2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§2-7 函数与方程（讲解部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§2-7 函数与方程（讲解部分）

考点　函数与方程 考点清单 考向基础 1.函数零点的定义 (1)对于函数 y = f ( x )( x ∈ D ),把使 f ( x )=0成立的实数 x 叫做函数 y = f ( x )( x ∈ D )的 零点. (2) 方程 f ( x )=0有实根 ⇔ 函数 y = f ( x )的图象与 x 轴有交点 ⇔ 函数 y = f ( x )有零点. 2.零点存在性定理 如果函数 y = f ( x )在区间[ a , b ]上的图象是 连续不断 的一条曲线,并且有 f ( a )· f ( b )<0 ,那么函数 y = f ( x )在区间( a , b )内有零点,即存在 c ∈( a , b ),使得 f ( c )=0,这个 c 也就是 f ( x )=0的根.我们把这一结论称为零点存在性定理. Δ >0 Δ =0 Δ <0 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a >0)的图象       与 x 轴的交点个数 两个 一个 无交点 零点个数 2 1 0 3.二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a >0)的图象与零点的关系 考向突破 考向一　判断零点所在区间 例1    (2018豫西南部分示范性高中联考,7)函数 f ( x )=ln x -   的零点所在的 区间为   (　　) A.(0,1)　    B.(1,2)　    C.(2,3)　    D.(3,4) 解析　易知 f ( x )=ln x -   的定义域为(0,+ ∞ ),且在定义域上单调递增. ∵ f (1)=-2<0, f (2)=ln 2-   >0, ∴ f (1)· f (2)<0,∴根据零点存在性定理知 f ( x )=ln x -   的零点所在的区间为(1, 2).故选B. 答案    B 考向二　判断零点的个数 例2    (2020届甘肃甘谷第一中学第一次检测,12)若 a 满足 a +lg a =4, b 满足 b + 10 b =4,函数 f ( x )=   则关于 x 的方程 f ( x )= x 解的个数是(    　) A.1　    B.2　    C.3　    D.4 解析　由已知得lg a =4- a ,10 b =4- b ,如图,在同一直角坐标系中作出 y =10 x , y = lg x 以及 y =4- x 的图象,其中 y =10 x , y =lg x (-1< x <3)的图象关于直线 y = x 对称,直 线 y = x 与 y =4- x 的交点为(2,2),所以 a + b =4,∴ f ( x )=   当 x ≤ 0时,解 x 2 +4 x +2= x ,得 x =-1或 x =-2;当 x >0时,解 f ( x )= x 得 x =2,所以方程 f ( x )= x 解的个数 是3.   答案    C 方法1 　判断函数零点所在区间和零点个数的方法 1.判断函数零点所在区间的常用方法 (1)零点存在性定理:使用条件是函数图象是连续的. (2)数形结合法:画出函数的图象,用估算的方法确定区间. 2.判断函数零点个数的常用方法 (1) 解方程法: 令 f ( x )=0,如果有解,则有几个不同解就有几个零点. (2) 函数零点存在性定理: 利用该定理不仅要求函数在[ a , b ]上的图象是连续 的曲线,且 f ( a )· f ( b )<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性、奇偶性、 周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点. (3) 数形结合法: 转化为两个函数图象的交点的个数问题,有几个交点就有 几个不同的零点. 方法技巧 例1    (2019湖南衡阳第一中学第一次月考,8)函数 f ( x )=   -log 2 x 的零点个 数为   (　　) A.0　    B.1　    C.2　    D.3 解析　令 f ( x )=0,则   -log 2 x =0,即   =log 2 x ,分别作出 y =   与 y =log 2 x 的 图象,如图.   由图可知两函数图象的交点只有1个,即 f ( x )的零点个数为1,故选B. 答案    B   解题关键    将 f ( x )=0根的个数问题转化为 y =   与 y =log 2 x 图象的交点个 数问题是解题关键. 方法2 　已知函数零点求参数的取值范围 已知函数有零点(方程有根),求参数的值或取值范围常用的方法和思路: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确 定参数范围. (2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数最值问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图 象,然后数形结合求解. 例2    (2019安徽合肥二模,9)设函数 f ( x )=   若函数 g ( x )= f ( x )- b 有 三个零点,则实数 b 的取值范围是   (　　) A.(1,+ ∞ )　     B.   C.(1,+ ∞ ) ∪ {0}　    D.(0,1] 解析　令 g ( x )= f ( x )- b =0,则 f ( x )= b .函数 g ( x )= f ( x )- b 有三个零点等价于 f ( x )= b 有 三个根,当 x ≤ 0时, f ( x )=e x ( x +1),则 f '( x )=e x ( x +1)+e x =e x ( x +2),由 f '( x )<0得e x ( x + 2)<0,即 x <-2,此时 f ( x )为减函数, 由 f '( x )>0得e x ( x +2)>0,所以-2< x <0,此时 f ( x )为增函数, 故当 x =-2时, f ( x )取得极小值 f (-2)=-   ,作出 y = f ( x )与 y = b 的图象如图:   由图知 f ( x )= b 有三个根,则0< b ≤ 1,故选D. 答案    D