2012福建质检文数试卷

2012福建质检文数试卷

‎2012年福建省普通高中毕业班质量检查 文 科 数 学 ‎ 本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎ 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ ‎ 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎ 4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式 s= 　　　　V=Sh 其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V=Sh ，‎ 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．在复平面上，复数的共轭复数的对应点所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎2．若是第四象限角,且，则等于 ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．若，则的大小顺序是 A． B． C． D． ‎ ‎4．在空间中，下列命题正确的是 A． 平行于同一平面的两条直线平行 B． 垂直于同一平面的两条直线平行 ‎ C． 平行于同一直线的两个平面平行 D． 垂直于同一平面的两个平面平行 ‎5．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为，则下列判断正确的是 A．；甲比乙成绩稳定 B．；乙比甲成绩稳定 C．；甲比乙成绩稳定 D．；乙比甲成绩稳定 ‎6．已知函数则的值是 A．10 B． C．-2 D． -5‎ ‎7．已知,,若,则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎8．如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是 A． B．‎ C． D．．‎ ‎9．函数()的图象的相邻两条对称轴间的距离是．若将函数图象向右平移个单位，得到函数的解析式为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎10．已知, 点是圆上的动点，则点M到直线AB的最大距离是 A． B． C． D．‎ ‎11． 一只蚂蚁从正方体的顶点处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是 A． ①② B．①③ C． ②④ D．③④‎ ‎12． 设函数及其导函数都是定义在R上的函数，则“‎ ‎”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎13．已知向量，，若，则_____________．‎ ‎14．若双曲线方程为，则其离心率等于_______________．‎ ‎15．若变量满足约束条件则的最大值为___________．‎ ‎16．对于非空实数集，记．设非空实数集合，满足． 给出以下结论：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③． ‎ 其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 等差数列的公差为，且成等比数列．‎ ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎18． (本小题满分12分)‎ 在直角梯形ABCD中，AD//BC，,,如图（1）．把沿翻折，使得平面，如图（2）．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在点N，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． ‎ ‎19． (本小题满分12分)‎ 阅读下面材料：‎ ‎ 根据两角和与差的正弦公式，有 ‎------①‎ ‎ ------②‎ 由①+② 得------③‎ 令 有 代入③得 ．‎ ‎(Ⅰ)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:‎ ‎;‎ ‎(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状．‎ ‎(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)‎ ‎20． (本小题满分12分)‎ ‎2012年3月2日‎，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2．5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2．5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米． 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2．5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：‎ 组别 PM2．5浓度 ‎（微克/立方米）‎ 频数（天）‎ 频率 ‎ 第一组 ‎(0,25]‎ ‎5‎ ‎0．25‎ 第二组 ‎(25,50]‎ ‎10‎ ‎0．5‎ 第三组 ‎(50,75]‎ ‎3‎ ‎0．15‎ 第四组 ‎(75,100)‎ ‎2‎ ‎0．1‎ ‎(Ⅰ)从样本中PM2．5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2．5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；‎ ‎（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2．5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．‎ ‎21． (本小题满分12分)‎ 平面内动点到点的距离等于它到直线的距离，记点的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点，，是上的不同三点，且满足．证明： 不可能为直角三角形．‎ ‎22． (本小题满分14分)‎ 已知函数的图象在点处的切线斜率为．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）判断方程根的个数，证明你的结论；‎ ‎（Ⅲ）探究：是否存在这样的点，使得曲线在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎2012年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准 ‎ 说明：‎ ‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎ 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ ‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．‎ ‎ 1． B 2．B 3．C 4．B 5．D 6．B ‎ ‎ 7． D 8．A 9．D 10．C 11．C 12．B ‎ 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分．‎ ‎ 13．1 ；14．； 15．2； 16．①．‎ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分i解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17． 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．满分12分．‎ ‎ (Ⅰ)解：由已知得，……………………………2分 又成等比数列，所以，………………………4分 解得， ……………………………5分 所以． ……………………………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，……………………………8分 所以 ‎． ……………12分 ‎18．‎ 本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥体积公式等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）∵平面，，‎ ‎∴， ……………………………2分 又∵，∴． ……………………………4分 ‎（Ⅱ）如图（1）在.‎ ‎.‎ 在．‎ ‎∴. ……………………………6分 如图（2），在，过点做于，∴．‎ ‎， ……………………………7分 ‎∴. ……………………………8分 ‎（Ⅲ）在线段上存在点N，使得，理由如下：‎ 如图（2）在中，，‎ ‎∴， ………………………………………9分 过点E做交于点N，则，‎ ‎∵， ……………………………10分 又，，，‎ 又，∴．‎ ‎∴在线段上存在点N，使得，此时．…………………12分 ‎19．本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．‎ 解法一：(Ⅰ)因为， ①‎ ‎ ， ②………………………2分 ‎①-② 得. ③……………3分 令有，‎ 代入③得. …………………6分 ‎(Ⅱ)由二倍角公式,可化为 ‎ ,……………………………8分 ‎ 即.……………………………………………9分 设的三个内角A,B,C所对的边分别为，‎ 由正弦定理可得.…………………………………………11分 根据勾股定理的逆定理知为直角三角形.…………………………12分 解法二：(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式, 可化为 ‎ ，………………………8分 ‎ 因为A,B,C为的内角，所以，‎ 所以.‎ 又因为，所以,‎ 所以.‎ 从而.……………………………………………10分 又因为,所以，即.‎ 所以为直角三角形. ……………………………………………12分 ‎20．本小题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．‎ 解：(Ⅰ) 设PM2.5的24小时平均浓度在(50,75]内的三天记为，PM2.5的24小时平均浓度在(75,100)内的两天记为．‎ 所以5天任取2天的情况有：，，，，，，，，共10种． ……………………4分 其中符合条件的有：‎ ‎，，，，，共6种． …………6分 所以所求的概率． ……………………8分 ‎（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：（微克/立方米）．‎ ‎……………………………………………10分 因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． ………………………………12分 ‎21． 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．‎ 解法一：（Ⅰ）由条件可知，点到点的距离与到直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为．………4分 ‎（Ⅱ）假设是直角三角形，不失一般性，设，‎ ‎，，，则由，‎ ‎，，‎ 所以．…………………………6分 因为，，，‎ 所以．……………………………8分 又因为，所以，，‎ 所以． ①‎ 又，‎ 所以，即． ②………10分 由①，②得，所以． ③ ‎ 因为．‎ 所以方程③无解，从而不可能是直角三角形．…………………12分 ‎ ‎ 解法二：（Ⅰ）同解法一 ‎（Ⅱ）设，，，由，‎ 得，．……………………………6分 由条件的对称性，欲证不是直角三角形，只需证明．‎ 当轴时，，，从而，，‎ 即点的坐标为．‎ 由于点在上，所以，即，‎ 此时，，，则．…………8分 ‎ 当与轴不垂直时，‎ 设直线的方程为：，代入，‎ 整理得：，则．‎ 若，则直线的斜率为，同理可得：．‎ 由，得，，．‎ 由，可得．‎ 从而，‎ 整理得：，即，①‎ ‎．‎ 所以方程①无解，从而．……………………………11分 综合，， 不可能是直角三角形．………………………12分 ‎22． 本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，‎ 函数与方程思想、数形结合思想、考查化归与转化思想．满分12分．解法一：（Ⅰ）因为，所以，‎ ‎ 函数的图象在点处的切线斜率．‎ ‎ 由得：． …………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令．‎ ‎ 因为，，所以在至少有一个 根．‎ 又因为，所以在上递增，‎ 所以函数在上有且只有一个零点，即方程有且只有一 个实根． ………………… 7分 ‎ （Ⅲ）证明如下：‎ 由，，可求得曲线在点处的切 线方程为，‎ 即． ………………… 8分 记 ‎，‎ 则． ………………… 11分 ‎（1）当，即时，对一切成立，‎ 所以在上递增．‎ 又，所以当时，当时，‎ 即存在点，使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线 在该点处切线的两侧． ………………… 12分 ‎（2）当，即时，‎ 时，；时，；‎ 时，．‎ 故在上单调递减，在上单调递增．‎ 又，所以当时，；当时，，‎ 即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的 同侧． ………………… 13分 ‎（3）当，即时，‎ 时，；时，；时，．‎ 故在上单调递增，在上单调递减．‎ 又，所以当时，；当时，，‎ 即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．‎ 综上，存在唯一点使得曲线在点附近的左、右两部分分别 位于曲线在该点处切线的两侧． ………………… 14分 解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；‎ ‎（Ⅲ）证明如下：‎ 由，，可求得曲线在点处的切 线方程为，‎ 即． ……………… 8分 记 ‎，‎ 则． ………………… 11分 若存在这样的点，使得曲线在该点附近的左、右两部分都 位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，‎ 由二次函数的性质知，当且仅当，即时，‎ t不是极值点，即．‎ 所以在上递增．‎ 又，所以当时，；当时，，‎ 即存在唯一点，使得曲线在点附近的左、右两部分分别 位于曲线在该点处切线的两侧． ………………… 14分