人教版初中数学八年级下册课件17.2 勾股定理的逆定理第2课时 勾股定理的逆定理的应用

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人教版初中数学八年级下册课件17.2 勾股定理的逆定理第2课时 勾股定理的逆定理的应用

17.2 勾股定理的逆定理 第十七章 勾股定理 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第2课时 勾股定理的逆定理的应用 学习目标 1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.(重点) 2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问 题.(难点) 导入新课 问题 前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理 的知识有了一定的认识,你能说出它们的内容吗? 回顾与思考 a2+b2=c2 (a,b为直角边,c斜边) Rt△ABC,∠C是直角 勾股定理 勾股定理的逆定理 a2+b2=c2 (a,b为较短边,c为最长边) Rt△ABC,且∠C是直角. (2)等腰△ ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,则 BC 边上的高是 cm. 8 (1)已知△ ABC中,BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形 为 三角形, 是最大角. 直角 ∠ A 快速填一填: 思考 前面我们已经学会了用勾股定理解决生活中 的很多问题,那么勾股定理的逆定理解决哪些实际 问题呢?你能举举例吗? 在军事和航海上经常要确定方向和位置,从而常需 要使用一些数学知识和方法,其中勾股定理的逆定 理经常会被用到,这节课让我们一起来学习吧. 讲授新课 12 勾股定理的逆定理的应用一 例1 如图,某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航” 号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方 向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时 航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q,R处,且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方 向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?N EP Q R 问题1 认真审题,弄清已知是什么?要解决的 问题是什么? 12 N EP Q R 16×1.5=2412×1.5=18 30 “远航”号的航向、两艘 船的一个半小时后的航程 及距离已知,如图. 问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长,要 求角,由此你联想到了什么? 实质是要求出两艘船航 向所成角. 勾股定理逆定理 解:根据题意得 PQ=16×1.5=24(海里), PR=12×1.5=18(海里), QR=30海里. ∵242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°. ∴∠2=45°,即“海天”号沿西北方向航行. N EP Q R 12 解决实际问题的步骤: 构建几何模型(从整体 到局部); 标注有用信息,明确已知和所求; 应用数 学知识求解. 归纳 【变式题】 如图,南北方向PQ以东为我国领海,以 西为公海,晚上10时28分,我边防反偷渡巡逻101号 艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向 我沿海靠近,便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇 注意其动向,经检测,AC=10海里,BC=8海里, AB=6海里,若该船只的速度为12.8海里/时,则可疑 船只最早何时进入我领海? 东 北P A B C Q D 分析:根据勾股定理的逆定 可得△ABC是直角三角形,然 后利用勾股定理的逆定理及直 角三角形的面积公式可求PD, 然后再利用勾股定理便可求CD. 解:∵AC=10,AB=6,BC=8, ∴AC2=AB2+BC2, 即△ABC是直角三角形. 设PQ与AC相交于点D,根据三 角形面积公式有 BC·AB= AC·BD, 即6×8=10BD,解得BD= 在Rt△BCD中, 2 2 2 2 248 6.4( ).5CD BC BD         海里 又∵该船只的速度为12.8海里/时, 6.4÷12.8=0.5(小时)=30(分钟), ∴需要30分钟进入我领海,即最早晚上10时58分进入 我领海. 东 北P A B C Q D 24.5 1 2 1 2 例2 一个零件的形状如图 所示,按规定这个零件中 ∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各 边的尺寸如图 所示,这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图 图 在△BCD中, ∴△BCD 是直角三角形,∠DBC是直角. 因此,这个零件符合要求. 解:在△ABD中, ∴△ABD 是直角三角形,∠A是直角. D A B C 4 3 5 13 12 图 1.A、B、C三地的两两距离如图所示,A地在B地的正 东方向,C在B地的什么方向? AB C 5cm 12cm 13cm 解:∵ BC2+AB2=52+122=169, AC2 =132=169, ∴BC2+AB2=AC2, 即△ABC是直角三角形, ∠B=90°. 答:C在B地的正北方向. 练一练 2.如图,是一农民建房时挖地基的平面图,按标准 应为长方形,他在挖完后测量了一下,发现AB=DC =8m,AD=BC=6m,AC=9m,请你运用所学知识 帮他检验一下挖的是否合格? 解:∵AB=DC=8m,AD=BC=6m, ∴AB2+BC2=82+62=64+36=100. 又∵AC2=92=81, ∴AB2+BC2≠AC2, ∴∠ABC≠90°, ∴该农民挖的不合格. 例3 如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3, BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积. 解析:连接AC,把四边形分成两个三角形.先用勾 股定理求出AC的长度,再利用勾股定理的逆定理 判断△ACD是直角三角形. A D B C 3 4 13 12 勾股定理及其逆定理的综合应用二 解:连接AC. A D B C 3 4 13 12 在Rt△ABC中, 在△ACD中, AC2+CD2=52+122=169=AD2, ∴△ACD是直角三角形, 且∠ACD=90°. ∴S四边形 ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36. 2 2 2 23 4 5,AC AB BC     四边形问题对角线是常用的辅助线,它把四边形 问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定 理解决问题时,它与勾股定理是“黄金搭挡”,经常 配套使用. 归纳 【变式题1】 如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,已知 AD=3cm,AB=4cm,CD=12cm,BC=13cm,求四边 形ABCD 的面积. 解:连接BD. 在Rt△ABD中, 由勾股定理得 BD2=AB2+AD2, ∴BD=5m. 又∵ CD=12cm,BC=13cm, ∴ BC2=CD2+BD2,∴△BDC是直角三角形. ∴S四边形ABCD=SRt△BCD-SRt△ABD= BD•CD- AB•AD = ×(5×12-3×4)=24 (cm2). 1 2 1 21 2 C B A D 【变式题2】 如图,在四边形ABCD中,AC⊥DC, △ADC的面积为30 cm2,DC=12 cm,AB=3cm,BC =4cm,求△ABC的面积. 解: ∵ S△ACD=30 cm2,DC=12 cm. ∴ AC=5 cm. 又∵ ∴△ABC是直角三角形, ∠B是直角. ∴ D C B A 例4 如图,△ABC中,AB=AC,D是AC边上的一点, CD=1,BC= 5 ,BD=2. (1)求证:△BCD是直角三角形; (2)求△ABC的面积. (1)证明:∵CD=1,BC= 5 ,BD=2, ∴CD2+BD2=BC2, ∴△BDC是直角三角形; (2)解:设腰长AB=AC=x, 在Rt△ADB中,∵AB2=AD2+BD2, ∴x2=(x-1)2+22, 解得 5.2x  1 1 5 52 .2 2 2 2ABCS AC BD      △ 用到了方 程的思想 1. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示,超市 在医院的南偏东25°的方向,且到医院的距离为 300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距 离为500m,则公园在医院的北偏东 的方向. 东 医 院 公 园 超市 北 65° 当堂练习 2.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25, 现将他们摆成两个直角三角形,其中摆放方法正确 的是 (  ) A. B. C. D. D 3.如图,某探险队的A组由驻地O点出发,以12km/h 的速度前进,同时,B组也由驻地O出发,以9km/h 的速度向另一个方向前进,2h后同时停下来,这时 A,B两组相距30km.此时,A,B两组行进的方向 成直角吗?请说明理由. 解:∵出发2小时,A组行了12×2=24(km),B组行 了9×2=18(km), 又∵A,B两组相距30km, 且有242+182=302, ∴A,B两组行进的方向成直角. 4.如图,在△ABC中,AB=17,BC=16,BC边 上的中线AD=15,试说明:AB=AC. 解:∵BC=16,AD是BC边上的中线, ∴BD=CD= BC=8. ∵在△ABD中, AD2+BD2=152+82=172=AB2, ∴△ABD是直角三角形,即∠ADB=90°. ∴△ADC是直角三角形. 在Rt△ADC中, ∴AB=AC. 1 2 2 2 2 215 8 17AC AD CD     , 5.在寻找某坠毁飞机的过程中,两艘搜救艇接到消息, 在海面上有疑似漂浮目标A、B.于是,一艘搜救艇 以16海里/时的速度离开港口O(如图)沿北偏东40° 的方向向目标A的前进,同时,另一艘搜救艇也从港 口O出发,以12海里/时的速度向着目标B出发,1.5小 时后,他们同时分别到达目标A、B.此时,他们相 距30海里,请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多 少度? 解:根据题意得OA=16×1.5=24(海里), OB=12×1.5=18(海里), ∵OB2+OA2=242+182=900,AB2=302=900, ∴OB2+OA2=AB2, ∴∠AOB=90°. ∵第一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O(如 图)沿北偏东40°的方向向目标A的前进, ∴∠BOD=50°, 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度. 解:设AB为3xcm,BC为4xcm,AC为5xcm, ∵周长为36cm,即AB+BC+AC=36cm, ∴3x+4x+5x=36,解得x=3. ∴AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm. ∵AB2+BC2=AC2, ∴△ABC是直角三角形, 过3秒时,BP=9-3×2=3(cm),BQ=12-1×3=9(cm), 在Rt△PBQ中,由勾股定理得 6.如图,在△ABC中,AB:BC:CA=3:4:5且周长 为36cm,点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速 度移动,点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移 动,如果同时出发,则过3s时,求PQ的长. 2 23 9 3 10(cm).PQ    课堂小结 勾股定理的逆 定理的应用 应 用 航海问题 方 法 认真审题,画出符合 题意的图形,熟练运 用勾股定理及其逆 定 理 来 解 决 问 题 与勾股定理结合解决 不规则图形等问题
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