2020年江苏省常州市中考数学试卷(含解析)

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2020年江苏省常州市中考数学试卷(含解析)

‎2020年江苏省常州市中考数学试卷 一、选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的)‎ ‎1.(2分)(2020•常州)2的相反数是(  )‎ A.﹣2 B.‎-‎‎1‎‎2‎ C.‎1‎‎2‎ D.2‎ ‎2.(2分)(2020•常州)计算m6÷m2的结果是(  )‎ A.m3 B.m4 C.m8 D.m12‎ ‎3.(2分)(2020•常州)如图是某几何体的三视图,该几何体是(  )‎ A.圆柱 B.三棱柱 C.四棱柱 D.四棱锥 ‎4.(2分)(2020•常州)8的立方根为(  )‎ A.‎2‎‎2‎ B.‎±2‎‎2‎ C.2 D.±2‎ ‎5.(2分)(2020•常州)如果x<y,那么下列不等式正确的是(  )‎ A.2x<2y B.﹣2x<﹣2y C.x﹣1>y﹣1 D.x+1>y+1‎ ‎6.(2分)(2020•常州)如图,直线a、b被直线c所截,a∥b,∠1=140°,则∠2的度数是(  )‎ A.30° B.40° C.50° D.60°‎ ‎7.(2分)(2020•常州)如图,AB是⊙O的弦,点C是优弧AB上的动点(C不与A、B重合),CH⊥AB,垂足为H,点M是BC的中点.若⊙O的半径是3,则MH长的最大值是(  )‎ 第28页(共28页)‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎8.(2分)(2020•常州)如图,点D是▱OABC内一点,CD与x轴平行,BD与y轴平行,BD‎=‎‎2‎,∠ADB=135°,S△ABD=2.若反比例函数y‎=‎kx(x>0)的图象经过A、D两点,则k的值是(  )‎ A.2‎2‎ B.4 C.3‎2‎ D.6‎ 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.不需写出解答过程,请把笞案直接填写在答题卡相应位置上)‎ ‎9.(2分)(2020•常州)计算:|﹣2|+(π﹣1)0=   .‎ ‎10.(2分)(2020•常州)若代数式‎1‎x-1‎有意义,则实数x的取值范围是   .‎ ‎11.(2分)(2020•常州)地球的半径大约为6400km.数据6400用科学记数法表示为   .‎ ‎12.(2分)(2020•常州)分解因式:x3﹣x=   .‎ ‎13.(2分)(2020•常州)若一次函数y=kx+2的函数值y随自变量x增大而增大,则实数k的取值范围是   .‎ ‎14.(2分)(2020•常州)若关于x的方程x2+ax﹣2=0有一个根是1,则a=   .‎ ‎15.(2分)(2020•常州)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若△AFC是等边三角形,则∠B=   °.‎ 第28页(共28页)‎ ‎16.(2分)(2020•常州)数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想,主张取代数和几何中最好的东西,互相以长补短.在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=120°.如图,建立平面直角坐标系xOy,使得边AB在x轴正半轴上,点D在y轴正半轴上,则点C的坐标是   .‎ ‎17.(2分)(2020•常州)如图,点C在线段AB上,且AC=2BC,分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG,连接EC、EG,则tan∠CEG=   .‎ ‎18.(2分)(2020•常州)如图,在△ABC中,∠B=45°,AB=6‎2‎,D、E分别是AB、AC的中点,连接DE,在直线DE和直线BC上分别取点F、G,连接BF、DG.若BF=3DG,且直线BF与直线DG互相垂直,则BG的长为   .‎ 三、解答题(本大题共10小题,共84分.请在答题卡指定区域内作答,如无特殊说明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)‎ ‎19.(6分)(2020•常州)先化简,再求值:(x+1)2﹣x(x+1),其中x=2.‎ ‎20.(8分)(2020•常州)解方程和不等式组:‎ 第28页(共28页)‎ ‎(1)xx-1‎‎+‎2‎‎1-x=‎2;‎ ‎(2)‎2x-6<0‎‎-3x≤6‎.‎ ‎21.(8分)(2020•常州)为了解某校学生对球类运动的喜爱情况,调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查,并根据调查结果绘制成如图统计图.‎ ‎(1)本次抽样调查的样本容量是   ;‎ ‎(2)补全条形统计图;‎ ‎(3)该校共有2000名学生,请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数.‎ ‎22.(8分)(2020•常州)在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码,做成3支签,放在一个不透明的盒子中.‎ ‎(1)搅匀后从中随机抽出1支签,抽到1号签的概率是   ;‎ ‎(2)搅匀后先从中随机抽出1支签(不放回),再从余下的2支签中随机抽出1支签,求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率.‎ ‎23.(8分)(2020•常州)已知:如图,点A、B、C、D在一条直线上,EA∥FB,EA=FB,AB=CD.‎ ‎(1)求证:∠E=∠F;‎ ‎(2)若∠A=40°,∠D=80°,求∠E的度数.‎ ‎24.(8分)(2020•常州)某水果店销售苹果和梨,购买1千克苹果和3千克梨共需26元,‎ 第28页(共28页)‎ 购买2千克苹果和1千克梨共需22元.‎ ‎(1)求每千克苹果和每千克梨的售价;‎ ‎(2)如果购买苹果和梨共15千克,且总价不超过100元,那么最多购买多少千克苹果?‎ ‎25.(8分)(2020•常州)如图,正比例函数y=kx的图象与反比例函数y‎=‎‎8‎x(x>0)的图象交于点A(a,4).点B为x轴正半轴上一点,过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C,交正比例函数的图象于点D.‎ ‎(1)求a的值及正比例函数y=kx的表达式;‎ ‎(2)若BD=10,求△ACD的面积.‎ ‎26.(10分)(2020•常州)如图1,点B在线段CE上,Rt△ABC≌Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,∠BAC=30°,BC=1.‎ ‎(1)点F到直线CA的距离是   ;‎ ‎(2)固定△ABC,将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°,使得CF与CA重合,并停止旋转.‎ ‎①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形(用阴影表示,保留画图痕迹,不要求写画法).该图形的面积为   ;‎ ‎②如图2,在旋转过程中,线段CF与AB交于点O,当OE=OB时,求OF的长.‎ ‎27.(10分)(2020•常州)如图1,⊙I与直线a相离,过圆心I作直线a的垂线,垂足为 第28页(共28页)‎ H,且交⊙I于P、Q两点(Q在P、H之间).我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“,把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”.‎ ‎(1)如图2,在平面直角坐标系xOy中,点E的坐标为(0,4).半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D.‎ ‎①过点E画垂直于y轴的直线m,则⊙O关于直线m的“远点”是点   (填“A”.“B”、“C”或“D”),⊙O关于直线m的“特征数”为   ;‎ ‎②若直线n的函数表达式为y‎=‎‎3‎x+4.求⊙O关于直线n的“特征数”;‎ ‎(2)在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点M(1,4),点F是坐标平面内一点,以F为圆心,‎2‎为半径作⊙F.若⊙F与直线1相离,点N(﹣1,0)是⊙F关于直线1的“远点”.且⊙F关于直线l的“特征数”是4‎5‎,求直线l的函数表达式.‎ ‎28.(10分)(2020•常州)如图,二次函数y=x2+bx+3的图象与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B,抛物线过点C(1,0),且顶点为D,连接AC、BC、BD、CD.‎ ‎(1)填空:b=   ;‎ ‎(2)点P是抛物线上一点,点P的横坐标大于1,直线PC交直线BD于点Q.若∠CQD=∠ACB,求点P的坐标;‎ ‎(3)点E在直线AC上,点E关于直线BD对称的点为F,点F关于直线BC对称的点为G,连接AG.当点F在x轴上时,直接写出AG的长.‎ 第28页(共28页)‎ 第28页(共28页)‎ ‎2020年江苏省常州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的)‎ ‎1.(2分)(2020•常州)2的相反数是(  )‎ A.﹣2 B.‎-‎‎1‎‎2‎ C.‎1‎‎2‎ D.2‎ ‎【解答】解:2的相反数是﹣2.‎ 故选:A.‎ ‎2.(2分)(2020•常州)计算m6÷m2的结果是(  )‎ A.m3 B.m4 C.m8 D.m12‎ ‎【解答】解:m6÷m2=m6﹣2=m4.‎ 故选:B.‎ ‎3.(2分)(2020•常州)如图是某几何体的三视图,该几何体是(  )‎ A.圆柱 B.三棱柱 C.四棱柱 D.四棱锥 ‎【解答】解:该几何体的主视图为矩形,左视图为矩形,俯视图是一个正方形,‎ 则可得出该几何体是四棱柱.‎ 故选:C.‎ ‎4.(2分)(2020•常州)8的立方根为(  )‎ A.‎2‎‎2‎ B.‎±2‎‎2‎ C.2 D.±2‎ ‎【解答】解:8的立方根是‎3‎‎8‎‎=‎3‎‎2‎‎3‎=‎2,‎ 故选:C.‎ ‎5.(2分)(2020•常州)如果x<y,那么下列不等式正确的是(  )‎ A.2x<2y B.﹣2x<﹣2y C.x﹣1>y﹣1 D.x+1>y+1‎ ‎【解答】解:A、∵x<y,‎ 第28页(共28页)‎ ‎∴2x<2y,故本选项符合题意;‎ B、∵x<y,‎ ‎∴﹣2x>﹣2y,故本选项不符合题意;‎ C、∵x<y,‎ ‎∴x﹣1<y﹣1,故本选项不符合题意;‎ D、∵x<y,‎ ‎∴x+1<y+1,故本选项不符合题意;‎ 故选:A.‎ ‎6.(2分)(2020•常州)如图,直线a、b被直线c所截,a∥b,∠1=140°,则∠2的度数是(  )‎ A.30° B.40° C.50° D.60°‎ ‎【解答】解:∵∠1+∠3=180°,∠1=40°,‎ ‎∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣140°=40°‎ ‎∵a∥b,‎ ‎∴∠2=∠3=40°.‎ 故选:B.‎ ‎7.(2分)(2020•常州)如图,AB是⊙O的弦,点C是优弧AB上的动点(C不与A、B重合),CH⊥AB,垂足为H,点M是BC的中点.若⊙O的半径是3,则MH长的最大值是(  )‎ 第28页(共28页)‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎【解答】解:∵CH⊥AB,垂足为H,‎ ‎∴∠CHB=90°,‎ ‎∵点M是BC的中点.‎ ‎∴MH‎=‎‎1‎‎2‎BC,‎ ‎∵BC的最大值是直径的长,⊙O的半径是3,‎ ‎∴MH的最大值为3,‎ 故选:A.‎ ‎8.(2分)(2020•常州)如图,点D是▱OABC内一点,CD与x轴平行,BD与y轴平行,BD‎=‎‎2‎,∠ADB=135°,S△ABD=2.若反比例函数y‎=‎kx(x>0)的图象经过A、D两点,则k的值是(  )‎ A.2‎2‎ B.4 C.3‎2‎ D.6‎ ‎【解答】解:作AM⊥y轴于M,延长BD,交AM于E,设BC与y轴的交点为N,‎ ‎∵四边形OABC是平行四边形,‎ ‎∴OA∥BC,OA=BC,‎ ‎∴∠AOM=∠CNM,‎ ‎∵BD∥y轴,‎ ‎∴∠CBD=∠CNM,‎ 第28页(共28页)‎ ‎∴∠AOM=∠CBD,‎ ‎∵CD与x轴平行,BD与y轴平行,‎ ‎∴∠CDB=90°,BE⊥AM,‎ ‎∴∠CDB=∠AMO,‎ ‎∴△AOM≌△CBD(AAS),‎ ‎∴OM=BD‎=‎‎2‎,‎ ‎∵S△ABD‎=‎1‎‎2‎BD⋅AE=‎2,BD‎=‎‎2‎,‎ ‎∴AE=2‎2‎,‎ ‎∵∠ADB=135°,‎ ‎∴∠ADE=45°,‎ ‎∴△ADE是等腰直角三角形,‎ ‎∴DE=AE=2‎2‎,‎ ‎∴D的纵坐标为3‎2‎,‎ 设A(m,‎2‎),则D(m﹣2‎2‎,3‎2‎),‎ ‎∵反比例函数y‎=‎kx(x>0)的图象经过A、D两点,‎ ‎∴k‎=‎‎2‎m=(m﹣2‎2‎)×3‎2‎,‎ 解得m=3‎2‎,‎ ‎∴k‎=‎‎2‎m=6.‎ 故选:D.‎ 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.不需写出解答过程,请把笞案直接填写在答题卡相应位置上)‎ ‎9.(2分)(2020•常州)计算:|﹣2|+(π﹣1)0= 3 .‎ ‎【解答】解:|﹣2|+(π﹣1)0‎ 第28页(共28页)‎ ‎=2+1‎ ‎=3,‎ 故答案为:3.‎ ‎10.(2分)(2020•常州)若代数式‎1‎x-1‎有意义,则实数x的取值范围是 x≠1 .‎ ‎【解答】解:依题意得:x﹣1≠0,‎ 解得x≠1,‎ 故答案为:x≠1.‎ ‎11.(2分)(2020•常州)地球的半径大约为6400km.数据6400用科学记数法表示为 6.4×103 .‎ ‎【解答】解:将6400用科学记数法表示为6.4×103.‎ 故答案为:6.4×103.‎ ‎12.(2分)(2020•常州)分解因式:x3﹣x= x(x+1)(x﹣1) .‎ ‎【解答】解:x3﹣x,‎ ‎=x(x2﹣1),‎ ‎=x(x+1)(x﹣1).‎ 故答案为:x(x+1)(x﹣1).‎ ‎13.(2分)(2020•常州)若一次函数y=kx+2的函数值y随自变量x增大而增大,则实数k的取值范围是 k>0 .‎ ‎【解答】解:∵一次函数y=kx+2,函数值y随x的值增大而增大,‎ ‎∴k>0.‎ 故答案为:k>0.‎ ‎14.(2分)(2020•常州)若关于x的方程x2+ax﹣2=0有一个根是1,则a= 1 .‎ ‎【解答】解:∵关于x的方程x2+ax﹣2=0有一个根是1,‎ ‎∴把x=1代入方程得:1+a﹣2=0,‎ 解得:a=1,‎ 故答案为:1.‎ ‎15.(2分)(2020•常州)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若△AFC是等边三角形,则∠B= 30 °.‎ 第28页(共28页)‎ ‎【解答】解:∵EF垂直平分BC,‎ ‎∴BF=CF,‎ ‎∴∠B=∠BCF,‎ ‎∵△ACF为等边三角形,‎ ‎∴∠AFC=60°,‎ ‎∴∠B=∠BCF=30°.‎ 故答案为:30.‎ ‎16.(2分)(2020•常州)数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想,主张取代数和几何中最好的东西,互相以长补短.在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=120°.如图,建立平面直角坐标系xOy,使得边AB在x轴正半轴上,点D在y轴正半轴上,则点C的坐标是 (2,‎3‎) .‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,且AB=2,‎ ‎∴CD=AD=AB=2,‎ ‎∵∠DAB=120°,‎ ‎∴∠OAD=60°,‎ Rt△AOD中,∠ADO=30°,‎ ‎∴OA‎=‎‎1‎‎2‎AD‎=‎1‎‎2‎×2=‎1,OD‎=‎2‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎=‎‎3‎,‎ ‎∴C(2,‎3‎),‎ 故答案为:(2,‎3‎).‎ ‎17.(2分)(2020•常州)如图,点C在线段AB上,且AC=2BC,分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG,连接EC、EG,则tan∠CEG= ‎1‎‎2‎ .‎ 第28页(共28页)‎ ‎【解答】解:连接CG,‎ 在正方形ACDE、BCFG中,‎ ‎∠ECA=∠GCB=45°,‎ ‎∴∠ECG=90°,‎ 设AC=2,BC=1,‎ ‎∴CE=2‎2‎,CG‎=‎‎2‎,‎ ‎∴tan∠GEC‎=CGEC=‎‎1‎‎2‎,‎ 故答案为:‎1‎‎2‎.‎ ‎18.(2分)(2020•常州)如图,在△ABC中,∠B=45°,AB=6‎2‎,D、E分别是AB、AC的中点,连接DE,在直线DE和直线BC上分别取点F、G,连接BF、DG.若BF=3DG,且直线BF与直线DG互相垂直,则BG的长为 4或2 .‎ ‎【解答】解:如图,过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T,过点B作BH⊥DT于H.‎ ‎∵DG⊥BF,BT⊥BF,‎ 第28页(共28页)‎ ‎∴DG∥BT,‎ ‎∵AD=DB,AE=EC,‎ ‎∴DE∥BC,‎ ‎∴四边形DGBT是平行四边形,‎ ‎∴BG=DT,DG=BT,∠BDH=∠ABC=45°,‎ ‎∵AD=DB=3‎2‎,‎ ‎∴BH=DH=3,‎ ‎∵∠TBF=∠BHF=90°,‎ ‎∴∠TBH+∠FBH=90°,∠FBH+∠F=90°,‎ ‎∴∠TBH=∠F,‎ ‎∴tan∠F=tan∠TBH‎=BTBF=DGBF=‎‎1‎‎3‎,‎ ‎∴THBH‎=‎‎1‎‎3‎,‎ ‎∴TH=1,‎ ‎∴DT=TH+DH=1+3=4,‎ ‎∴BG=4.‎ 当点F在ED的延长线上时,同法可得DT=BG=3﹣1=2.‎ 故答案为4或2.‎ 三、解答题(本大题共10小题,共84分.请在答题卡指定区域内作答,如无特殊说明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)‎ ‎19.(6分)(2020•常州)先化简,再求值:(x+1)2﹣x(x+1),其中x=2.‎ ‎【解答】解:(x+1)2﹣x(x+1)‎ ‎=x2+2x+1﹣x2﹣x ‎=x+1,‎ 当x=2时,原式=2+1=3.‎ 第28页(共28页)‎ ‎20.(8分)(2020•常州)解方程和不等式组:‎ ‎(1)xx-1‎‎+‎2‎‎1-x=‎2;‎ ‎(2)‎2x-6<0‎‎-3x≤6‎.‎ ‎【解答】解:(1)方程两边都乘以x﹣1得:x﹣2=2(x﹣1),‎ 解得:x=0,‎ 检验:把x=0代入x﹣1得:x﹣1≠0,‎ 所以x=0是原方程的解,‎ 即原方程的解是:x=0;‎ ‎(2)‎2x-6<0①‎‎-3x≤6②‎,‎ ‎∵解不等式①得:x<3,‎ 解不等式②得:x≥﹣2,‎ ‎∴不等式组的解集是:﹣2≤x<3.‎ ‎21.(8分)(2020•常州)为了解某校学生对球类运动的喜爱情况,调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查,并根据调查结果绘制成如图统计图.‎ ‎(1)本次抽样调查的样本容量是 100 ;‎ ‎(2)补全条形统计图;‎ ‎(3)该校共有2000名学生,请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数.‎ ‎【解答】解:(1)本次抽样调查的总人数是:25÷25%=100(人),‎ 则样本容量是100;‎ 第28页(共28页)‎ 故答案为:100;‎ ‎(2)打乒乓球的人数有:100×35%=35(人),‎ 踢足球的人数有:100﹣25﹣35﹣15=25(人),补全统计图如下:‎ ‎(3)根据题意得:‎ ‎2000‎×‎15‎‎100‎=‎300(人),‎ 答:估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人.‎ ‎22.(8分)(2020•常州)在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码,做成3支签,放在一个不透明的盒子中.‎ ‎(1)搅匀后从中随机抽出1支签,抽到1号签的概率是 ‎1‎‎3‎ ;‎ ‎(2)搅匀后先从中随机抽出1支签(不放回),再从余下的2支签中随机抽出1支签,求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率.‎ ‎【解答】解:(1)共有3种可能出现的结果,其中“抽到1号”的有1种,因此“抽到1号”的概率为‎1‎‎3‎,‎ 故答案为:‎1‎‎3‎;‎ ‎(2)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下:‎ 第28页(共28页)‎ 共有6种可能出现的结果,其中“和为奇数”的有4种,‎ ‎∴P(和为奇数)‎=‎4‎‎6‎=‎‎2‎‎3‎.‎ ‎23.(8分)(2020•常州)已知:如图,点A、B、C、D在一条直线上,EA∥FB,EA=FB,AB=CD.‎ ‎(1)求证:∠E=∠F;‎ ‎(2)若∠A=40°,∠D=80°,求∠E的度数.‎ ‎【解答】证明:(1)∵EA∥FB,‎ ‎∴∠A=∠FBD,‎ ‎∵AB=CD,‎ ‎∴AB+BC=CD+BC,‎ 即AC=BD,‎ 在△EAC与△FBD中,‎ EA=FB‎∠A=∠FBDAC=BD‎,‎ ‎∴△EAC≌△FBD(SAS),‎ ‎∴∠E=∠F;‎ ‎(2)∵△EAC≌△FBD,‎ ‎∴∠ECA=∠D=80°,‎ ‎∵∠A=40°,‎ ‎∴∠E=180°﹣40°﹣80°=60°,‎ 答:∠E的度数为60°.‎ ‎24.(8分)(2020•常州)某水果店销售苹果和梨,购买1千克苹果和3千克梨共需26元,购买2千克苹果和1千克梨共需22元.‎ ‎(1)求每千克苹果和每千克梨的售价;‎ ‎(2)如果购买苹果和梨共15千克,且总价不超过100元,那么最多购买多少千克苹果?‎ ‎【解答】解:(1)设每千克苹果的售价为x元,每千克梨的售价为y元,‎ 第28页(共28页)‎ 依题意,得:x+3y=26‎‎2x+y=22‎,‎ 解得:x=8‎y=6‎.‎ 答:每千克苹果的售价为8元,每千克梨的售价为6元.‎ ‎(2)设购买m千克苹果,则购买(15﹣m)千克梨,‎ 依题意,得:8m+6(15﹣m)≤100,‎ 解得:m≤5.‎ 答:最多购买5千克苹果.‎ ‎25.(8分)(2020•常州)如图,正比例函数y=kx的图象与反比例函数y‎=‎‎8‎x(x>0)的图象交于点A(a,4).点B为x轴正半轴上一点,过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C,交正比例函数的图象于点D.‎ ‎(1)求a的值及正比例函数y=kx的表达式;‎ ‎(2)若BD=10,求△ACD的面积.‎ ‎【解答】解:(1)把点A(a,4)代入反比例函数y‎=‎‎8‎x(x>0)得,‎ a‎=‎8‎‎4‎=‎2,‎ ‎∴点A(2,4),代入y=kx得,k=2,‎ ‎∴正比例函数的关系式为y=2x,‎ 答:a=2,正比例函数的关系式为y=2x;‎ ‎(2)当BD=10=y时,代入y=2x得,x=5,‎ ‎∴OB=5,‎ 当x=5代入y‎=‎‎8‎x得,y‎=‎‎8‎‎5‎,即BC‎=‎‎8‎‎5‎,‎ ‎∴CD=BD﹣BC=10‎-‎8‎‎5‎=‎‎42‎‎5‎,‎ 第28页(共28页)‎ ‎∴S△ACD‎=‎1‎‎2‎×‎42‎‎5‎×‎(5﹣2)=12.6,‎ ‎26.(10分)(2020•常州)如图1,点B在线段CE上,Rt△ABC≌Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,∠BAC=30°,BC=1.‎ ‎(1)点F到直线CA的距离是 1 ;‎ ‎(2)固定△ABC,将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°,使得CF与CA重合,并停止旋转.‎ ‎①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形(用阴影表示,保留画图痕迹,不要求写画法).该图形的面积为 π‎12‎ ;‎ ‎②如图2,在旋转过程中,线段CF与AB交于点O,当OE=OB时,求OF的长.‎ ‎【解答】解:(1)如图1中,作FD⊥AC于D,‎ ‎∵Rt△ABC≌Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,∠BAC=30°,BC=1.‎ ‎∴∠ACB=60°,∠FCE=∠BAC=30°,AC=CF,‎ ‎∴∠ACF=30°,‎ ‎∴∠BAC=∠FCD,‎ 在△ABC和△CDF中,‎ ‎∠BAC=∠FCD‎∠ABC=∠CDFAC=CF‎,‎ 第28页(共28页)‎ ‎∴△ABC≌△CDF(AAS),‎ ‎∴FD=BC=1,‎ 故答案为1;‎ ‎(2)线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示,此时点E落在CF上的点H处.‎ S阴=S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC=S扇形ACF﹣S扇形ECH‎=‎30⋅π⋅‎‎2‎‎2‎‎360‎-‎30⋅π⋅(‎‎3‎‎)‎‎2‎‎360‎=‎π‎12‎.‎ 故答案为π‎12‎.‎ ‎(3)如图2中,过点E作EH⊥CF于H.设OB=OE=x.‎ 在Rt△ECF中,∵EF=1,∠ECF=30°,EH⊥CF,‎ ‎∴EC‎=‎‎3‎EF‎=‎‎3‎,EH‎=‎‎3‎‎2‎,CH‎=‎‎3‎EH‎=‎‎3‎‎2‎,‎ 在Rt△BOC中,OC‎=OB‎2‎+BC‎2‎=‎‎1+‎x‎2‎,‎ ‎∴OH=CH﹣OC‎=‎3‎‎2‎-‎‎1+‎x‎2‎,‎ 在Rt△EOH中,则有x2=(‎3‎‎2‎)2+(‎3‎‎2‎‎-‎‎1+‎x‎2‎)2,‎ 第28页(共28页)‎ 解得x‎=‎‎7‎‎3‎或‎-‎‎7‎‎3‎(不合题意舍弃),‎ ‎∴OC‎=‎1+(‎‎7‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎‎4‎‎3‎,‎ ‎∵CF=2EF=2,‎ ‎∴OF=CF﹣OC=2‎-‎4‎‎3‎=‎‎2‎‎3‎.‎ ‎27.(10分)(2020•常州)如图1,⊙I与直线a相离,过圆心I作直线a的垂线,垂足为H,且交⊙I于P、Q两点(Q在P、H之间).我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“,把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”.‎ ‎(1)如图2,在平面直角坐标系xOy中,点E的坐标为(0,4).半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D.‎ ‎①过点E画垂直于y轴的直线m,则⊙O关于直线m的“远点”是点 D (填“A”.“B”、“C”或“D”),⊙O关于直线m的“特征数”为 6 ;‎ ‎②若直线n的函数表达式为y‎=‎‎3‎x+4.求⊙O关于直线n的“特征数”;‎ ‎(2)在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点M(1,4),点F是坐标平面内一点,以F为圆心,‎2‎为半径作⊙F.若⊙F与直线1相离,点N(﹣1,0)是⊙F关于直线1的“远点”.且⊙F关于直线l的“特征数”是4‎5‎,求直线l的函数表达式.‎ ‎【解答】解:(1)①由题意,点D是⊙O关于直线m的“远点”,⊙O关于直线m的特征数=DB•DE=2×5=20,‎ 故答案为D,20.‎ ‎②如图1﹣1中,过点O作OH⊥直线n于H,交⊙O于Q,P.‎ 第28页(共28页)‎ 设直线y‎=‎‎3‎x+4交x轴于F(‎-‎‎4‎‎3‎‎3‎,0),交y轴于E(0,4),‎ ‎∴OE=4,OF‎=‎‎4‎‎3‎‎3‎ ‎∴tan∠FEO‎=OFOE=‎‎3‎‎3‎,‎ ‎∴∠FEO=30°,‎ ‎∴OH‎=‎‎1‎‎2‎OE=2,‎ ‎∴PH=OH+OP=3,‎ ‎∴⊙O关于直线n的“特征数”=PQ•PH=2×3=6.‎ ‎(2)如图2﹣1中,设直线l的解析式为y=kx+b.‎ 当k>0时,过点F作FH⊥直线l于H,交⊙F于E,N.‎ 由题意,EN=2‎2‎,EN•NH=4‎5‎,‎ ‎∴NH‎=‎‎10‎,‎ ‎∵N(﹣1,0),M(1,4),‎ ‎∴MN‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎2‎5‎,‎ 第28页(共28页)‎ ‎∴HM‎=MN‎2‎-NH‎2‎=‎20-10‎=‎‎10‎,‎ ‎∴△MNH是等腰直角三角形,‎ ‎∵MN的中点K(0,2),‎ ‎∴KN=HK=KM‎=‎‎5‎,‎ ‎∴H(﹣2,3),‎ 把H(﹣2,3),M(1,4)代入y=kx+b,则有k+b=4‎‎-2k+b=3‎,‎ 解得k=‎‎1‎‎3‎b=‎‎11‎‎3‎,‎ ‎∴直线l的解析式为y‎=‎‎1‎‎3‎x‎+‎‎11‎‎3‎,‎ 当k<0时,同法可知直线i经过H′(2,1),可得直线l的解析式为y=﹣3x+7.‎ 综上所述,满足条件的直线l的解析式为y‎=‎‎1‎‎3‎x‎+‎‎11‎‎3‎或y=﹣3x+7.‎ ‎28.(10分)(2020•常州)如图,二次函数y=x2+bx+3的图象与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B,抛物线过点C(1,0),且顶点为D,连接AC、BC、BD、CD.‎ ‎(1)填空:b= ﹣4 ;‎ ‎(2)点P是抛物线上一点,点P的横坐标大于1,直线PC交直线BD于点Q.若∠CQD=∠ACB,求点P的坐标;‎ ‎(3)点E在直线AC上,点E关于直线BD对称的点为F,点F关于直线BC对称的点为G,连接AG.当点F在x轴上时,直接写出AG的长.‎ ‎【解答】解:(1)∵抛物线y=x2+bx+3的图象过点C(1,0),‎ ‎∴0=1+b+3,‎ 第28页(共28页)‎ ‎∴b=﹣4,‎ 故答案为:﹣4;‎ ‎(2)∵b=4,‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3‎ ‎∵抛物线y=x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B,‎ ‎∴点A(0,3),3=x2﹣4x,‎ ‎∴x1=0(舍去),x2=4,‎ ‎∴点B(4,3),‎ ‎∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,‎ ‎∴顶点D坐标(2,﹣1),‎ 如图1,当点Q在点D上方时,过点C作CE⊥AB于E,设BD与x轴交于点F,‎ ‎∵点A(0,3),点B(4,3),点C(1,0),CE⊥AB,‎ ‎∴点E(1,3),CE=BE=3,AE=1,‎ ‎∴∠EBC=∠ECB=45°,tan∠ACE‎=AEEC=‎‎1‎‎3‎,‎ ‎∴∠BCF=45°,‎ ‎∵点B(4,3),点C(1,0),点D(2,﹣1),‎ ‎∴BC‎=‎9+9‎=‎3‎2‎,CD‎=‎1+1‎=‎‎2‎,BD‎=‎(4-2)‎2‎+(3+1‎‎)‎‎2‎=‎2‎5‎,‎ ‎∵BC2+CD2=20=BD2,‎ ‎∴∠BCD=90°,‎ ‎∴tan∠DBC‎=CDBC=‎2‎‎3‎‎2‎=‎1‎‎3‎=‎tan∠ACE,‎ ‎∴∠ACE=∠DBC,‎ ‎∴∠ACE+∠ECB=∠DBC+∠BCF,‎ 第28页(共28页)‎ ‎∴∠ACB=∠CFD,‎ 又∵∠CQD=∠ACB,‎ ‎∴点F与点Q重合,‎ ‎∴点P是直线CF与抛物线的交点,‎ ‎∴0=x2﹣4x+3,‎ ‎∴x1=1,x2=3,‎ ‎∴点P(3,0);‎ 当点Q在点D下方上,过点C作CH⊥DB于H,在线段BH的延长线上截取HF=QH,连接CQ交抛物线于点P,‎ ‎∵CH⊥DB,HF=QH,‎ ‎∴CF=CQ,‎ ‎∴∠CFD=∠CQD,‎ ‎∴∠CQD=∠ACB,‎ ‎∵CH⊥BD,‎ ‎∵点B(4,3),点D(2,﹣1),‎ ‎∴直线BD解析式为:y=2x﹣5,‎ ‎∴点F(‎5‎‎2‎,0),‎ ‎∴直线CH解析式为:y‎=-‎‎1‎‎2‎x‎+‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴y=-‎1‎‎2‎x+‎‎1‎‎2‎y=2x-5‎,‎ 第28页(共28页)‎ 解得x=‎‎11‎‎5‎y=-‎‎3‎‎5‎,‎ ‎∴点H坐标为(‎11‎‎5‎,‎-‎‎3‎‎5‎),‎ ‎∵FH=QH,‎ ‎∴点Q(‎19‎‎10‎,‎-‎‎6‎‎5‎),‎ ‎∴直线CQ解析式为:y‎=-‎‎4‎‎3‎x‎+‎‎4‎‎3‎,‎ 联立方程组y=-‎4‎‎3‎x+‎‎4‎‎3‎y=x‎2‎-4x+3‎,‎ 解得:x‎1‎‎=1‎y‎1‎‎=0‎或x‎2‎=‎‎5‎‎3‎y‎2‎=-‎‎8‎‎9‎,‎ ‎∴点P(‎5‎‎3‎,‎-‎‎8‎‎9‎);‎ 综上所述:点P的坐标为(3,0)或(‎5‎‎3‎,‎-‎‎8‎‎9‎);‎ ‎(3)如图,设直线AC与BD的交点为N,作CH⊥BD于H,过点N作MN⊥x轴,过点E作EM⊥MN,连接CG,GF,‎ ‎∵点A(0,3),点C(1,0),‎ ‎∴直线AC解析式为:y=﹣3x+3,‎ ‎∴y=-3x+3‎y=2x-5‎,‎ 第28页(共28页)‎ ‎∴x=‎‎8‎‎5‎y=-‎‎9‎‎5‎,‎ ‎∴点N坐标为(‎8‎‎5‎,‎-‎‎9‎‎5‎),‎ ‎∵点H坐标为(‎11‎‎5‎,‎-‎‎3‎‎5‎),‎ ‎∴CH2=(‎11‎‎5‎‎-‎1)2+(‎3‎‎5‎)2‎=‎‎9‎‎5‎,HN2=(‎11‎‎5‎‎-‎‎8‎‎5‎)2+(‎-‎3‎‎5‎+‎‎9‎‎5‎)2‎=‎‎9‎‎5‎,‎ ‎∴CH=HN,‎ ‎∴∠CNH=45°,‎ ‎∵点E关于直线BD对称的点为F,‎ ‎∴EN=NF,∠ENB=∠FNB=45°,‎ ‎∴∠ENF=90°,‎ ‎∴∠ENM+∠FNM=90°,‎ 又∵∠ENM+∠MEN=90°,‎ ‎∴∠MEN=∠FNM,‎ ‎∴△EMN≌△NKF(AAS)‎ ‎∴EM=NK‎=‎‎9‎‎5‎,MN=KF,‎ ‎∴点E的横坐标为‎-‎‎1‎‎5‎,‎ ‎∴点E(‎-‎‎1‎‎5‎,‎18‎‎5‎),‎ ‎∴MN‎=‎27‎‎5‎=‎KF,‎ ‎∴CF‎=‎8‎‎5‎+‎27‎‎5‎-‎1=6,‎ ‎∵点F关于直线BC对称的点为G,‎ ‎∴FC=CG=6,∠BCF=∠GCB=45°,‎ ‎∴∠GCF=90°,‎ ‎∴点G(1,6),‎ ‎∴AG‎=‎1‎2‎+(6-3)‎‎2‎=‎‎10‎.‎ 第28页(共28页)‎
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