小学数学典型应用题精讲宝典-11

小学数学典型应用题精讲宝典-11

‎“牛吃草”问题 ‎【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。‎ ‎【数量关系】 草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数 ‎【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。[来源:学,科,网]‎ 例1 一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？‎ 解 草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？ 设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：‎ ‎（1）求草每天的生长量 因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以 ‎ 1×10×20＝原有草量＋20天内生长量 同理 1×15×10＝原有草量＋10天内生长量 由此可知 （20－10）天内草的生长量为 ‎ ‎1×10×20－1×15×10＝50‎ 因此，草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5‎ ‎（2）求原有草量 原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100‎ ‎（3）求5 天内草总量 ‎5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125‎ ‎（4）求多少头牛5 天吃完草 因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。‎ 因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5＝25（头）‎ 答：需要5头牛5天可以把草吃完。‎ 例2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？‎ 解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：‎ ‎（1）求每小时进水量 因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量 ‎10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量 所以，（10－3）小时内的进水量为 1×5×10－1×12×3＝14[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ 因此，每小时的进水量为 14÷（10－3）＝2‎ ‎（2）求淘水前原有水量 原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30‎ ‎（3）求17人几小时淘完 ‎17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是 ‎ ‎30÷（17－2）＝2（小时）‎ 答：17人2小时可以淘完水。‎ 鸡兔同笼问题 ‎【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。‎ ‎【数量关系】第一鸡兔同笼问题：‎ 假设全都是鸡，则有 ‎ 兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）‎ 假设全都是兔，则有 ‎ 鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）‎ 第二鸡兔同笼问题：‎ 假设全都是鸡，则有[来源:学#科#网]‎ 兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）‎ 假设全都是兔，则有 鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）‎ ‎【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。‎ 例1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？‎ 解 假设35只全为兔，则 ‎ 鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ 兔数＝35－23＝12（只）‎ 也可以先假设35只全为鸡，则 ‎ 兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）‎ 鸡数＝35－12＝23（只）‎ 答：有鸡23只，有兔12只。‎ 例2 2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？‎ 解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有 白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）‎ 答：白菜地有10亩。‎ 例3 李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本 3 .20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？‎ 解 此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有 作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）[来源:Z+xx+k.Com]‎ 日记本数＝45－15＝30（本）‎ 答：作业本有15本，日记本有30本。[来源:学科网ZXXK][来源:Zxxk.Com]‎ 例4 （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？‎ 解 假设100只全都是鸡，则有 兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）[来源:学科网]‎ 鸡数＝100－20＝80（只）[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ 答：有鸡80只，有兔20只。[来源:学科网ZXXK]‎ 例5 有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？‎ 解 假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3）个。因此，共有小和尚 ‎ ‎（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）‎ 共有大和尚 100－75＝25（人）‎ 答：共有大和尚25人，有小和尚75人。‎