【数学】2019届一轮复习北师大版全称量词与存在量词、逻辑联结词学案

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文档介绍

【数学】2019届一轮复习北师大版全称量词与存在量词、逻辑联结词学案

‎ 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.‎ ‎2.理解全称量词和存在量词的意义.‎ ‎3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ 逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点;命题的真假判断常以函数、不等式为载体,考查学生的推理判断能力,题型为选择、填空题,低档难度.‎ ‎1.全称量词与存在量词 ‎(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等.‎ ‎(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等.‎ ‎2.全称命题与特称命题 ‎(1)含有全称量词的命题叫全称命题.‎ ‎(2)含有存在量词的命题叫特称命题.‎ ‎3.命题的否定 ‎(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.‎ ‎(2)p或q的否定:非p且非q;p且q的否定:非p或非q.‎ ‎4.简单的逻辑联结词 ‎(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词.‎ ‎(2)简单复合命题的真值表:‎ p q 綈p 綈q p或q p且q 真 真 假 假 真 真 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 真 假 假 假 真 真 假 假 知识拓展 ‎1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 ‎(1)p或q:p,q中有一个为真,则p或q为真,即有真为真.‎ ‎(2)p且q:p,q中有一个为假,则p且q为假,即有假即假.‎ ‎(3)綈p:与p的真假相反,即一真一假,真假相反.‎ ‎2.含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”.‎ ‎3.命题的否定和否命题的区别:命题“若p,则q”的否定是“若p,则綈q”,否命题是“若綈p,则綈q”.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)命题“3≥2”是真命题.( √ )‎ ‎(2)命题p和綈p不可能都是真命题.( √ )‎ ‎(3)若命题p,q中至少有一个是真命题,则p或q是真命题.( √ )‎ ‎(4)“全等三角形的面积相等”是特称命题.( × )‎ ‎(5)命题綈(p且q)是假命题,则命题p,q中至少有一个是真命题.( × )‎ 题组二 教材改编 ‎2.已知p:2是偶数,q:2是质数,则命题綈p,綈q,p或q,p且q中真命题的个数为(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 答案 B 解析 p和q显然都是真命题,所以綈p,綈q都是假命题,p或q,p且q都是真命题.‎ ‎3.命题“正方形都是矩形”的否定是____________________________________.‎ 答案 存在一个正方形,这个正方形不是矩形 题组三 易错自纠 ‎4.已知命题p,q,“綈p为真”是“p且q为假”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 由綈p为真知,p为假,可得p且q为假;反之,若p且q为假,则可能是p真q 假,从而綈p为假,故“綈p为真”是“p且q为假”的充分不必要条件,故选A.‎ ‎5.(2017·贵阳调研)下列命题中的假命题是(  )‎ A.存在x∈R,lg x=1 B.存在x∈R,sin x=0‎ C.任意x∈R,x3>0 D.任意x∈R,2x>0‎ 答案 C 解析 当x=10时,lg 10=1,则A为真命题;‎ 当x=0时,sin 0=0,则B为真命题;‎ 当x<0时,x3<0,则C为假命题;‎ 由指数函数的性质知,任意x∈R,2x>0,则D为真命题.‎ 故选C.‎ ‎6.已知命题p:任意x∈R,x2-a≥0;命题p:存在x∈R,x2+2ax+2-a=0.若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围为__________.‎ 答案 (-∞,-2]‎ 解析 由已知条件可知p和q均为真命题,由命题p为真得a≤0,由命题q为真得Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≤-2或a≥1,所以a≤-2.‎ 题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 ‎1.(2018·济南调研)设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中的真命题是(  )‎ A.p或q B.p且q C.(綈p)且(綈q) D.p或(綈q)‎ 答案 A 解析 如图所示,‎ 若a=,b=,c=,则a·c≠0,命题p为假命题;显然命题q为真命题,所以p或q为真命题.故选A.‎ ‎2.(2017·山东)已知命题p:任意x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.‎ 下列命题为真命题的是(  )‎ A.p且q B.p且(綈q)‎ C.(綈p)且q D.(綈p)且(綈q)‎ 答案 B 解析 ∵x>0,∴x+1>1,∴ln(x+1)>ln 1=0.‎ ‎∴命题p为真命题,∴綈p为假命题.‎ ‎∵a>b,取a=1,b=-2,而12=1,(-2)2=4,‎ 此时a2<b2,‎ ‎∴命题q为假命题,∴綈q为真命题.‎ ‎∴p且q为假命题,p且(綈q)为真命题,(綈p)且q为假命题,(綈p)且(綈q)为假命题.故选B.‎ ‎3.已知命题p:若平面α⊥平面β,平面γ⊥平面β,则有平面α∥平面γ.命题q:在空间中,对于三条不同的直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.对以上两个命题,有以下命题:‎ ‎①p且q为真;②p或q为假;③p或q为真;④(綈p)或(綈q)为假.‎ 其中,正确的是________.(填序号)‎ 答案 ②‎ 解析 命题p是假命题,这是因为α与γ也可能相交;命题q也是假命题,这两条直线也可能异面,相交.‎ 思维升华“p或q”“p且q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤 ‎(1)确定命题的构成形式;‎ ‎(2)判断其中命题p,q的真假;‎ ‎(3)确定“p且q”“p或q”“綈p”等形式命题的真假.‎ 题型二 含有一个量词的命题 命题点1 全称命题、特称命题的真假 典例下列四个命题:‎ p1:存在x∈(0,+∞),x<x;‎ p2:存在x∈(0,1),x>x;‎ p3:任意x∈(0,+∞),x>x;‎ p4:任意x∈,x<x.‎ 其中真命题是(  )‎ A.p1,p3 B.p1,p4‎ C.p2,p3 D.p2,p4‎ 答案 D 解析 对于p1,当x∈(0,+∞)时,总有x>x成立,故p1是假命题;‎ 对于p2,当x=时,有1==>成立,故p2是真命题;‎ 对于p3,结合指数函数y=x与对数函数y=x在(0,+∞)上的图像,可以判断p3是假命题;‎ 对于p4,结合指数函数y=x与对数函数y=x在上的图像,可以判断p4是真命题.‎ 命题点2 含一个量词的命题的否定 典例 (1)命题“任意x∈R,x>0”的否定是(  )‎ A.存在x∈R,x<0 B.任意x∈R,x≤0‎ C.任意x∈R,x<0 D.存在x∈R,x≤0‎ 答案 D 解析 全称命题的否定是特称命题,“>”的否定是“≤”.‎ ‎(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“存在x∈R,1<f(x)≤2”的否定形式是(  )‎ A.任意x∈R,1<f(x)≤2‎ B.存在x∈R,1<f(x)≤2‎ C.存在x∈R,f(x)≤1或f(x)>2‎ D.任意x∈R,f(x)≤1或f(x)>2‎ 答案 D 解析 特称命题的否定是全称命题,原命题的否定形式为“任意x∈R,f(x)≤1或f(x)>2”.‎ 思维升华 (1)判定全称命题“任意x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x,使p(x)成立.‎ ‎(2)对全(特)称命题进行否定的方法 ‎①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词;‎ ‎②对原命题的结论进行否定.‎ 跟踪训练 (1)下列命题是假命题的是(  )‎ A.存在α,β∈R,使cos(α+β)=cos α+cos β B.任意φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数 C.存在x∈R,使x3+ax2+bx+c=0(a,b,c∈R且为常数)‎ D.任意a>0,函数f(x)=ln2x+ln x-a有零点 答案 B 解析 取α=,β=-,cos(α+β)=cos α+cos β,‎ A正确;‎ 取φ=,函数f(x)=sin=cos 2x是偶函数,B错误;‎ 对于三次函数y=f(x)=x3+ax2+bx+c,当x→-∞时,y→-∞,当x→+∞时,y→+∞,又f(x)在R上为连续函数,故存在x∈R,使x3+ax2+bx+c=0,C正确;‎ 当f(x)=0时,ln2x+ln x-a=0,则有a=ln2x+ln x=2-≥-,所以任意a>0,函数f(x)=ln2x+ln x-a有零点,D正确,综上可知,选B.‎ ‎(2)(2017·福州质检)已知命题p:“存在x∈R,ex-x-1≤0”,则綈p为(  )‎ A.存在x∈R,ex-x-1≥0‎ B.存在x∈R,ex-x-1>0‎ C.任意x∈R,ex-x-1>0‎ D.任意x∈R,ex-x-1≥0‎ 答案 C 解析 根据全称命题与特称命题的否定关系,可得綈p为“任意x∈R,ex-x-1>0”,故选C.‎ 题型三 含参命题中参数的取值范围 典例 (1)已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数,若p且q是真命题,则实数a的取值范围是________________.‎ 答案 [-12,-4]∪[4,+∞)‎ 解析 若命题p是真命题,则Δ=a2-16≥0,‎ 即a≤-4或a≥4;若命题q是真命题,‎ 则-≤3,即a≥-12.‎ ‎∵p且q是真命题,∴p,q均为真,‎ ‎∴a的取值范围是[-12,-4]∪[4,+∞).‎ ‎(2)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=x-m,若对任意x1∈[0,3],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是________________.‎ 答案  解析 当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时,‎ g(x)min=g(2)=-m,由f(x)min≥g(x)min,‎ 得0≥-m,所以m≥.‎ 引申探究 本例(2)中,若将“存在x2∈[1,2]”改为“任意x2∈[1,2]”,其他条件不变,则实数m的取值范围是________________.‎ 答案  解析 当x∈[1,2]时,g(x)max=g(1)=-m,‎ 由f(x)min≥g(x)max,得0≥-m,‎ ‎∴m≥.‎ 思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假,可根据每个命题的真假,利用集合的运算求解参数的取值范围.(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决.‎ 跟踪训练 (1)已知命题“存在x∈R,使2x2+(a-1)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-1) B.(-1,3)‎ C.(-3,+∞) D.(-3,1)‎ 答案 B 解析 原命题的否定为任意x∈R,2x2+(a-1)x+>0,由题意知,其为真命题,即Δ=(a-1)2-4×2×<0,则-2<a-1<2,即-1<a<3.‎ ‎(2)(2017·洛阳模拟)已知p:任意x∈,2x,‎ 又x∈时,max=,‎ 故当p为真时,m>;‎ 函数f(x)=4x+2x+1+m-1=(2x+1)2+m-2,‎ 令f(x)=0,得2x=-1,‎ 若f(x)存在零点,‎ 则-1>0,解得m<1,‎ 故当q为真时,m<1.‎ 若“p且q”为真命题,则实数m的取值范围是.‎ 常用逻辑用语 考点分析有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现,多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合,难度中等偏下.解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系.‎ 一、命题的真假判断 典例1 (1)(2017·佛山模拟)已知a,b都是实数,那么“>”是“ln a>ln b”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎(2)(2017·江西红色七校联考)已知函数f(x)=给出下列两个命题:命题p:存在m∈(-∞,0),方程f(x)=0有解,命题q:若m=,则f(f(-1))=0,则下列命题为真命题的是(  )‎ A.p且q B.(綈p)且q C.p且(綈q) D.(綈p)且(綈q)‎ 解析 (1)由ln a>ln b⇒a>b>0⇒>,故必要性成立.当a=1,b=0时,满足>,但ln b无意义,所以ln a>ln b不成立,故充分性不成立.‎ ‎(2)因为3x>0,当m<0时,m-x2<0,‎ 所以命题p为假命题;‎ 当m=时,因为f(-1)=3-1=,‎ 所以f(f(-1))=f=-2=0,‎ 所以命题q为真命题,‎ 逐项检验可知,只有(綈p)且q为真命题,故选B.‎ 答案 (1)B (2)B 二、充要条件的判断 典例2 (1)(2017·湖南五市十校联考)已知数列{an}的前n项和Sn=Aqn+B(q≠0),则“A=-B”是“数列{an}是等比数列”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎(2)(2017·湖北七市联考)已知圆C:(x-1)2+y2=r2(r>0).设p:0<r<3,q:圆C上至多有2个点到直线x-y+3=0的距离为1,则p是q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 (1)若A=B=0,则Sn=0,数列{an}不是等比数列;若数列{an}是等比数列,则由a1=Aq+B,a2=Aq2-Aq,a3=Aq3-Aq2及=,得A=-B,故选B.‎ ‎(2)圆C:(x-1)2+y2=r2的圆心(1,0)到直线x-y+3=0的距离d==2.当r∈(0,1)时,直线与圆相离,圆C上没有到直线的距离为1的点;当r=1时,直线与圆相离,圆C上只有1个点到直线的距离为1;当r∈(1,2)时,直线与圆相离,圆C上有2个点到直线的距离为1;当r=2时,直线与圆相切,圆C上有2个点到直线的距离为1;当r∈(2,3)时,直线与圆相交,圆C上有2个点到直线的距离为1.综上,当r∈(0,3)时,圆C上至多有2个点到直线的距离为1,又由圆C上至多有2个点到直线的距离为1,可得0<r<3,故p是q的充要条件,故选C.‎ 答案 (1)B (2)C 三、求参数的取值范围 典例3 (1)已知命题p:任意x∈[0,1],a≥ex,命题q:存在x∈R,x2+4x+a=0,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是__________.‎ ‎(2)已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若任意x1∈,存在x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是________.‎ 解析 (1)命题“p且q”是真命题,p和q均是真命题.当p是真命题时,a≥(ex)max=e;当q为真命题时,Δ=16-4a≥0,a≤4,所以a∈[e,4].‎ ‎(2)∵x∈,∴f(x)≥2=4,当且仅当x=2时,f(x)min=4,当x∈[2,3]时,g(x)min=22+a=4+a,依题意知f(x)min≥g(x)min,即4≥a+4,‎ ‎∴a≤0.‎ 答案 (1)[e,4] (2)(-∞,0]‎ ‎1.已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是(  )‎ A.p且q B.(綈p)且(綈q)‎ C.(綈p)且q D.p且(綈q)‎ 答案 D 解析 因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意x∈R,y=2x>0恒成立,故p为真命题;因为当x>1时,x>2不一定成立,反之,当x>2时,一定有x>1成立,故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q为假命题.则p且q,綈p为假命题,綈q为真命题,(綈p)且(綈q),(綈p)且q为假命题,p且(綈q)为真命题,故选D.‎ ‎2.设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为;命题q:函数y=cos x的图像关于直线x=对称,则下列判断正确的是(  )‎ A.p为真 B.綈q为假 C.p且q为假 D.p或q为真 答案 C 解析 函数y=sin 2x的最小正周期为=π,故命题p为假命题;x=不是y=cos x的对称轴,故命题q为假命题,故p且q为假.故选C.‎ ‎3.下列命题中为假命题的是(  )‎ A.任意x∈,x>sin x B.存在x∈R,sin x+cos x=2‎ C.任意x∈R,3x>0‎ D.存在x∈R,lg x=0‎ 答案 B 解析 对于A,令f(x)=x-sin x,则f′(x)=1-cos x,当x∈时,f′(x)>0.从而f(x)在上是增函数,则f(x)>f(0)=0,即x>sin x,故A正确;对于B,由sin x+cos x=sin≤<2知,不存在x∈R,使得sin x+cos x=2,故B错误;对于C,易知3x>0,故C正确;对于D,由lg 1=0知,D正确.故选B.‎ ‎4.(2017·豫西五校联考)若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题中一定为真命题的是(  )‎ A.任意x∈R,f(-x)≠f(x)‎ B.任意x∈R,f(-x)=-f(x)‎ C.存在x∈R,f(-x)≠f(x)‎ D.存在x∈R,f(-x)=-f(x)‎ 答案 C 解析 由题意知任意x∈R,f(-x)=f(x)是假命题,则其否定为真命题,存在x∈R,f(-x)≠f(x)是真命题,故选C.‎ ‎5.(2017·安庆二模)设命题p:存在x∈(0,+∞),x+>3;命题q:任意x∈(2,+∞),x2>2x,则下列命题为真的是(  )‎ A.p且(綈q) B.(綈p)且q C.p且q D.(綈p)或q 答案 A 解析 对于命题p,当x0=4时,x0+=>3,故命题p为真命题;对于命题q,当x=4时,24=42=16,即存在x∈(2,+∞),使得2x=x2成立,故命题q为假命题,所以p且(綈q)为真命题,故选A.‎ ‎6.(2018届东莞外国语学校月考)已知命题p:存在x∈R,cos x=;命题q:任意x∈R,x2-x+1>0.则下列结论正确的是(  )‎ A.命题p且q是真命题 B.命题p且(綈q)是真命题 C.命题(綈p)且q是真命题 D.命题(綈p)或(綈q)是假命题 答案 C 解析 因为对任意x∈R,都有cos x≤1成立,而>1,所以命题p:存在x∈R,cos x=是假命题;因为对任意的x∈R,x2-x+1=2+>0,‎ 所以命题q:任意x∈R,x2-x+1>0是真命题.‎ 由此对照各个选项,可知命题(綈p)且q是真命题.‎ ‎7.下列命题中,真命题是(  )‎ A.存在x∈R,ex≤0‎ B.任意x∈R,2x>x2‎ C.a+b=0的充要条件是=-1‎ D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件 答案 D 解析 因为y=ex>0,x∈R恒成立,所以A不正确;‎ 因为当x=-5时,2-5<(-5)2,所以B不正确;‎ ‎“=-1”是“a+b=0”的充分不必要条件,C不正确;‎ 当a>1,b>1时,显然ab>1,D正确.‎ ‎8.命题p:任意x∈R,ax2+ax+1≥0,若綈p是真命题,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(0,4] B.[0,4]‎ C.(-∞,0]∪[4,+∞) D.(-∞,0)∪(4,+∞)‎ 答案 D 解析 因为命题p:任意x∈R,ax2+ax+1≥0,‎ 所以綈p:存在x∈R,ax2+ax+1<0,‎ 则a<0或解得a<0或a>4.‎ ‎9.命题p的否定是“对所有正数x,>x+1”,则命题p可写为____________________.‎ 答案 存在x∈(0,+∞),≤x+1‎ 解析 因为p是綈p的否定,所以只需将全称命题变为特称命题,再对结论否定即可.‎ ‎10.已知函数f(x)的定义域为(a,b),若“存在x∈(a,b),f(x)+f(-x)≠0”是假命题,则f(a+b)=________.‎ 答案 0‎ 解析 若“存在x∈(a,b),f(x)+f(-x)≠0”是假命题,则“任意x∈(a,b),f(x)+f(-x)=0”是真命题,即f(-x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数,则a+b=0,即f(a+b)=f(0)=0.‎ ‎11.以下四个命题:‎ ‎①任意x∈R,x2-3x+2>0恒成立;②存在x∈Q,x2=2;③存在x∈R,x2+1=0;④任意x∈R,4x2>2x-1+3x2.其中真命题的个数为________.‎ 答案 0‎ 解析 ∵x2-3x+2=0的判别式Δ=(-3)2-4×2>0,‎ ‎∴当x>2或x<1时,x2-3x+2>0才成立,‎ ‎∴①为假命题;‎ 当且仅当x=±时,x2=2,‎ ‎∴不存在x∈Q,使得x2=2,∴②为假命题;‎ 对任意x∈R,x2+1≠0,∴③为假命题;‎ ‎4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,‎ 即当x=1时,4x2=2x-1+3x2成立,‎ ‎∴④为假命题.‎ ‎∴①②③④均为假命题.‎ 故真命题的个数为0.‎ ‎12.(2017·江西五校联考)已知命题p:存在x∈R,(m+1)·(x2+1)≤0,命题q:任意x∈R,x2+mx+1>0恒成立.若p且q为假命题,则实数m的取值范围为_________________.‎ 答案 (-∞,-2]∪(-1,+∞)‎ 解析 由命题p:存在x∈R,(m+1)(x2+1)≤0,可得m≤-1,由命题q:任意x∈R,x2+mx+1>0恒成立,可得-2-1.‎ ‎13.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:>1,若“(綈q)且p”为真,则x的取值范围是________________.‎ 答案 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)‎ 解析 因为“(綈q)且p”为真,即q假p真,而当q为真命题时,-1=->0,即20,解得x>1或x<-3,由 得x≥3或1<x≤2或x<-3,‎ 所以x的取值范围是{x|x≥3或1<x≤2或x<-3}.‎ ‎14.下列结论:‎ ‎①若命题p:存在x∈R,tan x=1;命题q:任意x∈R,x2-x+1>0,则命题“p且(綈q)”是假命题;‎ ‎②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;‎ ‎③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题是“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.‎ 其中正确结论的序号为________.‎ 答案 ①③‎ 解析 ①中命题p为真命题,命题q为真命题,‎ 所以p且(綈q)为假命题,故①正确;‎ ‎②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;‎ ‎③正确,所以正确结论的序号为①③.‎ ‎15.已知命题p:存在x∈R,ex-mx=0,命题q:任意x∈R,x2+mx+1≥0,若p或(綈q)为假命题,则实数m的取值范围是________.‎ 答案 [0,2]‎ 解析 若p或(綈q)为假命题,则p假q真.‎ 由ex-mx=0,可得m=,x≠0,‎ 设f(x)=,x≠0,则 f′(x)==,‎ 当x>1时,f′(x)>0,函数f(x)=在(1,+∞)上是递增函数;当01,x≥2).‎ ‎(1)若存在x∈[2,+∞),使f(x)=m成立,则实数m的取值范围为________________;‎ ‎(2)若任意x1∈[2,+∞),存在x2∈[2, +∞),使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为________________________________________________________________________.‎ 答案 (1)[3,+∞) (2)(1,]‎ 解析 (1)因为f(x)==x+=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x=2时等号成立,所以若存在x∈[2,+∞),使f(x)=m成立,则实数m的取值范围为[3,+∞).‎ ‎(2)因为当x≥2时,f(x)≥3,g(x)≥a2,若任意x1∈[2,+∞),存在x2∈[2,+∞),使得f(x1)=g(x2),‎ 则 解得a∈(1,].‎
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