中考数学模拟试卷二含解析

中考数学模拟试卷二含解析

湖南省湘潭市2016年中考数学模拟试卷（二）‎ 一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．|﹣2|=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．‎ ‎2．（﹣4x）2=（　　）‎ A．﹣8x2 B．8x2 C．﹣16x2 D．16x2‎ ‎3．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．下列命题中，正确的是（　　）‎ A．平行四边形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的对角线互相垂直且平分 D．对角线相等的四边形是矩形 ‎5．在拼图游戏中，从图1的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“小房子”（如图2）的概率等于（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎6．如图，下列水平放置的几何体中，主视图是三角形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若关于x的方程x2+x﹣a+=0没有实数根，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a≥2 B．a≤2 C．a＜2 D．a＞2‎ ‎8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的纵坐标是﹣1，则顶点A的坐标是（　　）‎ A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，1）‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）‎ ‎9．化简：﹣=____________．‎ ‎10．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是____________．‎ ‎11．已知反比例函数y=的图象经过点（2，3），则此函数的关系式是____________．‎ ‎12．在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为____________．‎ ‎13．某商店一套西服的进价为300元，按标价的80%销售可获利100元，则该服装的标价为____________元．‎ ‎14．如图，直线y=kx+b经过A（﹣2，﹣1）和B（﹣3，0）两点，则不等式﹣3≤﹣2x﹣5＜kx+b的解集是____________．‎ ‎15．如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=____________．‎ ‎16．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为____________．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）‎ ‎17．计算：|﹣|+（﹣）﹣1sin45°+（）0．‎ ‎18．解不等式．‎ ‎19．先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣1．‎ ‎20．某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，如图是根据这组数据绘制的统计图，图1中从左到右各长方形A、B、C、D、E高度之比为3：4：5：6：2，已知此次调查中捐10元和15元的人数共27人．‎ ‎（1）他们一共抽查了多少人？这组数据的众数、中位数各是多少？‎ ‎（2）图2中，捐款数为20元的D部分所在的扇形的圆心角的度数是多少？‎ ‎（3）若该校共有1000名学生，请求出D部分学生的人数及D部分学生的捐款总额．‎ ‎21．如图，某公司入口处有一斜坡AB，坡角为12°，AB的长为3m，施工队准备将斜坡修成三级台阶，台阶高度均为hcm，深度均为30cm，设台阶的起点为C．‎ ‎（1）求AC的长度；‎ ‎（2）求每级台阶的高度h．‎ ‎（参考数据：sin12°≈0.2079，cos12°≈0.9781，tan12°≈0.2126．结果都精确到0.1cm）‎ ‎22．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．‎ ‎23．红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．‎ ‎（1）请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；‎ ‎（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．‎ ‎24．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|．‎ ‎（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．‎ ‎25．（10分）（2016•湘潭模拟）如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．‎ ‎（1）求证：AE=CK；‎ ‎（2）如果AB=a，AD=a（a为大于零的常数），求BK的长．‎ ‎26．（10分）（2009•长沙）为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．‎ ‎（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润=销售额﹣生产成本﹣员工工资﹣其它费用），该公司可安排员工多少人？‎ ‎（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？‎ ‎　‎ ‎2016年湖南省湘潭市中考数学模拟试卷（二）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．|﹣2|=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．‎ ‎【考点】绝对值．‎ ‎【分析】根据绝对值的性质可直接求出答案．‎ ‎【解答】解：根据绝对值的性质可知：|﹣2|=2．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中．‎ 绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎　‎ ‎2．（﹣4x）2=（　　）‎ A．﹣8x2 B．8x2 C．﹣16x2 D．16x2‎ ‎【考点】幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】原式利用积的乘方运算法则计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=16x2，‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】中心对称图形；轴对称图形．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；‎ B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；‎ C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；‎ D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．‎ ‎　‎ ‎4．下列命题中，正确的是（　　）‎ A．平行四边形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的对角线互相垂直且平分 D．对角线相等的四边形是矩形 ‎【考点】命题与定理．‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质对A进行判断；根据矩形的性质对B进行判断；根据菱形的性质对C进行判断；根据矩形的判定方法对D进行判断．‎ ‎【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项错误；‎ B、矩形的对角线互相平分且相等，所以B选项错误；‎ C、菱形的对角线互相垂直且平分，所以C选项正确；‎ D、对角线相等的平行四边形是矩形，所以D选项错误．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部组成．熟练平行四边形和特殊平行四边形的判定与性质是解决此题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．在拼图游戏中，从图1的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“小房子”（如图2）的概率等于（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】首先分别用A与B表示三角形与矩形，然后根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与能拼成“小房子”（如图2）的情况，再利用概率公式求解即可求得答案，‎ ‎【解答】解：分别用A与B表示三角形与矩形，‎ 画树状图得：‎ ‎∵共有12种等可能的结果，能拼成“小房子”的有8种情况，‎ ‎∴任取两张纸片，能拼成“小房子”（如图2）的概率等于： =．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎6．如图，下列水平放置的几何体中，主视图是三角形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单几何体的三视图．‎ ‎【分析】找到从正面看所得到的图形是三角形即可．‎ ‎【解答】解：A、主视图为长方形，故本选项错误；‎ B、主视图为三角形，故本选项错误；‎ C、主视图为长方形，故本选项错误；‎ D、主视图为长方形，故本选项错误．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．‎ ‎　‎ ‎7．若关于x的方程x2+x﹣a+=0没有实数根，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a≥2 B．a≤2 C．a＜2 D．a＞2‎ ‎【考点】根的判别式．‎ ‎【分析】根据判别式的意义得到△=12﹣4（﹣a+）＜0，然后解不等式即可．‎ ‎【解答】解：∵关于x的方程x2+x﹣a+=0没有实数根，‎ ‎∴△=12﹣4（﹣a+）＜0，‎ 解得：a＜2，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．‎ ‎　‎ ‎8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的纵坐标是﹣1，则顶点A的坐标是（　　）‎ A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，1）‎ ‎【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．‎ ‎【分析】点A的横坐等于OC的长的一半，点A的纵坐标与点B的纵坐标互为相反数．‎ ‎【解答】解：∵点C的坐标为（4，0），‎ ‎∴OC=4，‎ ‎∴点B的纵坐标是﹣1，‎ ‎∴A（2，1）．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，综合性较强．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）‎ ‎9．化简：﹣=　　．‎ ‎【考点】二次根式的加减法．‎ ‎【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．‎ ‎【解答】解：原式=2﹣‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是　4　．‎ ‎【考点】三角形的面积．‎ ‎【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．‎ ‎【解答】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，‎ ‎∴S△CGE=S△AGE=S△ACF，S△BGF=S△BGD=S△BCF，‎ ‎∵S△ACF=S△BCF=S△ABC=×12=6，‎ ‎∴S△CGE=S△ACF=×6=2，S△BGF=S△BCF=×6=2，‎ ‎∴S阴影=S△CGE+S△BGF=4．‎ 故答案为4．‎ ‎【点评】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF的面积=△BGD的面积=△CGD的面积，△AGF的面积=△AGE的面积=△CGE的面积．‎ ‎　‎ ‎11．已知反比例函数y=的图象经过点（2，3），则此函数的关系式是　y=　．‎ ‎【考点】待定系数法求反比例函数解析式．‎ ‎【分析】已知反比例函数y=的图象经过点（2，3），则把（2，3）代入解析式就可以得到k的值．‎ ‎【解答】解：根据题意得：3=解得k=6，‎ 则此函数的关系式是y=．‎ 故答案为：y=．‎ ‎【点评】本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点内容．‎ ‎　‎ ‎12．在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概率．‎ ‎【分析】根据题意，求得正方形与圆的面积，相比计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，针头扎在阴影区域内的概率就是圆与正方形的面积的比值；‎ 由题意可得：正方形纸边长为4cm，其面积为16cm2，‎ 圆的半径为1cm，其面积为πcm2，‎ 故其概率为．‎ ‎【点评】本题考查几何概率的求法：注意圆、正方形的面积计算．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．‎ ‎　‎ ‎13．某商店一套西服的进价为300元，按标价的80%销售可获利100元，则该服装的标价为　500　元．‎ ‎【考点】一元一次方程的应用．‎ ‎【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：利润=售价﹣进价，根据此等量关系列方程即可．‎ ‎【解答】解：设该服装的标价为x元，则实际售价为80%x，根据等量关系列方程得：‎ ‎80%x﹣300=100，‎ 解得：x=500．‎ 故答案为：500．‎ ‎【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解利润、售价、进价三者之间的关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎14．如图，直线y=kx+b经过A（﹣2，﹣1）和B（﹣3，0）两点，则不等式﹣3≤﹣2x﹣5＜kx+b的解集是　﹣2＜x≤﹣1　．‎ ‎【考点】一次函数与一元一次不等式．‎ ‎【分析】把所给两点代入一次函数解析式可得k，b的值，进而求不等式组的解集即可．‎ ‎【解答】解：∵直线y=kx+b经过A（﹣2，﹣1）和B（﹣3，0）两点，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴不等式变为﹣3≤﹣2x﹣5＜﹣x﹣3，‎ 解得﹣2＜x≤﹣1，‎ 故答案为﹣2＜x≤﹣1．‎ ‎【点评】考查一次函数和一元一次不等式的相关问题；用待定系数法求得未知函数解析式是解决本题的突破点．‎ ‎　‎ ‎15．如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=　80°　．‎ ‎【考点】圆周角定理；垂径定理．‎ ‎【分析】根据垂径定理可得点B是中点，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC，继而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵，⊙O的直径AB与弦CD垂直，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠BOD=2∠BAC=80°．‎ 故答案为：80°．‎ ‎【点评】此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．‎ ‎　‎ ‎16．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为　　．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）．‎ ‎【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可．‎ ‎【解答】解：∵AB=3，AD=4，‎ ‎∴DC=3，BC=4‎ ‎∴AC==5，‎ 根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，‎ ‎∴D′C=DC=3，DE=D′E，‎ 设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，‎ 在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，‎ ‎22+x2=（4﹣x）2，‎ 解得：x=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题主要考查了图形的翻着变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）‎ ‎17．计算：|﹣|+（﹣）﹣1sin45°+（）0．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=﹣2×+1=﹣+1=1．‎ ‎【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．解不等式．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组．‎ ‎【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．‎ ‎【解答】解：，由①得，x≤2，由②得，x＞﹣．‎ 故不等式组的解集为：﹣＜x≤2．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣1．‎ ‎【考点】分式的化简求值．‎ ‎【分析】分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将，代入化简后的式子求出即可．‎ ‎【解答】解：‎ ‎=÷（+）‎ ‎=÷‎ ‎=×‎ ‎=，‎ 把，代入原式====．‎ ‎【点评】此题主要考查了分式混合运算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算是解题关键．‎ ‎　‎ ‎20．某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，如图是根据这组数据绘制的统计图，图1中从左到右各长方形A、B、C、D、E高度之比为3：4：5：6：2，已知此次调查中捐10元和15元的人数共27人．‎ ‎（1）他们一共抽查了多少人？这组数据的众数、中位数各是多少？‎ ‎（2）图2中，捐款数为20元的D部分所在的扇形的圆心角的度数是多少？‎ ‎（3）若该校共有1000名学生，请求出D部分学生的人数及D部分学生的捐款总额．‎ ‎【考点】扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图；中位数；众数．‎ ‎【分析】（1）根据A、B、C、D、E高度之比为3：4：5：6：2，求得B等和C等所占的百分比，再根据捐10元和15元的人数共27人求得总人数；根据中位数和众数的概念求解；‎ ‎（2）各部分所占的圆心角即为百分比×360°；‎ ‎（3）根据样本估计总体．‎ ‎【解答】解：（1）总人数=27÷=60（人）；‎ 众数：20（元）；中位数15（元）．‎ ‎（2）捐款数为20元的D部分所在的扇形的圆心角的度数=×360°=108°；‎ ‎（3）D部分的学生人数=1000×=300（人）；D部分学生的捐款总额=300×20=6000（元）．‎ ‎【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时也考查了中位数、众数、平均数的概念及根据样本估计总体．‎ ‎　‎ ‎21．如图，某公司入口处有一斜坡AB，坡角为12°，AB的长为3m，施工队准备将斜坡修成三级台阶，台阶高度均为hcm，深度均为30cm，设台阶的起点为C．‎ ‎（1）求AC的长度；‎ ‎（2）求每级台阶的高度h．‎ ‎（参考数据：sin12°≈0.2079，cos12°≈0.9781，tan12°≈0.2126．结果都精确到0.1cm）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．‎ ‎【分析】（1）过点B作BE⊥AC于点E，在Rt△ABE中利用三角函数求出AE，由AC=AE﹣CE，可得出答案；‎ ‎（2）在Rt△ABE中，求出BE，即可计算每级台阶的高度h．‎ ‎【解答】解：如右图，过点B作BE⊥AC于点E，‎ ‎（1）在Rt△ABE中，AB=3m，cos12°≈0.9781，‎ AE=ABcos12°≈2.934m=293.4cm，‎ ‎∴AC=AE﹣CE=293.4﹣60=233.4cm．‎ 答：AC的长度约为233.4cm．‎ ‎（2）h=BE=ABsin12°=×300×0.2079=20.79≈20.8cm．‎ 答：每级台阶的高度h约为20.8cm．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度一般，解答本题的关键是根据坡度和坡角构造直角三角形，并解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎22．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】首先得出BC=EF，利用平行线的性质∠B=∠DEF，再利用AAS得出△ABC≌△DEF，即可得出答案．‎ ‎【解答】证明：∵BE=CF，∴BC=EF．‎ ‎∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．‎ 在△ABC与△DEF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（AAS），‎ ‎∴AB=DE．‎ ‎【点评】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．‎ ‎　‎ ‎23．红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．‎ ‎（1）请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；‎ ‎（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；‎ ‎（2）由（1）可求得恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）画树状图得：‎ 则共有12种等可能的结果；‎ ‎（2）∵恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况，‎ ‎∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为： =．‎ ‎【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎24．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|．‎ ‎（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．‎ ‎【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．‎ ‎【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可；‎ ‎（2）将x=1代入方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|，求出m的值，进而得出方程的解．‎ ‎【解答】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣2）=|m|，‎ ‎∴x2﹣5x+6﹣|m|=0，‎ ‎∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣|m|）=1+4|m|，‎ 而|m|≥0，‎ ‎∴△＞0，‎ ‎∴方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）解：∵方程的一个根是1，‎ ‎∴|m|=2，‎ 解得：m=±2，‎ ‎∴原方程为：x2﹣5x+4=0，‎ 解得：x1=1，x2=4．‎ 即m的值为±2，方程的另一个根是4．‎ ‎【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）（2016•湘潭模拟）如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．‎ ‎（1）求证：AE=CK；‎ ‎（2）如果AB=a，AD=a（a为大于零的常数），求BK的长．‎ ‎【考点】圆的综合题．‎ ‎【分析】（1）先根据平行线的性质和垂直的定义得出∠AED=90°，再根据矩形的性质判断出Rt△ADE≌Rt△CBK即可；‎ ‎（2）先利用勾股定理求出AC，再用三角形的面积公式求出BK即可．‎ ‎【解答】（1）∵DH∥KB，BK⊥AC，‎ ‎∴DE⊥AC，‎ ‎∴∠AED=90°，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，AD=BC，‎ ‎∴∠EAD=∠KCB，‎ 在△ADE和△CBK中 ‎∴Rt△ADE≌Rt△CBK，‎ ‎∴AE=CK．‎ ‎（2）在Rt△ABC中，AB=a，AD=BC=a，‎ ‎∴AC===，‎ ‎∵S△ABC=AB×BC=AC×BK，‎ ‎∴BK===a．‎ ‎【点评】此题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，平行线的性质，垂直的定义，勾股定理，解本题的关键是判断出Rt△ADE≌Rt△CBK．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）（2009•长沙）为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．‎ ‎（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润=销售额﹣生产成本﹣员工工资﹣其它费用），该公司可安排员工多少人？‎ ‎（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？‎ ‎【考点】一次函数的应用；分段函数．‎ ‎【分析】（1）从图中看，这是一个分段一次函数，40≤x≤60和60＜x＜100时，函数的表达式不同，每段函数都经过两点，使用待定系数法即可求出函数关系式；‎ ‎（2）利用（1）中的函数关系，当销售单价定为50元时，可计算出月销售量，设可安排员工m人，利润=销售额一生产成本﹣员工工资﹣其它费用，列出方程即可解；‎ ‎（3）先分情况讨论出利润的最大值，即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）当40≤x≤60时，令y=kx+b，‎ 则，‎ 解得，‎ 故，‎ 同理，当60＜x＜100时，．‎ 故y=；‎ ‎（2）设公司可安排员工a人，定价50元时，‎ 由5=（﹣×50+8）（50﹣40）﹣15﹣0.25a，‎ 得30﹣15﹣0.25a=5，‎ 解得a=40，‎ 所以公司可安排员工40人；‎ ‎（3）当40≤x≤60时，‎ 利润w1=（﹣x+8）（x﹣40）﹣15﹣20=﹣（x﹣60）2+5，‎ 则当x=60时，wmax=5万元；‎ 当60＜x＜100时，‎ w2=（﹣x+5）（x﹣40）﹣15﹣0.25×80‎ ‎=﹣（x﹣70）2+10，‎ ‎∴x=70时，wmax=10万元，‎ ‎∴要尽早还清贷款，只有当单价x=70元时，获得最大月利润10万元，‎ 设该公司n个月后还清贷款，则10n≥80，‎ ‎∴n≥8，即n=8为所求．‎ ‎【点评】本题主要考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，一次函数与一次不等式的应用，是一道综合性较强的代数应用题，能力要求比较高．‎