【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第二章第二讲 函数的基本性质学案
第二讲 函数的基本性质
1.下列说法中正确的个数是( )
(1)若函数y=f (x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).
(2)对于函数f (x),x∈D,若对任意x1,x2∈D(x1≠x2),有(x1 - x2)[f (x1) - f (x2)]>0,则函数f (x)在区间D上是增函数.
(3)若函数y=f (x+a)是偶函数,则函数y=f (x)的图象关于直线x=a对称.
(4)若函数y=f (x+b)是奇函数,则函数y=f (x)的图象关于点(b,0)中心对称.
(5)已知函数y=f (x)是定义在R上的偶函数,若f (x)在( - ∞,0)上是减函数,则f (x)在(0,+∞)上是增函数.
(6)若T为函数y=f (x)的一个周期,那么nT(n∈Z)也是函数f (x)的周期.
A.3 B.4 C.5 D.6
2.[多选题]下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y=x12 B.y=2 - x C.y=log12x D.y=1x
3.[2019全国卷Ⅱ]设f (x)为奇函数,且当x≥0时,f (x)=ex - 1,则当x<0时,f (x)=( )
A.e - x - 1 B.e - x+1
C. - e - x - 1 D. - e - x+1
4.[2020河南郑州高三联考]若函数f (x)=2x+2,x≤1,log2(x-1),x>1在( - ∞,a]上的最大值为4,则a的取值范围为( )
A.[0,17] B.( - ∞,17]
C.[1,17] D.[1,+∞)
5.[2020南阳模拟]已知函数f (x)=x3+ln x,则不等式f (x(x - 1))
0,得x< - 2或x>4.因此,函数f (x)=ln(x2 - 2x - 8)的定义域是( - ∞, - 2)∪(4,+∞).(先求函数f (x)的定义域)
易知函数y=x2 - 2x - 8在( - ∞, - 2)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,函数y=ln t为(0,+∞)上的增函数,由复合函数的单调性知,
f (x)=ln(x2 - 2x - 8)的单调递增区间是(4,+∞).
D
考法2 函数单调性的应用
命题角度1 比较大小
3已知函数f (x)为偶函数,当x>0时, f (x)=x - 4 - x,设a=f (log30.2), b=f (3 - 0.2), c=f ( - 31.1),则
A.c>a>b B.a>b>c
C.c>b>a D.b>a>c
利用函数f (x)为偶函数和对数函数、指数函数的性质,先把a,c对应的自变量的值转化到(0,+∞)内,然后比较31.1,
- log30.2 , 3 - 0.2的大小,再判断f (x)在(0,+∞)上的单调性,即可得a,b,c的大小.
因为函数f (x)为偶函数,所以a=f (log30.2)=f ( - log30.2),c=f ( - 31.1)=f (31.1).(注意把自变量的值转化到同一个单调区间内去研究)
因为log319< log30.2< log313,所以 - 23> - log30.2>1>3 - 0.2.
因为y=x在(0,+∞)上为增函数, y= - 4 - x在(0,+∞)上为增函数,所以f (x)在(0,+∞)上为增函数,
所以f (31.1)>f ( - log30.2)>f (3 - 0.2),所以c>a>b.
A
命题角度2 求解不等式
4(1)[2017全国卷Ⅰ]函数f (x)在( - ∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f (1)= - 1,则满足 - 1≤f (x - 2)≤1的x的取值范围是
A.[ - 2,2] B.[ - 1,1] C.[0,4] D.[1,3]
(2)已知函数f (x)= - x|x|,x∈( - 1,1),则不等式f (1 - m)0),
∵ y=log12u为减函数,
∴函数u在[1,2]上是减函数,
∵ u=6 - ax+x2,其图象的对称轴为直线x=a2,
∴a2≥2,且u>0在[1,2]上恒成立.
∴a2≥2,6-2a+4>0,解得4≤a<5,
∴实数a的取值范围为[4,5).
1.(1)函数f (x)=-x2-ax-5,x≤1,ax,x>1是R上的增函数,则a的取值范围为 .
(2)[2016天津高考]已知f (x)是定义在R上的偶函数,且在区间( - ∞,0)上单调递增.若实数a满足f (2|a - 1|)>f ( - 2),则a的取值范围是 .
考法3 求函数的最值(值域)
6已知函数f (x)=x2,x≤1,x+6x-6,x>1,则f (x)的最小值是 .
结合已知分段函数,先分别由二次函数的性质和基本不等式求得各段的最小值,再进行比较即可得出结论.
(利用单调性和基本不等式求解)因为y=x2在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,所以当x≤1时, f (x)min=f (0)=0. (用单调性法求最值)
当x>1时,y=x+6x≥26,当且仅当x=6时,等号成立,此时f (x)min=26 - 6.(用基本不等式法求最值)
又26 - 6<0,(比较每段上的最值)
所以f (x)min=26 - 6.
求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值.
7若x∈[ - π6,2π3],则函数y=4sin2x - 12sin x - 1的最大值为 ,最小值为 .
令t=sin x,确定t的取值范围转化为关于t的二次函数利用单调性法求解二次函数的最值
(换元法)令t=sin x,因为x∈[ - π6,2π3],
所以t∈[ - 12,1],(注意新元的取值范围)
所以y=f (t)=4t2 - 12t - 1.
因为该二次函数的图象开口向上,且对称轴为直线t=32,所以当t∈[ - 12,1]时,函数f (t)单调递减,
所以当t= - 12时,ymax=6;当t=1时,ymin= - 9.
8求下列函数的值域:
(1)y=1-sinx2-cosx; (2)y=-x2-6x-5;
(3)y=x+1-x2; (4)y=3x-52x+1;
(5)y=x2+4x+1x2+1; (6)y=x2-1x2+1.
根据函数解析式的特征选择适合的方法求值域.
(1)(图象法)设动点M(cos x,sin x),定点P(2,1),则y=1-sinx2-cosx的几何意义是直线PM的斜率.而动点M在单位圆x2+y2=1上.如图2 - 2 - 1,当直线PM和圆相切时斜率取得最值,kM1P=0,kM2P=43.所以函数的值域为[0,43].
图2 - 2 - 1
(2)(配方法)因为y=-x2-6x-5=-(x+3)2+4≤4=2,y≥0, 所以y=-x2-6x-5的值域为[0,2].
(3)(三角换元法)因为1 - x2≥0,所以 - 1≤x≤1,所以可设x=cos α,α∈[0,π],
则y=cos α+sin α=2sin (α+π4).
因为α∈[0,π],
所以α+π4∈[π4,5π4],
所以sin(α+π4)∈[ - 22,1],
所以2sin(α+π4)∈[ - 1,2],
所以原函数的值域为[ - 1,2].
(4)(分离常数法)y=3x-52x+1=32(2x+1)-1322x+1=32-1322x+1≠32,
所以所求函数的值域为{y| y∈R且y≠32}.
(5)(判别式法)由原函数整理得(1 - y)x2+4x+1 - y=0.
当1 - y=0,即y=1时,x=0;
当1 - y≠0,即y≠1时,Δ=16 - 4(1 - y)2≥0,即(1 - y)2≤4,
解得 - 1≤y≤3,所以 - 1≤y≤3且y≠1.(要注意对二次项系数1 - y进行讨论)
综上,所求函数的值域为[ - 1,3].
(6)(有界性法)由y=x2-1x2+1,可得x2=1+y1-y,且y<1. (结合完全平方式非负的性质来转化)
由x2≥0,知1+y1-y≥0,解得 - 1≤y<1,故所求函数y=x2-1x2+1的值域为[ - 1,1).
2.(1)[2019郑州市第二次质量预测]高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[ - 2.1]= - 3,[3.1]=3.已知函数f (x)=
2x+31+2x+1,则函数y=[f (x)]的值域为( )
A.(12,3) B.(0,2] C.{0,1,2} D.{0,1,2,3}
(2)已知函数f (x)=sin πx22x-1+2-x+1(x>0),则函数f (x)的最大值是 .
考法4 判断函数的奇偶性
9判断下列各函数的奇偶性:
(1)f (x)=(x - 1)1+x1-x; (2)f (x)=lg(1-x2)|x2-2|-2;
(3)f (x)=x2+x(x<0),0(x=0),-x2+x(x>0).
求函数的定义域判断定义域是否关于原点对称判断f ( - x)与f (x)的关系 下结论
(1)由1+x1-x≥0得函数的定义域为[ - 1,1),不关于原点对称,所以f (x)为非奇非偶函数.
(2)由1-x2>0,|x2-2|-2≠0 得函数的定义域为( - 1,0)∪(0,1),
f (x)=lg(1-x2)-(x2-2)-2= - lg(1-x2)x2.
所以f ( - x)= - lg[1-(-x)2](-x)2= - lg(1-x2)x2=f (x),
所以f (x)为偶函数.
(3)当x<0时, - x>0,则f ( - x)= - ( - x)2 - x= - (x2+x)= - f (x);
当x>0时, - x<0,则f ( - x)=( - x)2 - x= - ( - x2+x)= - f (x).
又f (0)=0,故对任意的x∈( - ∞,+∞),都有f ( - x)= - f (x), (只有当所有区间上都满足相同关系时,才能判定其奇偶性)
所以f (x)为奇函数.
3.设函数f (x),g(x)的定义域都为R,且 f (x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的( )
A. f (x)g(x)是偶函数 B. f (x)|g(x)|是奇函数
C.|f (x)|g(x)是奇函数 D.|f (x)g(x)|是奇函数
考法5 函数奇偶性的应用
10(1)[2020湖北部分重点中学高三测试]已知函数f (x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f (x)=log2( - x)+m,f (12)=2,则实数m=
A.22 B. - 22 C.2+1 D. - 2+1
(2)已知函数f (x)为奇函数且定义域为R,当x>0时,f (x)=x+1,则f (x)的解析式为 .
(1)解法一 令x>0,则 - x<0,所以f ( - x)=log2x+m,因为f (x)是R上的奇函数,所以f ( - x)= - f (x),
所以x>0时,f (x)= - f ( - x)= - log2x - m,因为f (12)=2,所以2= - log212 - m,解得m= - 2+1,故选D.
解法二 因为f (x)是R上的奇函数,f (12)=2,所以f ( - 12)= - 2,因为当x<0时,f (x)=log2( - x)+m,
所以 - 2=log2[ - ( - 12)]+m,所以m= - 2+1,故选D.
(2)因为f (x)为奇函数,所以f ( - x)= - f (x).
当x=0时,有f ( - 0)= - f (0),所以f (0)=0.
当x<0时, - x>0.f (x)= - f ( - x)= - ( - x+1)=x - 1.
所以f (x)=x+1,x>0,0,x=0,x-1,x<0.
4.[2020陕西省部分学校摸底测试]若函数f (x),g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且满足f (x)+2g(x)=ex,则( )
A.f ( - 2)12时,
f (x+12)=f (x - 12).则f (6)=( )
A. - 2 B. - 1 C.0 D.2
考法7 函数性质的综合应用
12 (1)[2019全国卷Ⅲ]设f (x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则
A.f (log314)>f (2-32)>f (2-23) B.f (log314)>f (2-23)>f (2-32)
C.f (2-32)>f (2-23)>f (log314) D.f (2-23)>f (2-32)>f (log314)
(2)[2018全国卷Ⅱ]已知f (x)是定义域为( - ∞,+∞)的奇函数,满足f (1 - x)=f (1+x).若f (1)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=
A. - 50 B.0 C.2 D.50
(1)根据函数f (x)为偶函数可知,f (log314)=f ( - log34)=f (log34),∵ 0<2-32<2-23< 20f (2-23)>f (log314).
(2)解法一 ∵ f (x)是定义域为( - ∞,+∞)的奇函数,
∴f ( - x)= - f (x),且f (0)=0.∵ f (1 - x)=f (1+x),
∴f ( - x)=f (2+x),∴f (2+x)= - f (x),∴f (4+x)= - f (2+x)=f (x),∴f (x)是周期函数,且一个周期为4,∴f (4)=f (0)=0,f (2)=f (1+1)=f (1 - 1)=
f (0)=0,f (3)=f (1+2)=f (1 - 2)= - f (1)= - 2,∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+…+f (50)=12×0+f (49)+f (50)=f (1)+f (2)=2.
解法二 因为函数f (x)满足f (1 - x)=f (1+x),可知f (x)的图象关于直线x=1对称.
又f (x)是定义域为( - ∞,+∞)的奇函数,所以f (0)=0,且已知f (1)=2,计算可得:
f (2)=f (0)=0,
f (3)=f ( - 1)= - f (1)= - 2,
f (4)=f ( - 2)= - f (2)=0,
f (5)=f ( - 3)= - f (3)=2,
f (6)=f ( - 4)= - f (4)=0,
f (7)=f ( - 5)= - f (5)= - 2,
f (8)=f ( - 6)= - f (6)=0,……
所以f (1)+f (2)+f (3)+…+f (49)+f (50)=(2+0 - 2+0)×12+2+0=2.
(1)C (2)C
6.已知定义在R上的函数f (x),对任意实数x有f (x+4)= - f (x)+22,若函数f (x - 1)的图象关于直线x=1对称,f (5)=2,则f (2 021)= .
1.B 对于(1),函数的单调区间和函数在区间上单调是不同的,故(1)错误;对于(2),对任意x1,x2∈D(x1≠x2),(x1 - x2)[f (x1) - f (x2)]>0⇔x1>x2,f(x1)>f(x2)或x10时,y=xα在(0,+∞)上单调递增,当α<0时,y=xα在(0,+∞)上单调递减,所以选项A不符合题意,选项D符合;对于指数函数y=ax(a>0且a≠1),当01时,y=ax在( - ∞,+∞)上单调递增,而选项B中的函数y=2 - x可转化为y=(12)x,因此函数y=2 - x在(0,+∞)上单调递减,故选项B符合题意;对于对数函数y=logax(a>0且a≠1),当01时,y=logax在(0,+∞)上单调递增,因此选项C中的函数y=log12x在(0,+∞)上单调递减,故选项C符合题意.故选BCD.
3.D 解法一 依题意得,当x<0时,f (x)= - f ( - x)= - (e - x - 1)= - e - x+1,选D.
解法二 依题意得,f ( - 1)= - f (1)= - (e1 - 1)=1 - e,结合选项知,选D.
4.C 易知f (x)在( - ∞,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递增,因为f (1)=4,f (17)=4,所以a的取值范围为[1,17].
5.( - 1,0)∪(1,2) 函数f (x)的定义域为(0,+∞),且y=x3与y=ln x在(0,+∞)上都是增函数,故f (x)=x3+ln x在定义域内为增函数,则0f ( - 2),且f ( - 2)=f (2),所以 - 2<2|a - 1|<2,则|a - 1|<12,所以120,所以0<11+2x+1<1,所以12<12+52(1+2x+1)<3,即120,f ( - 3)=e-3+e32>0,g( - 1)=e-1-e4<0.因为f ( - 3) - f ( - 2)=e-3+e32 - e-2+e22=(e-1)(e2-e-3)2>0,所以g( - 1)<
f ( - 2)12时,f (x+1)=f (x),所以f (6)=f (5×1+1)=f (1).因为当 - 1≤x≤1时,f ( - x)= - f (x),所以f (1)= - f ( - 1)= - [( - 1)3 - 1]=2,所以
f (6)=2,故选D.
6.2 由函数y=f (x - 1)的图象关于直线x=1对称可知,函数f (x)的图象关于y轴对称,故f (x)为偶函数.
由f (x+4)= - f (x)+22,得f (x+4+4)= - f (x+4)+22=f (x),所以f (x)是最小正周期为8的偶函数,
所以f (2 021)=f (5+252×8)=f (5)=2.
