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文档介绍
陕西省2015年中考数学卷
陕西省2015年中考数学试卷 一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分,每小题只有一个选项是符合题意的) 1.计算:(﹣)0=( ) A. 1 B. ﹣ C. 0 D. 考点: 零指数幂.. 分析: 根据零指数幂:a0=1(a≠0),求出(﹣)0的值是多少即可. 解答: 解:(﹣)0=1. 故选:A. 点评: 此题主要考查了零指数幂的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①a0=1(a≠0);②00≠1. 2.(3分)(2015•陕西)如图是一个螺母的示意图,它的俯视图是( ) A. B. C. D. 考点: 简单组合体的三视图.. 分析: 根据从上面看得到的图形是俯视图,可得答案. 解答: 解:从上面看外面是一个正六边形,里面是一个没有圆心的圆, 故选:B. 点评: 本题考查了简单组合体的三视图,从上面看得到的图形是俯视图. 3.(3分)(2015•陕西)下列计算正确的是( ) A. a2•a3=a6 B. (﹣2ab)2=4a2b2 C. (a2)3=a5 D. 3a2b2÷a2b2=3ab 考点: 整式的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.. 分析: 根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法,即可解答. 解答: 解:A、a2•a3=a5,故正确; B、正确; C、(a2)3=a6,故错误; D、3a2b2÷a2b2=3,故错误; 故选:B. 点评: 本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法,解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法的法则. 4.(3分)(2015•陕西)如图,AB∥CD,直线EF分别交直线AB,CD于点E,F.若∠1=46°30′,则∠1的度数为( ) A. 43°30′ B. 53°30′ C. 133°30′ D. 153°30′ 考点: 平行线的性质.. 分析: 先根据平行线的性质求出∠EFD的度数,再根据补角的定义即可得出结论. 解答: 解:∵AB∥CD,∠1=46°30′, ∴∠EFD=∠1=46°30′, ∴∠2=180°﹣46°30′=133°30′. 故选C. 点评: 本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:两线平行,同位角相等. 5.(3分)(2015•陕西)设正比例函数y=mx的图象经过点A(m,4),且y的值随x值的增大而减小,则m=( ) A. 2 B. ﹣2 C. 4 D. ﹣4 考点: 正比例函数的性质.. 分析: 直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可. 解答: 解:把x=m,y=4代入y=mx中, 可得:m=±2, 因为y的值随x值的增大而减小, 所以m=﹣2, 故选B 点评: 本题考查了正比例函数的性质:正比例函数y=kx(k≠0)的图象为直线,当k>0,图象经过第一、三象限,y值随x的增大而增大;当k<0,图象经过第二、四象限,y值随x的增大而减小. 6.(3分)(2015•陕西)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 考点: 等腰三角形的判定与性质.. 分析: 根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数,再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形. 解答: 解:∵AB=AC, ∴△ABC是等腰三角形; ∵AB=AC,∠A=36°, ∴∠ABC=∠C=72°, ∵BD是△ABC的角平分线, ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°, ∴∠A=∠ABD=36°, ∴BD=AD, ∴△ABD是等腰三角形; 在△BCD中,∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°, ∴∠C=∠BDC=72°, ∴BD=BC, ∴△BCD是等腰三角形; ∵BE=BC, ∴BD=BE, ∴△BDE是等腰三角形; ∴∠BED=(180°﹣36°)÷2=72°, ∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°, ∴∠A=∠ADE, ∴DE=AE, ∴△ADE是等腰三角形; ∴图中的等腰三角形有5个. 故选D. 点评: 此题考查了等腰三角形的判定,用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等,解题时要找出所有的等腰三角形,不要遗漏. 7.(3分)(2015•陕西)不等式组的最大整数解为( ) A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 考点: 一元一次不等式组的整数解.. 分析: 先求出各个不等式的解集,再求出不等式组的解集,最后求出答案即可. 解答: 解: ∵解不等式①得:x≥﹣8, 解不等式②得:x<6, ∴不等式组的解集为﹣8≤x<6, ∴不等式组的最大整数解为5, 故选C. 点评: 本题考查了解一元一次不等式组,不等式组的整数解的应用,解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集,难度适中. 8.(3分)(2015•陕西)在平面直角坐标系中,将直线l1:y=﹣2x﹣2平移后,得到直线l2:y=﹣2x+4,则下列平移作法正确的是( ) A. 将l1向右平移3个单位长度 B. 将l1向右平移6个单位长度 C. 将l1向上平移2个单位长度 D. 将l1向上平移4个单位长度 考点: 一次函数图象与几何变换.. 分析: 利用一次函数图象的平移规律,左加右减,上加下减,得出即可. 解答: 解:∵将直线l1:y=﹣2x﹣2平移后,得到直线l2:y=﹣2x+4, ∴﹣2(x+a)﹣2=﹣2x+4, 解得:a=﹣3, 故将l1向右平移3个单位长度. 故选:A. 点评: 此题主要考查了一次函数图象与几何变换,正确把握变换规律是解题关键. 9.(3分)(2015•陕西)在▱ABCD中,AB=10,BC=14,E,F分别为边BC,AD上的点,若四边形AECF为正方形,则AE的长为( ) A. 7 B. 4或10 C. 5或9 D. 6或8 考点: 平行四边形的性质;勾股定理;正方形的性质.. 专题: 分类讨论. 分析: 设AE的长为x,根据正方形的性质可得BE=14﹣x,根据勾股定理得到关于x的方程,解方程即可得到AE的长. 解答: 解:如图: 设AE的长为x,根据正方形的性质可得BE=14﹣x, 在△ABE中,根据勾股定理可得x2+(14﹣x)2=102, 解得x1=6,x2=8. 故AE的长为6或8. 故选:D. 点评: 考查了平行四边形的性质,正方形的性质,勾股定理,关键是根据勾股定理得到关于AE的方程. 10.(3分)(2015•陕西)下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是( ) A. 没有交点 B. 只有一个交点,且它位于y轴右侧 C. 有两个交点,且它们均位于y轴左侧 D. 有两个交点,且它们均位于y轴右侧 考点: 抛物线与x轴的交点.. 分析: 根据函数值为零,可得相应的方程,根据根的判别式,公式法求方程的根,可得答案. 解答: 解:当y=0时,ax2﹣2ax+1=0, ∵a>1 ∴△=(﹣2a)2﹣4a=4a(a﹣1)>0, ax2﹣2ax+1=0有两个根,函数与有两个交点, x=>0, 故选:D. 点评: 本题考查了抛物线与x轴的交点,利用了函数与方程的关系,方程的求根公式. 二、填空题(共5小题,每小题3分,计12分,其中12、13题为选做题,任选一题作答) 11.(3分)(2015•陕西)将实数,π,0,﹣6由小到大用“<”号连起来,可表示为 ﹣6 . 考点: 实数大小比较.. 分析: 正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可. 解答: 解:≈2.236,π≈3.14, ∵﹣6<0<2.236<3.14, ∴﹣6. 故答案为:﹣6. 点评: 此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:正实数>0>负实数,两个负实数绝对值大的反而小. 12.(3分)(2015•陕西)正八边形一个内角的度数为 135° . 考点: 多边形内角与外角.. 分析: 首先根据多边形内角和定理:(n﹣2)•180°(n≥3且n为正整数)求出内角和,然后再计算一个内角的度数. 解答: 解:正八边形的内角和为:(8﹣2)×180°=1080°, 每一个内角的度数为×1080°=135°. 故答案为:135°. 点评: 此题主要考查了多边形内角和定理,关键是熟练掌握计算公式:(n﹣2)•180 (n≥3)且n为整数). 13.(2015•陕西)如图,有一滑梯AB,其水平宽度AC为5.3米,铅直高度BC为2.8米,则∠A的度数约为 27.8° (用科学计算器计算,结果精确到0.1°). 考点: 解直角三角形的应用-坡度坡角问题.. 分析: 直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可. 解答: 解:∵tan∠A==≈0.5283, ∴∠A=27.8°, 故答案为:27.8°. 点评: 本题考查了坡度坡角的知识,解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值,难度不大. 14.(3分)(2015•陕西)如图,在平面直角坐标系中,过点M(﹣3,2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=的图象交于A,B两点,则四边形MAOB的面积为 10 . 考点: 反比例函数系数k的几何意义.. 分析: 设点A的坐标为(a,b),点B的坐标为(c,d),根据反比例函数y=的图象过A,B两点,所以ab=4,cd=4,进而得到S△AOC=|ab|=2,S△BOD=|cd|=2, S矩形MCDO=3×2=6,根据四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO,即可解答. 解答: 解:如图, 设点A的坐标为(a,b),点B的坐标为(c,d), ∵反比例函数y=的图象过A,B两点, ∴ab=4,cd=4, ∴S△AOC=|ab|=2,S△BOD=|cd|=2, ∵点M(﹣3,2), ∴S矩形MCDO=3×2=6, ∴四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO=2+2+6=10, 故答案为:10. 点评: 本题主要考查反比例函数的对称性和k的几何意义,根据条件得出S△AOC=|ab|=2,S△BOD=|cd|=2是解题的关键,注意k的几何意义的应用. 15.(3分)(2015•陕西)如图,AB是⊙O的弦,AB=6,点C是⊙O上的一个动点,且∠ACB=45°.若点M,N分别是AB,BC的中点,则MN长的最大值是 3 . 考点: 三角形中位线定理;等腰直角三角形;圆周角定理.. 分析: 根据中位线定理得到MN的最大时,AC最大,当AC最大时是直径,从而求得直径后就可以求得最大值. 解答: 解:∵点M,N分别是AB,BC的中点, ∴MN=AC, ∴当AC取得最大值时,MN就取得最大值, 当AC时直径时,最大, 如图, ∵∠ACB=∠D=45°,AB=6, ∴AD=6, ∴MN=AD=3 故答案为:3. 点评: 本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理,解题的关键是了解当什么时候MN的值最大,难度不大. 三、解答题(共11小题,计78分,解答时写出过程) 16.(5分)(2015•陕西)计算:×(﹣)+|﹣2|+()﹣3. 考点: 二次根式的混合运算;负整数指数幂.. 专题: 计算题. 分析: 根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8,然后化简后合并即可. 解答: 解:原式=﹣+2+8 =﹣3+2+8 =8﹣. 点评: 本题考查了二次根式的计算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.也考查了负整数整数幂、 17.(5分)(2015•陕西)解分式方程:﹣=1. 考点: 解分式方程.. 专题: 计算题. 分析: 分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解. 解答: 解:去分母得:x2﹣5x+6﹣3x﹣9=x2﹣9, 解得:x=, 经检验x=是分式方程的解. 点评: 此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根. 18.(5分)(2015•陕西)如图,已知△ABC,请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成面积相等的两部分.(保留作图痕迹,不写作法) 考点: 作图—复杂作图.. 分析: 作BC边上的中线,即可把△ABC分成面积相等的两部分. 解答: 解:如图,直线AD即为所求: 点评: 此题主要考查三角形中线的作法,同时要掌握若两个三角形等底等高,则它们的面积相等. 19.(5分)(2015•陕西)某校为了了解本校九年级女生体育测试项目“仰卧起坐”的训练情况,让体育老师随机抽查了该年级若干名女生,并严格地对她们进行了1分钟“仰卧起坐”测试,同时统计了每个人做的个数(假设这个个数为x),现在我们将这些同学的测试结果分为四个等级:优秀(x≥44)、良好(36≤x≤43)、及格(25≤x≤35)和不及格(x≤24),并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图. 根据以上信息,解答下列问题: (1)补全上面的条形统计图和扇形统计图; (2)被测试女生1分钟“仰卧起坐”个数的中位数落在 良好 等级; (3)若该年级有650名女生,请你估计该年级女生中1分钟“仰卧起坐”个数达到优秀的人数. 考点: 条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.. 分析: (1)根据各个等级的百分比得出答案即可; (2)根据中位数的定义知道中位数是第25和26个数的平均数,由此即可得出答案; (3)首先根据扇形图得出优秀人数占的百分比,条形统计图可以求出平均数的最小值,然后即可求出答案. 解答: 解:(1); (2)∵13+20+12+5=50, 50÷2=25,25+1=26, ∴中位数落在良好等级, 故答案为:良好; (3)650×26%=169(人), 即该年级女生中1分钟“仰卧起坐”个数达到优秀的人数是169. 点评: 本题难度中等,主要考查统计图表的识别;解本题要懂得频率分布直分图的意义.同时考查了平均数和中位数的定义. 20.(7分)(2015•陕西)如图,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延长线于点D,作AE∥BD,CE⊥AC,且AE,CE相交于点E,求证:AD=CE. 考点: 全等三角形的判定与性质.. 专题: 证明题. 分析: 根据平行线的性质得出∠EAC=∠ACB,再利用ASA证出△ABD≌△CAE,从而得出AD=CE. 解答: 证明:∵AE∥BD, ∴∠EAC=∠ACB, ∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB, ∴∠B=∠EAC, 在△ABD和△CAE中, , ∴△ABD≌△CAE, ∴AD=CE. 点评: 此题考查了全等三角形的判定与性质,用到的知识点是全等三角形的判定与性质、平行线的性质,关键是利用ASA证出△ABD≌△CAE. 21.(7分)(2015•陕西)晚饭后,小聪和小军在社区广场散步,小聪问小军:“你有多高?”小军一时语塞.小聪思考片刻,提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是,两人在灯下沿直线NQ移动,如图,当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时,其影长AD恰好为1块地砖长;当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时,其影长BF恰好为2块地砖长.已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成,小聪的身高AC为1.6米,MN⊥NQ,AC⊥NQ,BE⊥NQ.请你根据以上信息,求出小军身高BE的长.(结果精确到0.01米) 考点: 相似三角形的应用.. 分析: 先证明△CAD~△MND,利用相似三角形的性质求得MN=9.6,再证明△EFB~△MFN,即可解答. 解答: 解:由题意得:∠CAD=∠MND=90°,∠CDA=MDN, ∴△CAD~△MND, ∴, ∴, ∴MN=9.6, 又∵∠EBF=∠MNF=90°, ∠EFB=∠MFN, ∴△EFB~△MFN, ∴, ∴ ∴EB≈1.75, ∴小军身高约为1.75米. 点评: 本题考查的是相似三角形的判定及性质,解答此题的关键是相似三角形的判定. 22.(7分)(2015•陕西)胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游,经了解,现有甲、乙两家旅行社比较合适,报价均为每人640元,且提供的服务完全相同,针对组团两日游的游客,甲旅行社表示,每人都按八五折收费;乙旅行社表示,若人数不超过20人,每人都按九折收费,超过20人,则超出部分每人按七五折收费,假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x人. (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y(元)与x(人)之间的函数关系式; (2)若胡老师组团参加两日游的人数共有32人,请你计算,在甲、乙两家旅行社中,帮助胡老师选择收取总费用较少的一家. 考点: 一次函数的应用.. 专题: 应用题. 分析: (1)根据总费用等于人数乘以打折后的单价,易得y甲=640×0.85x,对于乙两家旅行社的总费用,分类讨论:当0≤x≤20时,y乙=640×0.9x;当x>20时,y乙=640×0.9×20+640×0.75(x﹣20); (2)把x=32分别代入(1)中对应得函数关系计算y甲和y乙的值,然后比较大小即可. 解答: 解:(1)甲两家旅行社的总费用:y甲=640×0.85x=544x; 乙两家旅行社的总费用:当0≤x≤20时,y乙=640×0.9x=576x;当x>20时,y乙=640×0.9×20+640×0.75(x﹣20)=480x+1920; (2)当x=32时,y甲=544×32=17408(元),y乙=480×32+1920=17280, 因为y甲>y乙, 所以胡老师选择乙旅行社. 点评: 本题考查了一次函数的应用:利用实际问题中的数量关系建立一次函数关系,特别对乙旅行社的总费用要采用分段函数解决问题. 23.(7分)(2015•陕西)某中学要在全校学生中举办“中国梦•我的梦”主题演讲比赛,要求每班选一名代表参赛.九年级(1)班经过投票初选,小亮和小丽票数并列班级第一,现在他们都想代表本班参赛.经班长与他们协商决定,用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛(胜者参赛). 规则如下:两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次,向上一面的点数都是奇数,则小亮胜;向上一面的点数都是偶数,则小丽胜;否则,视为平局,若为平局,继续上述游戏,直至分出胜负为止. 如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子,那么请你解答下列问题: (1)小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少? (2)该游戏是否公平?请用列表或树状图等方法说明理由.(骰子:六个面上分别刻有1,2,3,4,5,6个小圆点的小正方体) 考点: 游戏公平性;列表法与树状图法.. 分析: (1)首先判断出向上一面的点数为奇数有3种情况,然后根据概率公式,求出小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少即可. (2)首先应用列表法,列举出所有可能的结果,然后分别判断出小亮、小丽获胜的概率是多少,再比较它们的大小,判断出该游戏是否公平即可. 解答: 解:(1)∵向上一面的点数为奇数有3种情况, ∴小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是:. (2)填表如下: 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 由上表可知,一共有36种等可能的结果,其中小亮、小丽获胜各有9种结果. ∴P(小亮胜)=,P(小丽胜)==, ∴游戏是公平的. 点评: (1)此题主要考查了判断游戏公平性问题,要熟练掌握,首先计算每个事件的概率,然后比较概率的大小,概率相等就公平,否则就不公平. (2)此题主要考查了列举法(树形图法)求概率问题,解答此类问题的关键在于列举出所有可能的结果,列表法是一种,但当一个事件涉及三个或更多元素时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树形图. 24.(8分)(2015•陕西)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,过点B作⊙O的切线DE,与AC的延长线交于点D,作AE⊥AC交DE于点E. (1)求证:∠BAD=∠E; (2)若⊙O的半径为5,AC=8,求BE的长. 考点: 切线的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质.. 分析: (1)根据切线的性质,和等角的余角相等证明即可; (2)根据勾股定理和相似三角形进行解答即可. 解答: (1)证明:∵AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,过点B作⊙O的切线DE, ∴∠ABE=90°, ∴∠BAE+∠E=90°, ∵∠DAE=90°, ∴∠BAD+∠BAE=90°, ∴∠BAD=∠E; (2)解:连接BC,如图: ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∵AC=8,AB=2×5=10, ∴BC=, ∵∠BCA=∠ABE=90°,∠BAD=∠E, ∴△ABC∽△EAB, ∴, ∴, ∴BE=. 点评: 本题考查了切线的性质、相似三角形等知识点,关键是根据切线的性质和相似三角形的性质分析. 25.(10分)(2015•陕西)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+5x+4的顶点为M,与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点. (1)求点A,B,C的坐标; (2)求抛物线y=x2+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式; (3)设(2)中所求抛物线的顶点为M′,与x轴交于A′,B′两点,与y轴交于C′点,在以A,B,C,M,A′,B′,C′,M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中,求其中一个不是菱形的平行四边形的面积. 考点: 二次函数综合题.. 分析: (1)令y=0,求出x的值;令x=0,求出y,即可解答; (2)先求出A,B,C关于坐标原点O对称后的点为(4,0),(1,0),(0,﹣4),再代入解析式,即可解答; (3)取四点A,M,A′,M′,连接AM,MA′,A′M′,M′A,MM′,由中心对称性可知,MM′过点O,OA=OA′,OM=OM′,由此判定四边形AMA′M′为平行四边形,又知AA′与MM′不垂直,从而平行四边形AMA′M′不是菱形,过点M作MD⊥x轴于点D,求出抛物线的顶点坐标M,根据,即可解答. 解答: 解:(1)令y=0,得x2+5x+4=0, ∴x1=﹣4,x2=﹣1, 令x=0,得y=4, ∴A(﹣4,0),B(﹣1,0),C(0,4). (2)∵A,B,C关于坐标原点O对称后的点为(4,0),(1,0),(0,﹣4), ∴所求抛物线的函数表达式为y=ax2+bx﹣4, 将(4,0),(1,0)代入上式,得 解得:, ∴y=﹣x2+5x﹣4. (3)如图,取四点A,M,A′,M′,连接AM,MA′,A′M′,M′A,MM′, 由中心对称性可知,MM′过点O,OA=OA′,OM=OM′, ∴四边形AMA′M′为平行四边形, 又知AA′与MM′不垂直, ∴平行四边形AMA′M′不是菱形, 过点M作MD⊥x轴于点D, ∵y=, ∴M(), 又∵A(﹣4,0),A′(4,0) ∴AA′=8,MD=, ∴= 点评: 本题考查了二次函数的性质与图象、中心对称、平行四边形的判定、菱形的判定,综合性较强,解决本题的关键是根据中心对称,求出抛物线的解析式,在(3)中注意菱形的判定与数形结合思想的应用. 26.(12分)(2015•陕西)如图,在每一个四边形ABCD中,均有AD∥BC,CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12. (1)如图①,点M是四边形ABCD边AD上的一点,则△BMC的面积为 24 ; (2)如图②,点N是四边形ABCD边AD上的任意一点,请你求出△BNC周长的最小值; (3)如图③,在四边形ABCD的边AD上,是否存在一点P,使得cos∠BPC的值最小?若存在,求出此时cos∠BPC的值;若不存在,请说明理由. 考点: 四边形综合题.. 专题: 综合题. 分析: (1)如图①,过A作AE⊥BC,可得出四边形AECF为矩形,得到EC=AD,BE=BC﹣EC,在直角三角形ABE中,求出AE的长,即为三角形BMC的高,求出三角形BMC面积即可; (2)如图②,作点C关于直线AD的对称点C′,连接C′N,C′D,C′B交AD于点N′,连接CN′,则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′,可得出△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC,求出即可; (3)如图③所示,存在点P,使得cos∠BPC的值最小,作BC的中垂线PQ交BC于点Q,交AD于点P,连接BP,CP,作△BPC的外接圆O,圆O与直线PQ交于点N,则PB=PC,圆心O在PN上,根据AD与BC平行,得到圆O与AD相切,根据PQ=DC,判断得到PQ大于BQ,可得出圆心O在BC上方,在AD上任取一点P′,连接P′B,P′C,P′B交圆O于点M,连接MC,可得∠BPC=∠BMC≥∠BP′C,即∠BPC最小,cos∠BPC的值最小,连接OB,求出即可. 解答: 解:(1)如图①,过A作AE⊥BC, ∴四边形AECD为矩形, ∴EC=AD=8,BE=BC﹣EC=12﹣8=4, 在Rt△ABE中,∠ABE=60°,BE=4, ∴AB=2BE=8,AE==4, 则S△BMC=BC•AE=24; 故答案为:24; (2)如图②,作点C关于直线AD的对称点C′,连接C′N,C′D,C′B交AD于点N′,连接CN′,则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′, ∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC, ∵AD∥BC,AE⊥BC,∠ABC=60°, ∴过点A作AE⊥BC,则CE=AD=8, ∴BE=4,AE=BE•tan60°=4, ∴CC′=2CD=2AE=8, ∵BC=12, ∴BC′==4, ∴△BNC周长的最小值为4+12; (3)如图③所示,存在点P,使得cos∠BPC的值最小, 作BC的中垂线PQ交BC于点Q,交AD于点P,连接BP,CP,作△BPC的外接圆O,圆O与直线PQ交于点N,则PB=PC,圆心O在PN上, ∵AD∥BC, ∴圆O与AD相切于点P, ∵PQ=DC=4>6, ∴PQ>BQ, ∴∠BPC<90°,圆心O在弦BC的上方, 在AD上任取一点P′,连接P′B,P′C,P′B交圆O于点M,连接MC, ∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C, ∴∠BPC最大,cos∠BPC的值最小, 连接OB,则∠BON=2∠BPN=∠BPC, ∵OB=OP=4﹣OQ, 在Rt△BOQ中,根据勾股定理得:OQ2+62=(4﹣OQ)2, 解得:OQ=, ∴OB=, ∴cos∠BPC=cos∠BOQ==, 则此时cos∠BPC的值为. 点评: 此题属于四边形综合题,涉及的知识有:勾股定理,矩形的判定与性质,对称的性质,圆的切线的判定与性质,以及锐角三角函数定义,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.查看更多