2014山东省莱芜市中考数学试卷

2014山东省莱芜市中考数学试卷

‎2014年山东省莱芜市中考数学试卷 ‎（满分120分，考试时间120分钟）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1.（2014山东省莱芜市，1，3分）下列四个实数中，是无理数的为（ ）‎ A. 0 B. －3 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎2. （2014山东省莱芜市，2，3分）下面计算正确的是（ ）‎ A.3a－2a＝1 B.3a2＋2a＝5a3 C.(2ab)3＝6a3b3 D.‎ ‎【答案】D ‎3. （2014山东省莱芜市，3，3分）2014年4月25日青岛世界园艺博览会成功开幕，预计将接待1500万人前来观赏.将1500万用科学记数法表示为（ ）‎ A.15×105 B. 1.5×105 C. 1.5×107 D. 0.15×108‎ ‎【答案】C ‎4. （2014山东省莱芜市，4，3分）如图是由4个相同的小正方体搭成得得一个几何体，则它的俯视图是（ ）‎ ‎( 第4题图)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 年龄 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 人数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎5. （2014山东省莱芜市，5，3分）对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如下：‎ 则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ）‎ A.17 15.5 B. 17 16 C. 15 15.5 D. 16 16‎ ‎【答案】A ‎6. （2014山东省莱芜市，6，3分）若一个正多边形的每个内角为156°，则这个正多边形的边数是（ ）‎ A. 13 B. 14 C. 15 D. 16‎ ‎【答案】C ‎7. （2014山东省莱芜市，7，3分）已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地.若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地.设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎8.（2014山东省莱芜市，8，3分）如图，AB为半圆的直径，且AB＝4,半圆绕点B顺时针旋转45°，点A 旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ） ‎ ‎ ‎‎( 第8题图)‎ A. B. 2 C. D. 4 ‎ ‎【答案】B ‎9. （2014山东省莱芜市，9，3分）一个圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则该圆锥的高是（ ）‎ A. R B. R C. R D.R ‎ ‎【答案】D ‎10.（2014山东省莱芜市，10，3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC,若1:4,则( )‎ ‎( 第10题图 )‎ A. 1:16 B. 1:18 C. 1:20 D. 1:24‎ ‎【答案】C ‎11.（2014山东省莱芜市，11，3分）如图，正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE,CE交AD于点F，连接BF,下列说法不正确的是（ ）‎ ‎( 第11题图 )‎ A.△CDF的周长等于AD＋CD B.FC平分∠BFD ‎ C.AC2＋BF2＝4CD2 D.DE2＝EF·CE ‎【答案】B ‎12.（2014山东省莱芜市，12，3分）已知二次函数的图像如图所示，下列结论：‎ ‎①abc＞0 ② 2a－b＜0 ③ 4a－2b＋c＜0 ④ (a＋c)2＜b2‎ 其中正确的个数有（ ）‎ ‎( 第12题图 )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分.）‎ ‎13. （2014山东省莱芜市，13，4分）因式分解：a3－4ab2＝ . ‎ ‎【答案】.a(a＋2b)(a－2b)‎ ‎14. （2014山东省莱芜市，14，4分）计算：＝ . ‎ ‎【答案】2‎ ‎15. （2014山东省莱芜市，15，4分）若关于x的方程的两根互为相反数.则 k＝ . ‎ ‎【答案】－1‎ ‎16. （2014山东省莱芜市，16，4分）已知一次函数y＝ax＋b与反比例函数的图象相交于A(4,2)、‎ B(－2,m)两点.则一次函数的表达式为 . ‎ ‎【答案】y＝x－2‎ ‎17. （2014山东省莱芜市，17，4分）如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1.现将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为,则的坐标为 . 【答案】（1342,0）‎ ‎（第17题图）‎ 三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎18. （2014山东省莱芜市，18，6分）‎ 先化简，再求值：，其中a＝－1.‎ ‎【答案】解：‎ 原式 当a= -1时，原式=（-1）2-2×（-1）=3‎ ‎19. （2014山东省莱芜市，19，8分）在某市开展的“读中华经典，做书香小年”读书月活动中，围绕学生日人均阅读时间这一问题，对初二学生进行随机抽样调查.下图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）本次抽样调查的样本容量是多少？‎ ‎（2）请将条形统计图补充完整.‎ ‎（3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在1~1.5小时对应的圆心角度数.‎ ‎（4）根据本次抽样调查，试估计该市12000名初二学生中日人均阅读时间在0.5~1.5小时的有多少人.‎ ‎【答案】解：(1)30÷20%＝150 ‎ ‎（2）如图 ‎（3）×360°＝108° （4）12000×（1－20%）＝9600（人）‎ ‎20. （2014山东省莱芜市，20，9分）如图，一堤坝的坡角∠ABC＝62°，坡面长度AB＝25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，‎ 则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）‎ ‎（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47,tan50°≈1.20）‎ ‎【答案】解：过点A作BC的垂线交BC于点E . 在Rt△ABE中，AB＝25,∠ABC＝62°，‎ ‎∴AE＝25sin63°＝25×0.88＝22. BE＝25cos62°＝25×0.47＝11.75.‎ 在Rt△ADE中，AE＝22,tan50°＝1.20 ∴DE＝‎ ‎∴DB=DE-BE=18.33-11.75=6.58米 答：应将坝底向外拓宽6.58米 .‎E ‎21. （2014山东省莱芜市，21，9分）如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=a（a<60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转a到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F,连接DE,BE,DF.‎ ‎(1)求证BE=CD;‎ ‎(2)若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明.‎ ‎【答案】（1）证明：由题知AE＝AD,AB＝AC,∠BAC＝∠EAD＝a.‎ ‎∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC,∠EAD＝∠BAD＋∠EAB. ‎ ‎∴∠EAB＝∠DAC，∴△EAB≌△DAC.∴BE＝CD.‎ ‎(2)四边形BDFE是菱形.‎ ‎∵AB＝AC，AD⊥BC,∴BD＝CD.‎ ‎∵BE＝CD,∴BE＝BD.‎ ‎∵△EAB≌△DAC ∴∠EBF＝∠C.‎ ‎∵∠ABC＝∠C,∴∠EBF＝∠ABC.‎ 又∵BF＝BF, ∴△EBF≌△DBF. ∴EF＝DF ‎∵EF∥BC, ∴∠EFB＝∠FBD.‎ ‎∴∠EFB＝∠EBF. ∴EF＝EB.‎ ‎∴BD＝BE＝EF＝FD.‎ ‎∴四边形BDFE是菱形.‎ ‎22.（2014山东省莱芜市，22，10分）某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程.已知2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元.若这两年内平均每年投资增长的百分率相同.‎ ‎(1)平均每年投资增长的百分率；‎ ‎（2）已知河道治污每平方米需投入400元，园林绿化每平方米需投入200元，若要求2015年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米，且河道治污费用不少于园林绿化费用的4倍，那么园林绿化的费用应在什么范围内？‎ ‎【答案】解：（1）设平均每年投资增长的百分率为x,根据题意，得 ‎1000（1+x）2=1210,‎ 解这个方程得：(舍去)‎ 答：平均每年投资增长的百分率为10%.‎ ‎(2)设园林绿化的费用是y万元，则河道治污的费用是（1210-y）万元，由题意，得 解这个不等式组得：190≤y≤242.‎ 答：园林绿化的费用应不少于190万元且不多于242万元.‎ ‎23（2014山东省莱芜市，23，10分）如图1，在⊙O中，E为的中点，C为⊙O上一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=r（r是⊙O的半径）.‎ （1） D为AB延长线上的一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；‎ （2） 求EF·EC的值 （3） 如图2，当F时AB的四等分点时，求EC的值.‎ ‎（第23题图）‎ ‎【答案】（1）证明：如图1，连接OC、OE,OE交AB于点M, ‎ ‎∵E是的中点，∴＝,∴OE⊥AB. ‎ ‎∴∠EMF＝90°,∴∠OEC＋∠MFE＝90°. ‎ ‎∵OC＝OE ∴∠OEC＝∠OCE.‎ 而∠DFC＝∠MFE,∴∠OCE＋∠DCF＝90°,‎ 即∠OCD＝90°.∴DC与⊙O相切. ‎ ‎(2)解：如图1，连接BC. ‎ ‎∵＝,∴∠EBF＝∠ECB,‎ 又∵∠BEF＝∠CEB ‎∴△EBF∽△ECB.‎ ‎∴‎ 即 ‎（3）连接OB.由（1）知OE⊥AB.‎ ‎∴在Rt△OMB中，BM2＝OB2－OM2,, 在Rt△EMB中，BM2＝EB2－EM2,,‎ ‎∴OB2－OM2,＝ EB2－EM2,. ‎ 设ME＝h则OM＝OE－ME＝r－h. ‎ ‎∴r2－(r－h)2＝.‎ ‎∴在Rt△EMB中，BM2＝EB2－EM2,.‎ ‎∵点F是AB的等分点。∴‎ ‎∴在Rt△EMF中，EF2＝ME2＋MF2,, ‎ 由（2）知EF·EC＝.∴EC＝.‎ ‎24（2014山东省莱芜市，24，12分）如图，过A（1,0）、 B（3,0）作x轴的垂线,分别交直线y＝4－x于C、D两点.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、C、D三点.‎ (1) 求抛物线的表达式；‎ (2) 点M为直线OD上的一动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；‎ (3) 若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S.试求S的最大值.‎ ‎（第24题图）‎ ‎【答案】解：（1）当x＝1时，y＝4－1＝3，∴点C(1,3).‎ 当x＝3时，y＝4－3＝1,∴点D（3,1）.‎ ‎∴ ∴‎ ‎（2）存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形.‎ 由题意易求直线OD的解析式为，∴可设点M（x,x）,则点N（x,）.‎ 当点M在OD之间运动时：MN＝,‎ 此时只要MN＝AC，四边形AMNC是平行四边形.‎ ‎∴.‎ 当点M在OD之外运动时：MN＝,‎ 此时只要NM＝AC，四边形AMNC是平行四边形.‎ ‎∴‎ ‎∴点M的横坐标是.‎ ‎(3)设△OAC平移后为△O′A′C′,各边与x轴、直线OD的交点为E、F、G、H.‎ ‎∵点C′在直线CD上，∴设C′（m,4－m，）1≤m＜3,易知E（m,0）,F(m,).‎ 由题易知直线OC的解析式为y＝3x,∴可设直线O′C′的解析式为y＝3x＋b.‎ 则4－m＝3m＋b,∴b＝4－4m,∴y＝3x＋4－4m.‎ ‎∴当y＝0时，0＝3x＋4－4m,∴,即点H(,0).‎ 由题得，解得，∴点G（）.‎ ‎∴重叠部分的面积是S＝‎ ‎ ‎ ‎∵1≤m＜3,∴m＝2时，S有最大值是 ‎( 第17题图 )‎