广东省开平二中2014届高三数学上学期期中试题 理 新人教A版

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开平二中2014届高三年级期中考试题数 学（理科）‎ 本试卷共2页，共21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．‎ 参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数i（i为虚数单位），则等于（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合，集合，则（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知函数, 则的值是 （ ）‎ 开始 K=1‎ ‎？‎ 是 否 输出 结束 A． B． C． D． ‎ ‎4．设向量,,则下列结论中正确的是 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎5. 已知是实数，则“且”是 ‎“且”的 ( ) ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎6、如果执行右面的程序框图，那么输出的（　 ）‎ Ａ．2450 Ｂ．2500 ‎ Ｃ．2550 Ｄ．2652‎ ‎7．已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在R上定义运算若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．‎ ‎（一）必做题（9～13题）‎ ‎9、不等式<3的解集为 ‎ ‎10. 命题“”的否定是 。‎ ‎11、△的三个内角、、所对边的长分别为、、，已知，‎ ‎ 则= .‎ ‎12. 的展开式的常数项是 （结果用数值作答）‎ ‎13、 若 , 满足约束条件，则的最大值为 ．‎ ‎（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14.（几何证明选讲选做题） ‎ 如图3，已知是⊙的一条弦，点为上一点，，‎ 交⊙于，若，，则的长是 ‎ ‎15．（坐标系与参数方程选讲选做题）‎ 已知圆的参数方程为为参数), 以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为, 则直线截圆所得的弦长是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．‎ 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16、（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求的值； （2）求函数的最小正周期；‎ ‎（3）若，求的值。‎ ‎17、（本小题满分12分）‎ 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。‎ ‎（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求中奖人数X的分布列及数学期望EX.‎ ‎18、（本小题满14分）‎ 如图4，在四棱锥中，底面是矩形，平面，‎ ‎，,于点．‎ ‎（1）求四棱锥的体积；‎ ‎ (2) 求证：；‎ ‎ (3) 求直线与平面所成的角的余弦值.‎ ‎19、（本小题满分14分）‎ 已知数列的前项和为，，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列求数列的前项和.‎ ‎20 、（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的离心率. 直线（）与曲线交于 ‎ 不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为．‎ ‎ (1) 求椭圆的方程；‎ ‎ (2) 若圆与轴相交于不同的两点，求的面积的最大值.‎ ‎21、（本小题满分14分）‎ 已知函数=，其中a>0. ‎ ‎（Ⅰ）若a=1，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上，恒成立，求a的取值范围。‎ ‎2014届高三数学期中考试参考答案（理科）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A D B D C C C C ‎9、 10． 11． ‎ ‎12. 13. 9 14.15. ‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 解：‎ ‎（1） …………… 2分 ‎（2）‎ ‎ …………… 3分 ‎ ‎ ‎. …………… 5分 ‎ 周期 …………… 6分 ‎（3）解：由（1）可知，‎ ‎∴，得. …………… 8分 ‎∴ …………… 9分 ‎ …………… 10分 ‎ …………… 11分 ‎. …………… 12分 ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么 P(A)=P(B)=P(C)=‎ P()=P(A)P()P()=‎ 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为……………………………………6分 ‎（2）x的可能值为0,1,2,3‎ P(ξ=k)=(k=0,1,2,3)‎ 所以中奖人数ξ的分布列为 x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P Ex=0×+1×+2×+3×=………………………………………………12分 ‎18.（本小题满分l4分）‎ ‎ (本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识, 考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)‎ ‎（1）四棱锥的体积 ‎ ……2分 ‎ (2)∵ 平面，平面,∴.‎ ‎∵，平面,平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面 ‎∴， ……5分 ‎∵, ,平面,平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面,‎ ‎∴. ……7分 ‎（2）解法1：由（1）知，，又，‎ ‎ 则是的中点,‎ ‎ 在Rt△中,得，在Rt△中,得, ‎ ‎ ∴.‎ 设点到平面的距离为，由， ……8分 得.‎ 解得， ……10分 设直线与平面所成的角为，则， ……12分 ‎ ∴. ‎ ‎ ∴ 直线与平面所成的角的余弦值为. ……14分 解法2： 如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，‎ ‎ 则，，，，，.‎ ‎ ∴. ……8分 设平面的一个法向量为，‎ 由可得：‎ 令，得.‎ ‎∴. ……10分 设直线与平面所成的角为，则. ……12分 ‎∴.‎ ‎∴直线与平面所成的角的余弦值为. ……14分 ‎19．（本小题满分14分）‎ ‎(本小题主要考查数列、数列求和等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)‎ ‎（1）解：，‎ ‎∴ ……… 1分 ‎∴. ‎ ‎ ∴ …………… 3分 ‎ ‎ ‎∴ ……………… 1分 是公比为2首项为1的等比数列 ‎ . ……… 8分 ‎（2）解：∵， ‎ ‎ ∴. ① ……… 9分 ‎ .② …………… 10分 ‎①②得 …………… 11分 ‎ …………… 12分 ‎ . …………… 13分 ‎ ∴. …………… 14分 ‎20．（本小题满分14分）‎ ‎(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, ‎ ‎ 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)‎ ‎（1）解：∵椭圆的离心率,‎ ‎ ∴. …… 2分 ‎ 解得.‎ ‎ ∴ 椭圆的方程为． …… 4分 ‎（2）解法1：依题意，圆心为．‎ ‎ 由 得. ‎ ‎∴ 圆的半径为． …… 6分 ‎∵ 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，‎ ‎∴ ，即． ‎ ‎∴ 弦长． …… 8分 ‎∴的面积 …… 9分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . …… 12分 ‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ ‎ ∴ 的面积的最大值为． …… 14分 解法2：依题意，圆心为．‎ ‎ 由 得.‎ ‎∴ 圆的半径为． …… 6分 ‎ ∴ 圆的方程为．‎ ‎∵ 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，‎ ‎∴ ，即．‎ ‎ 在圆的方程中，令，得，‎ ‎ ∴ 弦长． …… 8分 ‎∴的面积 …… 9分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . ……12分 ‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ ‎ ∴ 的面积的最大值为． … 14分 ‎21、【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.‎ ‎（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.‎ ‎（Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.‎ 以下分两种情况讨论：‎ 若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：‎ X ‎0‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ 极大值 ‎ 当等价于 ‎ 解不等式组得-52，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：‎ X ‎0‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 极大值 极小值 当时，f（x）>0等价于即 解不等式组得或.因此2

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