2016年高考理科数学全国卷3

2016年高考理科数学全国卷3

‎2016年高考理科数学全国新课标3卷 一 ‎、选择题（本大题共12小题）‎ 设集合 ，则（ ）‎ A． [2，3] B．（- ，2] [3,+） C． [3,+） D．（0， 2] [3,+）‎ 若，则（ ）‎ A．1 B． -1 C． D． ‎ 已知向量 ， ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均最低气温约为．下面叙述不正确的是（ ）‎ A．各月的平均最低气温都在以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均气温高于的月份有5个 若 ，则（ ）‎ A． B． C． 1 D． ‎ 已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ 在中，，边上的高等于,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）‎ A． B． C．90 D．81‎ 在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（ ）‎ A．4π B． C．6π D． ‎ 已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有（ ）‎ A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 一 ‎、填空题（本大题共4小题）‎ 若满足约束条件 则的最大值为_____________.‎ 函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．‎ 已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________．‎ 已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.‎ 二 ‎、解答题（本大题共8小题）‎ 已知数列的前n项和，其中．‎ ‎（I）证明是等比数列，并求其通项公式； ‎ ‎（II）若 ，求．‎ 下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 ‎（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎（II）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．‎ 附注：‎ 参考数据：，，，≈2.646.‎ 参考公式：相关系数 ‎ 回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎，．‎ 如图，四棱锥中，地面，，，，为线段上一点，，为的中点．‎ ‎（I）证明平面；‎ ‎（II）求直线与平面所成角的正弦值.‎ 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交 的准线于两点．‎ ‎（I）若在线段上，是的中点，证明；‎ ‎（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.‎ 设函数，其中，记的最大值为．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求；‎ ‎（Ⅲ）证明．‎ 选修4-1：几何证明选讲 如图，中的中点为，弦分别交于两点．‎ ‎（I）若，求的大小；‎ ‎（II）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明．‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.‎ 选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（I）当时，求不等式的解集；‎ ‎（II）设函数．当时，，求的取值范围．‎ 2016年高考理科数学全国新课标3卷答案解析 一 ‎、选择题 【答案】D ‎【解析】由解得或，所以或 ，‎ 所以或，故选D.‎ 考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．‎ ‎【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．‎ 【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，故选C．‎ 考点：1、复数的运算；2、共轭复数．‎ ‎【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成－1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．‎ 【答案】A ‎【解析】由题意得， ,‎ 所以 ，故选A．‎ 考点：向量夹角公式．‎ ‎【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质有，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．‎ 【答案】D ‎【解析】由图可知0°C均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0°C以上,A正确；由图可在七月的平均气温差大于7.5°C，而一月的平均温差小于7.5°C，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5°C，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20°C的月份有3个或2个，所以不正确，故选D.‎ 考点：1、平均数；2、统计图．‎ ‎【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．‎ 【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由，得或，所以，故选A．‎ 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．‎ ‎【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．‎ 【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为，，所以，故选A．‎ 考点：幂函数的图象与性质．‎ ‎【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．‎ 【答案】B ‎【解析】第1次循环，得a=2，b=4，a=6，s=6，n=1；‎ 第2次循环，得a=-2，b=6，a=4，s=10，n=2‎ 第3次循环，得a=2，b=4，=6，s=16，n=3‎ 第4次循环，得a=-2，b=6，a=4，a=20>16，n=4‎ 退出循环，输出n=4，故选B.‎ 考点：程序框图．‎ ‎【注意提示】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．‎ 【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．‎ 考点：余弦定理．‎ ‎【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．‎ 【答案】B ‎【解析】由三视图知几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积为 ‎ ,故选B.‎ 考点：空间几何体的三视图及表面积．‎ ‎【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．‎ 【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B．‎ 考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．‎ ‎【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．‎ 【答案】A ‎【解析】由题意设直线l的方程为y=k(x+a)，分别令与得，由，得，即，得，所以椭圆的离心率，故选A．‎ 考点：椭圆方程与几何性质．‎ ‎【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．‎ 【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ 考点：计数原理的应用．‎ ‎【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．‎ 一 ‎、填空题 【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过点时取得最大值，即．‎ 考点：简单的线性规划问题．‎ ‎【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．‎ 【答案】‎ ‎【解析】因为 ，‎ ‎ ‎ 所以的图像可以由函数的图像至少向右平移个单位长度得到.‎ 考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．‎ ‎【误区警示】‎ 在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．‎ 【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．‎ 考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．‎ ‎【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．‎ 【答案】4‎ ‎【解析】因，且圆的半径为，所以圆心到直线 的距离为，则由，解得，代入直线l的方程，得，所以直线l的倾斜角为，在梯形ABCD中，‎ ‎.‎ 考点：直线与圆的位置关系．‎ ‎【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．‎ 一 ‎、解答题 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】(I)当n=1时，，故，‎ 由，得，所以.‎ 因此是首项为，公比为的等比数列，于是．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即 ‎，‎ 解得．‎ 考点：1、数列通项与前项和为关系；2、等比数列的定义与通项及前项和为．‎ ‎【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．‎ 【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82亿吨．‎ 试题解析：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得 ‎，，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.‎ ‎（II）由及（I）得，‎ 所以，y关于t的回归方程为： ‎ 将2016年对应的t=9代入回归方程得：‎ 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨.‎ 考点：线性相关与线性回归方程的求法与应用．‎ ‎【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．‎ 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形 为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线的方向向量与平面法向量的夹角来处理与平面所成角．‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.‎ 又，故，四边形为平行四边形，于是.‎ 因为平面，平面，所以平面.‎ 设为平面的法向量，则，即，可取，‎ 于是.‎ 考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积．‎ ‎【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．‎ 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．‎ 试题解析：由题设.设，则，且 ‎.‎ 记过两点的直线为，则的方程为. .....3分 ‎（Ⅰ）由于在线段上，故.‎ 记的斜率为，的斜率为，则，‎ 所以. ......5分 ‎（Ⅱ）设与轴的交点为，‎ 则.‎ 由题设可得，所以（舍去），.‎ 设满足条件的的中点为.‎ 当与轴不垂直时，由可得.‎ 而，所以.‎ 当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. ....12分 考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．‎ ‎【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．‎ 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析．‎ 试题解析：（Ⅰ）．‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ 因此，． ………4分 当时，将变形为．‎ 令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为 ‎．‎ 令，解得（舍去），．‎ ‎（ⅰ）当时，在内无极值点，，，，所以．‎ ‎（ii）当时，由，知 又 所以，故有 ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）得.‎ 当时，.‎ 当时，，所以.‎ 当时，，所以.‎ 考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性．‎ ‎【归纳总结】求三角函数的最值通常分为两步：（1）利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、诱导公式将解析式化为形如的形式；（2）结合自变量的取值范围，结合正弦曲线与余弦曲线进行求解．‎ 请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．‎ 试题解析：（Ⅰ）连结，则.‎ 因为，所以，又，所以.‎ 又，所以， 因此.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，又也在的垂直平分线上，因此．‎ 考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆．‎ ‎【方法点拨】（1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等． ‎ 【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）．‎ 试题解析：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为. ……5分 ‎（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，. ‎ ‎………………8分 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. ………………10分 考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．‎ ‎【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为，将其转化为三角问题进行求解．‎ 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ 试题解析：（Ⅰ）当时，.‎ 解不等式，得，‎ 因此，的解集为. ………………5分 ‎（Ⅱ）当时，‎ ‎，‎ 当时等号成立，‎ 所以当时，等价于. ① ……7分 当时，①等价于，无解；‎ 当时，①等价于，解得，‎ 所以的取值范围是. ………………10分 考点：1、绝对值不等式的解法；2、三角形绝对值不等式的应用．‎ ‎【易错警示】对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对，当且仅当时，等号成立，对，如果，当且仅当且时左边等号成立，当且仅当时右边等号成立．‎