广西柳州市钦州市高考数学一模试卷理科解析

广西柳州市钦州市高考数学一模试卷理科解析

‎2017年广西柳州市、钦州市高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={y|y=2x}，则A∩B=（　　）‎ A．（0，3] B．（0，3） C．[0，3] D．[3，+∞）‎ ‎2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a﹣bi）2=（　　）‎ A．3+4i B．3﹣4i C．5﹣4i D．5+4i ‎3．甲、乙、丙三名同学6次数学测试成绩及班级平均分（单位：分）如表：‎ 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 ‎95‎ ‎87‎ ‎92‎ ‎93‎ ‎87‎ ‎94‎ 乙 ‎88‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎78‎ ‎86‎ ‎72‎ 丙 ‎69‎ ‎63‎ ‎71‎ ‎71‎ ‎74‎ ‎74‎ 全班 ‎88‎ ‎82‎ ‎81‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎77‎ 下列说法错误的是（　　）‎ A．甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定 B．乙同学的数学成绩平均值是81.5‎ C．丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平 D．在6次测验中，每一次成绩都是甲第一、乙第二、丙第三 ‎4．已知平面向量，满足，且，则向量与夹角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎6．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（　　）‎ A．0 B．2 C．4 D．14‎ ‎7．将函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是（　　）‎ A．x= B．x= C． D．‎ ‎8．在△ABC中，，BC边上的高等于，则cosA=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若x＞y＞1，0＜a＜b＜1，则下列各式中一定成立的是（　　）‎ A．xa＞yb B．xa＜yb C．ax＜by D．ax＞by ‎10．过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数f（x）=|lg（x﹣1）|，若1＜a＜b且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围为（　　）‎ A． B． C．（6，+∞） D．[6，+∞）‎ ‎12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（　　）‎ A．48 B．16 C．32 D．16‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知实数x，y满足条件，则z=2x+y﹣5的最小值为　　．‎ ‎14．已知tanα=2，则 ‎=　　．‎ ‎15．已知，则在的展开式中，所有项的系数和为　　．‎ ‎16．已知圆C的方程为（x﹣3）2+y2=1，圆M的方程为（x﹣3﹣3cosθ）2+（y﹣3sinθ）2=1（θ∈R），过M上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A、B，则∠APB的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设数列{an}的前n项和为Sn，且λSn=λ﹣an，其中λ≠0且λ≠﹣1．‎ ‎（1）证明：{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（2）若，求λ．‎ ‎18．某市公租房的房源位于A，B，C，D四个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，在该市的甲、乙、丙三位申请人中：‎ ‎（1）求恰有1人申请A片区房源的概率；‎ ‎（2）用x表示选择A片区的人数，求x的分布列和数学期望．‎ ‎19．在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．‎ ‎（1）求证：O是AD中点；‎ ‎（2）证明：BC⊥PB；‎ ‎（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（2，）且离心率等于，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）M，N是椭圆C上非顶点的两点，满足OM∥AP，ON∥BP，求证：三角形MON的面积是定值．‎ ‎21．已知函数f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）当t≥1时，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．已知曲线C在直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρcos（θ﹣）=3，射线OT：θ=（ρ＞0）与曲线C交于A点，与直线l交于B，求线段AB的长．‎ ‎23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|‎ 有解，记实数m的最大值为M．‎ ‎（1）求M的值；‎ ‎（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．‎ ‎　‎ ‎2017年广西柳州市、钦州市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={y|y=2x}，则A∩B=（　　）‎ A．（0，3] B．（0，3） C．[0，3] D．[3，+∞）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】分别求出关于集合A、B的范围，取交集即可．‎ ‎【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3≤0}=[﹣1，3]，‎ B={y|y=2x}=（0，+∞），‎ 则A∩B=（0，3]，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a﹣bi）2=（　　）‎ A．3+4i B．3﹣4i C．5﹣4i D．5+4i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由共轭复数的概念求得a，b的值，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，‎ ‎∴a=2，b=1，‎ 则（a﹣bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．甲、乙、丙三名同学6次数学测试成绩及班级平均分（单位：分）如表：‎ 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 ‎95‎ ‎87‎ ‎92‎ ‎93‎ ‎87‎ ‎94‎ 乙 ‎88‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎78‎ ‎86‎ ‎72‎ 丙 ‎69‎ ‎63‎ ‎71‎ ‎71‎ ‎74‎ ‎74‎ 全班 ‎88‎ ‎82‎ ‎81‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎77‎ 下列说法错误的是（　　）‎ A．甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定 B．乙同学的数学成绩平均值是81.5‎ C．丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平 D．在6次测验中，每一次成绩都是甲第一、乙第二、丙第三 ‎【考点】众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】由统计表利用平均数能求出结果．‎ ‎【解答】解：由统计表知：‎ 甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定，故A 正确；‎ 乙同学的数学成绩平均值是：（88+80+85+78+86+72）=81.5，故B正确；‎ 丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平，故C正确；‎ 在6次测验成绩是甲第一、丙第二、乙第三，故D错误．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．已知平面向量，满足，且，则向量与夹角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】设向量、的夹角为θ，根据平面向量数量积的定义进行化简即可求出结果．‎ ‎【解答】解：设向量、的夹角为θ，‎ 由，且，‎ 得+•=3，‎ 即22+2×1×cosθ=3，‎ 解得cosθ=﹣．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】设出塔顶灯的盏数，由题意可知灯的盏数自上而下构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和等于381列式计算即可．‎ ‎【解答】解：由题意设塔顶有a盏灯，‎ 由题意由上往下数第n层就有2n﹣1•a盏灯，‎ ‎∴共有（1+2+4+8+16+32+64）a=381盏灯，‎ 即．‎ 解得：a=3．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（　　）‎ A．0 B．2 C．4 D．14‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a=14，b=18‎ 满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4‎ 满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10‎ 满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6‎ 满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2‎ 满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2‎ 不满足条件a≠b，输出a的值为2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．将函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是（　　）‎ A．x= B．x= C． D．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．‎ ‎【分析】根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得到g（x）=3sin（2x﹣），从而得到g（x）图象的一条对称轴是．‎ ‎【解答】解：将函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数y=3sin（2x+）的图象，‎ 再向右平移个单位长度，可得y=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣）的图象，故g（x）=3sin（2x﹣）．‎ 令 2x﹣=kπ+，k∈z，得到 x=•π+，k∈z． ‎ 则得 y=g（x）图象的一条对称轴是，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．在△ABC中，，BC边上的高等于，则cosA=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】三角形中的几何计算．‎ ‎【分析】由题意，设BC=x，那么BC边上的高等于，利用勾股定理建立关系，求出AC，AB，在利于余弦定理求cosA的值．‎ ‎【解答】解：由题意，设BC=x，那么BC边上的高AD=，‎ ‎∵∠B=30°，‎ ‎∴BAD=60°，AB=，‎ BD=AB•sin60°=x，‎ 则DC=x﹣=．‎ 那么：．‎ 由余弦定理可得：cosA==．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．若x＞y＞1，0＜a＜b＜1，则下列各式中一定成立的是（　　）‎ A．xa＞yb B．xa＜yb C．ax＜by D．ax＞by ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【分析】根据指数函数的性质判断即可．‎ ‎【解答】解：y=ax（0＜a＜1）在R递增，‎ ‎∵x＞y＞1，0＜a＜b＜1，‎ 故ax＜ay＜by，‎ 故选：C，‎ ‎　‎ ‎10．过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与双曲线的位置关系．‎ ‎【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB只与双曲线右支相交，②AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，可得＜|AB|=4b，并且2a＞4b，e＞1，‎ 可得：e＞或1‎ 综合可得，有2条直线符合条件时，：e＞或1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）=|lg（x﹣1）|，若1＜a＜b且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围为（　　）‎ A． B． C．（6，+∞） D．[6，+∞）‎ ‎【考点】函数的值域．‎ ‎【分析】根据对数的性质的可知：函数f（x）=|lg（x﹣1）|，若1＜a＜b且f（a）=f（b），可得，即，可得a，b的关系，利用基本不等式求解a+2b的取值范围 ‎【解答】解：函数f（x）=|lg（x﹣1）|，‎ ‎∵1＜a＜b且f（a）=f（b），‎ 则b＞2，1＜a＜2，‎ ‎∴，即，‎ 可得：ab﹣a﹣b=0．‎ 那么：a=．‎ 则a+2b===，当且仅当b=时取等号．‎ ‎∵b＞2‎ ‎∴a+2b=＞6．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（　　）‎ A．48 B．16 C．32 D．16‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】根据三视图画出此几何体：镶嵌在正方体中的四棱锥，由正方体的位置关系判断底面是矩形，做出四棱锥的高后，利用线面垂直的判定定理进行证明，由等面积法求出四棱锥的高，利用椎体的体积公式求出答案．‎ ‎【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，‎ 正方体的棱长为4，O、A、D分别为棱的中点，‎ ‎∴OD=2，AB=DC=OC=2，‎ 做OE⊥CD，垂足是E，‎ ‎∵BC⊥平面ODC，∴BC⊥OE、BC⊥CD，则四边形ABCD是矩形，‎ ‎∵CD∩BC=C，∴OE⊥平面ABCD，‎ ‎∵△ODC的面积S==6，‎ ‎∴6==，得OE=，‎ ‎∴此四棱锥O﹣ABCD的体积V===16，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知实数x，y满足条件，则z=2x+y﹣5的最小值为　﹣6　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先利用二元一次不等式表示平面区域的性质画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合得最优解，代入目标函数即可得目标函数的最值 ‎【解答】解：画出的可行域如图阴影区域：‎ 由得A（﹣1，1）‎ 目标函数z=2x+y可看做斜率为﹣2的动直线l，由图数形结合可知：‎ 当l过点A时，z最小为﹣2×1+1﹣5=﹣6．‎ 故答案为：﹣6．‎ ‎　‎ ‎14．已知tanα=2，则=　﹣1　．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简，构造tanα，可得答案．‎ ‎【解答】解：由==，‎ ‎∵tanα=2，‎ ‎∴=．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎15．已知，则在的展开式中，所有项的系数和为　310　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用；定积分．‎ ‎【分析】利用定积分求出a，令x=1，可得在 的展开式中，所有项的系数和．‎ ‎【解答】解： ==2，‎ 令x=1，可得在的展开式中，所有项的系数和为310．‎ 故答案为：310．‎ ‎　‎ ‎16．已知圆C的方程为（x﹣3）2+y2=1，圆M的方程为（x﹣3﹣3cosθ）2+（y﹣3sinθ）2=1（θ∈R），过M上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A、B，则∠APB的最大值为　　．‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】首先判断圆与圆的位置关系，进一步利用特殊位置把结论转化为解三角形问题，最后求出∠APB的最大值．‎ ‎【解答】解：圆C的方程为（x﹣3）2+y2=1，圆心坐标为：C（3，0）半径r=1．‎ 圆M的方程（x﹣3﹣3cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，圆心坐标为：M（3+3cosθ，3sinθ），半径R=1．‎ 由于cos2θ+sin2θ=1，|C1C2|＞R+r，‎ 所以两圆相离．‎ 过M上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A、B，则要求∠APB的最大值，‎ 只需满足：在圆M找到距离圆C最近点即可．‎ 所以|PC|=3﹣1=2，|AC|=1．‎ 解得：∠APC=，‎ 所以：∠APB=，‎ 即∠APB的最大值为．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设数列{an}的前n项和为Sn，且λSn=λ﹣an，其中λ≠0且λ≠﹣1．‎ ‎（1）证明：{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（2）若，求λ．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件求出数列的首项以及数列相邻两项的关系，利用数列是等比数列，求出公比，然后求解通项公式．‎ ‎（2）利用数列的通项公式以及已知条件推出λ的关系式，求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）当n=1时，λa1=λ﹣a1，‎ ‎∵λ≠0且λ≠﹣1，∴，‎ 当n≥2时，λSn﹣1=λ﹣an﹣1，λSn=λ﹣an，‎ 两式相减得（1+λ）an=an﹣1，因为λ≠﹣1，‎ ‎∴，‎ 因此{an}是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由λSn=λ﹣an得=‎ ‎∴，‎ ‎∴λ=1或λ=﹣3．‎ ‎　‎ ‎18．某市公租房的房源位于A，B，C，D四个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，在该市的甲、乙、丙三位申请人中：‎ ‎（1）求恰有1人申请A片区房源的概率；‎ ‎（2）用x表示选择A片区的人数，求x的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）求出实验发生包含的事件是3位申请人中，满足条件的所有事件有43种结果．恰有1人申请A片区房源结果，然后求解概率．‎ ‎（2）ξ的所有可能结果为0，1，2，3，求出概率，得到X的分布列然后求解期望即可．‎ ‎【解答】解：（1）本题是一个等可能事件的概率，实验发生包含的事件是3位申请人中，‎ 每一个有四种选择，共有43种结果．‎ 满足条件的事件恰有1人申请A片区房源有，‎ 根据等可能事件的概率．‎ ‎（2）ξ的所有可能结果为0，1，2，3，依题意，，，，，‎ ‎∴X的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴ξ的数学期望：．‎ 法2：每个片区被申请的概率均为，没被选中的概率均为，ξ的所有可能结果为0，1，2，3，‎ 且ξ～B（3，），，‎ ‎，，，‎ ‎∴X的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴X的数学期望：．（Eξ=1×=）．‎ ‎　‎ ‎19．在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．‎ ‎（1）求证：O是AD中点；‎ ‎（2）证明：BC⊥PB；‎ ‎（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（1）证明PO⊥底面ABCD，说明点O为△ABD的外心，然后判断点O为AD中点．‎ ‎（2）证明PO⊥面ABCD，推出BC⊥PO，证明CB⊥BO，BC⊥PO，证明CB⊥面PBO，推出BC⊥PB．‎ ‎（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系，求出相关点的坐标，平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，利用空间向量的数量积求解所以该二面角的余弦值即可．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵△PAB和△PBD都是等边三角形，‎ ‎∴PA=PB=PD，‎ 又∵PO⊥底面ABCD，‎ ‎∴OA=OB=OD，‎ 则点O为△ABD的外心，又因为△ABD是直角三角形，‎ ‎∴点O为AD中点．‎ ‎（2）证明：由（1）知，点P在底面的射影为点O，点O为AD中点，‎ 于是PO⊥面ABCD，‎ ‎∴BC⊥PO，‎ ‎∵在Rt△ABD中，BD=BA，OB⊥AD，‎ ‎∴，‎ 又，∴，‎ 从而即CB⊥BO，‎ 由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，‎ ‎∴BC⊥PB．‎ ‎（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系如图，‎ ‎∵AB=2，则O（0，0，0），，，，‎ ‎，，，，，‎ 设面PAB的法向量为，则，，得，，‎ 取x=1，得y=﹣1，z=1，‎ 故．‎ 设面PBC的法向量为，则，，得s=0，，‎ 取r=1，则t=1，故，‎ 于是，‎ 由图观察知A﹣PB﹣C为钝二面角，‎ 所以该二面角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（2，）且离心率等于，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）M，N是椭圆C上非顶点的两点，满足OM∥AP，ON∥BP，求证：三角形MON的面积是定值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）利用椭圆的离心率以及椭圆结果的点，求出长半轴与短半轴的长，即可得到椭圆方程；‎ ‎（2）求出kAPkBP=﹣，设直线MN的方程为x=my+‎ t，代入椭圆方程，利用kOMkON=﹣，推出t2=2m2+4，利用三角形的面积公式，化简求解即可推出结论．‎ ‎【解答】（1）解：椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（2，）且离心率等于，‎ 可得=，即：，，解得a2=8，b2=4，‎ 所求椭圆方程为：．‎ ‎（2）证明：由题意M，N是椭圆C上非顶点的两点，‎ 且AP∥OM，BP∥ON，设P（2cosθ，2sinθ）‎ 则直线AP，BP斜率必存在且不为0，‎ 又由已知kAPkBP===．‎ 因为AP∥OM，BP∥ON，所以kOMkON=‎ 设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程，‎ 得（2+m2）y2+2mty+t2﹣8=0…①，‎ 设M，N的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则y1+y2=﹣，y1y2=，x1x2=‎ m2y1y2+mt（y1+y2）+t2=，‎ 所以kOMkON===﹣，得t2=2m2+4，‎ 又S△MON=|t||y1﹣y2|=====2，‎ 即△MON的面积为定值2…‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）当t≥1时，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）根据a[ln（2t﹣1）﹣lnt2]≥2[（2t﹣1）﹣t2]恒成立，得到t=1时，不等式显然恒成立，当t＞1时，问题转化为，在t＞1上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1），‎ 令g（x）=2x2+2x+a，判别式为：△=4﹣8a，‎ ‎①：当△=4﹣8a≤0，得，‎ 此时g（x）≥0，从而f'（x）≥0，‎ 所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ ‎②：当△=4﹣8a＞0，即，‎ 令g（x）=2x2+2x+a=0，得方程的根（舍去），，‎ 若a＜0，此时x2＞0，g（x）＞0，得，‎ 由g（x）＜0，得，‎ ‎∴f（x）在上单调递增，在单调递减，‎ 若，此时g（x）=2x2+2x+a的对称轴为，g（0）=a＞0，‎ ‎∴g（x）＞g（0）=a＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ 综上：当a≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；‎ 当a＜0，f（x）在上单调递增，单调递减．‎ ‎（2）由题意有（2t﹣1）2+2（2t﹣1）+aln（2t﹣1）≥2t2+4t+2alnt﹣3恒成立，‎ 即a[ln（2t﹣1）﹣2lnt]≥﹣2t2+4t﹣2，‎ 即a[ln（2t﹣1）﹣lnt2]≥2[（2t﹣1）﹣t2]恒成立，‎ 当t=1时，不等式显然恒成立，‎ 当t＞1时，t2﹣（2t﹣1）=（t﹣1）2＞0，‎ 所以t2＞2t﹣1，则lnt2＞ln（2t﹣1），‎ 于是，在t＞1上恒成立，‎ 令，‎ 设A（t2，lnt2），B（2t﹣1，ln（2t﹣1）），‎ 则，且A，B两点在y=lnx的图象上，‎ 又t2＞1，2t﹣1＞1，‎ 故0＜kAB＜y'|x=1=1，‎ 所以，‎ 故a≤2为所求．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．已知曲线C在直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρcos（θ﹣）=3，射线OT：θ=（ρ＞0）与曲线C交于A点，与直线l交于B，求线段AB的长．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数化为：（x﹣1）2+y2=3，展开利用互化公式即可得出极坐标方程．‎ ‎（II）射线OT：θ=（ρ＞0）分别与曲线C，直线l的极坐标方程联立解出交点坐标即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），‎ 消去参数化为：（x﹣1）2+y2=3，展开为：x2+y2﹣2x﹣2=0，‎ 化为极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0．‎ ‎（II）联立，化为：ρ2﹣ρ﹣2=0，ρ＞0，解得ρ=2．‎ 射线OT：θ=（ρ＞0）与曲线C交于A点．‎ 联立，‎ 解得ρ=6，射线OT：θ=（ρ＞0）与直线l交于B，‎ ‎∴线段AB的长=6﹣2=4．‎ ‎　‎ ‎23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．‎ ‎（1）求M的值；‎ ‎（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．‎ ‎【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．‎ ‎（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．‎ ‎【解答】解：（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|=5，‎ 若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，‎ 则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．‎ ‎∴M=4．‎ ‎（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即 [（a+b）+（b+c）]=1‎ ‎∴+= [（a+b）+（b+c）]（+）=（1+1++）≥（2+2）≥×4=1，‎ 当且仅当=即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号．‎ ‎∴+≥1成立．‎ ‎　‎ ‎2017年3月15日