高考数学二轮复习资料专题圆锥曲线教学案教师版

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文档介绍

高考数学二轮复习资料专题圆锥曲线教学案教师版

‎2013高考数学二轮复习精品资料专题09 圆锥曲线教学案(教师版)‎ ‎【2013考纲解读】‎ ‎1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质;理解数形结合的思想;了解圆锥曲线的简单应用.‎ ‎2.了解双曲线的定义、几何性质,掌握双曲线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.‎ ‎3. 了解抛物线的定义、几何性质,掌握抛物线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.‎ ‎4.了解圆锥曲线的简单应用,理解直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系.‎ ‎【知识网络构建】‎ ‎ ‎ ‎【重点知识整合】‎ ‎2.双曲线 ‎(1)双曲线的定义;‎ ‎(2)两种标准方程:-=1(a>0,b>0),焦点在x轴上;-=1(a>0,b>0),焦点在y轴上;‎ ‎(3)双曲线方程的一般形式:mx2+ny2=1(mn<0),其焦点位置有如下规律:当m>0,n<0时,焦点在x轴上;当m<0,n>0时,焦点在y轴上;‎ ‎(4)双曲线的简单几何性质.‎ ‎3.抛物线 ‎(1)抛物线的定义;‎ ‎(2)抛物线的标准方程;‎ ‎(3)抛物线方程的一般形式:焦点在x轴上的抛物线方程可以用y2=λx(λ≠0)表示;焦点在y轴上的抛物线标准方程可以用x2=λy(λ≠0)表示;‎ ‎(4)抛物线的简单几何性质.‎ ‎【高频考点突破】‎ 考点一 椭圆 ‎1.定义式:|PF1|+|PF2|=‎2a(‎2a>|F‎1F2|).‎ ‎2.标准方程:焦点在x轴上:+=1(a>b>0);‎ 焦点在y轴上:+=1(a>b>0);‎ 焦点不确定:mx2+ny2=1(m>0,n>0).‎ ‎3.离心率:e== <1.‎ ‎4.过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为.‎ 例1、过点C(0,1)的椭圆+=1(a>b>0)的离心率为.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(-a,0).过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.‎ ‎(1)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长;‎ ‎(2)当点P异于点B时,求证:·为定值.‎ 所以D点坐标为(,-).‎ 故|CD|==.‎ ‎【变式探究】若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点(1,)作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________.‎ ‎【方法技巧】‎ ‎1.涉及椭圆基本量运算时要注意以下几个问题 ‎ ‎(1)求椭圆标准方程或离心率要注意a、b、c三者之间关系; ‎ ‎(2)要善于借助于图形分析问题; ‎ ‎(3)对于焦点三角形问题要注意定义与正弦定理余弦定理的综合应用,尤其是配方法的使用. ‎ ‎2.直线与椭圆的位置关系问题 ‎(1)判断方法:利用Δ>0,Δ=0,Δ<0可解决;‎ ‎(2)弦长问题:|AB|= ‎=;‎ ‎(3)中点弦问题:用点差法较简单.‎ 考点二 双曲线 ‎1.定义式:||PF1|-|PF2||=‎2a(‎2a<|F‎1F2|)‎ ‎2.标准方程:‎ 焦点在x轴上:-=1(a>0,b>0),‎ 焦点在y轴上:-=1(a>0,b>0),‎ 焦点不明确:mx2+ny2=1(mn<0).‎ ‎3.离心率与渐近线问题:‎ ‎(1)焦点到渐近线的距离为b.‎ ‎(2)e== >1,‎ 注意:若a>b>0,则10,则e=,‎ 若b>a>0,则e>.‎ ‎(3)焦点在x轴上,渐近线的斜率k=±,‎ 焦点在y轴上,渐近线的斜率k=±.‎ ‎(4)与-=1共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0).‎ 例2、已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为 (  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎【变式探究】设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|‎ 为C的实轴长的2倍,则C的离心率为 (  )‎ A. B. C.2 D.3‎ ‎【方法技巧】‎ ‎1.使用双曲线定义时注意点在双曲线的哪一个分支上. ‎ ‎2.对于双曲线的离心率与渐近线的关系.若已知渐近线而不 明确焦点位置,那么离心率一定有两解. ‎ ‎3.直线与双曲线的交点比椭圆复杂,要注意结合图形分析.尤其是直线与双曲线有且只有一个交点⇔Δ=0或l平行于渐近线. ‎ 考点三 抛物线 ‎1.定义式:|PF|=d.‎ ‎2.根据焦点及开口确定标准方程.注意p>0时才有几何意义,即焦点到准线的距离.‎ ‎3.直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,交抛物线于A、B两点,则有:‎ ‎(1)通径的长为2p.‎ ‎(2)焦点弦公式:|AB|=x1+x2+p=.‎ ‎(3)x1x2=,y1y2=-p2.‎ ‎(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.‎ ‎(5)+=.‎ 例3、如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A. ‎ ‎ (1)求实数b的值; ‎ ‎(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.‎ ‎【变式探究】已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为 (  )‎ A. B.1‎ C. D. 解析:根据抛物线定义与梯形中位线定理,得线段AB中点到y轴的距离为:‎ (|AF|+|BF|)-=-=.‎ 答案:C ‎【方法技巧】‎ ‎1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法.利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值.注意定义转化. ‎ ‎2.直线与抛物线有且只有一个交点时,不一定有Δ=0,还有 可能直线平行于抛物线的对称轴. ‎ ‎3.研究抛物线的几何性质时要注意结合图形进行分析. ‎ ‎【难点探究】‎ 难点一 圆锥曲线的定义与标准方程 例1、已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎【变式探究】(1)已知点P为双曲线-=1右支上一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,I为△PF‎1F2的内心,若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF‎1F2成立,则λ的值为(  )‎ A. B. C. D. ‎(2)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为________________.‎ ‎【答案】(1)B (2)+=1 ‎ ‎【解析】 (1)根据三角形面积公式把S△IPF1=S△IPF2+λS△IF‎1F2转化为焦点三角形边之间的关系.根据S△IPF1=S ‎△IPF2+λS△IF‎1F2,得|PF1|=|PF2|+λ|F‎1F2|,即‎2a=2λc,则λ==.注意内心是三角形内切圆的圆心,到三角形各边的距离相等.‎ ‎(2)设椭圆方程为+=1(a>b>0).‎ 因为离心率为,所以=,‎ 解得=,即a2=2b2.‎ 又△ABF2的周长为++=+++=(+)+(+)=2a+2a=4a,所以4a=16,a=4,所以b=2,‎ 所以椭圆方程为+=1.‎ 难点二  圆锥曲线的几何性质 例2、已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则(  )‎ A.a2= B.a2=13‎ C.b2= D.b2=2‎ ‎【变式探究】已知双曲线-=1左、右焦点分别为F1、F2,过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P,且∠‎ PF‎1F2=,则双曲线的渐近线方程为________.‎ ‎【答案】y=±x ‎ ‎【解析】 根据已知|PF1|=2·且|PF2|=,故2·-=2a,所以=2,=.‎ 难点三 直线与圆锥曲线的位置关系 例3、设椭圆的对称中心为坐标原点,其中一个顶点为A(0,2),右焦点F与点B(,)的距离为2.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)是否存在经过点(0,-2)的直线l,使直线l与椭圆相交于不同的两点M,N满足||=||?若存在,求直线l的倾斜角α;若不存在,请说明理由.‎ ‎ (2)由题意可设直线l的方程为y=kx-2(k≠0),由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上,由消去y得x2+3(kx-2)2=12,即可得方程(1+3k2)x2-12kx=0,(*)‎ 由k≠0得方程(*)的Δ=(-12k)2=144k2>0,即方程(*)有两个不相等的实数根.‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点P(x0,y0),则x1,x2是方程(*)的两个不等的实根,故有x1+x2=.‎ 从而有x0==,y0=kx0-2==.‎ 于是,可得线段MN的中点P的坐标为.‎ 又由于k≠0,因此直线AP的斜率为k1==.‎ 由AP⊥MN,得×k=-1,即2+2+6k2=6,解得k=±,即tanα=±.又0≤α<π,故α=或α=.综上可知存在直线l满足题意,其倾斜角为α=或α=.‎ ‎【点评】‎ ‎ 本题属于圆锥曲线与方程的经典类试题,首先求出圆锥曲线方程,然后再研究直线与圆锥曲线的位置关系.在直线与圆锥曲线位置关系的问题中,等价转化和设而不求是解决问题的一个重要指导思想,本题解答中使用的是等价转化的方法,实际上也可以根据两点间距离公式得到点M,N的坐标满足的关系式,即x+(y1-2)2=x+(y2-2)2,即(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2-4)(y1-y2)=0,由于点M,N在直线上,y1=kx1-2,y2=kx2-2,代入(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2-4)(y1-y2)=0,得(x1+x2)(x1-x2)+(kx1+kx2-8)(kx1-kx2)=0,直线斜率存在,则x1≠x2,所以(x1+x2)+k[k(x1+x2)-8]=0,然后根据韦达定理整体代入即可求出k值.‎ ‎【变式探究】如图所示,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.‎ ‎(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;‎ ‎(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.‎ ‎【规律技巧】‎ ‎1.离心率的范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的不等式,再根据a,b,c 的关系消掉b得到关于a,c的不等式,由这个不等式确定a,c的关系.‎ ‎2.抛物线y2=2px(p>0)的过焦点F的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.同样可得抛物线y2=-2px,x2=2py,x2=-2py类似的性质.‎ ‎3.解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是:设而不求,根据韦达定理,进行整体代入.即当直线与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|,而|x1-x2|=等,根据将直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程,利用韦达定理进行整体代入.‎ ‎【历届高考真题】‎ ‎ 【2012年高考试题】‎ ‎1.【2012高考真题浙江理8】如图,F1,F2分别是双曲线C:(a,b>0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M,若|MF2|=|F‎1F2|,则C的离心率是 A. B。 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知直线的方程为:,联立方程组得点Q ‎,联立方程组得点P,所以PQ的中点坐标为,所以PQ的垂直平分线方程为:,令,得,所以,所以,即,所以。故选B ‎2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,;则的实轴长为( )‎ ‎ ‎ ‎3.【2012高考真题新课标理4】设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为是底角为的等腰三角形,则有,‎ ‎,因为,所以,,所以,即,所以,即,所以椭圆的离心率为,选C.‎ ‎4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为,则( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ ‎ ‎5.【2012高考真题山东理10】已知椭圆的离心学率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为椭圆的离心率为,所以,,,所以,即,双曲线的渐近线为,代入椭圆得,即,所以,,‎ ‎,则第一象限的交点坐标为,所以四边形的面积为,所以,所以椭圆方程为,选D.‎ ‎6.【2012高考真题湖南理5】已知双曲线C :-=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C的方程为 A.-=1 B.-=‎1 ‎‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎7.【2012高考真题福建理8】已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A. B. C.3 D.5‎ ‎【答案】A.‎ ‎ 【解析】由抛物线方程易知其焦点坐标为,又根据双曲线的几何性质可知,所以,从而可得渐进线方程为,即,所以,故选A.‎ ‎8.【2012高考真题安徽理9】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若,则的面积为( )‎ ‎ ‎ ‎9.【2012高考真题全国卷理3】 椭圆的中心在原点,焦距为4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为 A +=1 B +=‎1C +=1 D +=1‎ ‎【答案】C ‎【解析】椭圆的焦距为4,所以因为准线为,所以椭圆的焦点在轴上,且,所以,,所以椭圆的方程为,选C.‎ ‎10.【2012高考真题全国卷理8】已知F1、F2为双曲线C:x²-y²=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cos∠F1PF2=‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎11.【2012高考真题北京理12】在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF 的面积为 ‎ ‎12.【2012高考真题四川理15】椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,当的周长最大时,的面积是____________。‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】当直线过右焦点时的周长最大,;‎ 将带入解得;所以.‎ ‎13.【2012高考真题陕西理13】右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面‎2米,水面宽‎4米,水位下降‎1米后,水面宽 米.‎ ‎14.【2012高考真题重庆理14】过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若则= .‎ ‎ ‎ ‎15.【2012高考真题辽宁理15】已知P,Q为抛物线上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P、Q分别作抛物线的切线,两切线交于A,则点A的纵坐标为__________。‎ ‎16.【2012高考真题江西理13】椭圆 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2。若,,成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】椭圆的顶点,焦点坐标为,所以,,又因为,,成等比数列,所以有,即,所以,离心率为.‎ ‎17.【2012高考江苏8】(5分)在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则的值为 ▲ . ‎ ‎18.【2012高考江苏19】(16分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P.‎ ‎(i)若,求直线的斜率;‎ ‎(ii)求证:是定值.‎ ‎【答案】解:(1)由题设知,,由点在椭圆上,得 ‎,∴。‎ 由点在椭圆上,得 ‎∴椭圆的方程为。‎ ‎ (i)由①②得,。解得=2。‎ ‎ ∵注意到,∴。‎ ‎ ∴直线的斜率为。‎ ‎ (ii)证明:∵∥,∴,即。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 由点在椭圆上知,,∴。‎ ‎ 同理。。‎ ‎ ∴‎ ‎ 由①②得,,,‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴是定值。‎ ‎19.【2012高考真题浙江理21】(本小题满分15分)如图,椭圆C:(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程.‎ ‎ (Ⅱ)易得直线OP的方程:y=x,设A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中y0=x0.‎ ‎∵A,B在椭圆上,‎ ‎∴.‎ 设直线AB的方程为l:y=﹣(m≠0),‎ 代入椭圆:.‎ ‎20.【2012高考真题湖北理】(本小题满分13分)‎ 设是单位圆上的任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与 轴的交点,点在直线上,且满足. 当点在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; ‎ ‎(Ⅱ)过原点且斜率为的直线交曲线于,两点,其中在第一象限,它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点. 是否存在,使得对任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,请说明理由. ‎ ‎【答案】(Ⅰ)如图1,设,,则由,‎ 可得,,所以,. ①‎ 因为点在单位圆上运动,所以. ②‎ 将①式代入②式即得所求曲线的方程为. ‎ 因为,所以 当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,‎ 两焦点坐标分别为,;‎ 当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,‎ 两焦点坐标分别为,. ‎ 故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有. ‎ 图2 ‎ 图3 ‎ 图1‎ O D x y A M 第21题解答图 ‎ ‎ ‎ ‎ 解法2:如图2、3,,设,,则,,‎ 因为,两点在椭圆上,所以 两式相减可得 ‎. ③ ‎ 依题意,由点在第一象限可知,点也在第一象限,且,不重合,‎ 故. 于是由③式可得 ‎. ④‎ 又,,三点共线,所以,即. ‎ 于是由④式可得.‎ 而等价于,即,又,得,‎ ‎【2011高考试题】‎ ‎1. (2011年高考江西卷理科14)若椭圆的焦点在轴上,过点(1,)作圆的切线,切点分别为A,B,直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 ‎ ‎2. (2011年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点在 轴上,离心率为。过的直线 交于两点,且的周长为16,那么的方程为 。‎ ‎3.(2011年高考重庆卷理科15)设圆位于抛物线与直线 所组成的封闭区域(包含边界)内,则圆的半径能取到的最大值为 ‎ ‎4 (2011年高考四川卷理科14)双曲线 P到左准线的距离是 . ‎ ‎5. (2011年高考全国卷理科15)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点,点A∈C,点M的坐标为(2,0),AM为∠F1AF2∠的平分线.则|AF2| = .‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】,由角平分线的性质得 又 ‎ ‎6.(2011年高考安徽卷理科21)(本小题满分13分)‎ 设,点的坐标为(1,1),点在抛物线上运动,点满足,经过点与轴垂直的直线交抛物线于点,点满足,求点的轨迹方程。‎ ‎ ‎ ‎【解析】:由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上,故可设,,,则,即 ‎ ①‎ ‎8. (2011年高考广东卷理科19)设圆C与两圆中的一个内切,另一个外切.‎ ‎(1)求C的圆心轨迹L的方程.‎ ‎(2)已知点且P为L上动点,求的最大值及此时点P的坐标.‎ ‎【解析】(1)解:设C的圆心的坐标为,由题设条件知 ‎ ‎ ‎ 化简得L的方程为 ‎10.(2011年高考陕西卷理科17)(本小题满分12分)‎ 如图,设是圆珠笔上的动点,点D是在轴上的投影,M为D上一点,且 ‎(Ⅰ)当的在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;‎ ‎(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度。‎ ‎【解析】:(Ⅰ)设M的坐标为,的坐标为 ‎ 由已知得在圆上,即C的方程为 ‎11.(2011年高考重庆卷理科20)(本小题满分12分,第一问4分,第二问8分)‎ 如图(20),椭圆的中心为原点O,离心率,一条准线的方程为。‎ ‎(Ⅰ)求该椭圆的标准方程。‎ ‎(Ⅱ)设动点P满足,其中M,N是椭圆上的点。直线OM与ON的斜率之积为。问:是否存在两个定点,使得为定值。若存在,求的坐标;若不存在,说明理由。‎ 解析:(Ⅰ)由,解得,‎ 故椭圆的标准方程为 ‎ (Ⅱ)设,,则由得 ‎,即,‎ 因为点M,N在椭圆上,所以 故 ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎12.(2011年高考四川卷理科21) (本小题共l2分)‎ ‎ 椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点,并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.‎ ‎ (I)当|CD | = 时,求直线l的方程;‎ ‎ (II)当点P异于A、B两点时,求证:为定值.‎ ‎ ‎ 解析:由已知可得椭圆方程为,设的方程为为的斜率.‎ 则 ‎,‎ 的方程为.‎ ‎13.(2011年高考全国卷理科21)已知O为坐标原点,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为的直线与C交与A、B两点,点P满足 ‎(Ⅰ)证明:点P在C上;(Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q,‎ 证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.‎ ‎(Ⅱ)法一:点P,P关于点O的对称点为Q,,‎ ‎,即,同理即, A、P、B、Q四点在同一圆上.‎ ‎【2010年高考试题】‎ ‎1.(2010浙江理数)(8)设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点,满足,且到直线 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 解析:利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系,得出a与b之间的等量关系,可知答案选C, ‎ 答案:C ‎2.(2010全国卷2理数)(12)已知椭圆的离心率为,过右焦点且斜率为的直线与相交于两点.若,则 ‎(A)1 (B) (C) (D)2‎ ‎3.(2010辽宁理数) (9)设双曲线的—个焦点为F;虚轴的—个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设双曲线方程为,则F(c,0),B(0,b)‎ 直线FB:bx+cy-bc=0与渐近线y=垂直,所以,即b2=ac 所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或(舍去)‎ ‎4.(2010辽宁理数)(7)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为,那么|PF|=‎ ‎ (A) (B)8 (C) (D) 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线的焦点F(2,0),直线AF的方程为,所以点、,从而|PF|=6+2=8‎ ‎5.(2010天津理数)(5)已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎6.(2010山东理数)(7)由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为,故选A。‎ ‎7.(2010安徽理数)5、双曲线方程为,则它的右焦点坐标为 A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线的,,,所以右焦点为.‎ ‎8.(2010湖北理数)9.若直线y=x+b与曲线有公共点,则b的取值范围是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎9.(2010福建理数)7.若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为是已知双曲线的左焦点,所以,即 ‎,所以双曲线方程为,设点P,则有,解得,因为,,所以=,此二次函数对应的抛物线的对称轴为,因为,所以当时,取得最小值,故的取值范围是,选B。‎ ‎10.(2010福建理数)2.以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.(2010浙江理数)(13)设抛物线的焦点为,点 ‎.若线段的中点在抛物线上,则到该抛物线准线的距离为_____________。‎ ‎12.(2010全国卷2理数)(15)已知抛物线的准线为,过且斜率为的直线与相交于点,与的一个交点为.若,则 . ‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】过B作BE垂直于准线于E,∵,∴M为中点,∴,又斜率为,,∴,∴,∴M为抛物线的焦点,∴2.‎ ‎13.(2010江西理数)15.点在双曲线的右支上,若点A到右焦点的距离等于,则= ‎ ‎【答案】 2 ‎ ‎【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化,读取a=2.c=6,,‎ ‎15.(2010浙江理数)(21) (本题满分15分)已知m>1,直线,椭圆,分别为椭圆的左、右焦点. ‎ ‎(Ⅰ)当直线过右焦点时,求直线的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,,的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内,求实数的取值范围. ‎ ‎ 则由,知,‎ 而 ‎ ‎ 所以 即 又因为且 所以。‎ 所以的取值范围是。‎ ‎ ‎
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