高考数学考前冲刺大题精做专题04概率与统计教师版

高考数学考前冲刺大题精做专题04概率与统计教师版

高考数学 考前冲刺大题精做 专题 04 概率与统计（教师版） 【2013 高考会这样考】 1、 以实际生活中的问题为背景，结合概率的求解，以解答题的形式考查离散型随机变量的 期望与方差的实际应用； 2、 与相互独立事件、独立重复试验相结合，多以解答题的形式综合考查离散型随机变量的 期望与方差的求解； 3、 以统计中的茎叶图、频率分布直方图等为背景，结合古典概型，多以解答题的形式考查 离散型随机变量的期望与方差的求解. 【原味还原高考】 【高考还原 1：（2012 年高考（广东理））】某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方 图如图 4 所示,其中成绩分组区间是:  40,50 、  50,60 、  60,70 、  70,80 、 80,90 、  90,100 . （Ⅰ）求图中 x 的值; （Ⅱ）从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的 人数记为 ,求 的数学期望. 【名师点拨】（Ⅰ）根据频率分布直方图的性质可以求出 x 的值；（Ⅱ）可知 的取值为 0、 1、2.，利用排列组合知识算出概率，进而确定数学期望. P( =3)= 1000 729 10 1110 1 303 3  ）（）（C ， 所以,随机变量 的概率分布列为：  0 1 2 3 P 1000 1 1000 27 1000 243 1000 729 故随机变量 X 的数学期望为：E =0 10 27 1000 72931000 24321000 2711000 10  . 【高考还原 3：（2012 年高考（陕西理））】某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务 所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 从第一个顾客开始办理业务时计时. （1）估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; （2） X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望. 【名师点拨】（1）先对“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”的情况进行分类讨论， 进而求出概率；（2）利用相互独立事件的概率运算列出 X 的分布列，并计算期望. 【名师解析】设Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y 的分布列如下: Y 1 2 3 4 5 P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 （1） A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”,则事件 A 对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;② 第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第 一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟. 所以 ( ) ( 1) ( 3) ( 3) ( 1) ( 2) ( 2)P A P Y P Y P Y P Y P Y P Y         0.1 0.3 0.3 0.1 0.4 0.4 0.22       （2）解法一： X 所有可能的取值为 0,1,2 0X  对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟, 所以 ( 0) ( 2) 0.5P X P Y    1X  对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超 过 1 分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟. 所以 ( 1) ( 1) ( 1) ( 2)P X P Y P Y P Y      0.1 0.9 0.4 0.49    2X  对应两个顾客办理业务所需时间均为 1 分钟, 所以 ( 2) ( 1) ( 1) 0.1 0.1 0.01P X P Y P Y       所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 0 0.5 1 0.49 2 0.01 0.51EX        解法二： X 所有可能的取值为 0,1,2 0X  对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟, 所以 ( 0) ( 2) 0.5P X P Y    2X  对应两个顾客办理业务所需时间均为 1 分钟, 所以 ( 2) ( 1) ( 1) 0.1 0.1 0.01P X P Y P Y       ( 1) 1 ( 0) ( 2) 0.49P X P X P X       所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 0 0.5 1 0.49 2 0.01 0.51EX        . 【细品经典例题】 【经典例题 1】一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，收集数据如下： （1）在 5 次试验中任取 2 次，记加工时间分别为 a、b，求事件 a、b 均小于 80 分钟的概率； （2）请根据第二次、第三次、第四次试验的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a  （3）根据（2）得到的线性回归方程预测加工 70 个零件所需要的时间，] 参考公式： 【经典例题 2】某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽 （1）根据上表完成下面的 2×2 列联表： （2）根据题（1）中表格的数据计算，有多少的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有 关系？ （3）若按下面的方法从这 20 人中抽取 1 人来了解有关情况：将一个标有数字 1,2,3,4,5,6 的正六面体骰子连续投掷两次，记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号． 试求：①抽到 12 号的概率； ②抽到“无效序号(序号大于 20)”的概率． 试题注意点：在进行卡方判定的过程中，算得“8.802>6.635”，所以有 99%的把握认为：学 生的数学成绩与物理成绩之间有关系；若算出的数据小于 6.635，则没有 99%的把握认为： 学生的数学成绩与物理成绩之间有关系. 【精选名题巧练】 【名题巧练 1】工商部门对甲、乙两家食品加工企业的产品进行深入检查后，决定对甲企业 的 5 种产品和乙企业的 3 种产品做进一步的检验.检验员从以上 8 种产品中每次抽取一种逐 一不重复地进行化验检验. （Ⅰ）求前 3 次检验的产品中至少 1 种是乙企业的产品的概率； （Ⅱ）记检验到第一种甲企业的产品时所检验的产品种数共为 X，求 X 的分布列和数学期望． 【名题巧练 2】某数学兴趣小组共10 名学生，参加一次只有5 道填空题的测试。填空第i 题的难度 计算公式为 i i RP N  （其中 iR 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数）。该次测试每道填空题 的考前预估难度 ' ip 及考后实测难度 iP 的数据如下表： 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 ' ip 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 考后实测难度 iP 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2 （ 1 ） 定 义 描 述 填 空 题 难 度 预 估 值 与 实 测 值 偏 离 程 度 的 统 计 量 为      2 2 2* ' ' ' 1 1 2 2 1 n nS p P p P p Pn           ，若 * 0.01S  ，则称填空题的难度预估 是合理的，否则为不合理。请你判断该次测试中填空题的难度预估是否合理？并说明理由； （2）从该小组中随机抽取 2 个考生，记被抽取的考生中第 5 题答对的人数为 ，求 的分 布列及数学期望。 【名题巧练 3】甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为 1 2 ，乙，丙做对的 概率分 别为 m ， n ( m ＞ n )，且三位学生是否做对相互独立.记 为这三位学生中做对该 题的人数，其分布列为：  0 1 2 3[ P 1 4 a b 1 24 （1）求至少有一位学生做对该题的概率； （2） 求 m ， n 的值； （3） 求 的数学期望. 【名题巧练 4】2012 年 3 月 2 日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中 规定:居民区中的 PM2.5（PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称可入肺 颗粒物）年平均浓度不得超过 35 微克/立方米，PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克 /立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年 40 天的 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监 测数据，数据统计如下： 组别 PM2.5（微克/立方米） 频数（天） 频率 第一组 (0,15] 4 0.1 第二组 (15,30] 12 0.3 第三组 (30,45] 8 0.2 第四组 (45,60] 8 0.2 第三组 (60,75] 4 0.1 第四组 (75,90) 4 0.1 （Ⅰ）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）； （Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5 的年平均浓度考虑，判断 该居民区的环境是否需要改进？说明理由； （Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某 2 天，记这 2 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平均浓 度符合环境空气质量标准的天数为 X ，求 X 的分布列及数学期望 )(XE ． 【名题出处】2013 山西省山大附中高中毕业班质量检查 【名师点拨】（1）观察表格，根据众数的定义进行估计；（2）利用区间的中点值乘以概率累 加可以得到平均数；（3）可知“ 9(2, )10B  ”，利用二项分布的知识进行求解. 【名师解析】（1）众数为 22.5 微克/立方米, 中位数为 37.5 微克/立方米………4 分 （2）去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为 7.5 0.1 22.5 0.3 37.5 0.2 52.5 0.2 67.5 0.1 82.5 0.1 40.5            （微克/立方 米）． 因为 40.5 35 ，所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准， 故该居民区的环境需要改进． ………………………8 分 （3）记事件 A 表示“一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准”， 则 9( ) 10P A  . 随机变量  的可能取值为 0,1,2.且 9(2, )10B  . 所以 2 2 9 9( ) ( ) (1 ) ( 0,1,2)10 10 k k kP k C k     ， 所以变量 的分布列为  0 1 2 p 1 100 18 100 81 100 1 18 810 1 2 1.8100 100 100E        （天）,或 92 1.810E nP     （天） ……12 分 【名题巧练 5】在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。 已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表： 科目甲 科目乙 总计 第一小组 1 5 6 第二小组 2 4 6 总计 3 9 12 现从第一小组、第二小组中各任选 2 人分析选课情况. （1）求选出的 4 人均选科目乙的概率； （2）设 为选出的 4 个人中选科目甲的人数，求 的分布列和数学期望． , , ， … 9 分 的分布列为： ∴ 的数学期望 …12 分 【名题巧练 6】一个袋子装有大小形状完全相同的9 个球，其中 5 个红球编号分别为 1，2， 3，4，5，4 个白球编号分剐为 1，2，3，4，从袋中任意取出 3 个球． （I）求取出的 3 个球编号都不相同的概率； （II）记 X 为取出的 3 个球中编号的最小值，求 X 的分布列与数学期望． 【名题巧练 7】某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高 ‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班 为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的 得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示： 现规定平均成绩在 80 分以上(不含 80 分)的为优秀． （1）试分析估计两个班级的优秀率； （2）由以上统计数据填写下面 2×2 列联表，并问是否有 75%的把握认为“加强‘语文阅读 理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助. 参考公式及数据：K2＝ n(ad－bc)2 (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) ， 【名题巧练 8】某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的 专业发展，每位教师可以选择参一项培训、参加两项培训或不参加培．现知垒市教师中，选 择心理学培训的教师有 60%，选择计算机培训的教师有 75%，每位教师对培训项目的选择是 相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． （1）任选 1 名教师，求该教师选择只参加一项培训的概率； （2）任选 3 名教师，记 为 3 人中选择不参加培训的人数，求 的分布列和期望． 【名题出处】2013 广东省东莞市高三上学期期末调研 【名师点拨】（1）利用相互独立事件的概率求出教师选择只参加一项培训的概率；（2）先算 出任选 1 名教师该人选择不参加培训的概率，可以看出 3 人中选择不参加培训的人数符合二 项分布，运用二项分布的知识进行求解. 【名师解析】任选 1 名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件 A ，“该教师选择 【名题巧练 9】在一个盒子 中，放有标号分别为1， 2 ，3 的三张卡片，现从这个盒子中， 有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为 x 、 y ，设 O 为坐标原点，点 P 的坐标为 ( 2, )x x y  ，记 2 OP   ． （1）求随机变量 的最大值，并求事件“ 取得最大值”的概率； （2）求随机变量 的分布列和数学期望． 【名题出处】2013 福建省三明一中、三明二中高中毕业班质量检查 【名师点拨】（1）利用绝对值不等式的性质可以得到 2 OP   的最大值，再使用求古典概 率 的 列 举 法 可 以 求 出 概 率 ；（ 2 ） 依 题 意 ，  的 所 有 取 值 为 0 ,1, 2 , 5 ， 【名题巧练 10】某高校组织自主招生考试,共有 2000 名优秀学生参加笔试，成绩均介于195 分到 275 分之间，从中随机抽取 50 名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八 组:第一组 205,195 ,第二组 )215,205[ ，…，第八组 275,265 .如图是按上述分组方法得 到的频率分布直方图，且笔试成绩在 260 分(含 260 分）以上的同学进入面试. （1）估计所有参加笔试的 2000 名学生中，参加面试的学生人数； （2）面试时，每位考生抽取三个问题，若三个问 题全答错，则不能取得该校的自主招生 资格；若三个 问题均回答正确且笔试成绩在 270 分以上，则获 A 类资格;其它情况下获 B 类资格.现已知某中学有三人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为 270 分以上，在回答三 个面试问题时，三人对每一 个问题正确回答的概率均为 2 1 ，用随机变量 X 表示该中学获 得 B 类资格的人数，求 X 的分布列及期望 .EX 91( 2) ( ) 256P X P MN R M NR M NR     ， 147( 3) ( ) 256P X P MNR   ， 所以随机变量 X 的分布列为： ] X 0 1 2 3 P 1 256 17 256 91 256 147 256 [ 1 17 91 147 5( ) 0 1 2 3256 256 256 256 2E X          ．