2020年四川省宜宾市中考数学试题

2020年四川省宜宾市中考数学试题

宜宾市 2020 年初中学业水平即高中阶段学校招生考试 数学 一、选择题 1.6 的相反数为 ( ) A. -6 B. 6 C. 1 6  D. 1 6 【答案】A 【解析】 【分析】 根据相反数的定义进行求解. 【详解】6 的相反数为：﹣6．故选 A. 【点睛】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答的关键，绝对值相等，符号相反的两 个数互为相反数. 2.我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020 年 6 月 23 日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三 号组网卫星，该卫星发射升空的速度是 7100 米/秒，将 7100 用科学记数法表示为（ ） A. 7100 B. 40.71 10 C. 271 10 D. 37.1 10 【答案】D 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝 对值＜1 时，n 是负数． 【详解】7100＝ 37.1 10 ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3.如图所示，圆柱的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：从正面看圆柱的主视图是矩形， 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 4.计算正确的是（ ） A. 3 2 5a b ab  B.  2 22 4a a   C.  2 2 21 1aa a    D. 3 4 12a a a  【答案】C 【解析】 【分析】 对每个选项进行计算判断即可． 【详解】解：A. 3a 和 2b 不是同类项，不能合并，选项错误； B.  2 22 4a a  ，选项错误； C.  2 2 21 1aa a    ，选项正确； D. 3 4 7a a a  ，选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握整式的运算法则 是解题的关键． 5.不等式组 2 0 2 1 1 x x      的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出各不等式的解集，然后得到不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解： 2 0 2 1 1 x x      ① ② ， 由①得， 2x  ， 由②得， 1x   ， ∴不等式组的解集为 1 2x   ， 故选：A． 【点睛】本题考查了解不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式是解题的关键． 6.7 名学生的鞋号（单位：厘米）由小到大是：20，21，22，22，23，23，则这组数据的众数和中位数分别 是（ ） A. 20，21 B. 21，22 C. 22，22 D. 22，23 【答案】C 【解析】 【分析】 根据中位数和众数的定义进行求解即可． 【详解】解：数据按从小到大的顺序排列为 20，21，22，22，22，23，23，所以中位数是 22； 数据 22 出现了 3 次，出现次数最多，所以众数是 22． 故选：C． 【点睛】本题考查了众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最 中间的那个数（最中间两个数的平均数）；众数是出现次数最多的数据． 7.如图，M，N 分别是 ABC 的边 AB，AC 的中点，若 65 , 45A ANM      ，则 BÐ =（ ） A. 20 B. 45 C. 65 D. 70 【答案】D 【解析】 【分析】 由 M，N 分别是 ABC 的边 AB，AC 的中点，可知 MN 为△ABC 的中位线，即可得到 45C   ，从而可 求出∠B 的值． 【详解】解：∵M，N 分别是 ABC 的边 AB，AC 的中点， ∴MN∥BC， ∴∠ANM=∠C， ∵ 45ANM   ， ∴ 45C   ， 又∵ 65A   ∴ 180 180 65 45 70B A C         ∠ ∠ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，注意三角形的中位线平行于第三边是解题的关键． 8.学校为了丰富学生的知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的 价格多 8 元，已知学校用 15000 元购买科普类图书的本数与用 12000 元购买文学书的本数相等，设文学类 图书平均每本 x 元，则列方程正确的是（ ） A. 15000 12000 8x x  B. 15000 12000 8x x  C. 15000 12000 8x x   D. 15000 12000 8x x   【答案】B 【解析】 【分析】 设文学类图书平均每本 x 元，根据购买的书本数相等即可列出方程． 【详解】设文学类图书平均每本 x 元，依题意可得15000 12000 8x x  故选 B． 【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程． 9.如图，AB 是 O 的直径，点 C 是圆上一点，连结 AC 和 BC，过点 C 作CD AB 于 D，且 4, 3CD BD  ， 则 O 的周长为（ ） A. 25 3  B. 50 3  C. 625 9  D. 625 36  【答案】A 【解析】 【分析】 先根据勾股定理求出 BC，再根据圆周角的性质得到 AC⊥BC，得到 cosB= BD BC BC AB  ,代入即可求出 AB， 故可求出 O 的周长． 【详解】∵CD AB ， 4, 3CD BD  ， ∴BC= 2 23 4 5  ∵AB 是 O 的直径， ∴AC⊥BC， ∴cosB= BD BC BC AB  即 3 5 5 AB  解得 AB= 25 3 ∴ O 的周长为 25 3  故选 A． 【点睛】此题主要考查圆内线段的求解，解题的关键是熟知圆周角定理、三角函数的运用． 10.某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶 6 个，市场上有 A 型和 B 型两种分类垃圾桶，A 型分类垃 圾桶 500 元/个，B 型分类垃圾桶 550 元/个，总费用不超过 3100 元，则不同的购买方式有（ ） A. 2 种 B. 3 种 C. 4 种 D. 5 种 【答案】B 【解析】 【分析】 设购买 A 型分类垃圾桶 x 个，则购买 B 型垃圾桶（6-x），然后根据题意列出不等式组，确定不等式组整数 解的个数即可． 【详解】解：设购买 A 型分类垃圾桶 x 个，则购买 B 型垃圾桶（6-x）个 由题意得： 500 550 6 3100 6 x x x      （ ） ，解得 4≤x≤6 则 x 可取 4、5、6，即有三种不同的购买方式． 故答案为 B． 【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用，弄清题意、列出不等式组并确定不等式组的整数解是解答本 题的关键． 11.如图， ,ABC ECD  都是等边三角形，且 B，C，D 在一条直线上，连结 ,BE AD ，点 M，N 分别是线 段 BE，AD 上的两点，且 1 1,3 3BM BE AN AD  ，则 CMN 的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 先证明 BCE ACD  ，得到 BE AD ，根据已知条件可得 AN BM ，证明△ △BCM ACN ，得到 =60MCN  ，即可得到结果； 【详解】∵ ,ABC ECD  都是等边三角形， ∴ BC AC ，CE CD ， 60BCA DCE    ， ∴ +BCA ACE DCE ACE      ， ∴ BCE ACD   ， 在 BCE 和 ACD△ 中， BC AC BCE ACD CE CD        ， ∴  △ △BCE ACD SAS ， ∴ BE AD ， CBM ACN   ， 又∵ 1 1,3 3BM BE AN AD  ， ∴ BM AN ， 在 BCM 和 ACN△ 中， BM AN CBM ACN BC AC        ， ∴  △ △BCM ACN SAS ， ∴ BCM ACN   ， MC NC ， ∴ + 60BCM ACM ACN ACM       ， ∴ CMN 是等边三角形． 故答案选 C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，正确分析题目条件是解题的关键． 12.函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象与 x 轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)，其中 0n  ，以下结论正 确的是（ ） ① 0abc  ； ②函数 2 ( 0)y ax bx c a    在 1, 2x x   处的函数值相等； ③函数 1y kx  的图象与的函数 2 ( 0)y ax bx c a    图象总有两个不同的交点； ④函数 2 ( 0)y ax bx c a    在 3 3x ≤ ≤ 内既有最大值又有最小值． A. ①③ B. ①②③ C. ①④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意作出函数图像，根据系数与图像的关系即可求解． 【详解】如图，根据题意作图， 故 a＜0，b＜0，c＞0 ∴ 0abc  ，①正确； ∵对称轴为 x=-1 ∴函数 2 ( 0)y ax bx c a    在 1, 3x x   处的函数值相等，故②错误； 图中函数 1y kx  的图象与的函数 2 ( 0)y ax bx c a    图象无交点，故③错误； 当 3 3x ≤ ≤ 时，x=-1 时，函数 2 ( 0)y ax bx c a    有最大值 x=3 时，函数 2 ( 0)y ax bx c a    有最小值，故④正确； 故选 C． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意画出函数大致图像进行求解． 二、填空题 13.分解因式： 3a a  ________________． 【答案】   a a 1 a 1  . 【解析】 【分析】 首先提取公因式 a，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】 3a a = 2( 1)a a  = ( 1)( 1)a a a  ． 故答案为 ( 1)( 1)a a a  ． 14.如图，A，B，C 是 O 上的三点，若 OBC 是等边三角形，则 cos A  ________________． 【答案】 3 2 【解析】 【分析】 由△OBC 是等边三角形、则∠COB =60°，然后由圆周角定理可得∠A=30°,然后运用余弦定义求解即可． 【详解】解：∵△OBC 是等边三角形 ∴∠COB=60° ∴∠A= 1 2 COB =30° ∴ cos cos30A  o = 3 2 ． 故答案为 3 2 ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和圆周角定理，掌握同弦所对的圆周角为圆心角的一半是解答本题 的关键． 15.一元二次方程 2 2 8 0x x   的两根为 1 2,x x ，则 2 1 1 2 1 2 2x xx xx x    ________________ 【答案】 37 2  【解析】 【分析】 根据根与系数的关系表示出 1 2x x 和 1 2x x 即可； 【详解】∵ 2 2 8 0x x   ， ∴ 1a  ， 2b  ， 8c   ， ∴ 1 2 =- 2bx x a   ， 1 2 = =-8cx x a ， ∴ 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2   x x x xx x x xx x x x ， =  2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2   x x x x x xx x ， =       22 2 8 372 88 2          ． 故答案为 37 2  ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键． 16.如图，四边形 ABCD 中， , , 3, 5, 2,DA AB CB AB AD AB BC P     是 AB 上一动点，则 PC PD 的最小值是________________ 【答案】 5 2 【解析】 【分析】 作 C 点关于 AB的对称点 C’，连接 C’D，PC PD 的最小值即为 C’D 的长，作 C’E⊥DA 的延长线于点 E， 根据勾股定理即可求解． 【详解】如图，作 C 点关于 AB 的对称点 C’，连接 C’D， PC PD 的最小值即为 C’D 的长， 作 C’E⊥DA 的延长线于点 E， ∴四边形 ABC’E 是矩形 ∴DE=AD+AE=AD+BC’=5, ∴C’D= 2 25 5 5 2  故答案为： 5 2 ． 【点睛】此题主要考查对称性的应用，解题的关键是熟知对称的性质及勾股定理的应用． 17.定义：分数 n m （m，n 为正整数且互为质数）的连分数（其中为整数，且等式右边的每一个分数的分子 都为 1），记作 1 2 1 1 ....n m a a    ：例如 7 1 1 1 1 1 ....19 5 1 1 119 2 2 2 22 1 17 7 1 1 15 15 22 2               ， 7 19 的 连分数是 1 12 11 12 2    ，记作 7 1 1 1 1 19 2 1 2 2     ，则________________ 1 1 1 1 2 3    ． 【答案】 7 10 【解析】 【分析】 根据连分数的定义即可求解． 【详解】依题意可设 a 1 1 1 1 2 3    ∴a= 1 1 1 1 7 1 1 3 10 101+ 1+ 1+1 7 7 72+ 3 3     故答案为： 7 10 ． 【点睛】此题主要考查新定义运算，解题的关键是根据题意进行求解． 18.在直角三角形 ABC 中， 90 ,ACB D  是 AB 的中点，BE 平分 ABC 交 AC 于点 E 连接 CD 交 BE 于 点 O，若 8, 6AC BC  ，则 OE 的长是________． 【答案】 9 5 11 【解析】 【分析】 过 E 点作 EG⊥AB 于 G 点，根据三角形面积公式求出 CE=EG=3，延长 CD 交过 B 作 BF⊥BC 于 F，可得 △ACD≌△BFD，得到 BF=8,再根据△CEO∽△FBO，找到比例关系得到 EO= 3 11 BE，再求出 BE 即可求解． 【详解】过 E 点作 EG⊥AB 于 G 点， ∵BE 平分 ABC ∴CE=EG, 设 CE=EG=x, ∵ 90ACB   , ∴AB= 2 26 8 10  ∵S△ABC= S△ABE+S△BCE， 故 1 1 1 2 2 2AC BC CE BC AB EG     即 1 1 18 6 6 102 2 2x x        解得 x=3 ∴CE=3, 延长 CD 交过 B 作 BF⊥BC 于 F， ∵D 是 AB 中点 ∴AD=BD 又 AC∥BF ∴∠A=∠DBF,由∠ADC=∠DBF ∴△ACD≌△BFD， ∴BF=AC=8, ∵AC∥BF ∴△CEO∽△FBO， ∴ 3 8 EO EC BO BF   ∴EO= 3 11 BE= 3 11 × 2 23 6 = 9 5 11 ， 故答案为： 9 5 11 ． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定、角平分线的性质 及相似三角形的判定与性质． 三、解答题 19.（1）计算：     1 0 20201 3 3 14            （2）化简： 2 2 2 2 111 1 a a a a        【答案】（1）1；（2）2 【解析】 【分析】 （1）运用负指数幂、零指数幂、绝对值性质进行求解即可； （2）先算括号里面的，然后进行分式乘除运算即可； 【详解】（1）原式=4-1-3+1， =1． （2）原式= 2 ( 1) 1 1 ( 1)( 1) 1 1 a a a a a a a          ， 2 1 1 a a a a    ， 2 1 1 a a a a   ， =2． 【点睛】本题主要考查了实数的计算和分式的化简，计算准确是解题的关键． 20.如图，在三角形 ABC 中，点 D 是 BC 上的中点，连接 AD 并延长到点 E，使 DE AD ，连接 CE． （1）求证： ABD ECD   （2）若 ABD 的面积为 5，求 ACE 的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）10． 【解析】 【分析】 （1）根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用 SAS 即可证明； （2）先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到 ABD ACDS S 、 ABD ECDS S ，再结合 5ABDS  以及 ACE ACD ECDS S S  解答即可． 【详解】证明：（1）∵D 是 BC 的中点， ∴BD=CD 在△ABD 和△CED 中， BD CD ADB CED AD ED       所以 ABD ECD   ； (2)∵在△ABC 中，D 是 BC 的中点 ∴ ABD ACDS S ABD ECD   ABD ECDS S  ∵ 5ABDS  5 5 10ACE ACD ECDS S S      ． 答：三角形 ACE 的面积为 10． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识，其中掌握全等三角形的判定 与性质是解答本题的关键． 21.在疫情期间，为落实停课不停学，某校对本校学生某一学科在家学习的情况进行抽样调查，了解到学生 的学习方式有：电视直播、任教老师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习，参入调查的学生只能选择 一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图，解答下列问题． （1）本次受调查的学生有________人； （2）补全条形统计图； （3）根据调查结果，若本校有 1800 名学生，估计有多少名学生与任课教师在线辅导？ 【答案】（1）60；（2）详见解析；（3）900 【解析】 【分析】 （1）根据 A 得占比和人数已知可得结果； （2）算出 C 的人数，然后补全条形统计图； （3）用总人数乘以在线辅导的学生占比即可； 【详解】（1）由题可知受调查人数 9 15%=60 ， 故答案为 60． （2）补全图形如图：C 的人数=60-9-30-6=15， （3）学生数为 301800 90060   答：在线辅导的有 900 人． 【点睛】本题主要考查了数据分析的知识点应用，准确分析题中数据是解题的关键． 22.如图， ,AB CD 两楼地面距离 BC 为 30 3 米，楼 AB 高 30 米，从楼 AB 的顶部点 A 测得楼 CD 顶部点 D 的仰角为 45 度． （1）求 CAD 的大小； （2）求楼 CD 的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）75°；（2）30 30 3 【解析】 【分析】 （1）如图：过点 A 作 AE CD 于点 E，在 Rt△ABC 中运用三角函数可得 3tan 3ACB  ，即 30ACB   、进一步可得∠EAC=30°，再结合 45EAD   即可解答； （2）先根据题意求得 DE=AE= 30 3 ,然后在 Rt△ACE 中解直角三角形求得 CE，最后利用 CD=CE+DE 进 行计算即可． 【详解】（1）如图：过点 A 作 AE CD 于点 E， ∵在 Rt△ABC 中， 30 3, 30BC AB  3tan 3 ABACB BC     30ACB   30ACB EAC    ∵AE//BC 45EAD   75CAD CAE DAE       ； (2)∵在RtAED 中，AE=BC= 30 3 ，∠DAE=45° ∴DE=AE= 30 3 ∵在 Rt△ACE 中，∠CAE=30° ∴CE=tan30°·AE=30 30 30 3CD CE DE     ． 【点睛】本题主要考查了运用三角函数值求角的大小和解直角三角形，灵活应用三角函数知识是解答本题 的关键． 23.如图，一次函数 y kx b  的图像与反比例函数 ( 0)my xx   的图像交于    3, , 1, 3A n B   两点，过 点 A 作 AC OP 于点 P． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求四边形 ABOC 的面积． 【答案】（1） 4y x   ；（2）11 2 【解析】 【分析】 （1）将点 B(-1，-3)代入 my x  ，可得反比例函数解析式 3y x  ，即可求出 A 点的坐标，将 A、B 代入解析 式即可求解； （2）过点 B 作 BE 垂直于 y 轴于点 E，根据  ABOE ACOQ OBQS S S 关系式可求解； 【详解】解：（1）将点 B(-1，-3)代入 my x  ， 解得 3m  所以反比例函数的表达式为 3y x  ； 将点 A(-3，n)代入 3y x  有，n=-1 将 A，B 代入 y kx b  得 3 1 3 k b k b         解得 1, 4k b    所以一次函数表达式为 4y x   ； （2）过点 B 作 BE 垂直于 y 轴于点 E， 4y x    0, 4Q  ABOE ACOQ OBQS S S    1 1 2 2AO OQ OC OQ BE      1 11 4 3 4 12 2       11 2  答：四边形的面积为11 2 ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，准确利用函数性质进行求解是解题的关键． 24.如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆上异于 A，B 的一点，连接 BC 并延长至点 D，使得CD BC ， 连接 AD 交 O 于点 E，连接 BE． （1）求证： ABD 是等腰三角形； （2）连接 OC 并延长，与 B 以为切点的切线交于点 F，若 4, 1AB CF  ，求 DE 的长． 【答案】（1）详见解析；（2） 4 3DE  【解析】 【分析】 （1）根据直径所对圆周角是直角及三线合一性质求解即可； （2）根据等腰三角形的性质和切线的性质证明  OBF AEB ，可得 8 3AE  ，即可求出 DE． 【详解】（1）证明：因为 AB 是圆 O 的直径， 所以 90ACB   ， AC BD  ， BC CD ， 所以点 C 是 BD 的中点， 所以 AB=AD， 所以三角形 ABD 是等腰三角形． （2）因为三角形 ABD 是等腰三角形， 1 , ,2BAC BAD AB AD BC BD     ， 1 2BAC BOC   ， BAD BOC   ， 因为 BF 是切线， 所以 90FOB   ， 因为 AB 是直径， 所以 90AEB OBF     ， OBF AEB  ， OB OF AE AB   ， 4, 3AB OF OC CF    ， 8 3AE  ， 4 3DE AD AE    ． 【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，准确运用相似三角形的性质是解题的关键． 25.如图，已知二次函数图像的顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图像上，过点 F(0，1)作 x 轴的平行 线交二次函数的图像于 M，N 两点 （1）求二次函数的表达式； （2）P 为平面内一点，当 PMN 时等边三角形时，求点 P 的坐标； （3）在二次函数的图象上是否存在一点 E，使得以点 E 为圆心的圆过点 F 和和点 N，且与直线 1y   相切， 若存在，求出点 E 的坐标，并求 E 的半径；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 21 4y x ；（2） (0,1 2 3)P  或 (0,1 2 3)P  ；（3）在二次函数图像上存在点 E，使得以点 E 为圆心，半径为 5 4 的圆，过点 F，N 且与直线 1y   相切． 【解析】 【分析】 （1）由二次函数的顶点是原点，则设二次函数的解析式为 2y ax ，然后将（2，1）代入 2y ax 求得 a 即 可； （2）将 y=1 代入 21 4y x 解得 2x   ，可确定 M、N 的坐标，进而确定 MN 的长度；再根据 PMN 是等 边三角形确定 PM 的长，然后解三角形确定 PF 的长，最后结合 F 点坐标即可解答； （3）先假设这样的点存在，设点 Q 是 FN 的中点，即 Q(1，1) 【详解】解：（1）∵二次函数的顶点是原点 ∴设二次函数的解析式为 2y ax ， 将（2，1）代入 2y ax ， 21 2a  解得 1 4a  所以二次函数的解析式为 21 4y x ； （2）如图：将 y=1 代入 21 4y x ，得 211 4 x ，解得 2x      2,1 , 2,1M N  4MN  PMN 是等边三角形 ∴点 P 在 y 轴上且 PM=4 ∴ cos30 =2 3PF PM   (0,1)F (0,1 2 3)P  或 (0,1 2 3)P  ； （3）假设在二次函数的图像上存在点 E 满足条件 设点 Q 是 FN 的中点，即 Q(1，1) ∴点 E 在 FN 的垂直平分线上 ∴点 E 是 FN 的垂直平分线 x=1 与 21 4y x 的图像的交点，即 21 114 4y    11, 4E      ， ∴  2 21 52 1 (1 )4 4EN       2 21 51 0 (1 )4 4EF      ∴点 E 到直线 y=-1 的距离为  1 514 4    ∴在二次函数图像上存在点 E，使得以点 E 为圆心，半径为 5 4 的圆，过点 F，N 且与直线 1y   相切． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的解析式、等边三角形、解三角形、垂直平分线等知 识，掌握并综合应用所学知识是解答本题的关键．