中考华师版数学八年级上册教材小复习配套全册

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数学·人教版（RJ） 第十一章 复习 第十一章 |复习 知识归纳 数学·人教版（RJ） 平方根 算术平方根 立方根 定 义 如果一个数的　 　等于a，那 么这个数叫做a 的平方根 正数a的　 　，叫 做a的算术平方根； 0的算术平方根是　 　，即 ＝0 如果一个数的　 　等于a，那么 这个数叫做a的立 方根 表 示 　 　(a≥0) 　　 (a≥0) 　　 1．平方根、算术平方根、立方根 0 正的平方根 平方 立方 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 性 质 一个正数有　 　个平方根， 它们互为　 　；0的 平方根是　　； 负数　没有　平 方根 一个正数有　　个 算术平方根；0的 算术平方根是　　 正数有一个　　 的立方根； 负数有一个　 　的立方根； 0的立方根是　0　 两 相反数 0 一 0 正 负 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 联 系 平方根与算术平方根：(1)具有包含关系：平方 根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种； (2)存在条件相同：平方根和算术平方根都只有　　 才有；(3)0的平方根、算术平方根均为　 　. 平方根与立方根：(1)都与相应的乘方运算互为　 　运算；(2)都可归结为非负数的非负方根来研 究．平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立 方根也可通过转化为正数的立方根来研究，即 ＝　　 ；(3)0的平方根和立方根都是　0　 非负数 0 逆 － 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 2.开平方与开立方 求一个非负数a的　 　的运算，叫做开平方．其 中a叫做　 　. 求一个数a的　 　的运算，叫做开立方．其中a 叫做　 　. 开平方与　 　、开立方与　 　都分别互为逆运 算． [点拨] (1)求正数的平方根时，往往先求出其算术 平方根，再在求出的数前面加上“±”号；(2)根据平 方(立方)运算与开平方(开立方)运算互为逆运算的关 系，我们可以通过平方(立方)运算来求一个数的平方 根(立方根)． 平方根 被开方数 立方根 被开方数 平方 立方 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 3．算术平方根的双重非负性 算术平方根有一个非常重要的性质，就是它的双重非负性，即： (1)被开方数a　　0；(2) 　　0. [点拨] 算术平方根的符号“ ”不仅是一个运算符号(对被 开方数实施开平方运算)，另一方面也是一个性质符号，即表示 非负数a的正的平方根． ≥ ≥ 4．无理数、实数 　　 叫做无理数． 　　 和　 　统称为实数． 无限不循环小数 有理数 无理数 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 实数的分类：按定义分： 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 按大小分： [点拨] 有理数都可以化为　有限小数　或　无限循环小数 　. 5．实数的有关名词 实数和数轴上的点是　 　的． 实数a的相反数是　 　；实数a的绝对值可以表示为　　， 正数的绝对值等于　 　，负数的绝对值等于　 　， 0的绝对值是　 　；　 　没有倒数，非零实数a的倒数是　 　. 一一对应 －a 它本身 它的相反数 0 0 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 如果实数a、b互为相反数，那么a＋b＝　　；如果实数a、b互为 倒数，那么ab＝　　. 互为相反数的两个数的绝对值 　　， 即 　　 . 6．实数的大小比较 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数　　. 正数　 　零，零　 　负数，正数　 　一切负数，两个负 数比较，绝对值大的　 　. 7．实数的运算 在实数范围内，可进行　 　六种运 算，且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍成立． 实数混合运算的运算顺序：先算　　 ，再算　 　，最后算　 　；同级运算按　 　的顺序进行，有括号时，要先算 　 　的． [注意] 在进行实数的运算时，一定要严格按照有关法则、运算 律和运算顺序进行． 0 1 相等 ＝ 大 大于 大于 大于 反而小 加、减、乘、除、乘方、开方 乘方 乘除 加减 从左到右 括号内 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 8．非负数 定义：　 　统称为非负数． 我们已经学过的非负数有如下三种形式： (1)任何一个实数a的　 　是非负数，即 ≥0； (2)任何一个实数a的　 　是非负数，即 ≥0； (3)任何一个非负数a的　 　是非负数，即 ≥0. 非负数有以下性质： (1)非负数有最小值零； (2)非负数之和仍然是非负数； (3)几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 正数和零 绝对值 偶次方 算术平方根 第十一章 |复习 考点攻略 数学·人教版（RJ） 考点一　平方根、算术平方根 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） A 易错警示 正数有两个平方根，有一个正的算术平方根，要审清题 意，并注意书写的正确及规范． 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 例3　(1)64的立方根是(　　) A．4　　B．－4　　C．8　　D．－8 A －2 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 考点三　平方根与立方根的应用 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 考点四　无理数、实数 D　 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 如图11－1，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上， 以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点， 则这个点表示的实数是(　　) 图11－1 D 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 考点五　实数的大小比较 A 1或2 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 考点六　实数的运算 方法技巧 在进行实数的综合运算时，要搞清运算种类、确定运 算顺序、认真细心运算，如果能用运算律时莫忘用运算律简 化计算． 第十一章 |复习 试卷讲练 数学·人教版（RJ） 考查 意图 　数的开方是《课程标准》中数与式的重要组成部分， 在各类考试及中考中均占一定比重，主要考查平方根、 算术平方根的理解及实数的性质与运算，多以填空题、 选择题为主．本卷主要考查平方根、算术平方根、立方 根、无理数的概念及性质、实数的性质与运算，重点考 查算术平方根、实数的性质． 难易 度 易 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,14,15,17,18, 19,20 中 9,10,14,16,21,22 难 23,24 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 知 识 与 技 能 平方根与算术平方根 1,3,5,8,9,10,11,1 4,19,20,22,24 立方根的概念和性质 4,19,21 实数与无理数的概念 2,6,12 实数的性质 7,15,16,17 实数的运算和应用 13,18,23 思想方法 数形结合 7,16,23 亮点 　24题属于开放探究问题，让学生感受解决 问题方法的多样性，激发学生的学习兴趣； 7,16,23题属于数形结合思想的渗透，让学生 感觉到数学方法的直观性和多样性. 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 针对第2题训练 D 针对第6题训练 B 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 针对第7题训练 C 针对第9题训练 D 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 针对第16题训练 C 针对第24题训练 111111111 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 数学·人教版（RJ） 第十二章 复习（一） 第十二章 |复习（一） 知识归纳 数学·人教版（RJ） 不变 相加 不变 相乘 乘方 相乘 1．幂的运算法则 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 相加 相乘 乘方 相减 底数 指数 不变 相减 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 　[注意] (1)其中的a、b代表的不仅可以是单独的数、单 独的字母，还可以是一个任意的代数式；(2)这几个法则容 易混淆，计算时必须先搞清楚该不该用法则、该用哪个法 则． 2．整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的　 　、　 　 分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的 指数一起作为积的一个　 　. 单项式与多项式相乘，用　　 和　　 的每一项分 别相乘，再把所得的积　 　. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的　 　与另 一个多项式的　 　相乘，再把所得的积　 　. 系数 相同字母的幂 因式 单项式 多项式 相加 每一项 每一项 相加 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 3．乘法公式 公式名称 两数和乘以这两数的差 两数和(差)的平方 文字表示 两数和与这两数的差的 积，等于这两数的平方 差 两数和(差)的平方，等 于这两数的　 　加 上(减去)　 　的 2倍 平方和 这两数积 式子表示 (a＋b)(a－b)＝　　 (a±b)2＝　　 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 结构特 点 ①左边是两个　　项式相 乘，这两个二项式中有一 项　 　，另一项　 　； ②右边 是　　项式，是乘式中两 项的　 　，即相同项 的平方与相反项的平方的 差 ①左边是一个　　项式的和 (或差)的　 　；②右边 是　　项式，是左边二项式 中两项的　 　，再　 　(或减去)它们　　的2 倍 顺口溜 和差积，平方差 首平方，尾平方，首尾　 　倍中间放，加减看前 方，同加异减 二 完全相同 互为相反数 二 平方差 二 平方 三 平方和 加上 积 两 第十一章 |复习 数学·人教版（RJ） 公式的常 用变形 　 a2＝　 　(a－b)＋b2； b2＝　　－(a＋b)(a－b) a2＋b2＝(a＋b)2－　　 或(a－b)2＋　 　； (a＋b)2＝(a－b)2＋　 (a＋b) 2ab 2ab 4ab [点拨] (1)乘法公式实际上是一种特殊形式的多项式的乘法 ，公式的主要作用是简化运算；(2)公式中的字母可以表示数 ，也可以表示其他单项式或多项式． 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 4．整式的除法 (1)单项式除以单项式 单项式相除，把　 　、　 　分别相除作为商 的　 　，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数 一起作为商的一个　 　. (2)多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个　 　，再把所得的商　 　. [点拨] 多项式除以单项式实质上是用计算法则转化为单项式 除以单项式． 系数 同底数幂 因式 因式 单项式 相加 第十二章 |复习（一） 考点攻略 数学·人教版（RJ） 考点一　同底数幂的乘法 D 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 考点二　幂的乘方 B 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 考点三　积的乘方 D 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 考点四　同底数幂的除法 例4　下列运算正确的是(　　) A．a6÷a2＝a6÷2＝a3 B．x3÷x2＝x3－2＝x C．(－a)2×a3÷a3＝a2×(a3÷a3)＝a2 D．(－0.25)2012×42013＝－4×(0.25×4)2012＝－4 B [解析] B　选项A中误把指数相减当作指数相除；选项B用了同 底数幂的运算法则，正确；选项C运算顺序不对；选项D逆用了积 的乘方法则，但符号弄错了． 易错警示 (1)要牢记幂的运算性质，相关知识不要混淆； (2)混合运算要按从高级到低级、同级运算从左到右的顺序进 行． 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 考点五　整式的乘法 当x＝－7时，求代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值． 多项式乘以多项式可以转化为多项式乘以单项式，进而再转 化为单项式乘以单项式． 用整体思想解题，有时可以大大地简化计算过程． 方法技巧 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 考点六　两数和乘以这两数的差 计算：(x＋y)2－(x－y)2. 分清题中哪些数或式可以看作公式中的a、b，对号入座，然后 直接套用公式． 方法技巧、易错警示 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 考点七　两数和(差)的平方 例7　计算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5) 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 考点八　整式的除法 例9　先化简，再求值： 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） (1)计算时不要漏掉商为1的项； (2)多项式除以单项式所得商的项数与原多项式的项 数相同，商的各项符号由原多项式的各项符号与单项 式符号确定，即“同号相除得正，异号相除得负”． 易错警示 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 第十二章 |复习（一） 试卷讲练 数学·人教版（RJ） 考 查 意 图 整式的乘除是《课程标准》中数与式的重要组成部分，是 整式的加减的延续，也是分式运算的基础，在各类考试及 中考当中均占相当比重，多以填空题、选择题为命题形 式．本卷主要考查幂的运算性质、整式的乘除法及整式的 乘法公式，重点考查幂的运算性质及整式的乘法公式的灵 活运用． 难 易 度 易 1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15,19,20 中 10,16,18,21,22,23 难 17,24 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 知 识 与 技 能 幂的运算性质 1,3,4,5,11 整式的乘法 6,10,12,15,19(2)(3)，20,21 整式的除法 2,16,19(1)(4)，22 乘法公式 7,8,9,13,14,17,18,23,24 思想 方法 数形结合思想 10,15,18,24 整体思想 13,23 亮点 10,15,18,24题都运用到数形结合思想，利用图形变换 求图形面积或周长；23题考查灵活运用整式的乘法公 式进行简便运算的能力. 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 针对第5题训练 A B 第十二章 |复习（一） B 针对第10题训练 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 针对第16题训练 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 针对第23题训练 第十二章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 针对第24题训练 数学·人教版（RJ） 第十二章 复习（二） 第十二章 |复习（二） 知识归纳 数学·人教版（RJ） 1．因式分解的意义 把一个多项式化成几个整式的　　的形式，叫做多项式的因 式分解． 因式分解的过程和　 　的过程正好相反． 2．用提公因式法分解因式 公因式的确定：公因式的系数应取多项式各项整数系数的　 　；字母取多项式各项　 　的字母；各字母指数取次数最　　 的． 一般地，如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因 式提到　 　外面，将多项式写成　 　的形式，这种 分解因式的方法叫做提公因式法． [注意] 提公因式法是因式分解的首选方法，在因式分解时先 要考虑多项式的各项有无公因式． 积 整式乘法 最大公约数 相同 低 括号 因式乘积 第十二章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 3．用公式法分解因式 把　 　反过来，可以把符合公式特点的多项式分解 因式，这种分解因式的方法叫做公式法．这两个公式是： (1)逆用平方差公式 ＝　 　； (2)逆用两数和(差)的平方公式 [点拨] 这里的两个公式是用来分解因式的，与乘法公式刚 好左右互换．运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的 项数、次数、系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条 件．公式中的字母可表示数、字母、单项式或多项式，只有 符合公式的特征时才能运用公式． 乘法公式 (a＋b)(a－b) ＝ 。 第十二章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 4．因式分解的步骤 (1)如果多项式的各项有公因式，那么先　 　； (2)在各项提出公因式后或各项没有公因式的情况下，观察 多项式的次数：二项式可以尝试运用　 　公式分解因式； 三项式可以尝试运用　 　公式分解因式； (3)分解因式必须分解到每一个因式在指定的范围内都不能　 　为止． 5．图形面积与代数恒等式 很多代数恒等式(如平方差公式、两数和(差)的平方公式等) 都可以用平面几何图形的　 　来说明其正确性，方法是把 图形的面积用不同的方式表示，根据列出的代数式　 　，然 后得到代数恒等式． 提取公因式 平方差 两数和(差)的 再分解 面积 相等 第十二章 |复习（二） 考点攻略 数学·人教版（RJ） 考点一　因式分解 B 第十二章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） [解析] B　选项A可以用平方差公式分解，结果是(2＋ x)·(2－x)，故A错；选项B用两数和(差)的平方公式分解， 结果正确；选项C提取公因式后还能继续分解；选项D考查的 是因式分解的意义，即把多项式分解成几个整式乘积的形式 ，但右边括号里不全是整式，故D错． 第十二章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 第十二章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 考点二　图形面积与代数恒等式 例3　有若干张如图12－3所示的正方形和长方形卡片，如果要 拼一个长为(2a＋b)，宽为(a＋b)的长方形，则需要A类卡片 ________张，B类卡片________张，C类卡片________张，请你 在图12－4的大长方形中画出一种拼法． 图12－3 图12－4 2 1 3 第十二章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 第十二章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 方法技巧 由几何图形得到代数恒等式时，需要用不同的方法表示几 何图形的面积，然后得出代数恒等式；由代数恒等式画图时，关 键在于合理拼接，往往是相等的边拼到一起． 考点三　因式分解的应用 第十二章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 第十二章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 第十二章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 第十二章 |复习（二） 试卷讲练 数学·人教版（RJ） 考 查 意 图 整式的乘除是《课程标准》中数与式的重要组成部分，是 整式的加减的延续，是分式运算的基础，乘法公式的应用 是本章的一个重点，因式分解又是本章的一个难点，在各 类考试及中考中均占相当比重，多以填空题、选择题为命 题形式．本卷主要考查幂的运算性质、整式的乘除法、整 式的乘法公式及因式分解，重点考查整式的乘法公式和对 因式分解的灵活运用． 难 易 度 易 1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,17,18,19,20,23 中 10,15,16,21,22 难 24 第十二章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 知 识 与 技 能 幂的运算 1,4,12,14 整式的乘法 6,9,17(1)(2)，20,22 整式的乘法公式 3,5,13,15,19,24 因式分解 8,11,16,17(3)(4)，21 思想 方法 整体思想 15 数形结合思想 10 分类讨论思想 13 亮点 10题运用图形面积之间的关系求代数恒等式，体现了 数形结合思想. 第十二章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 针对第1题训练 D C 第十二章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 针对第13题训练 针对第24题训练 王刚的爸爸将现金x元存入银行1年，年利率为a，到期后他又连本 带利存入该银行，形式又是1年期，但年利率调整为b，那么一年 后，王刚的爸爸所获得本息总和是多少呢？ 数学·人教版（RJ） 阶段综合测试一（月考） 阶段综合测试一（月考） 试卷讲练 数学·人教版（RJ） 考 查 意 图 本卷考查数的开方和整式乘除，本卷是学习中的阶段测试， 考查知识点全面，重点考查平方根和立方根的概念及性质、 幂的运算、整式的乘法、整式的除法、乘法公式、因式分 解等重要内容，其中因式分解是难点，本卷难度适中． 难 易 度 易 1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15,17,18,19 中 10,16,20,21,22 难 23,24 阶段综合测试一（月考） 数学·人教版（RJ） 知 识 与 技 能 平方根和立方根 1,13,17(1)，19,22 实数 2,8,9,11,23 幂的运算 3 整式的乘法 10,16,17(2)(3)，20 整式的除法 17(4) 整式的乘法公式 9,14,21,24 因式分解 4,6,7,15,18 思想 方法 数形结合思想 10,16 亮点 22,24题结合学生的生活实际，让学生感觉到数学就在身 边. 阶段综合测试一（月考） 数学·人教版（RJ） 针对第2题训练 下列说法正确的是(　　) A．有理数都是有限小数 B．无理数都是无限小数 C．无限小数都是无理数 D．带根号的数一定是无理数 B 针对第8题训练 阶段综合测试一（月考） 数学·人教版（RJ） 针对第21题训练 C 3 13 数学·人教版（RJ） 第十三章 复习（一） 第十三章 |复习（一） 知识归纳 数学·人教版（RJ） 1．命题 判断某一件事情的语句叫做　 　. 注意两点“判断”和“语句”．所谓判断就是要作出肯定或否 定的回答，一般形式：“如果……，那么……”“若……， 则……”“……是……”等，但是，如“连结A、B两点”就不 是命题；所谓语句，要求完整，且是陈述句，不是疑问句、祈 使句等，如“如果两直线平行”叙述不完整，也不是命题． 2．命题的组成 每个命题都是由　 　和　 　两部分组成的． 条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般 写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是 条件，“那么”引出的部分是结论． 命题 条件 结论 第十三章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 3．命题的真假 命题有真有假，其中正确的命题叫做　 　；错误的命题 叫做　 　. 事实上，要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子， 使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反 例．要说明一个命题是真命题需根据基本事实和定理证明． 4．基本事实与定理 经过长期的实践总结出来，并把它们作为判断其他的命题真 假的原始依据，这样的真命题叫做　 　. 从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们 是正确的，并可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样 的真命题叫做　 　. 真命题 假命题 基本事实 定理 第十三章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 5．判定三角形全等 主要有五种方法：(1)全等三角形的定义：三边对应 相等，三角对应相等的两个三角形　 　；(2)三边 对应相等的两个三角形　 　(简记为：S.S.S.)；(3) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形　 　(简记 为：A.S.A.)；(4)两角和其中一角的对边对应相等的两 个三角形全等(简记为：A.A.S.)；(5)两边和它们的夹 角对应相等的两个三角形全等(简记为：S.A.S.)．若是 直角三角形，则除了上述五种方法外，还有一种方法： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简 记为：H.L.)． 全等 全等 全等 第十三章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 6．证全等三角形的思路 第十三章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 7．全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边相等，对应角相等；(2)全等三角 形的面积相等，周长相等；(3)全等三角形的对应线段(高线、 中线、角平分线)相等． 第十三章 |复习（一） 考点攻略 数学·人教版（RJ） 考点一　判断命题真假 C 第十三章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 第十三章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 考点二　判定全等三角形 如图13－1，点A、E、F、D在同一直线上，AB∥CD，AB＝CD，AE ＝DF，则图中有若干对全等三角形，请你任选一对证明． 图13－1 [解析] 由题意知，图中有三对全等三 角形：△ABE≌△DCF，△ABF≌DCE， △BEF≌△CFE.可以选择其中任一对进行 证明． 解：△ABF≌DCE. 证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D. ∵AE＝DF，∴AE＋EF＝DF＋EF， 即AF＝DF. ∵AB＝CD，∴△ABF≌△DCE.(S.A.S.) 先确定一对全等的三角形，然后证明，注意与找出图中的所有全 等三角形问题的区别． 方法技巧 第十三章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 考点三　全等三角形的性质 如图13－2，AC与BD相交于点E，AD＝BC，∠D＝∠C，试说明AC 与BD相等的理由． 图13－2 第十三章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） [解析] 先根据“角角边”说明△AED≌△BEC，再根据全 等三角形的对应边相等，说明AC＝BD. 解：在△AED和△BEC中，∵∠AED＝∠BEC，∠D＝∠C， AD＝BC， ∴△AED≌△BEC(A.A.S.)，∴AE＝BE，DE＝CE，∴AE＋ EC＝BE＋ED，即AC＝BD. 易错提示：本题易错解为：在△ABD和△BAC中，∵AD＝ BC，AB＝BA，∠D＝∠C， ∴△ABD≌△BAC(S.S.A.)，∴AC＝BD. 错解错在说明两个三角形全等时，利用了两边和一边的 对角对应相等，实际上，我们只学习了 “S.S.S.”“S.A.S.”“A.S.A.”“A.A.S.”“H.L.”的 判定方法，并没有“S.S.A.”这样的判定方法． 第十三章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 考点四　全等三角形的条件开放 如图13－3所示，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，请你添加一个适当 的条件________，使△ABC≌△DBE.(只需添加一个条件即可) 图13－3 答案不唯一，∠BDE ＝∠BAC或BE＝BC或 ∠ACB＝∠DEB等(写 出一个即可) 第十三章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） [解析] 根据∠ABD＝∠CBE可以得到∠ABC＝ ∠DBE，然后根据“A.S.A.”或“S.A.S.”或“A.A.S.” 写出第三个条件即可．若用“A.S.A.”，则需添加 ∠BDE＝∠BAC；若用“S.A.S.”，则需添加BE＝BC；若 用“A.A.S.”，需添加∠ACB＝∠DEB. 方法技巧 根据全等三角形不同的判定方法，可以选择添加 不同的条件，但需要注意，不能使添加的条件符合“边 边角”，这也是本题容易出错的地方． 第十三章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 考点五　全等三角形的实际应用 小明想设计一种方案，测一下沼泽地的宽度AB的长度，如图 13－4所示，他在AB的垂线BM上分别取出C、D两点，使CD＝BC ，再过D点作出BM的垂线DN，并在DN上找一点E，使A、C、E三 点共线，这时所测得DE的长就是这块沼泽地的宽AB的长度， 你能说明理由吗？ 图13－4 第十三章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 解：在△ABC和△EDC中，∠ABC＝∠EDC＝90°， ∠ACB＝∠ECD，BC＝DC，根据“角边角”的判定定理 可以判定△ABC≌△EDC，再由全等三角形的对应边相等， 可得AB＝DE. 方法技巧 利用全等测不能直接到达的地方的宽度，通常是 把它作为三角形的一边，而选择能到达的地方作为与它 对应的全等三角形的另一边，设计方案，解决问题． 第十三章 |复习（一） 试卷讲练 数学·人教版（RJ） 考 查 意 图 命题和全等三角形是初中数学的重点内容，因此，它们也 是中考的热点，命题部分常以客观题的形式出现，而全等 三角形的判定和性质，既有客观题又有综合题的形式出现， 难度一般是中等． 难 易 度 易 1,2,3,4,5,6,7,11,12,13,14,15,19,20,22 中 8,9,10,17,18 难 16,21,23,24 第十三章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 知 识 与 技 能 命题 1,2,11,12,13 全等的判定 3,4,5,8,9,15,22 全等的性质 10,14,21,23 思想 方法 分类的思想 15,24 转化的思想 21,23 亮点 本套试题考查的知识点非常多，把本章的前两节的所 有知识点都考查到了，同时，注意了对全等实际应用 的考查，比如第22题等. 第十三章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 针对第1题训练 下列语句中，不是命题的是(　　) A．一条直线截两条平行线，所得的同位角相等 B．如果ab＝0，那么a＝0 C．直角三角形的两锐角和大于180° D．连结两点A、B D 针对第3题训练 如图13－5，△ABD和△CBD都是等边三角形，AC与BD交于O，图 中全等三角形的对数有(　　) 图13－5 A．2对 B．4对 C．6对 D．8对 D 第十三章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 针对第19题训练 把下面的命题写成“如果……，那么……”的形式，并判断 其真假． (1)三角形的一个外角大于三角形的每一个内角； (2)大于90°的角是钝角． [解析] (1)是假命题，钝角三角形中钝角的外角是锐角小于这 个角． (2)是假命题，因为平角为180°，大于90°，但平角不是钝 角． 解：(1)如果一个角是三角形的外角，那么这个角大于三角形 的每一个内角；假命题． (2)如果有一个角大于90°，那么这个角是钝角；假命题． 第十三章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 针对第23题训练 如图13－6，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，BE＝CD，求 证：AB＝AC. 图13－6 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BDC＝∠CEB＝90°. 又BE＝CD，BC＝CB， ∴Rt△BCD≌Rt△CBE(H.L.)， ∴∠BCD＝∠CBE，∴AB＝AC. 第十三章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 针对第24题训练 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且 AD⊥MN于D，BE⊥MN于E. (1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE； (2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，(1)中的结论还 成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 图13－7 第十三章 |复习（一） 数学·人教版（RJ） 解：(1)证明： ①∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠BCE＝90°. ∵∠DAC＋∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE. 又AC＝BC，∠ADC＝ ∠CEB＝90°， ∴△ADC≌△CEB. ②∵△ADC≌△CEB， ∴CD＝BE，AD＝CE. ∴DE＝CE＋CD＝AD＋BE. (2)△ADC≌△CEB成立；DE ＝AD＋BE不成立，此时应 有DE＝AD－BE. 证明：∵∠ACD＋∠BCE＝ 90°，∠DAC＋∠ACD＝ 90°， ∴∠DAC＝∠BCE. 又AC＝BC，∠ADC＝∠CEB ＝90°， ∴△ADC≌△CEB. ∴CD＝BE，AD＝CE. ∴DE＝AD－BE. 数学·人教版（RJ） 阶段综合测试二（期中一） 阶段综合测试二（期中一） 试卷讲练 数学·人教版（RJ） 考 查 意 图 本卷将实数、整式的乘除、全等三角形等知识融入相关试 题及实际生活素材中，进一步复习与巩固、训练学生运用 知识分析问题和解决问题的能力，注重数学在实际生活中 的应用． 难 易 度 易 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,14,17,18,19 中 9,10,15,16,20,21,22 难 23,24 阶段综合测试二（期中一） 数学·人教版（RJ） 知识 与技 能 数的开方 1,9,11,12,17(1)，20,22 整式的乘除 3,4,8,10,13,16,17(2)，18,19 全等三角形 2,5,6,14,15,21,23,24 思想 方法 方程思想 12,20,22 数形结合 9,15 亮点 本套试题注重学生计算能力的考查，如涉及实数、平方 根、立方根及整式的乘法问题等；注重分析思维能力的 考查，如23题和24题；21题把实际问题、阅读问题转化 为全等三角形问题考查，是一个比较新颖的题目. 阶段综合测试二（期中一） 数学·人教版（RJ） 针对第16题训练 阶段综合测试二（期中一） 数学·人教版（RJ） 针对第24题训练 如图JD2－1，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD，试说明 AB与BE的数量关系． 图JD2－1 解：∵∠1＝∠2， ∴∠ABD＝∠EBC. 又∵∠3＝∠4, EC＝AD， ∴△ABD≌△EBC， ∴AB＝BE. 数学·人教版（RJ） 阶段综合测试三（期中二） 阶段综合测试三（期中二） 试卷讲练 数学·人教版（RJ） 考 查 意 图 本卷将实数、整式的乘除、全等三角形等知识融入相关试 题及实际生活素材中，进一步提高学生运用知识分析问题 和解决问题的能力，本卷注重考查数学在实际生活中的应 用． 难 易 度 易 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,14,17,18,19 中 9,10,15,16,20,21,22 难 23,24 阶段综合测试三（期中二） 数学·人教版（RJ） 知识 与技 能 数的开方 1,2,6,17， 整式的乘除 3,5,7,8,12,13,14,16,18,19,21,23 全等三角形 4,9,10,15,20,22,24 思想 方法 整体思想 5 数形结合 8,16,17 亮点 22题把实际的问题转化为全等三角形的问题来解决；24 题探究多种方法解答，它即是一道探究题，又是一道开 放性问题，不仅有利于培养学生的探究能力，而且有利 于学生养成发散思维的习惯. 阶段综合测试三（期中二） 数学·人教版（RJ） 针对第2题训练 A．1 B．2 C．3 D．4 B 针对第7题训练 (x－2)(x－3y) 阶段综合测试三（期中二） 数学·人教版（RJ） 针对第16题训练 如图JD3－1所示的是用4个相同的小长方形与1个正方形镶嵌而 成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为 4，若用x、y表示小长方形的两边长(x>y)，请观察图案，指出 以下关系式中，不正确的是(　　) 图JD3－1 D 阶段综合测试三（期中二） 数学·人教版（RJ） [解析] D　由于图案的面积为49，所以其边长x＋y＝7， 所以选项A正确；由于小正方形的面积为4，所以其边长x －y＝2，所以选项B正确；由于“4个小长方形的面积＋小 正方形的面积＝该图案的面积”，即4xy＋4＝49，所以选 项C正确，排除A、B、C. 阶段综合测试三（期中二） 数学·人教版（RJ） 针对第22题训练 如图JD3－2，A、B两点位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量 A、B间的距离，但是绳子不够长．你能帮她设计测量方案吗？如 不能，说明困难在哪里；如果能，写出方案，并说明其中的道理 ． 图JD3－2 解：答案不唯一，能． 测量方案：(1)先在陆地取一点可以直接到 A点和B点的点C； (2)连结AC并延长到点D，使CD＝CA； (3)连结BC并延长到点E，使CE＝CB； (4)连结DE，并测出它的长度． 阶段综合测试三（期中二） 数学·人教版（RJ） 即如图中DE的长度就是A、B间的距离． 理由：在△ABC和△DEC中， ∴△ABC≌△DEC(S.A.S.)，∴AB＝DE. 图JD3－3 阶段综合测试三（期中二） 数学·人教版（RJ） 针对第24题训练 如图JD3－4，给出五个等量关系：①AD＝BC，②AC＝BD， ③CE＝DE，④∠D＝∠C，⑤∠DAB＝∠CBA.请你以其中两个作为 条件，另三个中的一个作为结论，写出一个正确命题(只需写出 一种情况)，并加以证明． 图JD3－4 阶段综合测试三（期中二） 数学·人教版（RJ） 解：以AB为公共边来考虑以下几种有： (1)①AD＝BC，⑤∠DAB＝∠CBA，AB＝BA，可证得△DAB≌△CBA， 从而证得②、③、④的结论． (2)①AD＝BC，②AC＝BD，AB＝BA，可证得△DAB≌△CBA，从而 证得③、④、⑤的结论． (3)④∠D＝∠C，⑤∠DAB＝∠CBA，AB＝BA，可证得 △DAB≌△CBA，从而证得①、②、③，的结论． 以∠DEA＝∠CEB，是对顶角来考虑有： (1)③CE＝DE，④∠D＝∠C，∠DEA＝∠CEB，可证得 △DAE≌△CBE，从而证得①、②、⑤的结论． (2)①AD＝BC，④∠D＝∠C，∠DEA＝∠CEB，可证得 △DAE≌△CBE，从而证得②、③、⑤的结论． (以上选择一种证明即可) 数学·人教版（RJ） 第十三章 复习（二） 第十三章 |复习（二） 知识归纳 数学·人教版（RJ） 1．等腰三角形的性质和判定 (1)性质：等腰三角形的两底角相等，简写成“等边对等角”． (2)判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 边也相等．简称“等角对等边”，它的逆定理应该是“等边对等 角”． 2．等边三角形 (1)等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的 等腰三角形是等边三角形． 3．尺规作图 把只能使用　 　这两种工具作几何图形的 方法称为尺规作图． 没有刻度的直尺和圆规 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 4．常见的基本作图 (1)作　 　等于已知线段；(2)作一个角等于　　角； (3)作已知角的平分线；(4)过已知点作已知直线的　 　； (5)作已知线段的垂直　 　线． 5．互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的　 　，而第一个命题的结论是第二个命题的　 　，那么这两 个命题叫做互逆命题． 6．逆命题 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成　 　， 并将结论改成　 　，便可以得到原命题的逆命题． 一条线段 已知 垂线 平分 结论 题设 结论 题设 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） [注意] 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成 结论，并将结论改成题设，便可以得到原命题的逆命题．但原 命题正确，它的逆命题未必正确．如对于真命题“如果两个角 都是直角，那么这两个角相等”的逆命题“如果两个角相等， 那么这两个角是直角”，此命题就是一个假命题． 7．逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么，它也是一 个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的　 　定理． [注意] 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定 理．如“对顶角相等”就没有逆定理． 逆 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 8．垂直平分线 到线段两端点的距离相等的点在这条线段的　 　. 它的逆定理是：线段垂直平分线上的点到 　 。 [注意] 前面是线段垂直平分线的判定，后面是线段垂直平 分线的性质． 9．角的平分线 角的平分线上的点到角的两边的距离相等．它的逆定理是： 到角的两边距离相等的点在　 　. [注意] 前面是角平分线的性质，后面是角平分线的判定． 垂直平分线上 线段两端点的距离相等　. 角的平分线上 第十三章 |复习（二） 考点攻略 数学·人教版（RJ） 考点一　等腰三角形的性质 在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，求∠A的度数． [解析] 由已知条件，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数， 再由三角形的内角和可求∠A. 解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝50°. ∴∠A＝180°－∠C－∠B ＝180°－50°－50°＝80°. 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 考点二　等腰三角形的判定 求证：如果三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边， 那么这个三角形是等腰三角形． 图13－8 [解析] 这是一道文字题，按常规画出图形，写出已知、求证和 证明，学习完等腰三角形判定定理以后，证明两条线段相等的 方法就有两种选择：(1)利用两个三角形全等来达到目的；(2) 利用在同一个三角形中，等角对等边来达到目的，本题用第(2) 种方法，即证明两个角相等来达到目的． 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 解：已知：如图13－8，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC. 求证：△ABC是等腰三角形． 证明：∵AD∥BC， ∴∠1＝∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)． 又∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC(等角对等边)． 即△ABC是等腰三角形． 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 考点三　等边三角形的性质 [泸州中考] 如图13－9，△ABC是等边三角形，D是AB边上一 点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧， 连结AE.求证：△DBC≌△EAC. 图13－9 证明：∵△ABC和△EDC是等边三角形， ∴∠BCA＝DCE＝60°， ∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE. 在△DBC和△EAC中，BC＝AC，∠BCD ＝∠ACE，DC＝EC， ∴△DBC≌△EAC. 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 考点四　等边三角形的判定 如图13－10，△ABC为等边三角形，又DE⊥BC，EF⊥AC， FD⊥AB，垂足分别为E、F、D，则△DEF是等边三角形吗？说 明你的理由． 图13－10 [解析] 根据已知条件利用角与角之间的关 系来求得△DEF的各角分别为60度，从而得 出其是一个等边三角形． 解：是等边三角形．理由： ∵EF⊥AC，FD⊥AB， △ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°，∠ADF＝∠CFE＝90°. ∴∠AFD＝30°， ∴∠DFE＝60°. 同理可证∠FDE＝∠DEF＝60°， ∴△DEF是等边三角形． 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 考点五　探究作图依据 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图13－11所示，则 能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(　　) 图13－11 A．S.S.S. B．A.S.A. C．A.A.S. D．角平分线上的点到角两边的距离相等 A 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） [解析] A　由作图的痕迹可以看出作法是：(1)以O为圆心，以 任意长为半径作弧，交角的两边于M、N；(2)分别以M、N为圆心， 以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于角的内部一点C；(3)作 射线OC.射线OC就是角的平分线． 由步骤(1)得OM＝ON， 由步骤(2)得MC＝NC， 因为OC＝OC， ∴△ONC≌△OMC(S.S.S.)．故答案选A. 课本中的作图题都保留作图痕迹写有作法，中考时一般不写作 法，但是要从作图痕迹中反映作法，每种作图题理由需要弄清 楚． 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 考点六　利用作图计算 如图13－12，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4.5，分别以A、B为圆 心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连结BD， 则△BCD的周长是________． 图13－12 10.5 [解析] 由题意可知过这两点的直线其实是AB 边的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可以 得BD＝AD. 因为AC＝6，BC＝4.5，所以△BCD的周长＝BD ＋CD＋BC＝AD＋CD＋BC＝AC＋BC＝6＋4.5＝10.5. 方法技巧 本题集垂直平分线的画法、垂直平分线的性质、 整体的思想、转化的思想于一题求线段的长，是 中考的一个新的题型，希望引起读者注意． 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 考点七　找逆命题判断真假 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真 假． (1)如果a＝0，那么ab＝0； (2)如果点P到线段AB两端点的距离相等，那么P在线段AB的垂 直平分线上． 解：(1)原命题是真命题．原命题的逆命题是：如果ab＝0， 那么a＝0.逆命题为假． (2)原命题是真命题．原命题的逆命题是：如果P在线段AB 的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端点的距离相等．其 逆命题也是真命题． 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 逆命题求法：将原命题的题设改成结论，并将结论改成 题设，便可以得到原命题的逆命题；真假的判断：说明一个 命题是假命题，只要举一个反例就可以了，说明一个命题是 真命题，需要推理与证明． 方法技巧 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 考点八　判断逆定理是否存在 写出下列定理的逆命题，并判断它是否有逆定理． (1)定理：等腰三角形有两个角相等； (2)定理：全等三角形的对应角相等． 解：(1)逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角 形．正确，所以有逆定理． (2)逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形．显然不 正确，所以没有逆定理． “互逆命题”是说明两个命题之间的关系，两个命题的地位可以 互换，它们之中可以确定其中任何一个为原命题，但是一旦确定 ，另一个就是它的逆命题了，“互逆定理”也同样．值得说明的 是，每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理． 方法技巧 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 考点九　垂直平分线性质的应用 如图13－13，已知△ABC，直线PM是线段AC的垂直平分线，射 线AP是∠BAC的平分线，P是两线的交点，且CP＝3 cm，PM＝2 cm，求点P到直线AB的距离及到A点的距离． 图13－13 [解析] 由角的平分线的性质知P到AB的距离等 于PM的长，点P到点A的距离等于PC的长． 解：∵点P在线段AC的垂直平分线上， ∴PA＝PC. ∵CP＝3 cm，∴PA＝3 cm. ∵AP是∠BAC的平分线， ∴点P到AB的距离等于PM的长． ∴点P到AB的距离等于2 cm，到A点的距离为3 cm. 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 本题求点到直线的距离和点到点的距离主要是应用了转化的思 想，根据角的平分线的性质和线段垂直平分线的性质，把未知 的转化为已知． 方法技巧 考点十　角平分线性质的应用 如图13－14，直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC 于点D，CD＝4，则点D到AB的距离为________． 图13－14 [解析] 过D作DE⊥AB于E. ∵∠C＝90°，∴DC⊥AC. 又∵AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝4，即点D 到AB的距离为4.. 4 解决此类问题的关键是利用角平分线的性质把求D到AB边的距离 转化为求D到AC边的距离． 方法技巧 第十三章 |复习（二） 试卷讲练 数学·人教版（RJ） 考 查 意 图 全等三角形一章主要包括命题与逆命题、定理与逆定理、 全等三角形的判定、等腰三角形和尺规作图，其中的等腰 三角形是继等腰三角形的性质后，新增了等腰三角形的判 定，线段的垂直平分线、角的平分线既包括性质又包括判 定，这是本套试题的重点，全等三角形判定的综合应用是 难点，它们同属于中考的热点范围． 难 易 度 易 1,4,6,7,9,11,13,16,17,18,19,20 中 2,3,5,8,10,12,14,15,21,22 难 23,24 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 知 识 与 技 能 尺规作图 1,2,11,19,24 命题与定理 3,4,5,6,12,13,17,18 全等三角形 7,8,9,10,15,16,21,23 思想 方法 分类的思想 10,16 转化的思想 24 亮点 24题将实际问题转化为数学问题，利用线段垂直平分 线的性质解决，既体现了数学的实际应用，又培养了 学生把实际转化为数学的能力. 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 针对第5题训练 如图13－15所示，AB＝AC＝12，BC＝7，AB的垂直平分线交AB 于D，交AC于E，则△BCE的周长为________． 图13－15 19 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 针对第15题训练 如图13－16，点C、D在线段AB上，PC＝PD.请你根据“角边角 ”添加一个条件使图中存在全等三角形，所添条件为____ __ __，你得到的一对全等三角形为 _____ ． 图13－16 ∠APC＝∠BPD △PAC≌ △PBD(不唯一) 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 针对第22题训练 如图13－17，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于 点F，S△ABC＝36 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm.求DE的长． 图13－17 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 第十三章 |复习（二） 数学·人教版（RJ） 针对第24题训练 如图13－18，MN表示海岸线，A、B分别表示甲、乙两个工厂， 现要在海岸MN上修建一个码头，要求修建的码头到甲、乙两个工 厂的距离相等，求作码头的位置P.(用尺规作图，保留作图痕迹 ，不要求写出作法) 图13－18解：点P到A、B的距离相等，应在线 段AB的垂直平分线上，同时点P又要 在MN上，所以AB的垂直平分线与MN 的交点即为码头的位置P. 数学·人教版（RJ） 第十四章 复习 第十四章 |复习 知识归纳 数学·人教版（RJ） 1．勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的　 　. 即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b， 斜边为c ，那么一定有　 　. 平方 [注意] 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分 清直角边和斜边． 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 2．勾股定理的验证 据说验证勾股定理的方法有五百多种，其中很多是用平面图形 的面积来进行验证的，比如我国古代的数学家赵爽就用了下面的 方法： 图14－1 b－a　 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） (1)确定最大边； (2)算出最大边的平方与另两边的　　 ； (3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则 说明这个三角形是　 　三角形． 到目前为止判定直角三角形的方法有： (1)说明三角形中有一个角是　 　； (2)说明三角形中有两边互相　 　； (3)用勾股定理的逆定理． 平方和 直角 直角 垂直 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 4．勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个　 　数，称为勾股 数，即满足 的三个　 　数a、b、c，称为勾股 数． [注意] 勾股数都是正整数． 5．勾股定理的应用 应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题： (1)已知　 　三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、 面积的问题； (2)说明线段的平方关系问题； 正整 正整 直角 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 　直角 数轴 (4)解决实际问题．一些实际问题，如解决圆柱侧面两点间距离 问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用 勾股定理及其逆定理． 6．勾股定理中的思想 (1)分类的思想，斜边不确定时，要分类讨论； (2)数形结合的思想，通过边的数量判断三角形的形状，反之也可 以； (3)方程的思想，建立方程，求边； (4)转化思想，把实际问题转化为勾股定理的问题来解决． 第十四章 |复习 考点攻略 数学·人教版（RJ） 考点一　勾股定理 例1　在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的 对边分别是a、b、c，且a＝6，b＝8，求BD的长． [解析] 这是在三角形中已知两边长求高的问题，可用勾股定 理先求出第三边再求解． 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 易错警示 在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时， 先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为 简便． 在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边， 如在本例中不要受勾股数6、8、10的干扰． 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 考点二　勾股定理的逆定理 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 考点三　勾股定理在数学中的应用 已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为 直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边 ，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形 的斜边长的平方是________． 图14－2 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 例4　如图14－3所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿 长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图14－3所示)，问怎 样走路线最短？最短路线长为多少？ 图14－3 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 用勾股定理解决立体图形的问题，常以长方体、正方体、 圆柱、圆锥为背景，做题思路是“展曲为平” ——把立体图形 转化为平面图形，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题， 再运用“平面上的两点之间线段最短”求解． 要注意的是需要认真审题，确定出最短路线，有时容易忽视多 种展开情况． 方法技巧 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 例5　如图14－5，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船 靠岸，开始时绳子BC的长为10米，此人以每秒0.5米的速度收绳 ．问：8秒后船向岸边移动了多少米？(结果精确到0.1米) 图14－5[解析] 根据题意找出图中的直角 三角形，算出BC的长，再用勾股 定理求AB和移动的距离． 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 考点五　方程思想在勾股定理中的应用 例6　如图14－6，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm ，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD 的长． 图14－6[解析] 欲求的线段CD在Rt△ACD中，但此三 角形只知一边，可设法找出另两边的关系， 然后用勾股定理求解． 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题 ；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边 ，这时往往要列出方程求解． 方法技巧 第十四章 |复习 试卷讲练 数学·人教版（RJ） 考 查 意 图 勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示的是直角三 角形中三边的数量关系，是解决几何中有关“线段长度计 算问题”的强有力的工具．本卷主要考查具体情境中运用 勾股定理进行相关线段的计算及判断一个三角形是否为直 角三角形，它不但是今后学习四边形、解直角三角形的基 础知识，而且为我们将来学习立体几何作了一些必要的准 备． 难 易 度 易 1,2,3,4,5,6,7,11,12,17,18,21 中 8,9,10,13,14,15,19,20,22 难 16,23,24 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 知 识 与 技 能 与勾股定理有关的 计算 2,4,5,6,7,8,9,11,12,14,15,16, 17,24 用勾股定理的逆定 理判定直角三角形 3,18 勾股定理的实际应 用 10,13,18,19,20,21,22 勾股定理在网格图 中的应用 3 思想 方法 数形结合 1,12,24 分类思想 11,17 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 亮点 　第3题在网格中酝酿直角三角形，体现数形结合的思 想；第6题将直角三角形通过勾股定理与相关图形(正方 形、圆、等腰直角三角形、等边三角形等)的面积相结 合，凸显相关图形的几何意义；第20题借助折纸中计算 问题，体现数学来源于生活，又应用于生活，并进一步 激发学生学习数学的兴趣与求知欲；第24题运用同一图 形面积的不同表示方法得到代数恒等式证明勾股定理. 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 针对第3题训练 1．已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上， 可以判定三角形是直角三角形的有________． 图14－7 (2)(4) 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 2．如图14－8所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是 方格纸中的两个格点(即正方形的顶点)，在这个6×6的方格纸中， 找出格点C，使△ABC的面积为1个平方单位的直角三角形的点C个数 是________． 图14－8 6 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） [解析] 如图14－9，当∠A为直角时，满足面积为1的点是 C1、C2；当∠B为直角时，满足面积为1的点是C3、C4；当∠C 为直角时，满足面积为1的点是C5、C6.所以满足条件的点共有 6个． 图14－9 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 针对第6题训练 如图14－10，以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小 的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形是(　 　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 图14－10 B 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 针对第19题训练 如图14－11，有一个高为4，底面直径为6的圆锥，现有一只蚂 蚁在圆锥的顶部A，它想吃到圆锥底部B的食物，蚂蚁需要爬行 的最短路线长是多少？ 图14－11 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 针对第20题训练 现有一张矩形纸片ABCD(如图14－12)，其中AB＝4 cm，BC＝ 6 cm, 点E是BC的中点，将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形 AECD内，记为点B′，求线段B′C的长． 图14－12 解：连结B′B交AE于点O，由折叠及点E是BC的中点，可知EB＝ B′E＝EC， 图14－13 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 针对第21题训练 如图14－14所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一 个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高 4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？ 图14－14 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 解：如图14－15，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下 底边于点D，取点C，使CD＝1.4米，过C作OD的平行线交半圆 直径于B点，交半圆于A点， 图14－15 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 针对第24题训练 1．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股 定理的一种新的证明方法，如图14－16，火柴盒的一个侧面 ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连结CC′，设AB＝a，BC＝b ，AC＝c，请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理：a2＋ b2＝c2. 图14－16 第十四章 |复习 数学·人教版（RJ） 2．以一个直角三角形的一条直角边为边长的正方形的面积为 225，以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为625， 则以这个直角三角形的另一条直角边为边长的正方形的面积为 ________．400 [解析] 根据勾股定理计算，625－225＝400. 数学·人教版（RJ） 阶段综合测试四（月考） 阶段综合测试四（月考） 试卷讲练 数学·人教版（RJ） 考 查 意 图 本套试卷主要考查全等三角形和勾股定理两章，其中对线 段的垂直平分线、角的平分线的判定和性质、作图较为侧 重． 难 易 度 易 1,4,5,8,10,11,12,13,16,17,18,20 中 2,3,6,7,9,14,15,19,22 难 21,23,24 阶段综合测试四（月考） 数学·人教版（RJ） 知识 与技 能 勾股定理 1,2,3,7,9,14,20,21 全等判定 5,6,15,16,19,22,24 作图 13,18,23 命题与逆命题 4,8 思想 方法 转化的思想 24 数形结合的思 想 20 亮点 本套试题知识覆盖比较广，题型的综合性强，比如21题 的最值探究、24题的添作辅助线证明，综合性都很强. 阶段综合测试四（月考） 数学·人教版（RJ） 针对第16题训练 如图JD4－1，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请你再补充一 个条件，使得△AOB≌△DOC，你补充的条件可以是哪些？ 图JD4－1 解：AB＝DC或AO＝OD等(不唯一)． 阶段综合测试四（月考） 数学·人教版（RJ） 在日常生活中，我们经常会看到木工师傅利用一把角尺去平 分一个任意角，如图JD4－2，∠AOB是一个任意角，工人师傅先在 OA、OB边上分别取OD＝OE，然后移动角尺，使角尺两边相同的刻度 分别与D、E重合，这样过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线， 你能说明其中的道理吗？ 针对第17题训练 图JD4－2 解：要说明OP就是∠AOB的平分线，即只 要说明∠AOP＝∠BOP，也就是只要说明它 们所在的两个三角形全等即可．根据题意 知OD＝OE，PE＝PD.在△POE和△POD中， OD＝OE，OP＝OP，PE＝PD，所以 △POE≌△POD，所以∠AOP＝∠BOP，即射 线OP就是∠AOB的平分线． 阶段综合测试四（月考） 数学·人教版（RJ） 针对第18题训练 如图JD4－3①，已知线段a、b、c.求作：△ABC，使AB＝c， AC＝b，BC＝a. 图JD4－3 [解析] 要作一个三角形使其三边分别是a、b、c，可以先作一条线 段a，然后分别以这条线段的两个端点为顶点，以线段b、c的长为 半径画弧即可． 解：作法：(1)作一条线段BC＝a； (2)分别以B、C为圆心，c、b为半径画弧，两弧交于A点； (3)连结AB、AC.则△ABC就是所求作的三角形(如图②所示)． 阶段综合测试四（月考） 数学·人教版（RJ） 针对第21题训练 如图JD4－4所示，长方体底面长为4，宽为3，高为12，求长 方体对角线MN的长． 图JD4－4 数学·人教版（RJ） 第十五章 复习 第十五章 |复习 知识归纳 数学·人教版（RJ） 1．数据的来源 数据的来源一般有两条渠道：一条是通过　 　或科学试验 得到第一手或直接的统计数据；另一条是通过　 　等获得 第二手或间接的统计数据． (1)统计调查是获得第一手数据的重要途径，它们常常通过访问、 邮寄、电话、电脑辅助等形式来收集数据；(2)科学试验是取得自 然科学数据的主要手段；(3)各种文献资料、报刊杂志、广播、电 视媒体等提供了大量的统计数据，通过这些资料或媒体可以获得第 二手数据． [注意] 本章主要学习通过统计调查来收集数据，并对收集到的 数据进行整理． 2．数据与我们的生活的密切联系 合理的收集数据，依据数据，做出科学的决策，对建设、工作、 生活都是很有作用． 统计调查 查阅资料 第十五章 |复习 数学·人教版（RJ） 3．频数与频率 每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的 比值为频率． [注意] 频数、频率是初中数学中的两个重要概念，它们都能反 映每个对象出现的频繁程度，但也存在区别：在同一个问题中，频 数反映的是对象出现频繁程度的绝对数据，所有频数之和是试验的 总次数；频率反映的是对象出现频繁程度的相对数据，所有频率之 和是1. 4．数据的整理 频数反映了每个对象在各个小范围内所出现次数的多少，而频率 则反映的是每个对象在各个小范围内所占的比例的大小．要得到一 个频数分布情况，需要如下步骤：(1)将数据适当分组，数据越多， 分的组数也应越多．当数据在100以内时，通常按照数据的多少， 分成5～12组；(2)列频数分布表，由频数分布表就知道了相应各组 的频数；(3)绘制频数分布直方图，利用长方形的高低来反映频数 的多少． 第十五章 |复习 数学·人教版（RJ） 5．频数、频率与总数之间的关系 频数＝频率×总数． 6．扇形统计图的特点 生活中遇到扇形统计图，它们是利用　　和扇形来表示 和部分的关系，即用圆代表整体，圆中的各个扇形 分别代表总体的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分 比的大小，这样的统计图叫扇形． 7．扇形统计图的制作 (1)先算出各部分数量占总数量的　 　；(2)再算出表示各　 　数量的扇形的圆心角的度数；(3)取适当的半径画一个 圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里面画出各个扇形； (4)在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的　 　. 圆 总体 比例 部分 比例 第十五章 |复习 数学·人教版（RJ） 8．条形统计图的绘制 条形统计图的特点：能直接从统计图中看出各个范围的数目． 条形统计图的制作方法：(1)选择横轴与纵轴表示的数据；(2)根 据所给数据画出条形图． 9．绘制频数分布直方图 (1)计算最大值与最小值的差；(2)决定组数和组距．当数据在 100个以内时，通常按照数据的多少分成5～12组；(3)确定分点： 一般把最小值减小一点作为分点，把最大值增大一点作为分点；(4) 列频数分布表；(5)画频数分布直方图． 10．折线统计图 折线统计图主要是反映数据的变化趋势，发展的方向．折线图的 制作方法：(1)选择横轴与纵轴表示的数据；(2)根据所给数据描出 相应的点；(3)连结各点． 第十五章 |复习 考点攻略 数学·人教版（RJ） 考点一　调查方式的选择 (1)—C　(2)—A　(3)—B 第十五章 |复习 数学·人教版（RJ） [解析] 本题解法因对各种调查方式的适用范围不 明确而导致出错．评选优秀干部需要进行民意调查，这样 才能选出大家认可的人选；要了解班级女生的身高和体重 则需要实地调查，才能得到实际情况；要了解历届奥运会 举办的时间和地点则可借助媒体查询的方式． 方法技巧 统计调查是获得第一手数据的重要途径，它们常常 通过访问、邮寄、电话、电脑辅助等形式来收集数据；科 学试验是取得自然科学数据的主要手段；各种文献资料、 报刊杂志、广播、电视媒体等提供了大量的统计数据，通 过这些资料或媒体可以获得第二手数据． 第十五章 |复习 数学·人教版（RJ） 考点二　数据的收集与分析 3月22日世界水日的主题是合理用水，节约用水、造福人 类．为此数学教师组织同学们作了一项调查：一个有三个人口的 家庭，每月用水量按正常消费约为10立方米，请你计算并估计： (1)一个有100万人口的城市每月生活用水为多少立方米？ (2)100万个这样的三口之家一个月共用水多少立方米？ (3)武汉到广州约1000千米，如果用截面积是1平方米的水管放 水，100万个三口之家一个月共用水总量能从武汉市流到广州吗？ 解：(1)1000000÷3×10≈3333333(立方 米)． (2)10000000立方米． (3)通过计算可知能从武汉流到广州． 解答这类生活中的数据的收集、计算、分析问题，收集数据要合理 ，计算要准确，才能得出比较符合实际的分析． 方法技巧 第十五章 |复习 数学·人教版（RJ） 考点三　频率的应用 学期结束前，班主任想知道同学们对班长一个学期以来的工 作表现的满意程度，特向全班40名学生(除班长外)作问卷调查 ，其结果如下： 反馈 意见 非常 满意 较满 意 基本 满意 不满 意 非常不 满意 频数 3 20 12 4 1 (1)请计算每一种反馈意见的频率； (2)对班长一个学期以来工作表现满意的同学占多数还是不满 意的同学占多数？ (3)从同学的满意角度来看，你估计下学期班长还能连任吗？ 第十五章 |复习 数学·人教版（RJ） 解：(1)非常满意是0.075；较满意是0.5；基本满意是0.3； 不满意是0.1；非常不满意是0.025. (2)对班长一个学期以来工作表现满意的同学占多数． (3)估计班长还要连任． 方法技巧 在下结论时，要根据调查的数据来说话，不能离开数 据，只顾发表自己的见解，这样只能以偏概全，最终达不到 发现问题、解决问题的目的．本题的解答让我们体会到收集 数据的重要性，体会到频数与频率在对数据进行整理、描述 和分析中的重要性． 第十五章 |复习 数学·人教版（RJ） 考点四　用统计图传递信息 下表是护士统计的一位疑似病人一天的体温变化情况： 时间 6：00 10：00 14：00 18：00 22：00 体温 /℃ 37.6 38.3 38.0 39.1 37.9 (1)选择折线统计图，把他的体温情况变化趋势反映出来； (2)根据所画的折线统计图，估计这个病人下午16：00时的体温 是38.0℃、39.1℃、37.6℃、38.6℃中的哪个数据？ [解析] (1)要画折线统计图，根据表中的数据，先描出一些关 键点，然后顺着变化的趋势把所描的点连结起来；(2)根据统计 图的趋势选择恰当的体温． 第十五章 |复习 数学·人教版（RJ） 解：(1)根据表格中的数据，所画的折线统计图如图15－1. 图15－1 (2)由图可以看出14时到18时体温呈上升趋势，且由38.0℃ 上升到39.1℃，所以选择38.6℃. 折线统计图主要是反映数据的变化趋势、发展的方向．折线统计图 的制作方法：选择横轴与纵轴表示的数据；根据所给数据描出相应 的点；连结各点． 方法技巧 第十五章 |复习 数学·人教版（RJ） 考点五　从统计图中获取信息 某校320名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试， 考分都以同一标准划分成“不合格”“合格”“优秀”三个等级． 为了了解电脑培训的效果，随机抽取32名学生两次考试考分等级的 统计图(如图15－2)．试回答下列问题： (1)这32名学生经过培训，考分 等级“不合格”的百分比由 ________下降到________； (2)估计该校320名学生，培训后 考分等级为“合格”与“优秀” 的学生共________名； (3)你认为上述估计合理吗？理 由是什么？ 图15－2 75% 25% 240 (3)上述估计合理．理由：部分的选取具有代表性． 第十五章 |复习 数学·人教版（RJ） 本题主要是阅读条形统计图，从中获取信息，然后用获得的部 分去估计整体的情况，这是统计中常用的思想方法． 方法技巧 第十五章 |复习 试卷讲练 数学·人教版（RJ） 考 查 意 图 数据的收集与表示主要考查数据的收集方法、数据的表示 方法、统计图表示，重点是数据的收集、频率和统计图的 绘制，难点是统计图的选择． 难 易 度 易 1,2,5,6,9,11,12,14,16 中 3,4,7,8,10,13,15,17,18,19,20,21 难 22,23,24 第十五章 |复习 数学·人教版（RJ） 知 识 与 技 能 数据的收集 1,6,11,18 频率与频数 2,3,4,5,14,19,20,21 统计图 7,8,9,10,12,13,15,16 数据的表示 22,23,24 思想 方法 数形结合的思想 23,24 部分估计整体的思 想 20,21 亮点 本套试题充分体现了数学的实际应用，几乎每一题都 有实际的背景；数形结合的思想所占的比例较大. 第十五章 |复习 数学·人教版（RJ） 针对第1题训练 1．如果对一个人的身体素质好坏进行调查，你认为对下面几 种情况中，最合适的调查是(　　) A．身高与体重 B．饮食习惯 C．卫生习惯 D．运动与健康 D 2．甲、乙两名学生各检验五包方便面的质量，其标准质量每 包为110 g．甲记录的结果依次是：111、108、115、112、107； 乙把每包质量都减去110 g，记录的结果依次是：1、－2、5、2、 －3.要分析方便面的质量，你认为比较好处理的一组数据是(　 　) A．甲的数据 B．乙的数据 C．都一样 D．无法判断 B 第十五章 |复习 数学·人教版（RJ） 针对第3题训练 已知某班共有60人，分成5组，根据各组人数情况画出了条形统 计图，已知图中小长方形的高的比为1∶3∶4∶2∶2(从左到右) ，则人数最多的一组有________人．20 针对第7题训练 护士统计一病人一昼夜的体温变化情况，应选 用________统计图． 折线 第十五章 |复习 数学·人教版（RJ） 针对第9题训练 1．如图15－3是根据某市2008年至2012年财政收入绘制的折线 统计图，观察统计图可得：同上年相比我市财政收入增长速度最 快的年份是________年，比它的前一年增加________亿元． 图15－3 2012 50 第十五章 |复习 数学·人教版（RJ） 2．第26届世界大学生运动会将于2011年8月12日到8月23日在中 国深圳举行，为了给武汉市的代表队鼓劲，某中学的体育活动小 组组织了捐款，其中的30名队员的捐款情况如条形图所示，请根 据统计图计算30名队员的捐款总金额是________． 图15－4 395元 第十五章 |复习 数学·人教版（RJ） 针对第24题训练 2012年4月23日是第17个世界读书日，《教育导报》记者就四 川省农村中小学教师阅读状况进行了一次问卷调查，并根据调查 结果绘制了教师每年阅读书籍数量的统计图(不完整)．设x表示 阅读书籍的数量(x为正整数，单位：本)．其中A：1≤x≤3；B： 4≤x≤6；C：7≤x≤9；D：x≥10. 　　 图15－5 第十五章 |复习 数学·人教版（RJ） 请你根据两幅图提供的信息解答下列问题： (1)本次共调查了多少名教师？ (2)补全条形统计图； (3)计算扇形统计图中扇形D的圆心角的度数． 数学·人教版（RJ） 阶段综合测试五（期末一） 阶段综合测试五（期末一） 试卷讲练 数学·人教版（RJ） 考 查 意 图 本卷主要测试八年级上册全册内容，试卷注重对基本概念、 基本运算、基本图形、基本技能的考查，符合新课标要求， 考查全面并能突出重点，难度较小，属于基础性试卷． 难 易 度 易 1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15,17,18,19 中 10,16,20,21,22 难 23,24 阶段综合测试五（期末一） 数学·人教版（RJ） 知 识 与 技 能 数的开方 3,11,17(1) 整式的乘除 2,4,7,12,17(2)，18,19 勾股定理 5,8,13,15,21,23 命题与逆命题 12 全等三角形 6,16,22,24 数据的收集与表示 9,14,20 阶段综合测试五（期末一） 数学·人教版（RJ） 思想 方法 数形结合的思想 9,14,20 分类讨论思想 24 转化思想 16,23 亮点 第21题利用数学知识综合解决实际问题，使学生获得 学以致用的感受，懂得数学知识在实际生活中的应用， 更贴近生活实际. 阶段综合测试五（期末一） 数学·人教版（RJ） 针对第13题训练 阶段综合测试五（期末一） 数学·人教版（RJ） 针对第16题训练 如图JD5－1，点P在∠AOB的平分线上，若使△AOP≌△BOP， 则需添加的一个条件是________．(只写一个即可，不添加辅助 线) 图JD5－1 OA＝OB或∠OAP＝∠OBP或∠APO＝∠BPO 阶段综合测试五（期末一） 数学·人教版（RJ） 针对第19题训练 阶段综合测试五（期末一） 数学·人教版（RJ） 针对第21题训练 如图JD5－2，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这 时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现 要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到A′处，梯子底部B将外移　　　　 米． 图JD5－2 0.8 阶段综合测试五（期末一） 数学·人教版（RJ） 针对第24题训练 如图JD5－3，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上的动 点，由A向C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上一动点，与点 P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P 作PE⊥AB于E，连结PQ交AB于D. (1)当∠BQD＝30°时，求AP的长； (2)在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出 线段ED的长；如果变化请说明理由． 图JD5－3 阶段综合测试五（期末一） 数学·人教版（RJ） 阶段综合测试五（期末一） 数学·人教版（RJ） (2)由(1)知BD＝DF. 而△APF是等边三角形，PE⊥AF， ∴AE＝EF. 又DE＋(BD＋AE)＝AB＝6， ∴DE＋(DF＋EF)＝6， 即DE＋DE＝6. ∴DE＝3为定值，即DE的长不变． 数学·人教版（RJ） 阶段综合测试六（期末二） 阶段综合测试六（期末二） 试卷讲练 数学·人教版（RJ） 考 查 意 图 本卷主要测试八年级上册的全册内容，试卷注重对基本概 念、基本运算、基本图形、基本技能的考查，符合新课标 要求，本卷考查全面并能突出重点，有一定难度，但又不 同于奥数题目，属能力性试卷． 难 易 度 易 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,17,18,19 中 9,10,14,15,16,20,21 难 10,22,23,24 阶段综合测试六（期末二） 数学·人教版（RJ） 知 识 与 技 能 数的开方 1,17(1) 整式的乘除 3,7,11,12,17(2)，18,19,20 全等三角形 8,16 勾股定理 5,22,23 数据的收集与表示 4,13,24 命题与逆命题 6 作图 21 阶段综合测试六（期末二） 数学·人教版（RJ） 思想 方法 分类的数学思想 10 数形结合思想 5,10 整体的思想 5,10 亮点 第5题是勾股定理与圆环的面积结合，题目新颖；20题 的阅读探究问题，有利于培养学生的归纳能力. 阶段综合测试六（期末二） 数学·人教版（RJ） 针对第5题训练 图JD6－1 阶段综合测试六（期末二） 数学·人教版（RJ） 针对第10题训练 如图JD6－2①所示，A、B是4×5网络中的格点，网格中的 每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为 顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置． 图JD6－2 解：如图②所示． 阶段综合测试六（期末二） 数学·人教版（RJ） 针对第16题训练 如图JD6－3，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝ ∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测 线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由. 图JD6－3 解： AE＝BD，AE⊥BD. 理由如下： ∵∠ACD＝∠BCE＝90°， ∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝ ∠DCB. ∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形， ∴AC＝CD，CE＝CB. ∴△ACE≌△DCB. ∴ AE＝BD, ∠CAE＝∠CDB. ∵∠AFC＝∠DFH, ∴∠DHF＝∠ACD＝ 90°.∴AE⊥BD. 数学·人教版（RJ） 阶段综合测试七（期末三） 阶段综合测试七（期末三） 试卷讲练 数学·人教版（RJ） 考 查 意 图 本卷主要测试八年级上册的全部内容，试卷注重对基本概 念、基本运算、基本图形、基本技能的考查，符合新课标 要求，考查全面并能突出重点，难度适中，属于综合性试 卷． 难 易 度 易 1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,17,18,19 中 10,14,15,20,21,22 难 16,23,24 阶段综合测试七（期末三） 数学·人教版（RJ） 知 识 与 技 能 数的开方 1,17(1) 全等三角形 10,19,23 数据的收集与表示 7,12,22 整式的乘除 2,5,11,17(2)，18,20 勾股定理 6,16,21 作图 24 命题与定理 3,13 阶段综合测试七（期末三） 数学·人教版（RJ） 思想 方法 整体思想 5 分类的思想 24 亮点 22题是一道阅读统计图和表格的综合题，需要认真观 察，从统计图中获取数据，分析数据、处理数据．同 时又是一道结论开放性考题.24题既是一个结论开放题， 又是一道分类讨论题，还是一道实际应用题. 阶段综合测试七（期末三） 数学·人教版（RJ） 针对第9题训练 甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将教室玻璃打破，当班主任追 问时，甲说：“是丙打破的”； 乙说：“不是我打破的”； 丙 说：“甲说谎”．三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是 ______________打破的．乙 [解析] 乙　根据题意可得玻璃是乙打破的．∵此时乙说：“ 不是我打破的”则乙说的是假话，甲说：“是丙打破的”也 是假话，则丙说：“甲说谎”是真话，∴玻璃是乙打破的符 合题意． 阶段综合测试七（期末三） 数学·人教版（RJ） 针对第10题训练 如图JD7－1所示，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC＝BD，求证：BC＝AD. 图JD7－1 [解析] 根据条件，我们易知 ∠C＝∠D＝90°，即△ABC和 △BAD都是直角三角形，根据 “H.L.”定理，只要知道一条 直角边和一条斜边分别相等， 即可得出这两个直角三角形全 等，进而得出BC＝AD. 阶段综合测试七（期末三） 数学·人教版（RJ） 针对第14题训练 新定义一种运算：a*b＝(a＋b)÷(1－ab)，求2*3 针对第16题训练 如图JD7－3，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几 对全等三角形并任选其中一对给予证明． 图JD7－3 解：此图中有三对全等三角形，分别是： △ABF≌△DEC、△ABC≌△DEF、△BCF≌△EFC. 选证△ABF≌△DEC. 证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D. 又∵AB＝DE，AF＝DC， ∴△ABF≌△DEC. 阶段综合测试七（期末三） 数学·人教版（RJ） 针对第24题训练 如图JD7－4，AB，CD是两条高速公路，M，N是两个村庄， 现建造一个货物中转站，要求到AB，CD的距离相等，且到两 个村庄的距离也相等．(不写作法，保留作图痕迹) 图JD7－4 解：如图所示：