拟)已知|x|≤2，|y|≤2，点 P 的 坐 标 为
(x，y)，则当 x，y∈Z 时，P 满足(x－2)2＋(y－2)2≤4 的 概 率 为
________．
解析：由|x|≤2，|y|≤2，x、y∈Z，则基本事件 总 数 为 n
＝25，P 满足(x－2)2＋(y－2)2≤4，∴满足条件的整 点有(0,2)，
(1,2)，(2,2)，(1,1)，(2,1)，(2,0)6 个，故 P＝ 6
25.答 案： 6
25
10．(2010 年皖南八校质检)甲、乙两人各掷一次骰子(均匀的正方体，六个面上分别为
1,2,3,4,5,6 点)，所得点数分别为 x，y.
(1)求 x0}，在集合 A 中任取一个元素 x ，
则事件“x∈A∩B”的概率是________．
解析：由题意得 A＝{x|－1 2R，此时∠N1ON2＝180°，故所求的概率为180°
360°＝1
2.
答案：1
2
7．已知 Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，E＝{(x，y)|x－2y≥0，x≤4，y≥0}，若向区域
Ω 内随机投一点 P，则点 P 落入区域 E 的概率为________．
解析：如图，区域 Ω 表示的平面区域为△AOB 边 界 及 其
内部的部分，区域 E 表示的平面区域为△COD 边界 及 其 内 部
的部分，所以点 P 落入区域 E 的概率为S △ COD
S △ AOB＝
1
2 × 2 × 4
1
2 × 6 × 6
＝2
9.答案：2
9
8．已知函数 f(x)＝－x2＋ax－b.若 a、b 都是从区间[0,4]任取的一个数，则 f(1)＞0 成立的概
率是________．
解析：f(1)＝－1＋a－b＞0，即 a－b＞1，如图：
A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，S△ABC＝9
2，P＝S △ ABC
S矩 ＝
9
2
4 × 4
＝ 9
32. 答
案： 9
32
9．在区间[0,1]上任意取两个实数 a，b，则函数 f(x)＝1
2x3＋ax－b 在区间[－1,1]上有且仅有
一个零点的概率为________．
解析：f′(x)＝3
2x2＋a，故 f(x)在 x∈[－1,1]上单调递增，又因为函数 f(x)＝1
2x3＋ax－b 在
[－1,1]上有且仅有一个零点，即有 f(－1)·f(1)<0 成立，即(－1
2－a－b)(1
2＋a－b)<0，则(1
2＋a＋
b)(1
2＋a－b)>0，可化为Error!或Error!由线性规划知识在平面直角坐标系 aOb 中画出这两个
不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数 f(x)＝1
2x3＋ax－b 在[－1,1]上有且
仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线 a＝0，a＝1，b＝0，b＝1 围成的正方形的面
积，计算可得面积之比为7
8.答案：7
8
10．设不等式组Error!表示区域为 A，不等式组Error!表示的区域为 B.
(1)在区域 A 中任取一点(x，y)，求点(x，y)∈B 的概率；
(2)若 x，y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x，y)在区域 B 中的概
率．
解：(1)设集合 A 中的点(x，y)∈B 为事件 M，区域 A 的面积为 S1＝36，区域 B 的面积
为 S2＝18，∴P(M)＝S2
S1＝18
36＝1
2.
(2)设点(x，y)在区域 B 为事件 N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x，y)的个数为 36
个，其中在区域 B 中的点(x，y)有 21 个，故 P(N)＝21
36＝ 7
12.
11．(2010 年江苏南通模拟)已知集合 A＝{x|－1≤x≤0}，集合 B＝{x|ax＋b·2 x －1＜
0,0≤a≤2,1≤b≤3}．
(1)若 a，b∈N，求 A∩B≠∅的概率；(2)若 a，b∈R，求 A∩B＝∅的概率．
解：(1)因为 a，b∈N，(a，b)可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)
共 9 组．
令函数 f(x)＝ax＋b·2x－1，x∈[－1,0]，则 f′(x)＝a＋bln2·2x.
因为 a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以 f′(x)＞0，即 f(x)在[－1,0]上是单调递增函数．
f(x)在[－1,0]上的最小值为－a＋b
2－1.要使 A∩B≠∅，只需－a＋b
2－1＜0，
即 2a－b＋2＞0.所以(a，b)只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)， (1,3)，(2,1)，
(2,2)，(2,3)7 组．所以 A∩B≠∅的概率为7
9.
(2)因为 a∈[0,2]，b∈[1,3]，
所以(a，b)对应的区域为边长为 2 的正方形(如图)， 面积为 4.
由(1)可知，要使 A∩B＝∅，
只需 f(x)min＝－a＋b
2－1≥0⇒2a－b＋2≤0，所以满足 A∩B＝∅的(a，b)对应的区域是如
图阴影部分．
所以 S 阴影＝1
2×1×1
2＝1
4，所以 A∩B＝∅的概率为 P＝
1
4
4＝ 1
16.
12．将长为 1 的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过 a(1
3≤a≤1)的概率．
解：设第一段的长度为 x，第二段的长度为 y，
第三段的长度为 1－x－y，
则基本事件组所对应的几何区域可表示为 Ω＝{(x，y)|0＜x＜1,0＜y＜1,0＜x＋y＜1}，此
区域面积为1
2.
事件“三段的长度都不超过 a(1
3≤a≤1)”所对应的几何区域可表示为 A＝{(x，y)|(x，
y)∈Ω，x＜a，y＜a,1－x－y＜a}．
即图中六边形区域，此区域面积：当1
3≤a≤1
2时，为 (3a－1)2/2，
此时事件“三段的长度都不超过 a(1
3≤a≤1)”的概率为 P ＝
(3a－1)2/2
1/2 ＝(3a－1)2；
当1
2≤a≤1 时，为1
2－3(1－a)2
2 .此时事件“三段的长度都不超过 a(1
3≤a≤1)”的概率为 P
＝1－3(1－a)2.
第十二章 导数
1、函数 是定义在 R 上的可导函数，则 是函数在 时取得极
值的________条件
A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要
2、函数 是定义在 R 上的可导函数，则 为 R 上的单调增函数是 的
________条件
A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要
3、已知 上有最大值为 3，那么此函数在
[－2，2]上的最小值为
A、－37 B、－29 C、－5 D、－11
4、若函数
A、2 B、4 C、18 D、20
5、方程
A、0 B、1 C、2 D、3
6、若函数
7、函数
A、0 B、1 C、5 D、6
8、曲线
9、已知曲线 上一点 P 处的切线与直线 垂直，则此切线方程为
A、 B、 C、 D、
10、设点 P 是 上的任一点，P 点处的切线倾斜角为α，则角α的取值范围为
A、 B、 C、 D、
11、 的图像如图（1）所示，则 的图像最有可能的是
)(xfy = 0)( 0/ =xf 0xx =
)(xfy = )(xfy = 0)(/
xf
]2,2[,(62)( 23 −+−= 在为常数）mmxxxf
axxxf −−= 3)( 3 的最小值为恒成立，则上时，当 mnnxfmx −≤≤∈ )(]3,0[
内根的个数为在 )2,0(0762 23 =+− xx
的取值范围为有三个单调区间，则 bbxxy +−= 3
3
4
0000 ≤≥ bDbCbBbA 、、、、
的值为，则的极大值为 632)( 23 aaxxxf +−=
的距离的最小值为上的点到直线 12 4 −−== xyxy
16
25
3
2
2
22 、、、、 DCBA
6xy = 36
1 += xy
056 =++ yx 056 =++ yx 056 =+− yx 056 =+− yx
3
23 3 +−= xxy
),[),0[ 3
2
2
πππ ∪ ),[),0[ 6
5
2
πππ ∪ ),[ 3
2 ππ ),( 6
5
2
ππ
)()( / xfxfy 导函数函数 = )(xfy =
y
O 21 x
y
O 2
1 x
y
O 21 x
y
O 2
1
x
y
O
21
x
图（1） A B C D
12、已知 等于
A、0 B、－4 C、－2 D、2
13、已知函数 ；
14、若函数 的值为 ；
15、若直线 的切线，则 ；
16、函数 上是增函数，则实数 的取值范围为 ；
17、若函数 ；
18、已知曲线 轴相切于不同于原点的一点，又函数有极小值为－
4，求 p、q 的值。
19 、 设 函 数 交 于 点 P ， 若 过 P 的 切 线 方 程 为
，且当 x=2 时，函数 取极值－16，试求 的解析式，并求这个函数
的单调递减区间。
)0()1(2)( //2 fxfxxf ，则+=
6 2/ ===•= + baxyxay ba ，则，的导数为
mmmxxxf 则上的最小值为在区间 ,2]2,1[3)( 223 −+−=
axxxyxy +−== 23 3是曲线 =a
),3(43
1)( 23 +∞−−= 在axxxf a
),2()2,1(2)( 2
123
3
242 =+∞++−−= kxkxxxkxf 则上单调递增，上单调递减，在在
xqxpxxys 的图像与++= 23:
轴的图像与 ydcxbxaxxfy +++== 23)(
01224 =−+ yx )(xf )(xf
20、已知函数 .（1）若函数 在区间 上递增，在区间
上递减，求实数 的值；（2）当 时，设函数 图像上任意一点处的切线的
倾斜角为 ，若给定常数 ，＋ ，求 的取值范围。
第十三章 不等式
1 、 若 为 R 上 的 减 函 数 ， 且
)(1)( 23 Raaxxxf ∈++−= )(xfy = ),0( 3
2 ),[ 3
2 +∞
a ]1,0[∈x )(xfy =
θ
3
2(∈a )∞ θ
)(xf
O
y
ｸ32
ı
Į
ĮĮ
的充分不必要条件，
则实数 t 的取值范围为 ( )
A、t≤0 B、t≥0 C、t≤－3 D、t≥－3
2、已知 的取值范围为
A、 B（0,1） C、（0,1） D、（0,1）
3、已知奇函数
4、 是定义在（0，3）上的函数， 的图象如图所示，则不等式 的解集
是
A．（0，1） （2，3）B．
C．（0，1） D．（0，1） （1，3）
5、函数 在（－1，1）上有定义且 的取值范围为
A、（－2，1） B、（0， ） C、（0，1） D、（－2， ）
6、已知函数 ，若 ，则 的取值范围为
A、 B、 C、 D、
7、设奇函数 在[－1，1]上是增函数，且 ，若函数 对所有的
都成立，当 时 t 的取值范围为
A、[-2,2] B、 C、 D、
8、设点 所在的区域的面积为
A、1 B、2 C、4 D、8
9、在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），
目标函数 取得最优解有无数个，则 的一个可能值为
A、－3 B、3 D、－1 D、1
10、若关于 不等式 的解集为 ；
QxPxxfxQtxfxPff ∈∈−=−+=−== 是若＜＜设 },1)(|{},2|1)(|{,1)3(,3)0(
aBAaxBaxxAa x 则实数若＞＜，集合＞ ,},1|{},|2||{0 ∅≠∩=+=
),2( +∞ ∪ ),2( +∞ ∪ ),1( +∞
的解集为则不等式上单调递减，且在 0)1()1(,0)2()0,()( −−=−∞ xfxfxf
{ } { } { } { }213|303|3111|13| xxxDxxxCxxxBxxA 或、或、或、、 −−−−−
)(xf )(xf 0cos)( 2
3b2h2，矛盾，故 C 不正确．答案：BD
10．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且
底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、
三棱柱的高分别为 h1，h2，h3，求 h1∶h2∶h3 的值．
解：选依题意，四棱锥为正四棱锥，三棱锥为正三棱锥，且棱长均相等，设为 a，h2＝
h3，h1＝ a2－(f(r(2),2)a)2＝ 2
2 a，h2＝ a2－(f(r(3),3)a)2＝ 6
3 a，
故 h1∶h2∶h3＝ 3∶2∶2.
11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边
长为 2，求该三角形的斜边长．
解：如图，正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，△ABC 为正 三角形，
边长为 2，△DEF 为等腰直角三角形，DF 为斜边，设 DF 长 为 x ，
则 DE＝EF＝ 2
2 x，作 DG⊥BB1，HG⊥CC1，EI⊥CC1，
则 EG ＝ DE2－DG2＝ x2
2－4，FI ＝ EF2－EI2＝ x2
2－4，FH ＝FI ＋HI ＝FI ＋EG ＝2
x2
2－4，在 Rt△DHF 中，DF2＝DH2＋FH2，即 x2＝4＋(2Error!)2，解得 x＝2 3.即该三角形的
斜边长为 2 3.
12．(2009 年高考辽宁卷改编)如果把地球看成一个球体，求地球上北纬 60°纬线长和赤道线
长的比值．
解：设地球的半径为 R，那么对应的赤道线的大圆的半径为 R，而对应的北纬 60°纬线
所在的小圆的半径为 1
2R，那么它们对应的长度之比为 1
2R∶R＝1
2.
即所求比值为1
2.
第二节 空间图形的基本关系与公理
A 组
1．以下四个命题中，正确命题的个数是________．
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点 A、B、C、D 共面，点 A、B、C、E 共面，则 A、B、C、D、E 共面；
③若直线 a、b 共面，直线 a、c 共面，则直线 b、c 共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
解析：①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点 A、B、C，但
是若 A、B、C 共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时
所得的四边形四条边可以不在一个平面上．答案：1
2．给出下列四个命题：
①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
②两条直线可以确定一个平面；
③若 M∈α，M∈β，α∩β＝l，则 M∈l；
④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．
其中真命题的个数为________．
解析：根据平面的基本性质知③正确．答案：1
3．(2009 年高考湖南卷改编)平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，既与 AB 共面也与 CC1 共面
的棱的条数为________．
解析：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得 CD、BC、BB1、AA1、C1D1
符合条件．答案：5
4．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点．那么，正方体的
过 P、Q、R 的截面图形是________．
解析：边长是正方体棱长的 2
2 倍的正六边形．答案：正六边形
5．(原创题)已知直线 m、n 及平面 α，其中 m∥n，那么平面 α 内到两条直线 m、n 距离相等
的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是
________．
解析：如图 1，当直线 m 或直线 n 在平面 α 内且 m、n 所在平面与 α 垂直时不可能有符
合题意的点；如图 2，直线 m、n 到已知平面 α 的距离相等且两直线所在平面与已知平面 α
垂直，则已知平面 α 为符合题意的点；如图 3，直线 m、n 所在平面与已知平面 α 平行，则
符合题意的点为一条直线．
答案：(1)(2)(4)
6．如图，已知平面 α、β，且 α∩β＝l.设梯形 ABCD 中，AD∥BC，
且 AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l 共点(相交于一 点)．
证明：∵梯形 ABCD 中，AD∥BC，∴AB，CD 是 梯 形
ABCD 的两腰，
∴AB，CD 必定相交于一点．
如图，设 AB∩CD=M.
又∵AB⊂α，CD⊂β，
∴M∈α，且 M∈β，
∴M∈α∩β.
又∵α∩β=l，∴M∈l，
即 AB，CD，l 共点
B 组
1．有以下三个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②直线 l 在平面 α 内，可以用符号“l∈α”表示；
③若平面 α 内的一条直线 a 与平面 β 内的一条直线 b 相交，则 α 与 β 相交，其中所有正
确命题的序号是______________．
解析：表示线与面的关系用“⊂”或“⊄”表示，故②错误．答案：①③
2．(2010 年黄冈调研)下列命题中正确的是________．
①若△ABC 在平面 α 外，它的三条边所在的直线分别交 α 于 P、Q、R，则 P、Q、R
三点共线；②若三条直线 a、b、c 互相平行且分别交直线 l 于 A、B、C 三点，则这四条直
线共面；③空间中不共面的五个点一定能确定 10 个平面．
解析：在①中，因为 P、Q、R 三点既在平面 ABC 上，又在平面 α 上，所以这三点必在
平面 ABC 与 α 的交线上，即 P、Q、R 三点共线，故①正确；在②中，因为 a∥b，所以 a
与 b 确定一个平面 α，而 l 上有 A、B 两点在该平面上，所以 l⊂α，即 a、b、l 三线共面于
α；同理 a、c、l 三线也共面，不妨设为 β，而 α、β 有两条公共的直线 a、l，∴α 与 β 重合，
即这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定 7 个平
面，故③错．答案：①②
3．对于空间三条直线，有下列四个条件：
①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点
④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交
其中使三条直线共面的充分条件有：________.
解析：易知①中的三条直线一定共面，④中两条直线平行可确定一个平面，第三条直线
和这两条直线相交于两点，则第三条直线也在这个平面内，故三条直线共面．答案：①④
4．(2008 年高考浙江卷改编)对两条不相交的空间直线 a 与 b，必存在平面 α，使得
________．
①a⊂α，b⊂α ②a⊂α，b∥α ③a⊥α，b⊥α ④a⊂α，b⊥α
解析：不相交的直线 a、b 的位置有两种：平行或异面．当 a、b 异面时，不存在平面 α
满足①、③；又只有当 a⊥b 时④才成立．答案：②
5．正方体 AC1 中，E、F 分别是线段 C1D、BC 的中点，则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系
是________．
解析：直线 AB 与直线外一点 E 确定的平面为 A1BCD1，EF⊂平面 A1BCD1，且两直线
不平行，故两直线相交．答案：相交
6．(2010 年湖南郴州调研)设 α，β，γ 是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命
题：
①若 α⊥β，l⊥β，则 l∥α；
②若 l⊥α，l∥β，则 α⊥β；
③若 l 上有两点到 α 的距离相等，则 l∥α；
④若 α⊥β，α∥γ，则 γ⊥β.
其中正确命题的序号是________．
解析：①错误，l 可能在平面 α 内；②正确，l∥β，l⊂γ，β∩γ＝n⇒l∥n⇒n⊥α，则
α⊥β；③错误，直线可能与平面相交；④正确．故填②④.答案：②④
7．(2009 年高考广东卷改编)给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是________．
解析：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；
由平面与平面垂直的判定定理可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，
相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线
才与另一个平面垂直，故④正确．答案：②④
8．(2009 年高考宁夏、海南卷改编)如图所示， 正 方 体
ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个 动 点 E ，
F，且 EF＝ 2
2 ，则下列结论中错误的是________．
①AC⊥BE
②EF∥平面 ABCD
③三棱锥 A－BEF 的体积为定值
④异面直线 AE，BF 所成的角为定值
解析：∵AC⊥平面 BB1D1D，又 BE⊂平面 BB1D1D，
∴AC⊥BE.故①正确．
∵B1D1∥平面 ABCD，又 E、F 在直线 D1B1 上运动，
∴EF∥平面 ABCD.故②正确．
③中由于点 B 到直线 B1D1 的距离不变， 故△BEF 的
面积为定值．又点 A 到平面 BEF 的距离为 2
2 ， 故 VA － BEF
为定值．
当点 E 在 D1 处，F 为 D1B1 的中点时，
建立空间直角坐标系，如图所示，可得 A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(1,0,1)，F(1
2，1
2，1).∴A E
→
＝(0，－1,1)，B F
→
＝(1
2，－1
2，1)，
∴A E
→
·B F
→
＝3
2.又|AE
→
|＝ 2，|BF
→
|＝ 6
2 ，∴cos〈A E
→
，B F
→
〉＝
3
2
2· 6
2
＝ 3
2 ，
∴AE 与 BF 成 30°角．当 E 为 D1B1 中点，F 在 B1 处时，
此时 E(1
2，1
2，1)，F(0,1,1)，∴A E
→
＝(－1
2，－1
2，1)，B F
→
＝(0,0,1)，
∴A E
→
·B F
→
＝1，|A E
→
|＝ 3
2，∴cos〈A E
→
，B F
→
〉＝ 2
3＝ 6
3 ≠ 3
2 .故④错．
答案：④
9.(2008 年高考陕西卷改编)如图，α⊥β，α∩β=l，A∈ α ， B
∈β，A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与α、β所成 的 角 分
别是θ和φ，AB 在α、β内的射影分别是 m 和 n.若 a＞ b，则θ
与φ的大小关系为______，m 与 n 的大小关系为______.
解析：AB 与 β 成的角为∠ABC＝φ，
AB 与 α 成的角为∠BAD＝θ，
sin φ＝sin∠ABC＝ a
|AB|，
sinθ＝sin∠BAD＝ b
|AB|.
∵a>b，∴sinφ>sinθ.∴θ<φ.
AB 在 α 内的射影 AD＝ AB2－b2，
AB 在 β 内的射影 BC＝ AB2－a2，
∴AD.BC，即 m>n.
答案：θ＜φ m＞n
10．如图，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分 别 为
D1C1、B1C1 的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q， 若 A1C 交
平面 DBFE 于 R 点，试确定 R 点的位置．
解：在正方体 AC1 中，连结 PQ，
∵Q∈A1C1，∴Q∈平面 A1C1CA.又 Q∈EF，
∴Q∈平面 BDEF，即 Q 是平面 A1C1CA 与平面 BDEF 的
公共点，
同理，P 也是平面 A1C1CA 与平面 BDEF 的 公共点．
∴平面 A1C1CA∩平面 BDEF＝PQ.
又 A1C∩平面 BDEF＝R，
∴R∈A1C，
∴R∈平面 A1C1CA，
R∈平面 BDEF.
∴R 是 A1C 与 PQ 的交点．如图．
11 ．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD －A1B1C1D1 中，M 为 AB 的中点，N 为 BB1 的中
点，O 为平面 BCC1B1 的中心．
(1)过 O 作一直线与 AN 交于 P，与 CM 交于 Q(只写作法，不必证明)；
(2)求 PQ 的长．
解：(1)连结 ON，由 ON∥AD 知，AD 与 ON 确定一个平面 α.又 O、C、M 三点确定一
个平面 β(如图所示)．
∵三个平面 α，β 和 ABCD 两两相交，有三条交 线 OP 、
CM、DA，其中交线 DA 与交线 CM 不平行且共面．
∴DA 与 CM 必相交，记交点为 Q，∴OQ 是 α 与 β 的
交线．
连结 OQ 与 AN 交于 P，与 CM 交于 Q，
故直线 OPQ 即为所求作的直线．
(2) 在 Rt△APQ 中 ， 易 知 AQ ＝ 1 ， 又 易 知 △APQ
∽△OPN，
∴AP
PN＝AQ
NO＝2，AN＝ 5
2 ，∴AP＝ 5
3 ，
∴PQ＝ AQ2＋AP2＝ 14
3 .
12．(2008 年高考四川卷)如图，平面 ABEF⊥平面 ABCD，四
边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC
綊
1
2AD，BE 綊
1
2FA，G、H 分别为 FA、FD 的中点．
(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；
(2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？
(3)设 AB＝BE，证明：平面 ADE⊥平面 CDE.
解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，
所以 GH 綊
1
2AD.又 BC 綊
1
2AD，故 GH 綊 BC.所以四边形 BCHG 是平行四边形．
(2)C、D、F、E 四点共面．理由如下：
由 BE 綊
1
2AF，G 是 FA 的中点知，BE 綊 GF，所 以
EF∥BG.
由(1)知 BG∥CH，所以 EF∥CH，故 EC、FH 共 面．
又点 D 在直线 FH 上，所以 C、D、F、E 四点共 面．
(3) 证 明 ： 连 结 EG. 由 AB ＝ BE ， BE 綊 AG 及 ∠BAG ＝
90°知 ABEG 是正方形，
故 BG⊥EA.由题设知，FA、AD、AB 两两垂直，故 AD⊥平面 FABE，
因此 EA 是 ED 在平面 FABE 内的射影．根据三垂线定理，BG⊥ED.
又 ED∩EA＝E，所以 BG⊥平面 ADE.
由(1)知，CH∥BG，所以 CH⊥平面 ADE.
由(2)知 F∈平面 CDE，故 CH⊂平面 CDE，得平面 ADE⊥平面 CDE.
第三节 平行关系
A 组
1．已知 m、n 是两条不同直线，α，β 是两个不同平面，下列命题中的真命题是_．
①如果 m⊂α，n⊂β，m∥n，那么 α∥β
②如果 m⊂α，n⊂β，α∥β，那么 m∥n
③如果 m⊂α，n⊂β，α∥β 且 m，n 共面，那么 m∥n
④如果 m∥n，m⊥α，n⊥β，那么 α⊥β
解析：m⊂α，n⊂β，α∥β⇒m，n 没有公共点．又 m，n 共面，
所以 m∥n.答案：③
2．已知 m、n 是不同的直线，α、β 是不重合的平面，给出下列命题：
①若 m∥α，则 m 平行于平面 α 内的无数条直线；
②若 α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m∥n；
③若 m⊥α，n⊥β，m∥n，则 α∥β；
④若 α∥β，m⊂α，则 m∥β.
其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
解析：②中 α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n 或 m，n 异面，所以②错误．而其它命题都正
确．答案：①③④
3．(2010 年苏北四市调研)给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面 α、β 的四个命题：
①若 m⊂α，l∩α＝A，点 A∉m, 则 l 与 m 不共面；
②若 m、l 是异面直线，l∥α，m∥α，且 n⊥l，n⊥m，则 n⊥α；
③若 l∥α，m∥β，α∥β，则 l∥m；
④若 l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则 α∥β.
其中为真命题的是________．
解析：③中若 l⊂β，m⊂α，α∥β⇒l∥m 或 l，m 异面，所以②错误．而其它命题都正
确．答案：①②④
4．(2009 年高考福建卷改编)设 m，n 是平面 α 内的两条不同直线；l1，l2 是平面 β 内的两条
相交直线，则 α∥β 的一个充分而不必要条件是________．
①m∥β 且 l1∥α ②m∥l1 且 n∥l2 ③m∥β 且 n∥β ④m∥β 且 n∥l2
解析：∵m∥l1，且 n∥l2，又 l1 与 l2 是平面 β 内的两条相交直线，
∴α∥β，而当 α∥β 时不一定推出 m∥l1 且 n∥l2，可能异面．答案： ②
5．(原创题)直线 a∥平面 α，α 内有 n 条直线交于一点，则这 n 条直线中与直线 a 平行的直
线有________条．
答案：1 或 0
6．如图，ABCD 为直角梯形，∠C＝∠CDA＝90°， AD ＝ 2BC
＝2CD，P 为平面 ABCD 外一点，且 PB⊥BD.
(1)求证：PA⊥BD；
(2)若 PC 与 CD 不垂直，求证：PA≠PD；
(3)若直线 l 过点 P，且直线 l∥直线 BC，试在 直 线 l 上
找一点 E，使得直线 PC∥平面 EBD.
解：(1)证明：∵ABCD 为直角梯形，AD＝ 2AB＝ 2BD，
∴AB⊥BD，PB⊥BD，AB∩PB＝B，
AB，PB⊂平面 PAB，BD⊥平面 PAB，
PA⊂平面 PAB，∴PA⊥BD.
(2)证明：假设 PA＝PD，取 AD 中点 N，连结 PN，BN，
则 PN⊥AD，BN⊥AD，
AD⊥平面 PNB，得 PB⊥AD，
又 PB⊥BD，得 PB⊥平面 ABCD，
∴PB⊥CD.
又∵BC⊥CD，∴CD⊥平面 PBC，
∴CD⊥PC，与已知条件 PC 与 CD 不垂直矛盾．
∴PA≠PD.
(3)在 l 上取一点 E，使 PE＝BC，连结 BE，DE，
∵PE∥BC，∴四边形 BCPE 是平行四边形，
∴PC∥BE，PC⊄平面 EBD，BE⊂平面 EBD，
∴PC∥平面 EBD.
B 组
1．已知 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，则下列命题正确的是
________．
①若 α⊥γ，α⊥β，则 γ∥β ②若 m∥n，m⊂α，n⊂β，则 α∥β
③若 m∥n，m∥α，则 n∥α ④若 n⊥α，n⊥β，则 α∥β
解析：①错，两平面也可相交；②错，不符合面面平行的判定定理条件，需两平面内有
两条相交直线互相平行；③错，直线 n 不一定在平面内；④由空间想象知垂直于同一直线的
两平面平行，命题正确．答案：④
2．已知 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，有下列 4 个命题：
①若 m∥n，n⊂α，则 m∥α；
②若 m⊥n，m⊥α，n⊄α，则 n∥α；
③若 α⊥β，m⊥α，n⊥β，则 m⊥n；
④若 m，n 是异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，则 n∥α.其中正确的命题有_．
解析：对于①，m 有可能也在 α 上，因此命题不成立；对于②，过直线 n 作垂直于 m
的平面 β，由 m⊥α，n⊄α 可知 β 与 α 平行，于是必有 n 与 α 平行，因此命题成立；对于③，
由条件易知 m 平行于 β 或在 β 上，n 平行于 α 或在 α 上，因此必有 m⊥n；对于④，取正方
体中两异面的棱及分别经过此两棱的不平行的正方体的两个面即可判断命题不成立．综上可
知②③正确．答案：②③
3．已知 m，n 是平面 α 外的两条直线，且 m∥n，则“m∥α”是“n∥α”的________条
件．
解析：由于直线 m，n 在平面外，且 m∥n，故若 m∥α，则必有 n∥α，反之也成立．答
案：充要
4．设 l 1 ，l 2 是两条直线，α，β 是两个平面，A 为一点，下列命题中正确的命题是
________．
①若 l1⊂α，l2∩α＝A，则 l1 与 l2 必为异面直线
②若 α⊥β，l1⊂α，则 l1⊥β
③l1⊂α，l2⊂β，l1∥β，l2∥α，则 α∥β
④若 l1∥α，l2∥l1，则 l2∥α 或 l2⊂α
解析：①错，两直线可相交于点 A；②错，不符合面面垂直的性质定理的条件；③错，
不符合面面平行的判定定理条件；④正确，空间想象即可．答案：④
5．(2010 年广东深圳模拟)若 a 不平行于平面 α，且 a⊄α， 则 下 列 结
论成立的是________．
①α 内的所有直线与 a 异面
②α 内与 a 平行的直线不存在
③α 内存在唯一的直线与 a 平行
④α 内的直线与 a 都相交
解析：由题设知，a 和 α 相交，设 a∩α＝P，如图，在 α 内过点 P 的直线与 a 共面，①
错；在 α 内不过点 P 的直线与 a 异面，④错；(反证)假设 α 内直线 b∥a，∵a⊄α，∴a∥α，
与已知矛盾，③错．答案：②
6．设 m、n 是异面直线，则(1)一定存在平面 α，使 m⊂α 且 n∥α；(2)一定存在平面 α，使 m
⊂α 且 n⊥α；(3)一定存在平面 γ，使 m、n 到 γ 的距离相等；(4)一定存在无数对平面 α 与 β，
使 m⊂α，n⊂β，且 α∥β.上述 4 个命题中正确命题的序号为________．
解析：(1)成立；(2)不成立，m、n 不一定垂直；(3)过 m、n 公垂线段中点分别作 m、n
的平行线所确定平面到 m、n 距离就相等，(3)正确；满足条 件 的 平
面只有一对，(4)错．答案：(1)(3)
7．如图，ABCD－A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，M、N 分 别 是 下
底面的棱 A1B1、B1C1 的中点，P 是上底面的棱 AD 上的一 点 ， AP
＝a
3，过 P、M、N 的平面交上底面于 PQ，Q 在 CD 上，则 PQ ＝
______.
答案：2 2
3 a
8．下列四个正方体图形中，A、B 为正方体的两个顶点，M、N、P 分别为其所在棱的中点，
能得出 AB∥面 MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．
解析：①∵面 AB∥面 MNP，∴AB∥面 MNP.
②若下底面中心为 O，易知 NO∥AB，NO⊄面 MNP，∴AB 与面 MNP 不平行．
③易知 AB∥MP，∴AB∥面 MNP.
④易知存在一直线 MC∥AB，且 MC⊄平面 MNP，∴AB 与面 MNP 不平行．
答案：①③
9．如图所示，在正方体 ABCD－A 1B1C1D1 中，E 、F 、
G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、CD 的中点，N 是 BC 中
点．点 M 在四边形 EFGH 上及其内部运动，则 M 满 足 条 件
________时，有 MN∥平面 B1BDD1.
答案：M∈FH
10．如图，长方体 ABCD－A 1B1C1D1 中， AA1＝ 2，
AB＝1，AD＝2，E 为 BC 的中点，点 M 为棱 AA1 的中点．
(1)证明：DE⊥平面 A1AE；
(2)证明：BM∥平面 A1ED.
证明：(1)在△AED 中，AE＝DE＝ 2，AD＝2，
∴AE⊥DE.
∵A1A⊥平面 ABCD，
∴A1A⊥DE，
∴DE⊥平面 A1AE.
(2) 设 AD 的中点为 N，连结 MN、BN.
在 △A1AD 中 ， AM ＝ MA1 ， AN ＝ ND ，
∴MN∥A1D，
∵BE∥ND 且 BE＝ND，
∴四边形 BEDN 是平行四边形，
∴BN∥ED，
∴平面 BMN∥平面 A1ED，
∴BM∥平面 A1ED.
11 ． (2010 年 扬 州 调 研 ) 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1
中，M ，N 分别是 AB ，BC 的中点．
(1)求证：平面 B1MN⊥平面 BB1D1D；
(2)若在棱 DD1 上有一点 P，使 BD1∥平面 PMN， 求线段 DP
与 PD1 的比
解：(1)证明：连结 AC，则 AC⊥BD ，
又 M，N 分别是 AB，BC 的中点，
∴MN∥AC，∴MN⊥BD.
∵ABCD－A1B1C1D1 是正方体，
∴BB1⊥平面 ABCD，
∵MN⊂平面 ABCD，
∴BB1⊥MN，
∵BD∩BB1＝B，
∴MN⊥平面 BB1D1D，
∵MN⊂平面 B1MN，
∴平面 B1MN⊥平面 BB1D1D.
(2)设 MN 与 BD 的交点是 Q，连结 PQ，PM，PN
∵BD1∥平面 PMN，BD1⊂平面 BB1D1D，平面 BB1D1D∩平面 PMN＝PQ，
∴BD1∥PQ，
∴DP∶PD1＝DQ∶QB＝3∶1.
12 ．如图，四边形 ABCD 为矩形，BC⊥ 平面 ABE ，F
为 CE 上的点，且 BF⊥平面 ACE.
(1)求证：AE⊥BE；
(2)设点 M 为线段 AB 的中点，点 N 为线段 CE 的 中
点．求证：MN∥平面 DAE.
证明：(1)因为 BC⊥平面 ABE，AE⊂平面 ABE，
所以 AE⊥BC，
又 BF⊥平面 ACE，AE⊂平面 ACE，
所以 AE⊥BF，
又 BF∩BC＝B，所以 AE⊥平面 BCE，
又 BE⊂平面 BCE，所以 AE⊥BE.
(2)取 DE 的中点 P，连结 PA，PN，因为点 N 为 线 段
CE 的中点．
所以 PN∥DC，且 PN＝1
2DC，
又四边形 ABCD 是矩形，点 M 为线段 AB 的中点，所以 AM∥DC，且 AM＝1
2DC，
所以 PN∥AM，且 PN＝AM，故四边形 AMNP 是平行四边形，所以 MN∥AP，
而 AP⊂平面 DAE，MN⊄平面 DAE，所以 MN∥平面 DAE.
第四节 垂直关系
A 组
1．(2010 年宁波十校联考)设 b、c 表示两条直线，α，β 表示两个平面，则下列命题是真命
题的是________．
①若 b⊂α，c∥α，则 b∥c ②若 b⊂α，b∥c，则 c∥α
③若 c∥α，α⊥β，则 c⊥β ④若 c∥α，c⊥β，则 α⊥β
解析：①中，b，c 亦可能异面；②中，也可能是 c⊂α；③中，c 与 β 的关系还可能是
斜交、平行或 c⊂β；④中，由面面垂直的判定定理可知正确．
答案：④
2．(2010 年青岛质检)已知直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β，下面有三个命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为________．
解析：对于①，由直线 l⊥平面 α，α∥β，得 l⊥β，又直线 m⊂平面 β，故 l⊥m，故①
正确；对于②，由条件不一定得到 l∥m，还有 l 与 m 垂直和异面的情况，故②错误；对于
③，显然正确．故正确命题的个数为 2.答案：2 个
3．(2009 年高考山东卷改编)已知 α、β 表示两个不同的平面，m 为平面 α 内的一条直线，则
“α⊥β ”是“m⊥β ”的________条件．
解析：由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 α 内的一条直线，m⊥β，则
α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
4．(2009 年高考浙江卷)如图，在长方形 ABCD 中，AB＝2，BC＝1，E 为 DC 的中点，F 为
线段 EC(端点除外)上一动点．现将△AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD⊥平面 ABC.在平面 ABD
内过点 D 作 DK⊥AB，K 为垂足．设 AK＝t，则 t 的取值范围是________．
解析：如图，过 D 作 DG⊥AF，垂足为 G，连结 GK，∵平面 ABD⊥平面 ABC，又
DK⊥AB，
∴DK⊥平面 ABC，∴DK⊥AF.
∴AF⊥平面 DKG，∴AF⊥GK.
容易得到，当 F 接近 E 点时，K 接近 AB 的中 点，当 F 接
近 C 点时，K 接近 AB 的四等分点．∴t 的取值范 围 是 (1
2，
1)．答案：(1
2，1)
5．(原创题)已知 a、b 为两条不同的直线，α、β 为两个不同的平面，且 a⊥α，b⊥β，则下
列命题中假命题的有________．
①若 a∥b，则 α∥β；②若 α⊥β，则 a⊥b；③若 a、b 相交，则 α、β 相交；④若 α、β
相交，则 a，b 相交．
解析：若 α、β 相交，则 a、b 既可以是相交直线，也可以是异面直线．
答案：④
6．(2009 年高考山东卷)如图，在直四棱柱 ABCD－
A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB∥CD， AB＝4，
BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1 分别是棱 AD，AA1 的 中点．
(1)设 F 是棱 AB 的中点，证明：直线 EE1∥平 面 FCC1；
(2)证明：平面 D1AC⊥平面 BB1C1C.
证明：(1)法一：取 A1B1 的中点为 F1，连结 FF1，C1F1.
由于 FF1∥BB1∥CC1，
所以 F1∈平面 FCC1.
因此平面 FCC1 即为平面 C1CFF1.
连结 A1D，F1C，
由于 A1F1 綊 D1C1 綊 CD，
所以四边形 A1DCF1 为平行四边形，
因此 A1D∥F1C.又 EE1∥A1D，
得 EE1∥F1C.
而 EE1⊄平面 FCC1，F1C⊂平面 FCC1，
故 EE1∥平面 FCC1.
法二：因为 F 为 AB 的中点，
CD＝2，AB＝4，AB∥CD，
所以 CD 綊 AF，
因此四边形 AFCD 为平行四边形，
所以 AD∥FC.
又 CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面 FCC1，CC1⊂平面 FCC1，AD∩DD1＝D，AD⊂
平面 ADD1A1，DD1⊂平面 ADD1A1.
所以平面 ADD1A1∥平面 FCC1.
又 EE1⊂平面 ADD1A1，所以 EE1∥平面 FCC1.
(2)连结 AC，在△FBC 中，FC＝BC＝FB，
又 F 为 AB 的中点，所以 AF＝FC＝FB.
因此∠ACB＝90°，即 AC⊥BC.
又 AC⊥CC1，且 CC1∩BC＝C，
所以 AC⊥平面 BB1C1C.
而 AC⊂平面 D1AC，
故平面 D1AC⊥平面 BB1C1C.
B 组
1．设 a，b 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则能得出 a⊥b 的是____．
①a⊥α，b∥β，α⊥β ②a⊥α，b⊥β，α∥β
③a⊂α，b⊥β，α∥β ④a⊂α，b∥β，α⊥β
解析：由 α∥β，b⊥β ⇒b⊥α，又 a⊂α，故 a⊥b.答案：③
2．设 α，β 为不重合的平面，m，n 为不重合的直线，则下列命题正确的是________．
①若 m⊂α，n⊂β，m∥n，则 α∥β
②若 n⊥α，n⊥β，m⊥β，则 m⊥α
③若 m∥α，n∥β，m⊥n，则 α⊥β
④若 α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则 m⊥α
解析：由 n⊥α，n⊥β 可得 α∥β，又因 m⊥β，所以 m⊥α.答案：②
3．设 m，n 是两条不同的直线， α，β 是两个不同的平面，则下列命题正确的是．
①m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β ②α∥β，m⊥α，n∥β ⇒m⊥n
③α⊥β，m⊥α，n∥β ⇒m⊥n ④α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β
解析：①错，不符合面面垂直的判断定理的条件；②由空间想象易知命题正确；③错，
两直线可平行；④错，由面面垂直的性质定理可知只有当直线 n 在平面 α 内时命题才成
立．答案：②
4．已知两条不同的直线 m，n，两个不同的平面 α，β，则下列命题中正确的是_．
①若 m⊥α，n⊥β，α⊥β，则 m⊥n
②若 m⊥α，n∥β，α⊥β，则 m⊥n
③若 m∥α，n∥β，α∥β，则 m∥n
④若 m∥α，n⊥β，α⊥β，则 m∥n
解析：易知①正确．而②中 α⊥β 且 m⊥α⇒m∥β 或 m∈β，又 n∥β，容易知道 m，n 的
位置关系不定，因此②错误．而③中分别平行于两平行平面的直线的位置关系不定，因此③
错误．而④中因为②不对，此项也不对．综上可知①正确．答案：①
5．设 a，b，c 表示三条直线，α，β 表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是
________．
①c⊥α，若 c⊥β，则 α∥β
②b⊂β，c 是 a 在 β 内的射影，若 b⊥c，则 a⊥b
③b⊂β，若 b⊥α，则 β⊥α
④b⊂α，c⊄α，若 c∥α，则 b∥c
解析：当 b⊂β，若 β⊥α，则未必有 b⊥α.答案：③
6．已知二面角 α－l－β 的大小为 30°，m、n 为异面直线，m⊥平面 α，n⊥平面 β，则 m、n
所成的角为________．
解析：∵m⊥α，n⊥β，
∴m、n 所成的夹角与二面角 α－l－β 所成的角相等或互补．
∵二面角 α－l－β 为 30°，
∴异面直线 m、n 所成的角为 30°.答案：30°
7．如图所示，在斜三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC＝ 90° ，
BC1⊥AC，则 C 1 在底面 ABC 上的射影 H 必在直线 ______
上．
解析：由 AC⊥AB，AC⊥BC1，AC⊥平面 ABC1，AC⊂平面 ABC，∴平面 ABC1⊥平面
ABC，C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上．答案：AB
8．(2010 年江苏昆山模拟)在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，P 在 AD 上运动，设∠ABP＝
θ，将△ABP 沿 BP 折起，使得平面 ABP 垂直于平面 BPDC，AC 长最小时 θ 的值为
________．
解析：过 A 作 AH⊥BP 于 H，连 CH，∴AH⊥平 面 BCDP.
∴在 Rt△ABH 中，AH＝3sinθ，BH＝3cosθ.
在 △BHC 中 ， CH2 ＝ (3cosθ)2 ＋ 42 －
2×4×3cosθ×cos(90°－θ)，
∴在 Rt△ACH 中，
AC2＝25－12sin2θ，
∴θ＝45°时，AC 长最小．答案：45°
9．在正四棱锥 P－ABCD 中，PA＝ 3
2 AB，M 是 BC 的中点，G 是△PAD 的重心，则在平面
PAD 中经过 G 点且与直线 PM 垂直的直线有________条．
解析：设正四棱锥的底面边长为 a，则侧棱长 为 3
2 a.
由 PM⊥BC，
∴PM＝ ( 3
2 a )2－(a
2 )2＝ 2
2 a，
连结 PG 并延长与 AD 相交于 N 点，
则 PN＝ 2
2 a，MN＝AB＝a，
∴PM2＋PN2＝MN2，
∴PM⊥PN，又 PM⊥AD，
∴PM⊥面 PAD，
∴在平面 PAD 中经过 G 点的任意一条直线都 与 PM 垂
直．答案：无数
10．如图，在三棱锥 S－ABC 中，OA＝OB，O 为 BC 中 点 ，
SO⊥平面 ABC，E 为 SC 中点，F 为 AB 中点．
(1)求证：OE∥平面 SAB；
(2)求证：平面 SOF⊥平面 SAB.
证明：(1)取 AC 的中点 G，连结 OG，EG，
∵OG∥AB，EG∥AS，EG∩OG＝G，SA∩AB＝A，
∴平面 EGO∥平面 SAB，OE⊂平面 OEG
∴OE∥平面 SAB
(2)∵SO⊥平面 ABC，
∴SO⊥OB，SO⊥OA，
又∵OA＝OB，SA2＝SO2＋OA2，SB2＝SO2＋OB2，
∴SA＝SB，又 F 为 AB 中点，
∴SF⊥AB，∵SO⊥AB，
∵SF∩SO＝S，∴AB⊥平面 SOF，
∵AB⊂平面 SAB，∴平面 SOF⊥平面 SAB.
11．在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1 分别是棱 AA1，BB1，A1B1
的中点．
(1)求证：CE∥平面 C1E1F；
(2)求证：平面 C1E1F⊥平面 CEF.
证明：(1)取 CC1 的中点 G，连结 B1G 交 C1F 于点 F1 ， 连 结
E1F1，A1G，FG，
∵F 是 BB1 的中点，BCC1B1 是矩形，
∵四边形 FGC1B1 也是矩形，
∴FC1 与 B1G 相互平分，即 F1 是 B1G 的中点．
又 E1 是 A1B1 的中点，∴A1G∥E1F1.
又在长方体中，AA1 綊 CC1，E，G 分别为 AA1，CC1 的中点，
∴A1E 綊 CG，∴四边形 A1ECG 是平行四边形，
∴A1G∥CE，∴E1F1∥CE.
∵CE⊄平面 C1E1F，E1F1⊂平面 C1E1F，
∴CE∥平面 C1E1F.
(2)∵长方形 BCC1B1 中，BB1＝2BC，F 是 BB 1 的中 点，
∴△BCF、△B1C1F 都是等腰直角三角形，
∴∠BFC＝∠B1FC1＝45°，
∴∠CFC1＝180°－45°－45°＝90°，
∴C1F⊥CF.
∵E，F 分别是矩形 ABB1A1 的边 AA1，BB1 的中点，
∴EF∥AB.
又 AB⊥平面 BCC1B1，又 C1F⊂平面 BCC1B1，
∴AB⊥C1F，∴EF⊥C1F.
又 CF∩EF＝F，∴C1F⊥平面 CEF.
∵C1F⊂平面 C1E1F，∴平面 C1E1F⊥平面 CEF.
12．(2010 年江苏淮安模拟)如图，已知空间四 边 形
ABCD 中，BC＝AC，AD＝BD，E 是 AB 的中点．
求证：(1)AB⊥平面 CDE；
(2)平面 CDE⊥平面 ABC；
(3)若 G 为△ADC 的重心，试在线段 AE 上确 定一点 F，
使得 GF∥平面 CDE.
证明：(1)Error!⇒CE⊥AB，同理，
Error!⇒DE⊥AB，
又∵CE∩DE＝E，∴AB⊥平面 CDE.
(2)由(1)知 AB⊥平面 CDE，
又∵AB⊂平面 ABC，
∴平面 CDE⊥平面 ABC.
(3)连结 AG 并延长交 CD 于 H，连结 EH，则 AG
GH＝2
1，
在 AE 上取点 F 使得AF
FE＝2
1，
则 GF∥EH，
第五节 简单几何体的面积和体积
A 组
1．(2010 年东北四校联考)已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为 1，3，2，则其
外接球的表面积为________．
解析：设外接球半径为 r，则(2r)2＝12＋( 3)2＋22＝8，故 r2＝2.∴S 球＝4πr2＝8π.答案：
8π
2．(2009 年高考上海卷)若等腰直角三角形的直角边长为 2，则以一直角边所在的直线为轴
旋转一周所成的几何体体积是_________．
解析：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．
V＝1
3S·h＝1
3πR2·h
＝1
3π×22×2＝8π
3 .答案：8π
3
3．(2010 年南京调研)如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D 为棱 AA1 的中点．若截面△BC1D
是面积为 6 的直角
三角形，则此三棱柱的体积为________．
解析：设 AC＝a，CC1＝b，则由 BC12＝BC2＋CC12，BC12 ＝ DC12 ＋
DB2，即得(a2＋1
4b2)×2＝a2＋b2，得 b2＝2a2，又1
2×3
2a2 ＝6，∴a2
＝8，∴V＝ 3
4 ×8×4＝8 3.
答案：8 3
4．矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B－AC－D，则
四面体 ABCD 的外接球的体积为________．
解析：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线 AC 上，且其半径为
AC 长度的一半，则 V 球＝4
3π×(5
2)3＝125π
6 .答案：125π
6
5．已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 AC＝BC＝6，AB
＝4，则球的半径等于________，球的表面积等于 ________．
解析：如右图，设球的半径为 r，O′是△ABC 的外 心 ， 外 接
圆半径为 R，则 OO′⊥面 ABC.在 Rt△ACD 中， cosA＝1
3，
则 sinA＝2 2
3 .在△ABC 中，由正弦定理得 6
sinA＝2R， R＝ 9
4 2，
即 O′C＝9
4 2.
在 Rt△OCO′中，由题意得 r2－1
4r2＝81 × 2
16 ，得 r＝3 6
2 .球的表面积 S＝4πr 2＝4π×
9 × 6
4 ＝54π.
答案：3 6
2 54π
6．在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2，过 A1、C1、B 三点的平面截去长方体的一
个角后，得到如图所示的几何体 ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体
积为40
3 .(1)证明：直线 A1B∥平面 CDD1C1；(2)求棱 A1A 的 长 ； (3)
求经过 A1，C1，B，D 四点的球的表面积．
解：(1)证明：法一：如图，连结 D1C，
∵ABCD－A1B1C1D1 是长方体，
∴A1D1∥BC 且 A1D1＝BC.
∴四边形 A1BCD1 是平行四边形．
∴A1B∥D1C.
∵A1B⊄平面 CDD1C1，D1C⊂平面 CDD1C1，
∴A1B∥平面 CDD1C1.
法二：∵ABCD－A1B1C1D1 是长方体，
∴平面 A1AB∥平面 CDD1C1.
∵A1B⊂平面 A1AB，A1B⊄平面 CDD1C1.
∴A1B∥平面 CDD1C1.
(2)设 A1A＝h，∵几何体 ABCD－A1C1D1 的体积为40
3 ，
∴VABCD － A1C1D1 ＝ VABCD － A1B1C1D1 － VB － A1B1C1
＝40
3 ，
即 SABCD×h－1
3×S△A1B1C1×h＝40
3 ，
即 2×2×h－1
3×1
2×2×2×h＝40
3 ，解得 h＝4.
∴A1A 的长为 4.
(3)如图，连结 D1B，设 D1B 的中点为 O，连 OA1，OC1，OD.
∵ABCD－A1B1C1D1 是长方体，∴A1D1⊥平面 A1AB.
∵A1B⊂平面 A1AB，∴A1D1⊥A1B.
∴OA1＝1
2D1B.同理 OD＝OC1＝1
2D1B.
∴OA1＝OD＝OC1＝OB.
∴经过 A1，C1，B，D 四点的球的球心为点 O.
∵D1B2＝A1D12＋A1A2＋AB2＝22＋42＋22＝24.
∴S 球＝4π×(OD1)2＝4π×(D1B
2 )2＝π×D1B2＝24π.
故经过 A1，C1，B，D 四点的球的表面积为 24π.
B 组
1．(2008 年高考湖北卷)用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为 π，则球的体
积为________．
解析：截面圆的半径为 1，又球心到截面距离等于 1，所以球的半径 R＝ 2，故球的体
积 V＝4
3πR3＝8
3 2π.答案：8 2π
3
2．在三棱锥 A－BCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB 的面积分
别为 2
2 ，3
2 ，6
2 ，则该三棱锥的体积为________．
解析：1
2AB·AC＝ 2
2 ，1
2AD·AC＝ 3
2 ，1
2AB·AD＝ 6
2 ，∴AB＝ 2，AC＝1，AD＝ 3.∴V＝
1
3·1
2·1· 2· 3＝ 6
6 .答案： 6
6
3．(2010 年福建厦门检测)已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个
球的体积是32π
3 ，则这个三棱柱的体积是________．
解析：由4
3πR3＝32π
3 ，得 R＝2.∴正三棱柱的高 h＝4.设其底面边长为 a，则1
3·
3
2 a＝2.∴a
＝4 3.∴V＝ 3
4 (4 3)2·4＝48 3.答案：48 3
4．(2009 年高考陕西卷改编)若正方体的棱长为 2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸
多面体的体积为________．
解析：所求八面体体积是两个底面边长为 1，高为 2
2 的四棱锥的体积和，一个四棱锥体
积 V1＝1
3×1× 2
2 ＝ 2
6 ，故八面体体积 V＝2V1＝ 2
3 .答案： 2
3
5．(2009 年高考全国卷Ⅰ)已知 OA 为球 O 的半径，过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截
球面得到圆 M.若圆 M 的面积为 3π，则球 O 的表面积等于__________．
解析：由题意得圆 M 的半径 r＝ 3，又球心到圆 M 的距离为R
2，由勾股定理得 R2＝r2＋
(R
2)2，∴R＝2，则球的表面积为 4π×22＝16π.答案：16π
6．(2009 年高考江西卷)体积为 8 的一个正方体，其全面积与球 O 的表面积相等，则球 O 的
体积等于________．
解析：设正方体棱长为 a，则 a3＝8，∴a＝2.
∵S 正方体＝S 球，∴6×22＝4πR2，∴R＝ 6
π.
V 球＝4
3πR3＝4
3π( 6
π)3＝8 6π
π .答案：8 6π
π
7．若长方体的三个共顶点的面的面积分别是 2，3，6，则长方体的体积是__．
解析：可设长方体同一个顶点上的三条棱长分别为 a，b，c，列出方程组Error!解得Error!
所以长方体的体积 V＝1× 2× 3＝ 6.
8．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为 1∶3，则锥体
被截面所分成的两部分的体积之比为________
解析：利用一个锥体被平行于底面的截面所截得的小锥体与原锥体体积之比等于相似比
的立方，而这个截面面积与底面面积之比等于相似比的平方．
答案：1∶3 3
9．(2010 年南通调研)正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2 3，则四面体 A－B1CD1 的外接球
的体积为________．
解析：四面体 A－B1CD1 的外接球即为正方体的外接球，所以 2r＝ 3 × (2r(3))2.∴r＝
3，V 球＝4
3πr3＝4
3π×27＝36π.答案：36π
10．(2009 年高考宁夏、海南卷)如图，在三棱锥 P－ABC 中，△PAB
是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°.
(1)证明：AB⊥PC；
(2)若 PC＝4，且平面 PAC⊥平面 PBC，求三棱锥 P － ABC 的
体积．
解：(1)证明：因为△PAB 是等边三角形，
∠PAC＝∠PBC＝90°，
所以 Rt△PBC≌Rt△PAC，可得 AC＝BC.
如图，取 AB 中点 D，连结 PD、CD，
则 PD⊥AB，CD⊥AB，所以 AB⊥平面 PDC，
所以 AB⊥PC.
(2)作 BE⊥PC，垂足为 E，连结 AE.
因为 Rt△PBC≌Rt△PAC，
所以 AE⊥PC，AE＝BE.
由已知，平面 PAC⊥平面 PBC，故∠AEB＝90°.
因为 Rt△AEB≌Rt△PEB，
所以△AEB，△PEB，△CEB 都是等腰直角三角形．
由已知 PC＝4，得 AE＝BE＝2，
△AEB 的面积 S＝2.
因为 PC⊥平面 AEB，
所以三棱锥 P－ABC 的体积 V＝1
3×S×PC＝8
3.
11．如图，已知 AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD， △ACD 为等
边三角形，AD＝DE＝2AB＝2，F 为 CD 的中点．
(1)求证：AF⊥平面 CDE；
(2)求证：AF∥平面 BCE；
(3)求四棱锥 C－ABED 的体积．
解：(1)证明：∵F 为等边三角形 CD 边上的中点，
∴AF⊥CD，
∵DE⊥平面 ACD，AF⊂平面 ACD，
∴AF⊥DE，
又 CD∩DE＝D，∴AF⊥平面 CDE.
(2)证明：取 CE 的中点 G，连 FG、BG.∵F 为 CD 的中点，
∴GF∥DE 且 GF＝1
2DE.
∵AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB.
又 AB＝1
2DE，∴GF＝AB.
∴四边形 GFAB 为平行四边形，则 AF∥BG.
∵AF⊄平面 BCE，BG⊂平面 BCE，∴AF∥平面 BCE.
(3)取 AD 中点 M，连结 CM，
∵△ACD 为等边三角形，则 CM⊥AD，
∵DE⊥平面 ACD，且 DE⊂平面 ABED，
∴平面 ACD⊥平面 ABED，
又平面 ACD∩平面 ABED＝AD，∴CM⊥平面 ABED，
∴CM 为四棱锥 C－ADEB 的高，
∴V＝1
3CM·SABED＝1
3AF·SABED＝ 3.
12．(2010 年广州质检)如图，A1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底
面圆的直径，C 是底面圆周上异于 A、B 的任意一点，A1A ＝AB＝2.
(1)求证：BC⊥平面 A1AC；
(2)求三棱锥 A1－ABC 的体积的最大值．
解：(1)证明：∵C 是底面圆周上异于 A、B 的任意一 点 ， 且
AB 是圆柱底面圆的直径，
∴BC⊥AC.
∵AA1⊥平面 ABC，BC 平面 ABC，
∴AA1⊥BC.
∵AA1∩AC＝A，AA1 平面 AA1C，AC 平面 AA1C，
∴BC⊥平面 AA1C.
(2)设 AC＝x，在 Rt△ABC 中，
BC＝ AB2－AC2＝ 4－x2(0＜x＜2)，
故 VA1－ABC＝1
3S△ABC·AA1＝1
3·1
2·AC·BC·AA 1
＝1
3x 4－x2(0＜x＜2)，
即 VA1－ABC＝1
3x 4－x2＝1
3 x2(4－x2)
＝1
3
－(x2－2)2＋4.
∵0＜x＜2,0＜x2＜4，∴当 x2＝2，即 x＝ 2时，
三棱锥 A1－ABC 的体积最大，其最大值为2
3.
第十五章 解析几何
第一节 直线的倾斜角、斜率及方程
A 组
1．已知 θ∈R，则直线 xsinθ－ 3y＋1＝0 的倾斜角的取值范围是________．
解 析 ： k ＝ 3
3 sinθ ， ∵θ∈R ， ∴k∈[ － 3
3 ， 3
3 ] ， ∴ 倾 斜 角 α∈[0° ， 30°]∪[150° ，
180°)．答案：[0°，30°]∪[150°，180°)
2．已知直线 l1 的方程是 ax－y＋b＝0，l2 的方程是 bx－y－a＝0(ab≠0，a≠b)，则下列各示
意图形中，正确的是________．
解析：kl1＝a，l1 与 y 轴的交点为(0，b)，k l2＝b，l2 与 y 轴的交点为(0，－a)，可知④
对．答案：④
3．直线 mx－y＋2m＋1＝0 经过一定点，则该点的坐标是______________．
解析：mx－y＋2m＋1＝0⇒m(x＋2)＋(1－y)＝0，
∴x＝－2 时，y＝1，即过定点(－2,1)．答案：(－2,1)
4．(2008 年高考浙江卷)已知 a>0，若平面内三点 A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则 a
＝________.
解析：由 kAB＝kBC，即a2＋a
1 ＝a3－a2
1 ，可得 a(a2－2a－1)＝0，即 a＝1± 2或 a＝0，又
a>0，故 a＝1＋ 2.答案：1＋ 2
5．(原创题)若点 A(ab，a＋b)在第一象限内，则直线 bx＋ay－ab＝0 不经过第________
象限．
解析：点 A 在第一象限内，∴ab>0 且 a＋b>0，即 a>0，b>0，
由 bx＋ay－ab＝0⇒y＝－a
bx＋b，∴－a
b<0，y 轴的交点为(0，b)，
∴直线不过第三象限．答案：三
6．求过点 P(2,3)，且满足下列条件的直线方程：
(1)倾斜角等于直线 x－3y＋4＝0 的倾斜角的二倍的直线方程；
(2)在两坐标轴上截距相等的直线方程．
解：(1)由题意，可知 tanα＝1
3，k＝tan2α＝ 2tanα
1－tan2α＝
2 × 1
3
1－1
9
＝3
4，
y－3＝3
4(x－2)，所以所求直线的方程为：3x－4y＋6＝0.
(2)当直线过原点时方程为：y＝3
2x，当直线不过原点时方程为：x
5＋y
5＝1，故所求直线的方
程为 3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0.
B 组
1．直线 l 的倾角 α 满足 4sinα＝3cosα，而且它在 x 轴上的截距为 3，则直线 l 的方程是
________________．
解析：由 4sinα＝3cosα，得 tanα＝3
4，∴k＝3
4，直线 l 在 x 轴上的截距为 3，∴l 与 x 轴
的交点为(3,0)，∴直线 l：y－0＝3
4(x－3)，即 3x－4y－9＝0.
2．已知直线 y＝kx－2k－1 与直线 x＋2y－4＝0 的交点位于第一象限，则 k 的取值范围
是________．
解析：由Error!，解之得Error!，∵交点在第一象限，∴x>0，y>0，得 k>1
2或 k<－3
2.
3．直线 l 与两直线 y＝1，x－y－7＝0 分别交于 P、Q 两点，线段 PQ 的中点恰为(1，－1)，
则直线 l 的斜率为________．
解析：设直线 l 与两直线的交点分别为(a,1)，(b，c)，P、Q 的中点为(1，－1)，∴c＝－
2－1＝－3，代入 x－y－7＝0 可得 b＝4，∴a＝2－b＝－2，∴P(－2,1)，Q(4，－3)，∴kPQ＝
1－(－3)
－2－4 ＝－2
3.
4．若直线(k2－1)x－y－1＋2k＝0 不过第二象限，则实数 k 的取值范围是________．
解析：由直线方程可化为 y＝(k2－1)x＋2k－1，直线不过第二象限，
∴Error!或Error!或Error!，解之得 k≤－1.
5．(2010 年苏州模拟)若 ab<0，则过点 P(0，－1
b)与 Q(1
a，0)的直线 PQ 的倾斜角的取值范围
是__________．
解析：kPQ＝
－1
b－0
0－1
a
＝a
b<0.又倾斜角的取值范围为[0，π)，所以直线 PQ 的倾斜角的取值
范围是(π
2，π)．
6．函数 y＝asinx－bcosx 的一个对称轴方程为 x＝π
4，则直线 ax－by＋c＝0 的倾斜角为______．
解析：令 f(x)＝asinx－bcosx，由于 f(x)的一条对称轴为 x＝π
4，得 f(0)＝f(π
2)，即－b＝a，
a
b＝－1.∴直线 ax－by＋c＝0 的斜率为－1，倾斜角为 135°.
7．已知两直线 a1x＋b1y＋1＝0 与 a2x＋b2y＋1＝0 的交点是 P(2,3)，则过两点 Q1(a1，b1)，Q2(a2，
b2)的直线方程是______________________．
解析：由条件可得 2a1＋3b1＋1＝0,2a2＋3b2＋1＝0，显然点(a1，b1)与(a2，b2)在直线 2x
＋3y＋1＝0 上．
8．直线 ax＋y＋1＝0 与连结 A(2,3)，B(－3,2)的线段相交，则 a 的取值范围是__．
解析：∵直线 ax＋y＋1＝0 过定点 C(0，－1)，当直线处在直线 AC 与 BC 之间时，必与
线段 AB 相交，故应满足－a≥3＋1
2 或－a≤2＋1
－3 ，即 a≤－2 或 a≥1.
9．(2010 年湛江质检)已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，P 是 AB 上的一动点，
则点 P 到 AC，BC 的距离乘积的最大值是________．
解析：以 C 为坐标原点，CA，CB 分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，所以 A(3,0)，
B(0,4)．直线 AB：x
3＋y
4＝1，设 P(x，y)，所以 P 到 AC、BC 的距离乘积为 xy，xy＝x(4－4
3x)＝－
4
3x2＋4x＝－4
3[(x－3
2)2－9
4]≤4
3×9
4＝3.
答案：3
10．已知直线方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.
(1)证明：直线恒过定点 M；
(2)若直线分别与 x 轴、y 轴的负半轴交于 A、B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直
线的方程．
解：(1)证明：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0 可化为(x－2y－3)m＝－2x－y－4.由Error!
得Error!，∴直线必过定点(－1，－2)．
(2)设直线的斜率为 k，则其方程为 y＋2＝k(x＋1)，∴OA＝2
k－1，OB＝k－2，
S△AOB＝1
2·|OA|·|OB|＝ 1
2|(2
k－1)(k－2)|＝1
2|－(k－2)2
k |.
∵k<0，∴－k>0，∴S△AOB＝1
2[－(k－2)2
k ]＝1
2[4＋(－4
k)＋(－k)]≥4.
当且仅当－4
k＝－k，即 k＝－2 时取等号，∴△AOB 的面积最小值是 4，
直线的方程为 y＋2＝－2(x＋1)，即 y＋2x＋4＝0.
11．已知直线 l：ay＝(3a－1)x－1.
(1)求证：无论 a 为何值，直线 l 总过第三象限；
(2)a 取何值时，直线 l 不过第二象限？
解：(1)证明：由直线 l：ay＝(3a－1)x－1，得 a(3x－y)＋(－x－1)＝0，
由Error!，得Error!，
所以直线 l 过定点(－1，－3)，因此直线总过第三象限．
(2)直线 l 不过第二象限，应有斜率 k＝3a－1
a ≥0 且－1
a≤0.
∴a≥1
3时直线 l 不过第二象限．
12．若直线 l 过点 P(3,0)且与两条直线 l1：2x－y－2＝0，l2：x＋y＋3＝0 分别相交于两点 A、
B，且点 P 平分线段 AB，求直线 l 的方程．
解：设 A(m,2m－2)，B(n，－n－3)．∵线段 AB 的中点为 P(3,0)，
∴Error!∴Error!∴Error!∴A(11
3 ，16
3 )，
∴直线 l 的斜率 k＝
16
3 －0
11
3 －3
＝8，
∴直线 l 的方程为 y－0＝8(x－3)，即 8x－y－24＝0
第二节 点与直线、直线与直线的位置关系
A 组
1．(2009 年高考安徽卷改编)直线 l 过点(－1,2)且与直线 2x－3y＋4＝0 垂直，则 l 的方程是
________．
解析：由题意知，直线 l 的斜率为－3
2，因此直线 l 的方程为 y－2＝－3
2(x＋1)，即 3x＋
2y－1＝0.
2．(2010 年西安调研)已知两条直线 y＝ax－2 和 y＝(a＋2)x＋1 互相垂直，则 a 等于________．
解析：∵两条直线互相垂直，∴a(a＋2)＝－1，∴a＝－1.
3．(2010 年苏州质检)直线 x＋ay＋3＝0 与直线 ax＋4y＋6＝0 平行的充要条件是 a＝
________.
解析：由两条直线平行可知Error!∴a＝－2.
4．若点 P(a,3)到直线 4x－3y＋1＝0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x＋y－3<0 表示的平面区
域内，则实数 a 的值为________．
解析：由|4a－9＋1|
5 ＝4 得 a＝7 或－3，又 2a＋3－3<0，得 a<0，∴a＝－3.
5．在平面直角坐标系中，定义平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，若直线 l
过点 A(－2,3)，且法向量为 n＝(1，－2)，则直线 l 的方程为_________．
解析：设 P(x，y)是直线 l 上任意一点，则PA
→
＝(－2－x,3－y)，且PA
→
⊥n，故PA
→
·n＝0，
即(－2－x,3－y)·(1，－2)＝－x＋2y－8＝0，即直线 l 的方程为 x－2y＋8＝0.答案：x－2y＋8
＝0
6．直线 y＝2x 是△ABC 中∠C 的角平分线所在的直线，若 A、B 的坐标分别为 A(－4,2)，
B(3,1)，求点 C 的坐标，并判断△ABC 的形状．
解：设 A(－4,2)关于直线 y＝2x 对称的点 A′的坐标是(m，n)
由Error!解得Error!即 A′的坐标是(4， －2)，
由 B、A′得 BC 所在的直线方程，3x＋y－10＝0，由Error!解得 C 的坐标是(2,4)，又
∵kAC′＝
1
3，kBC′＝－3，
∴AC′⊥BC′，即△ABC′是直角三角形．
B 组
1．已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为______________．
解析：kPQ＝4－2
1－3＝－1，PQ 的中点为(3＋1
2 ，2＋4
2 )，即(2,3)，
∴kl＝1，∴直线 l 的方程为 y－3＝(x－2)，即 x－y＋1＝0.
2．若三条直线 l1：x＋y＝7，l2：3x－y＝5，l3：2x＋y＋c＝0 不能围成三角形，则 c 的值为
________．
解析：由 l1，l2，l3 的方程可知 l1，l2，l3 不平行，由Error!解得交点(3,4)，代入 l3 的方
程得 c＝－10.
3．已知两条直线 l1：ax＋by＋c＝0，直线 l 2：mx＋ny＋p＝0，则 an＝bm 是直线 l 1∥l2 的
________条件．
解析：∵l1∥l2⇒an－bm＝0，且 an－bm＝0⇒/ l1∥l2.答案：必要不充分
4．过点 P(1,2)作直线 l，使直线 l 与点 M(2,3)和点 N(4，－5)距离相等，则直线 l 的方程为
________________．
解析：直线 l 为与 MN 平行或经过 MN 的中点的直线，当 l 与 MN 平行时，斜率为－4，
故直线方程为 y－2＝－4(x－1)，即 4x＋y－6＝0；当 l 经过 MN 的中点时，MN 的中点为(3，－
1)，直线 l 的斜率为－3
2，故直线方程为 y－2＝－3
2(x－1)，即 3x＋2y－7＝0.答案：3x＋2y－
7＝0 或 4x＋y－6＝0
5．已知直线 l 经过点(1
2，2)，其横截距与纵截距分别为 a、b(a、b 均为正数)，则使 a＋b≥c
恒成立的 c 的取值范围为________．
解析：设直线方程为x
a＋y
b＝1，∴ 1
2a＋2
b＝1，a＋b＝(a＋b)·( 1
2a＋2
b)＝5
2＋ b
2a＋2a
b ≥9
2，故
c≤9
2.答案：(－∞，9
2]
6．(2010 年苏南四市调研)若函数 y＝ax＋8 与 y＝－1
2x＋b 的图象关于直线 y＝x 对称，则 a＋
b＝________.
解析：直线 y＝ax＋8 关于 y＝x 对称的直线方程为 x＝ay＋8，所以 x＝ay＋8 与 y＝－1
2x
＋b 为同一直线，故得Error!，所以 a＋b＝2.答案：2
7．如图，已知 A(4,0)、B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线 经 直 线
AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后 又回到 P
点，则光线所经过的路程是______．
解析：分别求点 P 关于直线 x＋y＝4 及 y 轴的对 称 点 ，
为 P1(4,2)、P2(－2，0)，由物理知识知，光线所经路 程 即 为
P1P2＝2 10.答案：2 10
8．设 a、b、c、分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长，则直线 xsinA＋ay＋c＝0
与 bx－ysinB＋sinC＝0 的位置关系是______．
解析：由 bsinA－asinB＝0 知，两直线垂直．答案：垂直
9．(2010 年江苏常州模拟)已知 00)与两坐标轴无公共点，那么实数 k 的取值范围为
________．
解析：圆的方程为(x－k)2＋(y＋1)2＝k2－1，圆心坐标为(k，－1)，半径 r＝ k2－1，若
圆与两坐标无公共点，即Error!，解得 10)，B(0，a)，C(－4,0)，D(0,4)，设△AOB
的外接圆圆心为 E.
(1)若⊙E 与直线 CD 相切，求实数 a 的值；
(2)设点 P 在圆 E 上，使△PCD 的面积等于 12 的点 P 有且只有三个，试问这样的⊙E
是否存在，若存在？求出⊙E 的标准方程；若不存在，说明理由．
解：(1)直线 CD 方程为 y＝x＋4，圆心 E(a
2，a
2)，半径 r＝ 2
2 a.
由题意得
|a
2－a
2＋4|
2
＝ 2
2 a，解得 a＝4.
(2)∵|CD|＝ (－4)2＋42＝4 2，∴当△PCD 面积为 12 时，点 P 到直线 CD 的距离为
3 2.又圆心 E 到直线 CD 距离为 2 2(定值)，要使△PCD 的面积等于 12 的点 P 有且只有三
个，只须圆 E 半径 2a
2 ＝5 2，解得 a＝10，
此时，⊙E 的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝50.
11．在 Rt△ABO 中，∠BOA＝90°，OA＝8，OB＝6，点 P 为它的内切圆 C 上任一点，求点
P 到顶点 A、B、O 距离的平方和的最大值和最小值．
解：如图所示，以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴，OB 所在直线为 y 轴，建立直角坐
标系 xOy，则 A(8,0)，B(0,6)，内切圆 C 的半径 r＝1
2(OA ＋ OB －
AB)＝8＋6－10
2 ＝2.∴内切圆 C 的方程为(x－2)2＋(y －2)2＝4.
设 P(x，y)为圆 C 上任一点，点 P 到顶点 A、B、 O 的距离
的平方和为 d，则
d＝PA2＋PB2＋PO2
＝(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2
＝3x2＋3y2－16x－12y＋100
＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76.
∵点 P(x，y)在圆 C 上，∴(x－2)2＋(y－2)2＝4.∴d＝3×4－4x＋76＝88－4x.
∵点 P(x，y)是圆 C 上的任意点，∴x∈[0,4]．
∴当 x＝0 时，dmax＝88；当 x＝4 时，dmin＝72.
12．(2008 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图
象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C.
(1)求实数 b 的取值范围；
(2)求圆 C 的方程；
(3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)？请证明你的结论．
解：(1)显然 b≠0.否则，二次函数 f(x)＝x 2＋2x＋b 的图象与两个坐标轴只有两个交点
(0,0)，(－2,0)，这与题设不符．由 b≠0 知，二次函数 f(x)＝x2＋2x＋b 的图象与 y 轴有一个
非原点的交点(0，b)，故它与 x 轴必有两个交点，从而方程 x2＋2x＋b＝0 有两个不相等的实
数根，因此方程的判别式 4－4b>0，即 b<1.
所以 b 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)．
(2)由方程 x2＋2x＋b＝0，得 x＝－1± 1－b.
于是，二次函数 f(x)＝x2＋2x＋b 的图象与坐标轴的交点是(－1－ 1－b，0)，(－1＋1－b，
0)，(0，b)．设圆 C 的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因圆 C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆 C 的方程，得
Error!解上述方程组，因 b≠0，
得Error!所以，圆 C 的方程为 x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)圆 C 过定点．证明如下：
假设圆 C 过定点(x0，y0)(x0，y0 不依赖于 b)，将该点的坐标代入圆 C 的方程，并变形为
x02＋y02＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足 b<1(b≠0)的 b 都成立，必须有 1－y0
＝0，结合(*)式得 x02＋y02＋2x0－y0＝0.
解得Error!或Error!经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆 C 上，
因此，圆 C 过定点．
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
A 组
1．(2009 年高考天津卷)若圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2＋2ay－6 ＝ 0(a>0)
的公共弦的长为 2 3，则 a＝________.
解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y＝1
a，
如图，由已知|AC|＝ 3，|OA|＝2，有|OC|＝1
a＝1，∴a＝1.
答案：1
2．(2009 年高考全国卷Ⅱ)已知圆 O：x2＋y2＝5 和点 A(1,2)，则过 A 且与圆 O 相切的直线与
两坐标轴围成的三角形的面积等于________．
解析：依题意，过 A(1,2)作圆 x2＋y2＝5 的切线方程为 x＋2y＝5，在 x 轴上的截距为 5，
在 y 轴上的截距为5
2，切线与坐标轴围成的三角形面积 S＝1
2×5
2×5＝25
4 .答案：25
4
3．(2009 年高考湖北卷)过原点 O 作圆 x2＋y2－6x－8y＋20＝0 的两条切线，设切点分别为
P、Q，则线段 PQ 的长为________．
解析：∵圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，可知圆心为(3,4)，半径为 5.如图可知，
|CO|＝5，
∴OP ＝ 25－5＝ 2 5.∴tan∠POC ＝ PC
OP＝ 1
2. 在 Rt△POC
中，OC·PM＝OP·PC，∴PM＝2 5 × 5
5 ＝2.∴PQ＝ 2PM ＝ 4.
答案：4
4．若直线 3x＋4y＋m＝0 与圆 x2＋y2－2x＋4y＋4＝0 没有公共
点，则实数 m 的取值范围是________．
解析：将圆 x2＋y2－2x＋4y＋4＝0 化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心为(1，－
2)，半径为 1.
若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，
即 d＝|3 × 1＋4 × (－2)＋m|
32＋42 ＝|m－5|
5 >1，∴m<0 或 m>10.
答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)
5．(原创题)已知直线 3x－y＋2m＝0 与圆 x2＋y2＝n2 相切，其中 m，n∈N*，且 n－m<5，则
满足条件的有序实数对(m，n)共有________个．
解析：由题意可得，圆心到直线的距离等于圆的半径，即 2m－1＝n，所以
2m－1－m<5，因为 m，n∈N*，所以Error!，Error!，Error!，Error!，故有序实数对(m，n)
共有 4 个．答案：4 个
6．(2010 年南京调研)已知：以点 C(t，2
t)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A，与 y
轴交于点 O、B，其中 O 为原点．
(1)求证：△OAB 的面积为定值；
(2)设直线 y＝－2x＋4 与圆 C 交于点 M，N，若 OM＝ON，求圆 C 的方程．
解：(1)证明：∵圆 C 过原点 O，∴OC 2＝t2＋4
t2.设圆 C 的方程是(x－t)2＋(y－2
t)2＝t2＋
4
t2，令 x＝0，得 y1＝0，y2＝4
t；令 y＝0，得 x1＝0，x2＝2t.
∴S△OAB＝1
2OA·OB＝1
2×|4
t|×|2t|＝4，即△OAB 的面积为定值．
(2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC 垂直平分线段 MN.∵kMN＝－2，∴kO C＝1
2，
∴直线 OC 的方程是 y＝1
2x.∴2
t＝1
2t，解得：t＝2 或 t＝－2.
当 t＝2 时，圆心 C 的坐标为(2,1)，OC＝ 5，此时圆心 C 到直线 y＝－2x＋4 的距离 d＝
1
5< 5，圆 C 与直线 y＝－2x＋4 相交于两点．
当 t＝－2 时，圆心 C 的坐标为(－2，－1)，OC＝ 5，此时圆心 C 到直线 y＝－2x＋4
的距离 d＝ 1
5> 5，圆 C 与直线 y＝－2x＋4 不相交，
∴t＝－2 不符合题意舍去．∴圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
B 组
1．直线 ax＋by＋b－a＝0 与圆 x2＋y2－x－3＝0 的位置关系是________．
解析：直线方程化为 a(x－1)＋b(y＋1)＝0，过定点(1，－1)，代入圆的方程，左侧小于
0，则定点在圆内，所以直线与圆总相交．答案：相交
2．(2010 年秦州质检)已知直线 y＝ 3－x 与圆 x2＋y2＝2 相交于 A、B 两点，P 是优弧 AB 上
任意一点，则∠APB＝____________.
解析：弦心距长为 6
2 ，半径为 2，所以弦 AB 所对的圆心角为π
3，又因为同弦所对的圆
周角是圆心角的一半，所以∠APB＝π
6.答案：π
6
3．已知向量 a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a 与 b 的夹角为 60°，直线 xcosα＋ysinα＝0
与圆(x＋cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝1
2的位置关系是________．
解析：cos60°＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝cos(α－β)，
d＝|cosα·cosβ＋sinα·sinβ|
cos2α＋sin2α
＝|cos(α－β)|＝ 3
2 >
2
2 ＝r.答案：相离
4．过点 A(11,2)作圆 x2＋y2＋2x－4y－164＝0 的弦，其中弦长为整数的共有__条．
解析：方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝132，圆心为(－1,2)，到点 A(11,2)的距离为 12，最短
弦长为 10，最长弦长为 26，所以所求直线条数为 2＋2×(25－10)＝32(条)．答案：32
5．若集合 A＝{(x，y)|y＝1＋ 4－x2}，B＝{(x，y)|y＝k(x－2)＋4}．当集合 A∩B 有 4 个子集
时，实数 k 的取值范围是________________．
解析：A∩B 有 4 个子集，即 A∩B 有 2 个元素，∴ 半圆 x2＋
(y－1)2＝4(y≥1)与过 P(2,4)点，斜率为 k 的直线有两个 交点，如
图：A(－2,1)，kPA＝3
4，过 P 与半圆相切时，k＝ 5
12，∴ 5
12 0)，又 Q 点在底面 ABCD 的对角线 BD 上，所以可设 Q 点的坐标为(y，y,0)，因此 P、Q
两点间的距离 PQ＝ (－x－y)2＋(x－y)2＋(f(r(2),2)a－r(2)x)2
＝ 4(x－f(a,4))2＋2y2＋a2
4 ，显然当 x＝a
4，y＝0 时 d 取得最小值，d 的最小值等于a
2，
这时，点 P 恰好为 SC 的中点，点 Q 恰好为底面的中心．
第十六章 圆锥曲线
1．椭圆 （a>b>0）的两焦点为 F1F2，连接点 F1，F2 为边作正三角形，若椭圆
恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为
2．已知 N（3，1），点 A、B 分别在直线 y=x 和 y=0 上，则△ABN 的周长的最小值是
。
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
13 −
20
3．一个动圆的圆心在抛物线 上，且动圆恒与直线 相切，则此动圆必经过
点______ ________
4．抛物线顶点在原点，焦点在 y 轴上，其上一点 到焦点的距离为 5，则此抛物线
的方程为
5．椭圆 的离心率为 ，那么双曲线 的离心率为
6 ． 已 知 椭 圆 的 焦 点 是 是 椭 圆 上 的 一 个 动 点 ， 如 果 延 长 到 ， 使 得
，那么动点 的轨迹是 圆 （写出曲线类型）
7．椭圆 的焦点是 ，点 P 在椭圆上，如果线段 的中点在 y 轴上，那么
8．过点 且与抛物线 仅有一个公共点的直线方程是 及
2 8y x= 2 0x + =
(2,0)
( ,1)M m
2 16x y=
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 3
3
2 2
2 2 1x y
a b
− = 15
3
1 2, ,F F P 1F P Q
2PQ PF= Q
2 2
112 3
x y+ = 1 2,F F 1F P
1 2:PF PF = 7 :1
(0,1)M 2: 4C y x= 0, 1x y= =
9．函数 的图象为 C,则 C 与 x 轴围成的封闭图形的面
积为______2－ ______.
10．若椭圆 的左、右焦点分别为 ，抛物线 的焦点为
，若 ，则此椭圆的离心率为
11．已知双曲线 的右顶点为 A，而 B、C 是双曲线右支上两点，若三角形
ABC 为等边三角形，则 m 的取值范围是 。
12．长度为 的线段 AB 的两个端点 A、B 都在抛物线 上滑动，则线
段 AB 的中点 M 到 y 轴的最短距离为 。
13．已知△ABC 的顶点 A（1,4），若点 B 在 y 轴上，点 C 在直线 y=x 上，则△ABC 的周长
的最小值是 。
1y x= +
( ) ( )1x1xx21xf 2 ≤≤−−−=
2
π
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
21 , FF bxy 42 =
M ||2|| 21 MFMF =
10
103
10
10 或
)0(122 >=− mmyx
),3( +∞
a )2,0(22 pappxy >>=
2a
34
y
x
o
P
Q
A
14．设过点 的直线 l 的斜率为 k，若圆 上恰有三点到直线 l 的距离等于
1，则 k 的值是 1 或 7 。
15．设 、 是方程 的两个不相等的实数根，那么过点 和点
的直线与圆 的位置关系是（ A ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．随 的值变化而变化
16．已知圆 C 过三点 O（0，0），A（3，0），B（0，4），则与圆 C 相切且与坐标轴上截
距相等的切线方程是 或 ．
17．P 是双曲线 左支上一点，F1、F2 分别是左、右焦点，且焦距为
2c，则 的内切圆的圆心横坐标为 ．
18．在直角坐标平面上，O 为原点，N 为动点，｜ ｜＝6， ．过点 M 作 MM1⊥y
轴于 M1，过 N 作
NN1⊥x 轴于点 N1， ＝ ＋ ，
记点 T 的轨迹为曲线 C．
（Ⅰ）求曲线 C 的方程；
（Ⅱ）已知直线 L 与双曲线 C1：5x2－y2＝36
( )22,2 422 =+ yx
a b 2 cot cos 0x x θ θ+ − = 2( , )A a a
2( , )B b b 2 2 1x y+ =
θ
043 =+ yx 7 5 2
2 2x y+ = ±
)0,0(12
2
2
2
>>=− bab
y
a
x
21FPF∆ a−
ON
5
1=OM ON
OT MM1 NN1
的右支相交于 P、Q 两点
（其中点 P 在第一象限），
线段 OP 交轨迹 C 于 A，
若 ＝3 ，SΔPAQ＝－26tan∠PAQ，
求直线 L 的方程．
解：（Ⅰ）设 T（x，y），点 N（x1，y1），则 N1（x1，0）．又 ＝（ x1，
y1），∴M1（0， y1）， ＝（ x1，0）， ＝（0，y1）．于是 ＝ ＋
＝（ x1，y1），即（x，y）＝（ x1，y1）． 代入｜ ｜＝6，得 5x2＋y2＝
36．所求曲线 C 的轨迹方程为 5x2＋y2＝36．
（ II ） 设 由 及 在 第 一 象 限 得
解 得 即 设
则 ①
由 得 ，
，即 ②
联立①， ②，解得 或 因点 在双曲线 C1 的右支，故点 的坐
标为 由 得直线 的方程为 即
19．设椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ，已知椭圆 上任意一
点 ，满足 ，过 作垂直于椭圆长轴的弦长为 3．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若过 的直线交椭圆于 两点，求 的取值范围．
解：（1）设点 ，则 ，
OP OA
5
1=OM ON
5
1
5
1
5
1 MM1 5
1 NN1 OT MM1 NN1
5
1
5
1
=
=
yy
xx
1
1 5
ON
( , ),A m n 3OP OA= ⋅ P (3 ,3 ), 0, 0.P m n m n> >
1 2, ,A c P c∈ ∈ ∴
2 2 2 25 36,5 4,m n m n+ = − = 2, 4,m n= = (2,4), (6,12).A P
( , ),Q x y 2 25 36.x y− =
26tan ,S PAQ= − ∠ 1 sin 26tan2 AP AQ PAQ PAQ⋅ ⋅ ∠ = − ∠
52AP AQ∴ ⋅ = − (4,8) ( 2, 4) 52, 2 3 0.x y x y⋅ − − = − + + =
51,19
3 ,19
x
y
= −
= −
3,
3.
x
y
=
= − Q Q
(3, 3)− (6,12),P (3, 3)Q − l 3 3,12 3 6 3
y x+ −=+ − 5 18 0.x y− − =
E
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1 2,F F E
P 2
1 2
1
2PF PF a⋅ ≥
1F
E
1F ,A B 2 2F A F B⋅
P 0 0( , )x y 1 0 0 2 0 0( , ), ( , )PF c x y PF c x y= − − − = − −
L
，又 ，
，∴椭圆的方程为：
（2）当过 直线 的斜率不存在时，点 ，则 ；
当过 直线 的斜率存在时，设斜率为 ，则直线 的方程为 ，设
由 得：
综合以上情形，得：
20．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，实轴长为 2．一条斜率为 的直线 l 过
右焦点 F 与双曲线交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆与右准线交于 M，N 两点．
（1）若双曲线的离心率为 ，求圆的半径；
（2）设 AB 的中点为 H，若 ，求双曲线的方程．
解答：（1）设所求方程为 ．由已知 2a＝2，∴a＝1，又 e＝ ＝2，∴c＝
2．
∴双曲线方程为 右焦点 F(2，0)，L；y＝x－2，代入 得
2
2 2 2 2 2 2
1 2 0 0 02
cPF PF x c y x b ca
∴ ⋅ = − + = + − 2 2 2
1 2 0
1 ,02PF PF a x a⋅ ≥ ≤ ≤
2 2 21 , 22b c a a c∴ − = ∴ =
2 2 2 2
2 2
31, , 2
c y b bya b a a
+ = ∴ = ± ∴ =
2 24, 3a b= =
2 2
14 3
x y+ =
1F AB 3 3( 1, ), ( 1, )2 2A B− − − 2 2
1
2F A F B⋅ = −
1F AB k AB ( 1)y k x= +
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2 2
( 1)
14 3
y k x
x y
= + + =
2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x k x k+ + + − =
2 2
1 2 1 22 2
8 4 12,4 3 4 3
k kx x x xk k
− −+ = ⋅ =+ +
2
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2
2
2 2
2
2 2
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)
( 1) ( 1)( ) ( 1)
7 9 7 57
4 3 4 4(4 3)
70, 3 4
F A F B x x y y x x k x x
k x x k x x k
k
k k
k F A F B
∴ ⋅ = − − + = − − + + +
= + + − + + +
−= = −+ +
≥ ∴− ≤ ⋅ <
2 2
73 4F A F B− ≤ ⋅ <
1
2
16
3HM HN = −
2 2
2 2 1x y
a b
− = c
a
2
2 1,3
yx − =
2
2 1,3
yx − =
．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，
∴ ，∴r＝3．
(2)设双曲线方程为 L；y＝x－2，代入并整理得
．
∴ ．
设半径为 R， ，则 ．
∵ ，∴ ，∴ ．
∴ ，代入 得： ＝3．
∴ 为所求．
22 4 7 0x x+ − = 1 2 1 2
72, 2x x x x+ = − = −
2
1 2 1 22 ( ) 4 6AB x x x x= + − =
2
2
2 1,1
yx c
− =−
2 2 2( 2) 2 2 1 0c x cx c− + − + =
3
1 2 2 2
1 ( ) ,2 2 2H H H
c c cx x x y x cc c
−= + = = − =− −
,HM HN θ〈 〉 = 2 16cos 3R θ = −
2
1
2cos 2
c
c c
R
θ − −＝
2
2
1
2
2
c
R
c
−
=
−
1cos 2 c
θ =
2
2
2
2cos 2cos 12
c
c
θθ −= − = 2 16cos 3R θ = − 2c
2
2 12
yx − =
