北京市西城区2020届高三上学期期末考试数学答案

北京市西城区2020届高三上学期期末考试数学答案

‎ 北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 ‎ 高三数学参考答案 2020.1‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1．B 2．D 3．D 4．C ‎ ‎5．A 6．A 7．B 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9．‎ ‎10． ‎ ‎11．‎ ‎12． ‎ ‎13．答案不唯一，如 ‎14．；‎ 注：第14题第一问2分，第二问3分.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. ‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为 ……………… 2分 ‎ ‎ ‎ ……………… 5分 ‎ ， ……………… 7分 ‎ 所以函数的最小正周期为. ……………… 8分 ‎（Ⅱ）因为，所以． ……………… 9分 ‎ ‎ 所以当，即时，取得最小值. ……………… 11分 ‎ 当，即时，取得最大值． ……………… 13分 ‎16．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为， ‎ ‎ ……………… 1分 ‎ 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为，，，‎ ‎……………… 2分 ‎ 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率.‎ ‎………………3分 ‎（Ⅱ）由题意，的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 4分 因为在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是， ……………… 5分 ‎ 所以， ……………… 6分 ‎ ， ……………… 7分 ‎ . ……………… 8分 ‎ 所以随机变量的分布列为： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……………… 9分 ‎ 故. ……………… 10分 ‎ （Ⅲ）答案不唯一，言之有理即可. ‎ ‎ 如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：‎ ‎ 由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：，‎ ‎ 乘坐飞机的人满意度均值为：， ……………… 12分 ‎ 因为， ‎ ‎ 所以建议甲乘坐高铁从A市到B市. …………… 13分 B1‎ C ‎ D B A A1‎ C1‎ E ‎17．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由题意，三棱柱为正三棱柱. ‎ ‎ 连接. 设，则是的中点.‎ ‎ 连接. 由，分别为和的中点，‎ ‎ 得. ……………… 2分 又因为平面，平面，‎ ‎ 所以平面. ……………… 4分 ‎ （Ⅱ）取的中点，连接.‎ B1‎ C ‎ D B A A1‎ C1‎ z y x F ‎ 因为△为正三角形，且为中点，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 由，分别为和的中点，得，‎ ‎ 又因为平面， ‎ ‎ 所以平面，‎ ‎ 所以，.‎ ‎ 分别以，，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，… 5分 ‎ 则，，，，，‎ ‎ 所以，，，， …… 6分 ‎ 设平面的法向量，‎ ‎ 由，，得 ‎ 令，得. ……………… 8分 ‎ 设平面的法向量，‎ ‎ 由，，得 ‎ 令，得. ……………… 9分 ‎ 设二面角的平面角为，则 ， ‎ ‎ 由图可得二面角为锐二面角，‎ ‎ 所以二面角的余弦值为. ……………… 10分 ‎ （Ⅲ）结论：直线与平面相交. ……………… 11分 ‎ 证明：因为，，且，‎ ‎ 所以. ……………… 12分 ‎ 又因为平面的法向量，且，‎ ‎ 所以与不垂直，‎ ‎ 所以平面，且与平面不平行，‎ ‎ 故直线与平面相交. ……………… 14分 ‎18．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由题意，得，直线（）， ……………… 2分 ‎ 设，， ‎ ‎ 联立消去，得，…… 3分 ‎ 显然，， ……………… 4分 ‎ 则点的横坐标， ……………… 5分 ‎ 因为，‎ ‎ 所以点在轴的右侧. ……………… 6分 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）得点的纵坐标. ……………… 7分 ‎ 即. ‎ ‎ 所以线段的垂直平分线方程为：. ……… 8分 ‎ 令，得；令，得. ……………… 9分 ‎ 所以△的面积， ……… 10分 ‎ △的面积. …… 11分 ‎ 因为△与△的面积相等，‎ ‎ 所以，解得.‎ ‎ 所以当△与△的面积相等时，直线的斜率. ……… 13分 ‎ ‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由，得, ……………… 2分 ‎ 所以，.‎ ‎ 所以曲线在点处的切线方程为. …………… 4分 ‎（Ⅱ）由，得，‎ ‎ 则. … …………… 5分 ‎ 当时，由，得，‎ ‎ 所以函数在上单调递增； ……………… 7分 ‎ 当时，由，得，‎ ‎ 所以函数在上单调递减. ‎ ‎ 综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. … 8分 ‎ （Ⅲ）由，得在上恒成立. ‎ ‎ 设， ……………… 9分 ‎ 则. ‎ ‎ 由，得，（）. ……………… 10分 ‎ 随着变化，与的变化情况如下表所示： ‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ 所以在上单调递减，在上单调递增. ‎ ‎ 所以函数的最小值为. ‎ ‎ 由题意，得，即 . …………… 12分 ‎ 设，则.‎ ‎ 因为当时，； 当时，，‎ ‎ 所以在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎ 所以当时，.‎ ‎ 所以当，，即，时，有最大值为. …………… 14分 ‎20．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）答案不唯一. 如； ……………… 3分 ‎ （Ⅱ）假设存在一个使得, ……………… 4分 ‎ 令，其中且，‎ ‎ 由题意，得， ……………… 6分 ‎ 由为正整数，得，这与为集合中的最大元素矛盾，‎ ‎ 所以任意，. ……………… 8分 ‎（Ⅲ）设集合中有个元素，，‎ ‎ 由题意，得，，‎ ‎ 由（Ⅱ），得.‎ ‎ 假设，则.‎ ‎ 因为，‎ ‎ 由题设条件，得，‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以由（Ⅱ）可得，‎ ‎ 这与为中不超过的最大元素矛盾，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 又因为，， ‎ ‎ 所以. ……………… 10分 ‎ 任给集合的元子集，令， 以下证明集合符合题意：‎ ‎ 对于任意，则.‎ 若，则有，‎ ‎ 所以，，从而.‎ ‎ 故集合符合题意， ……………… 12分 ‎ 所以满足条件的集合的个数与集合的子集个数相同，‎ ‎ 故满足条件的集合有个. ……………… 13分