北京历年高考数学圆锥曲线试题理科

北京历年高考数学圆锥曲线试题理科

北京历年高考数学圆锥曲线试题 ‎2005（本小题共14分）‎ ‎ 如图，直线l1：与直线l2：之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2.‎ ‎ （Ⅰ）分别用不等式组表示W1和W2；‎ ‎ （Ⅱ）若区域W中的动点P（x，y）到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅲ）设不过原点O的直线l与（Ⅱ）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别 交于M3，M4两点. 求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合.‎ l1‎ l2‎ x y O ‎【答案】‎ ‎【详解】‎ 解：（I）‎ ‎（II）直线直线,由题意得 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 由知 ‎ 所以即 ‎ 所以动点P的轨迹方程为 ‎（III）当直线与轴垂直时,可设直线的方程为由于直线、曲线C关于轴对称,‎ ‎ 且与关于轴对称,于是的中点坐标都为,所以 ‎ 的重心坐标都为,即它们的重心重合.‎ ‎ 当直线与轴不垂直时,设直线的方程为 ‎ 由,得 ‎ 由直线　与曲线C有两个不同交点,可知,且 ‎ ‎ ‎ 设的坐标分别为 ‎ 则 ‎ 设的坐标分别为 ‎ 由 ‎ 从而 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 于是的重心与的重心也重合.‎ ‎2006（本小题共 14 分） ‎ 已知点 M（－2，0），N（2，0），动点 P满足条件|PM |－|PN |=，记动点 P的轨 ‎ 迹为 W. ‎ ‎（Ⅰ）求 W 的方程； ‎ ‎（Ⅱ）若 A，B 是W上的不同两点，O 是坐标原点，求、的最小值.‎ 解法一： ‎ ‎（Ⅰ）由|PM|－|PN|=知动点 P 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，实 ‎ 半轴长 又半焦距 c=2，故虚半轴长 所以 W 的方程为, ‎ ‎（Ⅱ）设 A，B 的坐标分别为, ‎ 当 AB⊥x轴时,从而从而 当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得 故 所以 ‎ ‎ . 又因为,所以,从而 综上,当AB⊥轴时, 取得最小值2. 解法二: (Ⅰ）同解法一. ‎ ‎（Ⅱ）设 A，B 的坐标分别为，则, ,则 令 则且所以 当且仅当,即时””成立.‎ 所以、的最小值是2. ‎ ‎2007矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．‎ ‎（I）求边所在直线的方程；（II）求矩形外接圆的方程；‎ ‎（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．‎ 解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．‎ 又因为点在直线上，‎ 所以边所在直线的方程为．‎ ‎．‎ ‎（II）由解得点的坐标为，‎ 因为矩形两条对角线的交点为．‎ 所以为矩形外接圆的圆心．‎ 又．‎ 从而矩形外接圆的方程为．‎ ‎（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，‎ 所以，‎ 即．‎ 故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．‎ 因为实半轴长，半焦距．‎ 所以虚半轴长．‎ 从而动圆的圆心的轨迹方程为．‎ ‎2008（19）（本小题共14分）‎ 已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为l.‎ ‎（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；‎ ‎（Ⅱ）当∠ABC=60°，求菱形ABCD面积的最大值.‎ 解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．‎ 因为四边形为菱形，所以．‎ 于是可设直线的方程为．‎ 由得．‎ 因为在椭圆上，‎ 所以，解得．‎ 设两点坐标分别为，‎ 则，，，．‎ 所以．‎ 所以的中点坐标为．‎ 由四边形为菱形可知，点在直线上， ‎ 所以，解得．‎ 所以直线的方程为，即．‎ ‎（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，‎ 所以．‎ 所以菱形的面积．‎ 由（Ⅰ）可得，‎ 所以．‎ 所以当时，菱形的面积取得最大值．‎ ‎2009已知双曲线的离心率为，右准线方程为 ‎（Ⅰ）求双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交 于不同的两点，证明的大小为定值..w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．‎ ‎（Ⅰ）由题意，得，解得，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ∴，∴所求双曲线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）点在圆上，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 圆在点处的切线方程为，‎ 化简得. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 由及得，‎ ‎∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，‎ ‎∴，且，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 设A、B两点的坐标分别为，‎ 则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎∵，且 ‎，‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎.‎ ‎∴ 的大小为..w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解法2】（Ⅰ）同解法1.‎ ‎（Ⅱ）点在圆上，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 圆在点处的切线方程为，‎ 化简得.由及得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，‎ ‎∴，设A、B两点的坐标分别为，‎ 则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎∴，∴ 的大小为..w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.‎ ‎2010在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.‎ ‎(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；‎ ‎(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。‎ ‎19，解：（1）因点B与（-1,1）关于原点对称，得B点坐标为（1，-1）。‎ ‎ 设P点坐标为，则，由题意得，‎ ‎ 化简得：。‎ ‎ 即P点轨迹为：‎ ‎ （2）因，可得，‎ ‎ 又，‎ ‎ 若，则有， 即 ‎ 设P点坐标为，则有：‎ ‎ 解得：，又因，解得。‎ ‎ 故存在点P使得与的面积相等，此时P点坐标为或 ‎2011已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线I交椭圆G于A，B两点.‎ ‎ （I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；‎ ‎ （II）将表示为m的函数，并求的最大值.‎ 解：（Ⅰ）由已知得 所以 所以椭圆G的焦点坐标为 离心率为 ‎（Ⅱ）由题意知，.‎ 当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为 此时 当m=－1时，同理可得 当时，设切线l的方程为 由 设A、B两点的坐标分别为，则 又由l与圆 所以 由于当时，‎ 所以.‎ 因为 且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.‎ ‎2012已知曲线.‎ ‎（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；‎ ‎（2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，，直线与直线交于点，求证：，，三点共线.‎ 解：（1）原曲线方程可化简得：‎ 由题意可得：，解得：‎ ‎（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，‎ ‎，解得： 由韦达定理得：①，，②‎ 设，，‎ 方程为：，则，‎ ‎，，‎ 欲证三点共线，只需证，共线 即成立，化简得：‎ 将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。‎ ‎2013已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.‎ ‎(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.‎ ‎(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.‎ ‎2014已知椭圆，‎ （1） 求椭圆的离心率.‎ 设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.‎ 解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为。‎ ‎ 所以，从而。因此。‎ 故椭圆C的离心率。‎ ‎（Ⅱ） 直线AB与圆相切。证明如下：‎ 设点A,B的坐标分别为，，其中。‎ 因为，所以，即，解得。‎ ‎ 当时，，代入椭圆C的方程，得，‎ ‎ 故直线AB的方程为。圆心O到直线AB的距离。‎ ‎ 此时直线AB与圆相切。‎ ‎ 当时，直线AB的方程为，‎ ‎ 即，‎ ‎ 圆心0到直线AB的距离 ‎ ‎ ‎ 又，故 ‎ ‎ ‎ 此时直线AB与圆相切。‎ ‎2014年（本小题14分）‎ 已知椭圆，‎ ‎（1）求椭圆的离心率.‎ （1） 设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.‎ 解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为。‎ ‎ 所以，从而。因此。‎ 故椭圆C的离心率。‎ ‎（Ⅱ） 直线AB与圆相切。证明如下：‎ 设点A,B的坐标分别为，，其中。‎ 因为，所以，即，解得。‎ ‎ 当时，，代入椭圆C的方程，得，‎ ‎ 故直线AB的方程为。圆心O到直线AB的距离。‎ ‎ 此时直线AB与圆相切。‎ ‎ 当时，直线AB的方程为，‎ ‎ 即，‎ ‎ 圆心0到直线AB的距离 ‎ ‎ ‎ 又，故 ‎ ‎ ‎ 此时直线AB与圆相切。‎