上海教育高中数学一下最简三角方程篇

上海教育高中数学一下最简三角方程篇

课题 最简三角方程 上海市延安中学 吕志勇 一、教案设计思考[]‎ 这节课的内容是给出三角方程的定义，以及解最简三角方程的基本方法，其中要应用到三角函数性质及图像、反三角函数、诱导公式等知识，还包括数形结合、转换、分类讨论、类比等数学思想方法，是对所学过的许多三角知识进行应用，在三角比和三角函数这两章内容中的地位还比较重要，它是先有三角比值，然后要研究满足这样的条件的角是什么，也完善了解三角形的理论基础 这节课用解三角形时的一个问题来引入，简单并能引起同学的兴趣，然后整节课采用启发、探究的教学方法，调动同学积极思考问题 二、教学目标 理解三角方程、最简三角方程的定义，掌握三种最简三角方程的解法；体会由特殊到一般的研究问题的方法，能综合运用所学知识解决问题，能用数形结合、转换、分类讨论、类比等数学思想方法解决有关问题．‎ 三、教学重点、难点 解三角方程的思想方法 四、教学方法和手段 采用启发式教学模式 五、教学过程 ‎1、引入 前面我们重点学习了三角函数的有关知识，研究了角的变化对三角比值的影响，在解三角形中我们已经遇到知道了一个角的三角比值，要求这个角，如知道，由于角是三角形中的内角，所以有或，今后我们会遇到类似的问题，特别是当角的大小没有条件限制时，那么满足的有多少呢？我们把这样的方程叫做三角方程，那么如何解这类方程呢？下面就请同学思考这个问题]‎ ‎2、探究 要研究如何解三角方程，先解决较简单的方程，就以为例，同学思考后，进行交流讨论 同学1：这个方程应该有无数多个解，但还没有找到解决的方法．‎ 同学2：和都是方程的解，又函数的最小正周期是，所以此方程的解集是或，．‎ 教师：好，你的确找到了方程的许多解，但是会不会有其它的解遗漏了呢？‎ 同学3：不会遗漏，由于函数的最小正周期是，只要先找到在的解，那么方程的所有解都找到了，画出函数与的图象，发现在内的交点有且只有两个，交点横坐标为和，所以方程的解集是或 ‎，‎ 教师：很好，方程有无数个解，找到所有的解的方法是利用三角周期的性质，先在一个最小正周期内找到解，然后找到方程所有解．那么，方程又如何解呢？‎ 同学4：方法跟前面一样，只是在内的解要用反三角函数来表示，即方程的解集是或，．‎ 教师：很好，方程又如何解呢？‎ 同学5：方法跟前面一样，在内的解也有两个．‎ 教师：哪两个呢？‎ 同学5：一个是，另一个是．‎ 此时引起许多同学的争论，觉得这里有问题．‎ 同学6：先在内找到解，一个是，另一个是．‎ 教师：为什么？‎ 同学6：书上就是这样说的，先选取区间．‎ 又引起同学争论．‎ 同学7：先在内找到解，一个是，另一个是，然后是方程的解集就是或，．‎ 教师：很好，这里先选择哪个周期的标准是如何能顺利表示出解来，由反三角函数知识，这个区间最好包括，而在内的图象又是关于直线对称的．那么方程又如何解呢？‎ 同学8：在内的解是与，所以方程的解是或，．‎ 同学9：不对，要进行分类讨论，当时，方程无解．‎ ‎3、结论 在同学的共同讨论下，关于方程，最后可以得到以下的结论：‎ 当时，函数和函数的图象无交点，方程无解，即解集为．‎ 当时，方程的解集为或 ‎4、继续探究 从解方程的方法得到启发，如何解方程呢？‎ 同学10：由诱导公式，将方程转换为即可．‎ 教师：很好，体现了数学转换的思想，那么能不能用类似解的方法来解方程呢？‎ 同学11：那么还是用数形结合的方法，先分类讨论，当时，函数与 的图象无交点，方程无解．当时，函数与的图象在区间内的交点有两个，横坐标是与，所以方程的解集为或 教师：很好，理解了方程的解法之后，用类比的方法就很容易解方程了．‎ 那么又如何解方程呢？‎ 同学12：还是用数形结合的方法，函数与的图象在区间内的交点横坐标是，又由于函数的最小正周期是，所以方程的解集为．‎ 教师：很好，方程是最容易解的，函数与的图象在区间 内的交点总是有且只有一个，不需要进行分类讨论．‎ ‎5、练习 解下列方程：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）．‎ ‎6、小结 今天我们一起讨论了如何解三角方程，先研究如何解最简三角方程，掌握了解三种最简三角方程的基本方法，另外，解三角方程的基本思想方法主要体现在以下几个方面：‎ ‎（1）从特殊到一般的研究问题方法 ‎（2）利用函数的图象及性质，采用数形结合的方法；‎ ‎（3）转化思想，先找到一个周期内的解，再利用周期性质得到方程所有的解；‎ ‎（4）采用类比的思想方法．‎ ‎7、布置作业 第106页 习题 1，2‎ 六、教学建议与反思 最简三角方程这节内容两节课完成，这是第一节课，这节课的教学思路是这样设计的，先是通过复习解斜三角形引出问题，使同学产生研究的兴趣，课堂上学生对这个问题的确产生了兴趣，虽然引入没有花许多时间，但产生了明显的效果，然后是跟同学一起讨论如何解三角方程，，，，由简单到复杂逐步推进，从中逐步体会解三角方程的思想，如利用三角函数的周期性质，还有数形结合，分类讨论等数学方法，课堂上学生能进行积极思考和讨论，并能够对教材提出自己的独特的见解．完成对三角方程的求解之后，要求学生继续解三角方程和，学生的思维很积极，如能利用转换思想将方程转换为来解，能合理运用类比的思想方法，将解方程得到的方法应用到解方程和上，在课堂小结时，同学也能把本节课学习到的重要内容总结出来．‎ 由于这节课设计时要解决三个三角方程，在讨论好解的方法之后，继续研究如何解另外两个方程，这个过程培养了同学的类比能力，增强了同学的类比意识，但是也遇到一些问题，如课堂练习的时间比较少，没有能对方程的各种解法进行更进一步的探讨，其实可以从单位圆的角度，先把问题转换为找终边所在的位置，再求出终边所表示的角的集合，又如当时，方程的解集为或，这个集合也可以等价地表示为 ‎，，这个表示方法更加简洁．所以这节课的设计也可以考虑只解决方程的解法，把它讨论透彻，第二节课再研究另外两个方程的解法．‎ 课 题：6.5-最简三角方程 第1课时：‎ 教学目标：‎ 1. 知道三角方程的概念，理解三角方程的解集概念；能从单位圆、三角函数图象等观点来理解并掌握最简三角方程求解方法及解集 2. 通过解三角方程，进一步理解三角函数及反三角函数。‎ 3. 进一步提高数形结合思想 教学重点：三角方程的求解 教学难点：三角方程的求解 教学过程 三角方程的定义：‎ 我们把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程；把满足三角方程的所有的未知数的集合称为三角方程的解集。如，等。‎ 点评：一般地，由于三角函数具有周期性，因此三角方程的解集一般含有无穷多个元素]‎ 最简三角方程 ‎1、方程的解集 ‎[例1] 求三角方程的解集 解：在区间上，满足的或，‎ 而是周期为的函数，则或（），‎ 则方程的解集为或。‎ 解集还可以写成。 ——给学生讲讲为什么。‎ 归纳方程的解：‎ ‎（i）当时，方程无解；‎ ‎（ii）当时，或（‎ 也可写成（）。‎ 特别的：当时，（）。‎ 当时，（）。‎ 当时，（）。‎ 注意：1、函数，图像与方程解之间的关系。‎ ‎2、单位圆和三角函数线与方程解之间的关系。‎ 练习：口答下列方程的解 ‎（1）；（2）；（3）；（4）。‎ ‎2、方程的解集 ‎[例2] 求三角方程的解集。‎ 解：在区间上，满足的或，‎ 而是周期为的函数，则（），‎ 则方程的解集为。‎ 归纳方程的解：‎ ‎（i）当时，方程无解；‎ ‎（ii）当时，（）。‎ 特别的：当时，（）。‎ 当时，（）。‎ 当时，（）。‎ 练习：口答下列方程的解 ‎（1）；（2）；（3）；（4）。‎ ‎3、方程的解集 ‎[例3] 求解方程的解集，并总结一般的三角方程的一般解集。‎ 解：在区间上，满足的，‎ 而是周期为的函数，则（），‎ 则方程的解集为。‎ 归纳方程的解：（）‎ 练习：口答下列方程的解 ‎（1）；（2）；（3）。‎ ‎[例4] 求下列方程的解集：‎ ‎(1) 解：（）‎ 变式：若呢？ 解：。‎ ‎(2) 解：（）‎ ‎(3) 解：，则（）。‎ ‎(4)，且为锐角 解：，则（），‎ 则 ‎(5)‎ 解：或，则或（）。‎ 变式：‎ 解：，则（舍）或，则（）。‎ 点评：（1）以上的方程都可以转化为最简三角方程求解；‎ ‎（2）一定要掌握最简三角方程的一般解集 课堂小结：‎ ‎1、数学知识：最简三角方程及其解集。‎ ‎2、数学思想方法：数形结合。‎ 作业：《课本》P.112-6.5(1)，P.113- 6.5(2)，《练习册》P.46-A组-2、3、4[]‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ www.ks5u.com 课 题：6.5-最简三角方程 第2课时：‎ 教学目标：‎ 1. 进一步掌握解三角方程的方法集，能利用最简三角方程解决简单的三角问题。‎ 2. 通过解三角方程，进一步理解三角函数及反三角函数。‎ 3. 进一步提高三角变换能力。‎ 教学重点：解三角方程 教学难点：解三角方程 教学过程：‎ 一、最简三角方程：‎ 1、 若sinx＝，则x＝2kπ＋arcsin或x＝2kπ＋π－arcsin，k∈Z 2、 若cosx＝－，则x＝2kπ±(π－arccos)，k∈Z 3、 若tanx＝－2，则x＝kπ－arctan2)，k∈Z 二、形如sinf(x)＝a的方程，其中－1≤a≤1‎ 4、 解：，得2x－＝2kπ＋，则x＝kπ＋，k∈Z[来 5、 解：，得x－＝kπ－，则x＝kπ＋，k∈Z 三、形如f(sinx)＝a的方程 6、 解：，得，解得或，‎ 则或，。‎ 7、 解：解得或（舍），则，。‎ 8、 解：或，。‎ 四、形如asinx＋bcosx＝c(c≠0)的方程 ——用辅助角转化为最简三角方程 1、 解：得，则，‎ 2、 解：，则，‎ 五、关于sinx、cosx的奇次的方程 3、 解1：得，则，。‎ 解2：同除以得，则，。‎ 4、 ‎ ——转化为只含tanx的三角方程 解1：同除以得 得或，则或，‎ 解2：，则，‎ 则或，得或，‎ 则或，。‎ 点评：关于、的奇次方程， ‎ 六、两边同名的三角方程 5、 解：或，则或，。‎ 点评：，则或（）；‎ ‎，则（）；‎ ‎，则或（）。‎ 七、其它类型方程]‎ 6、 解：，则，而，则，则（）。‎ 例2：当为何值时，方程有实数解？‎ 解：，则时方程有解，则。‎ 例3：若方程有实数解，求实数的取值范围。‎ 解：，令，则，，则。‎ 点评：方程的有解问题通过变量分离转化为函数得值域 例4：方程[‎ ‎（1）若方程有解，求实数m的值；‎ ‎（2）讨论方程在区间上解的个数；‎ ‎（3）当时，方程有两个不同的解，求实数m的范围。‎ O x y 解：（1），则；‎ ‎（2），‎ 则时，一个解；‎ 时，三个解；‎ ‎，两个解 ‎（3），当时方程有两解。‎ 思考：的值？‎ 解：令，关于t的方程，关于对称，则，‎ 即，则。‎ 点评：讨论三角方程解的个数，要数形结合。‎ 课堂小结：‎ ‎1、数学知识：不同类型的三角方程及其解法。‎ ‎2、数学思想方法：三角变换。‎ 作业：《练习册》P.47- B组，《一课一练》P.70，P.71‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ www.ks5u.com w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ www.ks5u.com