中考数学专题复习资料三角形 专题检测试卷真题汇总

中考数学专题复习资料三角形 专题检测试卷真题汇总

三角形 专题检测试卷　‎ 一．选择题（共15小题）‎ ‎1．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎2．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（　　）‎ A．12S B．10S C．9S D．8S ‎3．如图，已知圆柱的底面直径BC=，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（　　）‎ A．3 B．6 C．3 D．‎ ‎5．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2，则四边形ABCD的面积是（　　）‎ A． B．3 C． D．4‎ ‎6．如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（　　）‎ A．145° B．150° C．155° D．160°‎ ‎7．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（　　）‎ A．（1，1） B．（，1） C．（，） D．（1，）‎ ‎8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，则S2的值为（　　）‎ A．12 B．18 C．24 D．48‎ ‎9．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）‎ A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE ‎10．如图，△ABC、△ADE中，C、E两点分别在AD、AB上，且BC与DE相交于F点，若∠A=90°，∠B=∠D=30°，AC=AE=1，则四边形AEFC的周长为何（　　）‎ A．2 B．2 C．2+ D．2+‎ ‎11．如图，直角△ABC中，∠B=30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM=DN；②S△CDN=S四边形ABDN；③DE=DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎13．在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎14．在边长为正整数的△ABC中，AB=AC，且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1：2的两部分，则△ABC面积的最小值为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎15．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2‎ ‎，那么下列结论正确的是（　　）‎ A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b 二．填空题（共5小题）‎ ‎16．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为　 　．‎ ‎17．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为　 　．‎ ‎18．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是　 　．‎ ‎19．如图，∠AOB=60°，点O1是∠AOB平分线上一点，OO1=2，作O1A1⊥OA，O1B1⊥OB，垂足分别为点A1，B1，以A1B1为边作等边三角形A1B1O2；作O2A2⊥OA，O2B2⊥OB，垂足分别为点A2，B2，以A2B2为边作等边三角形A2B2O3；作O3A3⊥OA，O3B3⊥OB，垂足分别为点A3，B3，以A3B3为边作等边三角形A3B3O4；…按这样的方法继续下去，则△AnBnOn的面积为　 　（用含正整数n的代数式表示）．‎ ‎20．如图，△ABC的面积为S．点P1，P2，P3，…，Pn﹣1是边BC的n等分点（n≥3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且==，连接MP1，MP2，MP3，…，MPn﹣1，连接NB，NP1，NP2，…，NPn﹣1，线段MP1与NB相交于点D1，线段MP2与NP1相交于点D2，线段MP3与NP2相交于点D3，…，线段MPn﹣1与NPn﹣2相交于点Dn﹣1，则△ND1P1，△ND2P2，△ND3P3，…，△NDn﹣1Pn﹣1的面积和是　 　．（用含有S与n的式子表示）‎ 三．解答题（共8小题）‎ ‎21．如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．‎ ‎22．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE、BD交于点O．AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．‎ ‎（1）如图1，求证：AE=BD；‎ ‎（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．‎ ‎23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．‎ ‎（1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长；‎ ‎（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．‎ ‎24．如图所示，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE=CF，BE=DF．求证：‎ ‎（1）△ABE≌△CDF；‎ ‎（2）四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎25．我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB△AC=AO2﹣BO2．‎ ‎（1）在图1中，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，AO是BC边上的中线，则AB△AC=　 　，OC△OA=　 　；‎ ‎（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，求AB△AC、BA△BC的值；‎ ‎（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON=AO．已知AB△AC=14，BN△BA=10，求△ABC的面积．‎ ‎26．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=AD，DG=DC，E，F分别是BG，AC的中点．‎ ‎（1）求证：DE=DF，DE⊥DF；‎ ‎（2）连接EF，若AC=10，求EF的长．‎ ‎27．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：‎ ‎（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；‎ ‎（2）求△PQR面积的最小值；‎ ‎（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠‎ PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎28．△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，过点A作直线MN，使MN∥BC，点D在直线MN上，作射线BD，将射线BD绕点B顺时针旋转角α后交直线AC于点E．‎ ‎（1）如图①，当α=60°，且点D在射线AN上时，直接写出线段AB，AD，AE的数量关系．‎ ‎（2）如图②，当α=45°，且点D在射线AN上时，直写出线段AB、AD、AE的数量关系，并说明理由．‎ ‎（3）当α=30°时，若点D在射线AM上，∠ABE=15°，AD=﹣1，请直接写出线段AE的长度．‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题）‎ ‎1．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【解答】解：连接CP并延长，交AB于D，‎ ‎∵P是Rt△ABC的重心，‎ ‎∴CD是△ABC的中线，PD=CD，‎ ‎∵∠C=90°，‎ ‎∴CD=AB=3，‎ ‎∵AC=BC，CD是△ABC的中线，‎ ‎∴CD⊥AB，‎ ‎∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，‎ 故选：A．‎ ‎2．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（　　）‎ A．12S B．10S C．9S D．8S ‎【解答】解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2‎ 由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，‎ ‎∵AM=2EF，‎ ‎∴2a=2b，‎ ‎∴a=b，‎ ‎∵正方形EFGH的面积为S，‎ ‎∴b2=S，‎ ‎∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，‎ 故选：C．‎ ‎3．如图，已知圆柱的底面直径BC=，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．‎ 在RT△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=3，‎ 所以AC=3，‎ ‎∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为2AC=6，‎ 故选：D．‎ ‎4．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（　　）‎ A．3 B．6 C．3 D．‎ ‎【解答】解：∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，‎ ‎∴AB==3，∠CAB=45°，‎ ‎∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，‎ ‎∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=3，‎ ‎∴∠CAB′=90°，‎ ‎∴B′C==3，‎ 故选：A．‎ ‎5．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2，则四边形ABCD的面积是（　　）‎ A． B．3 C． D．4‎ ‎【解答】解：如图所示，延长BA，CD交于点E，‎ ‎∵∠A=∠C=90°，∠B=60°，‎ ‎∴∠E=30°，‎ ‎∴Rt△ADE中，AE===，‎ Rt△BCE中，CE=tan60°×BC=×2=2，‎ ‎∴四边形ABCD的面积 ‎=S△BCE﹣S△ADE ‎=×2×2﹣×1×‎ ‎=2﹣‎ 故选：A．‎ ‎　[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎6．如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（　　）‎ A．145° B．150° C．155° D．160°‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，‎ ‎∴6x=180°，‎ ‎∴x=30°，‎ ‎∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，‎ 故选：B．‎ ‎7．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（　　）‎ A．（1，1） B．（，1） C．（，） D．（1，）‎ ‎【解答】解：如图所示，过B作BC⊥AO于C，则 ‎∵△AOB是等边三角形，‎ ‎∴OC=AO=1，‎ ‎∴Rt△BOC中，BC==，‎ ‎∴B（1，），‎ 故选：D．‎ ‎8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，则S2的值为（　　）‎ A．12 B．18 C．24 D．48‎ ‎【解答】解：∵S1=3，S3=9，‎ ‎∴AB=，CD=3，‎ 过A作AE∥CD交BC于E，‎ 则∠AEB=∠DCB，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形AECD是平行四边形，‎ ‎∴CE=AD，AE=CD=3，‎ ‎∵∠ABC+∠DCB=90°，‎ ‎∴∠AEB+∠ABC=90°，‎ ‎∴∠BAE=90°，‎ ‎∴BE==2，‎ ‎∵BC=2AD，‎ ‎∴BC=2BE=4，‎ ‎∴S2=（4）2=48，‎ 故选：D．‎ ‎9．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）‎ A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE ‎【解答】解：∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB，‎ ‎∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，‎ ‎∴BE=BC，‎ ‎∴∠ACB=∠BEC，‎ ‎∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，‎ ‎∴∠A=∠EBC，‎ 故选：C．‎ ‎10．如图，△ABC、△ADE中，C、E两点分别在AD、AB上，且BC与DE相交于F点，若∠A=90°，∠B=∠D=30°，AC=AE=1，则四边形AEFC的周长为何（　　）‎ A．2 B．2 C．2+ D．2+‎ ‎【解答】解：∵∠A=90°，∠B=∠D=30°，‎ ‎∴∠AED=∠ACB=60°，‎ ‎∵∠AED=∠B+∠EFB=∠ACB=∠CFD+∠D=60°，‎ ‎∴∠EFB=∠CFD=30°，‎ ‎∴∠B=∠EFB=∠CFD=∠D，‎ ‎∴BE=EF=CF=CD，‎ ‎∴四边形AEFC的周长=AB+AC，‎ ‎∵∠A=90°，AE=AC=1，‎ ‎∴AB=AD=，‎ ‎∴四边形AEFC的周长=2．‎ 故选：B．‎ ‎11．如图，直角△ABC中，∠B=30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵点O是△ABC的重心，‎ ‎∴OC=CE，‎ ‎∵△ABC是直角三角形，‎ ‎∴CE=BE=AE，‎ ‎∵∠B=30°，‎ ‎∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，‎ ‎∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等边三角形，‎ ‎∴CM=CE，‎ ‎∴OM=CE﹣CE=CE，即OM=AE，‎ ‎∵BE=AE，‎ ‎∴EF=AE，‎ ‎∵EF⊥AB，‎ ‎∴∠AFE=60°，‎ ‎∴∠FEM=30°，‎ ‎∴MF=EF，‎ ‎∴MF=AE，‎ 故选：D．‎ ‎12．如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM=DN；②S△CDN=S四边形ABDN；③DE=DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【解答】解：∵D是BC中点，N是AC中点，‎ ‎∴DN是△ABC的中位线，‎ ‎∴DN∥AB，且DN=；‎ ‎∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB交AB于点M，‎ ‎∴M是AB的中点，‎ ‎∴EM=，‎ 又∵DN=，‎ ‎∴EM=DN，‎ ‎∴结论①正确；‎ ‎∵DN∥AB，‎ ‎∴△CDN∽ABC，‎ ‎∵DN=，‎ ‎∴S△CDN=S△ABC，‎ ‎∴S△CDN=S四边形ABDN，‎ ‎∴结论②正确；‎ 如图1，连接MD、FN，，‎ ‎∵D是BC中点，M是AB中点，‎ ‎∴DM是△ABC的中位线，‎ ‎∴DM∥AC，且DM=；‎ ‎∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，‎ ‎∴FN=，‎ 又∵DM=，‎ ‎∴DM=FN，‎ ‎∵DM∥AC，DN∥AB，‎ ‎∴四边形AMDN是平行四边形，‎ ‎∴∠AMD=∠AND，‎ 又∵∠EMA=∠FNA=90°，‎ ‎∴∠EMD=∠DNF，‎ 在△EMD和△DNF中，‎ ‎∴△EMD≌△DNF，‎ ‎∴DE=DF，‎ ‎∴结论③正确；‎ 如图2，连接MD，EF，NF，，[来源:1]‎ ‎∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，‎ ‎∴M是AB的中点，EM⊥AB，‎ ‎∴EM=MA，∠EMA=90°，∠AEM=∠EAM=45°，‎ ‎∵D是BC中点，M是AB中点，‎ ‎∴DM是△ABC的中位线，‎ ‎∴DM∥AC，且DM=；‎ ‎∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，‎ ‎∴FN=，∠FNA=90°，∠FAN=∠AFN=45°，‎ 又∵DM=，‎ ‎∴DM=FN=FA，‎ ‎∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD，‎ ‎∠EAF=360°﹣∠EAM﹣∠FAN﹣∠BAC ‎=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣∠AMD）‎ ‎=90°+∠AMD ‎∴∠EMD=∠EAF，‎ 在△EMD和△∠EAF中，‎ ‎∴△EMD∽△∠EAF，‎ ‎∴∠MED=∠AEF，‎ ‎∵∠MED+∠AED=45°，‎ ‎∴∠AED+∠AEF=45°，‎ 即∠DEF=45°，‎ 又∵DE=DF，‎ ‎∴∠DFE=45°，‎ ‎∴∠EDF=180°﹣45°﹣45°=90°，‎ ‎∴DE⊥DF，‎ ‎∴结论④正确．‎ ‎∴正确的结论有4个：①②③④．‎ 故选：D．‎ ‎13．在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：如图A中、延长AC、BE交于S，‎ ‎∵∠CAB=∠EDB=45°，‎ ‎∴AS∥ED，则SC∥DE．‎ 同理SE∥CD，‎ ‎∴四边形SCDE是平行四边形，‎ ‎∴SE=CD，DE=CS，‎ 即走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；‎ 如图B中、延长AF、BH交于S，作EG∥AS交BS于E．‎ 显然AF+FG+GH+HB＜SA+SB．‎ 如图C中、延长AI到S，使得∠SBA=70°，SB交KM于T．‎ 显然AI+IK+KM+BM＞SA+SB，‎ 如图D中、‎ 显然AN+NQ+QP+PB＞SA+SB．‎ 如图D中，延长AN交BP的延长线于T．作∠RQB=45°，‎ 显然：AN+NQ+QP+PB＞AN+NQ+QR=RB，‎ 即AN+NQ+PQ+PB＞AI+IK+KM+MB，‎ 综上所述，D选项的所走的线路最长．‎ 故选：D．[来源:1]‎ ‎14．在边长为正整数的△ABC中，AB=AC，且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1：2的两部分，则△ABC面积的最小值为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解答】解：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，得 或，‎ 解得或，‎ ‎∵2×＜（此时不能构成三角形，舍去）‎ ‎∴取，其中n是3的倍数 ‎∴三角形的面积S△=××=n2，对于S△=n2=n2，‎ 当n＞0时，S△随着n的增大而增大，故当n=3时，S△=取最小．‎ 故选：C．‎ ‎15．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（　　）‎ A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b ‎【解答】解：∵a2+b2=c2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°．‎ A、sinA=，则csinA=a．故本选项正确；‎ B、cosB=，则cosBc=a．故本选项错误；‎ C、tanA=，则=b．故本选项错误；‎ D、tanB=，则atanB=b．故本选项错误．‎ 故选：A．‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎16．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为　10　．‎ ‎【解答】解：（14×14﹣2×2）÷8‎ ‎=（196﹣4）÷8‎ ‎=192÷8‎ ‎=24，‎ ‎24×4+2×2‎ ‎=96+4‎ ‎=100，‎ ‎=10．‎ 答：正方形EFGH的边长为10．‎ 故答案为：10．‎ ‎17．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为　18　．‎ ‎【解答】解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；‎ ‎∵∠BAD=∠BCD=90°[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎∴四边形AMCN为矩形，∠MAN=90°；‎ ‎∵∠BAD=90°，‎ ‎∴∠BAM=∠DAN；‎ 在△ABM与△ADN中，‎ ‎∴△ABM≌△ADN（AAS），‎ ‎∴AM=AN（设为λ）；△ABM与△ADN的面积相等；‎ ‎∴四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积；‎ 由勾股定理得：AC2=AM2+MC2，而AC=6；‎ ‎∴2λ2=36，λ2=18，‎ 方法二：将三角形ADC绕点A顺时针旋转90度得到△ABC′，只要证明△ACC′是等腰直角三角形，然后面积可用AC×AC′来表示．‎ 故答案为：18．‎ ‎18．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是　AB=DC　．‎ ‎【解答】解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，‎ ‎∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB=DC．‎ 故答案为：AB=DC．‎ ‎19．如图，∠AOB=60°，点O1是∠AOB平分线上一点，OO1=2，作O1A1⊥OA，O1B1⊥OB，垂足分别为点A1，B1，以A1B1为边作等边三角形A1B1O2；作O2A2⊥OA，O2B2⊥OB，垂足分别为点A2，B2，以A2B2为边作等边三角形A2B2O3；作O3A3⊥OA，O3B3⊥OB，垂足分别为点A3，B3，以A3B3为边作等边三角形A3B3O4；…按这样的方法继续下去，则△AnBnOn的面积为　或　（用含正整数n的代数式表示）．‎ ‎【解答】解：如图，由题意得：∠A1OC1=∠B1OO1=30°，OO1=2，‎ ‎∠OA1O1=∠OB1O1=90°，‎ ‎∴A1O1=B1O1=OO1=1，‎ ‎∴OA1=OB1=，‎ ‎∵∠AOB=60°，‎ ‎∴△A1OB1是等边三角形，‎ ‎∴A1B1=，‎ 设OO4分别与A1B1，A2B2，A3B3的交点为C1，C2，C3，‎ ‎∴高OC1=，O1C1=2﹣=，‎ ‎∴△A1B1O1的面积为A1B1×O1C1=，‎ 易证得△A1B1O1∽△A2B2O2，‎ 同理可得： ==×，…，‎ ‎==×=（或）．‎ 故答案为： 或．‎ ‎20．如图，△ABC的面积为S．点P1，P2，P3，…，Pn﹣1是边BC的n等分点（n≥3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且==，连接MP1，MP2，MP3，…，MPn﹣1，连接NB，NP1，NP2，…，NPn﹣1，线段MP1与NB相交于点D1，线段MP2与NP1相交于点D2，线段MP3与NP2相交于点D3，…，线段MPn﹣1与NPn﹣2相交于点Dn﹣1，则△ND1P1，△ND2P2，△ND3P3，…，△NDn﹣1Pn﹣1的面积和是　•S　．（用含有S与n的式子表示）‎ ‎【解答】解：连接MN，设BN交MP1于O1，MP2交NP1于O2，MP3交NP2于O3．‎ ‎∴MN∥BC，‎ ‎∵点P1，P2，P3，…，Pn﹣1是边BC的n等分点，‎ ‎∴MN=BP1=P1P2=P2P3，‎ ‎∴四边形MNP1B，四边形MNP2P1，四边形MNP3P2都是平行四边形，‎ 易知S△ABN=•S，S△BCN=•S，S△MNB=•S，‎ ‎∴===•S，‎ ‎∴S阴=S△NBC﹣（n﹣1）•﹣=•S﹣（n﹣1）••S﹣S=•S，‎ 故答案为•S．‎ 三．解答题（共8小题）‎ ‎21．如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．‎ ‎【解答】解：∵AE=BF，‎ ‎∴AE+EF=BF+EF，‎ ‎∴AF=BE，‎ 在△ADF与△BCE中，‎ ‎∴△ADF≌△BCE（SAS）‎ ‎22．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE、BD交于点O．AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．‎ ‎（1）如图1，求证：AE=BD；‎ ‎（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．‎ ‎【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，‎ ‎∠ACB=∠DCE=90°，‎ ‎∴AC=BC，DC=EC，‎ ‎∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，‎ ‎∴∠BCD=∠ACE，‎ 在△ACE与△BCD中，‎ ‎∴△ACE≌△BCD（SAS），‎ ‎∴AE=BD，‎ ‎（2）∵AC=DC，‎ ‎∴AC=CD=EC=CB，‎ ‎△ACB≌△DCE（SAS）；‎ 由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC ‎∴∠DOM=90°，‎ ‎∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，‎ ‎∴△EMC≌△BCN（ASA），‎ ‎∴CM=CN，‎ ‎∴DM=AN，‎ ‎△AON≌△DOM（AAS），‎ ‎∵DE=AB，AO=DO，‎ ‎∴△AOB≌△DOE（HL）‎ ‎23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．‎ ‎（1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长；‎ ‎（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，‎ ‎∴AC=BC=AB=4，‎ ‎∵BE=5，‎ ‎∴CE==3，‎ ‎∴AE=4﹣3=1；‎ ‎（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，‎ ‎∴∠CAB=45°，‎ ‎∵AF⊥BD，‎ ‎∴∠AFB=∠ACB=90°，‎ ‎∴A，F，C，B四点共圆，‎ ‎∴∠CFB=∠CAB=45°，‎ ‎∴∠DFC=∠AFC=135°，‎ 在△ACF与△DCF中，，‎ ‎∴△ACF≌△DCF，‎ ‎∴CD=AC，‎ ‎∵AC=BC，‎ ‎∴DC=BC．‎ ‎24．如图所示，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥‎ BD于点F，AE=CF，BE=DF．求证：‎ ‎（1）△ABE≌△CDF；‎ ‎（2）四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎【解答】解：（1）∵AE⊥BD，CF⊥BD，‎ ‎∴∠AEB=∠DFC=90°，‎ 在△ABE与△CDF中，‎ ‎∴△ABE≌△CDF（SAS）；‎ ‎（2）∵△ABE≌△CDF，‎ ‎∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎25．我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB△AC=AO2﹣BO2．‎ ‎（1）在图1中，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，AO是BC边上的中线，则AB△AC=　0　，OC△OA=　7　；‎ ‎（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，求AB△AC、BA△BC的值；‎ ‎（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON=AO．已知AB△AC=14，BN△BA=10，求△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：①∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，‎ ‎∴BC=10，‎ ‎∵点O是BC的中点，‎ ‎∴OA=OB=OC=BC=5，‎ ‎∴AB△AC=AO2﹣BO2=25﹣25=0，‎ ‎②如图1，‎ 取AC的中点D，连接OD，‎ ‎∴CD=AC=3，‎ ‎∵OA=OC=5，‎ ‎∴OD⊥AC，‎ 在Rt△COD中，OD==4，‎ ‎∴OC△OA=OD2﹣CD2=16﹣9=7，‎ 故答案为0，7；‎ ‎（2）①如图2，取BC的中点O，连接AO，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴AO⊥BC，‎ 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，‎ ‎∴∠ABC=30°，‎ 在Rt△AOB中，AB=4，∠ABC=30°，‎ ‎∴AO=2，OB=2，‎ ‎∴AB△AC=AO2﹣BO2=4﹣12=﹣8，‎ ‎②取AC的中点D，连接BD，‎ ‎∴AD=CD=AC=2，‎ 过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E，‎ 在Rt△ABE中，∠BAE=180°﹣∠BAC=60°，‎ ‎∴∠ABE=30°，‎ ‎∵AB=4，‎ ‎∴AE=2，BE=2，‎ ‎∴DE=AD+AE=4，‎ 在Rt△BED中，根据勾股定理得，BD===2，‎ ‎∴BA△BC=BD2﹣CD2=24；‎ ‎（3）如图3，‎ 设ON=x，OB=OC=y，‎ ‎∴BC=2y，OA=3x，‎ ‎∵AB△AC=14，‎ ‎∴OA2﹣OB2=14，‎ ‎∴9x2﹣y2=14①，‎ 取AN的中点D，连接BD，‎ ‎∴AD=DN=AN=×OA=ON=x，‎ ‎∴OD=ON+DN=2x，‎ 在Rt△BOD中，BD2=OB2+OD2=y2+4x2，‎ ‎∵BN△BA=10，‎ ‎∴BD2﹣DN2=10，‎ ‎∴y2+4x2﹣x2=10，‎ ‎∴3x2+y2=10②‎ 联立①②得，或（舍），‎ ‎∴BC=4，OA=3，‎ ‎∴S△ABC=BC×AO=6．‎ ‎26．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=AD，DG=DC，E，F分别是BG，AC的中点．‎ ‎（1）求证：DE=DF，DE⊥DF；‎ ‎（2）连接EF，若AC=10，求EF的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，‎ ‎∴∠ADB=∠ADC=90°，‎ 在△BDG和△ADC中，‎ ‎∴△BDG≌△ADC，‎ ‎∴BG=AC，∠BGD=∠C，‎ ‎∵∠ADB=∠ADC=90°，E，F分别是BG，AC的中点，‎ ‎∴DE=BG=EG，DF=AC=AF，‎ ‎∴DE=DF，∠EDG=∠EGD，∠FDA=∠FAD，‎ ‎∴∠EDG+∠FDA=90°，‎ ‎∴DE⊥DF；‎ ‎（2）解：∵AC=10，‎ ‎∴DE=DF=5，‎ 由勾股定理得，EF==5．‎ ‎27．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：‎ ‎（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；‎ ‎（2）求△PQR面积的最小值；‎ ‎（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，根据勾股定理得，BC=10，‎ ‎∴sin∠B===，sin∠C=，‎ 过点Q作QE⊥AB于E，‎ 在Rt△BQE中，BQ=5t，‎ ‎∴sin∠B==，‎ ‎∴QE=4t，‎ 过点Q作QD⊥AC于D，‎ 在Rt△CDQ中，CQ=BC﹣BQ=10﹣5t，‎ ‎∴QD=CQ•sin∠C=（10﹣5t）=3（2﹣t），‎ 由运动知，AP=3t，CR=4t，‎ ‎∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），‎ ‎∴S△APR=AP•AR=×3t×4（2﹣t）=6t（2﹣t），‎ S△BPQ=BP•QE=×3（2﹣t）×4t=6t（2﹣t），‎ S△CQR=CR•QD=×4t×3（2﹣t）=6t（2﹣t），‎ ‎∴S△APR=S△BPQ=S△CQR，‎ ‎∴△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；‎ ‎（2）由（1）知，S△APR=S△BPQ=S△CQR=6t（2﹣t），‎ ‎∵AB=6，AC=8，‎ ‎∴S△PQR=S△ABC﹣（S△APR+S△BPQ+S△CQR）‎ ‎=×6×8﹣3×6t（2﹣t）=24﹣18（2t﹣t2）=18（t﹣1）2+6，‎ ‎∵0≤t≤2，‎ ‎∴当t=1时，S△PQR最小=6；‎ ‎（3）存在，方法1、如图1，‎ 过点R作RE⊥BC于E，过点P作PD⊥BC于D，‎ ‎∴∠REQ=∠QDP=90°，‎ ‎∴∠ERQ+∠EQR=90°，‎ ‎∵∠PQR=90°，‎ ‎∴∠EQR+∠PQD=90°，‎ ‎∴∠ERQ=∠PQD，‎ ‎∴△REQ∽△QDP，‎ ‎∴RE×DP=QD×EQ，‎ 由运动知，CR=4t，BQ=5t，AP=3t，‎ ‎∴BP=6﹣3t，‎ 易证，△BDP∽△BAC，‎ ‎∴DP=（6﹣3t），BD=（6﹣3t），‎ ‎∴DQ=BQ﹣BD=5t﹣（6﹣3t）=，‎ 同理：EQ=，RE=，‎ ‎∴×（6﹣3t）=×，‎ ‎∴t=1或秒；‎ 方法2、由点P，Q，R的运动速度知，运动1秒时，点P，Q，R分别在AB，BC，AC的中点，此时，四边形APQR是矩形，即：t=1秒时，∠PQR=90°，‎ 由（1）知，QE=4t，QD=3（2﹣t），AP=3t，CR=4t，AR=4（2﹣t），‎ ‎∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），‎ 过点Q作QD⊥AC于D，作QE⊥AB于E，‎ ‎∵∠A=90°，‎ ‎∴四边形APQD是矩形，‎ ‎∴AE=DQ=3（2﹣t），AD=QE=4t，‎ ‎∴DR=|AD﹣AR|=|4t﹣4（2﹣t）|=4|2t﹣2|，PE=|AP﹣AE|=|3t﹣3（2﹣t）|=3|2t﹣2|‎ ‎∵∠DQE=90°，∠PQR=90°，‎ ‎∴∠DQR=∠EQP，‎ ‎∴tan∠DQR=tan∠EQP，‎ 在Rt△DQR中，tan∠DQR==，‎ 在Rt△EQP中，tan∠EQP==，‎ ‎∴16t=9（2﹣t），‎ ‎∴t=．‎ 即：t=1或秒时，∠PQR=90°．‎ ‎28．△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，过点A作直线MN，使MN∥BC，点D在直线MN上，作射线BD，将射线BD绕点B顺时针旋转角α后交直线AC于点E．‎ ‎（1）如图①，当α=60°，且点D在射线AN上时，直接写出线段AB，AD，AE的数量关系．‎ ‎（2）如图②，当α=45°，且点D在射线AN上时，直写出线段AB、AD、AE的数量关系，并说明理由．‎ ‎（3）当α=30°时，若点D在射线AM上，∠ABE=15°，AD=﹣1，请直接写出线段AE的长度．‎ ‎【解答】解：（1）∵当α=60°时，∠ABC=∠DBE=60°，‎ ‎∴∠ABD=∠CBE，‎ 又∵AB=AC，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB=CB，∠ACB=60°，‎ ‎∴∠BCE=120°，‎ ‎∵MN∥BC，‎ ‎∴∠BAD=180°﹣∠ABC=120°，‎ ‎∴∠BAD=∠BCE，‎ ‎∴△BAD≌△BCE，‎ ‎∴AD=CE，‎ ‎∴AE=AC+CE=AB+AD；‎ ‎（2）AE=AB+AD．‎ 理由：当α=45°时，∠ABC=∠DBE=45°，‎ ‎∴∠ABD=∠CBE，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC=90°，‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形，[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴BC=AB，‎ ‎∵MN∥BC，‎ ‎∴∠BAD=180°﹣∠ABC=135°，‎ ‎∵∠BCE=180°﹣∠ACB=135°，‎ ‎∴∠BAD=∠BCE，‎ ‎∴△BAD∽△BCE，‎ ‎∴CE=AD，‎ ‎∴AE=AC+CE=AB+AD；‎ ‎（3）线段AE的长度为﹣1或2﹣．‎ 由题可得，∠ABC=∠DBE=∠BAD=30°，‎ 分两种情况：‎ ‎①如图所示，当点E在线段AC上时，‎ ‎∵∠ABE=15°=∠ABC=∠DBE，‎ ‎∴∠ABD=∠ABE=15°，‎ 在BE上截取BF=BD，易得△ABD≌△ABF，‎ ‎∴AD=AF=﹣1，∠ABC=∠BAD=∠BAF=30°，‎ ‎∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=15°+30°=45°，‎ 又∵∠AEF=∠CBE+∠C=15°+30°=45°，‎ ‎∴∠AFE=∠AEF，‎ ‎∴AE=AF=﹣1；‎ ‎②如图所示，当点E在CA的延长线上时，‎ 过D作DF⊥AB于F，过E作EG⊥BC于G，‎ ‎∵AD=﹣1，∠DAF=30°，‎ ‎∴DF=，AF=，‎ ‎∵∠DBF=15°+30°=45°，‎ ‎∴∠DBF=∠BDF，‎ ‎∴BF=DF=，AB=+=1=AC，‎ 易得△ABC中，BC=，‎ ‎∵∠EBG=15°+30°=45°，‎ ‎∴∠BEG=∠EBG，‎ 设BG=EG=x，则CG=﹣x，‎ ‎∵Rt△CEG中，tanC=，即=，‎ ‎∴x==EG，‎ ‎∴CE=2EG=3﹣，‎ ‎∴AE=CE﹣AC=3﹣﹣1=2﹣‎ 综上所述所，线段AE的长度为﹣1或2﹣．‎