江苏省南京金陵中学2019届高三第一学期期中考试数学试卷 Word版含解析

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文档介绍

江苏省南京金陵中学2019届高三第一学期期中考试数学试卷 Word版含解析

‎2019届江苏省南京金陵中学 高三第一学期期中考试数学试题此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 数学 注意事项:‎ ‎1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、填空题 ‎1.设集合A=xlog‎2‎x<2‎,B={﹣1,0,1,2,4},则A‎∩‎B=_____________.‎ ‎2.已知复数z=(1+i)(1+3i)‎,其中i是虚数单位,则z的值是_____________.‎ ‎3.已知一组数据2,4,5,6,8,那么这组数据的方差是_____________.‎ ‎4.从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)作为代表,则这2名代表都是女同学的概率为_____________.‎ ‎5.如图是一个算法的流程图,则输出a的值是_____________.‎ ‎6.在平面直角坐标系xOy中,若抛物线y‎2‎‎=2px的焦点与椭圆x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎的右焦点重合,则实数p的值为_____________.‎ ‎7.已知sin(x+π‎4‎)=‎‎3‎‎5‎,则sin2x=_____________.‎ ‎8.设a>0,若an=且数列{an}是递增数列,则实数a的范围是__________.‎ ‎9.在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax‎2‎+‎bx(a,b为常数)过点P(2,﹣5),且该曲线在点P处的切线与直线‎2x-7y+3=0‎垂直,则2a+3b的值是_______.‎ ‎10.若函数f(x)=-‎1‎‎2‎x‎2‎+4x-3lnx在‎[t,t+1]‎上不单调,则t的取值范围是____.‎ ‎11.如下图,在中, .若,则__________.‎ ‎12.已知函数f(x)=‎‎2x+1,x≤0‎lnx‎,x>0‎,则关于x的方程f[f(x)]=3‎的解的个数为_____________.‎ ‎13.已知正数a,b,c满足b‎2‎‎+2(a+c)b-ac=0‎,则ba+c的最大值为_____________.‎ ‎14.若存在正数x,y,使得‎(y-2ex)(lny-lnx)s+x=0‎,其中e为自然对数的底数,则实数s的取值范围是_____________.‎ 二、解答题 ‎15.如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD是矩形,平面PCD⊥平面ABCD,M为PC中点.求证:‎ ‎(1)PA∥平面MDB;‎ ‎(2)PD⊥BC.‎ ‎16.已知α∈(0‎,π‎2‎‎)‎,β∈(‎π‎2‎,π)‎,cosβ=-‎‎1‎‎3‎,sin(α+β)=‎‎4-‎‎2‎‎6‎.‎ ‎(1)求tan2β的值;‎ ‎(2)求α的值.‎ ‎17.如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE,H是直角项点)来处理污水.管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米,AD=‎10‎‎3‎米,记∠BHE=θ.‎ ‎(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域;‎ ‎(2)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度L.‎ ‎18.在平面直角坐标系xOy中,圆O:x‎2‎‎+y‎2‎=4‎与坐标轴分别交于A1,A2,B1,B2(如图).‎ ‎(1)点Q是圆O上除A1,A2外的任意点(如图1),直线A1Q,A2Q与直线y+3=0‎交于不同的两点M,N,求线段MN长的最小值;‎ ‎(2)点P是圆O上除A1,A2,B1,B2外的任意点(如图2),直线B2P交x轴于点F,直线A1B2交A2P于点E.设A2P的斜率为k,EF的斜率为m,求证:2m﹣k为定值.‎ ‎(图1) (图2)‎ ‎19.设函数f(x)=exx‎3‎-‎3kx-klnx,其中x>0,k为常数,e为自然对数的底数.‎ ‎(1)当k≤0时,求f(x)‎的单调区间;‎ ‎(2)若函数f(x)‎在区间(1,3)上存在两个极值点,求实数k的取值范围;‎ ‎(3)证明:对任意给定的实数k,存在x‎0‎(x‎0‎‎>0‎),使得f(x)‎在区间(x‎0‎,‎+∞‎)上单调递增.‎ ‎20.若数列an同时满足:①对于任意的正整数n,an+1‎‎≥‎an恒成立;②若对于给定的正整数k,an-k‎+an+k=2‎an对于任意的正整数n(n>k)恒成立,则称数列an是“R(k)数列”.‎ ‎(1)已知an‎=‎‎2n-1,n为奇数‎2n,n为偶数,判断数列an是否为“R(2)数列”,并说明理由;‎ ‎(2)已知数列bn是“R(3)数列”,且存在整数p(p>1),使得b‎3p-3‎,b‎3p-1‎,b‎3p+1‎,b‎3p+3‎成等差数列,证明:bn是等差数列.‎ ‎21.二阶矩阵M对应的变换将点(1,﹣1)与(﹣2,1)分别变换成点(﹣1,﹣1)与(0,﹣2).‎ ‎(1)求矩阵M的逆矩阵M‎-1‎;‎ ‎(2)设直线l在变换M作用下得到了直线m:‎2x-y=4‎,求l的方程.‎ ‎22.在极坐标系中,设圆ρ=3‎上的点到直线ρ(cosθ+‎3‎sinθ)=2‎的距离为d,求d的最大值.‎ ‎23.如图,已知三棱锥O—ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.‎ ‎(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值;‎ ‎(2)求二面角A—BE—C的余弦值.‎ ‎24.已知fn‎(x)=‎‎(1+x)‎n,n∈‎N‎*‎.‎ ‎(1)若g(x)=f‎4‎(x)+2f‎5‎(x)+3f‎6‎(x)‎,求g(x)‎中含x2项的系数;‎ ‎(2)若pn是fn‎(x)‎展开式中所有无理项的系数和,数列an是由各项都大于1的数组成的数列,试用数学归纳法证明:pn‎(a‎1‎a‎2‎⋯an+1)≥(1+a‎1‎)(1+a‎2‎)⋯(1+an)‎.‎ ‎2019届江苏省南京金陵中学 高三第一学期期中考试数学试题 数学 答 案 参考答案 ‎1.{1,2}‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合A,然后求交集即可.‎ ‎【详解】‎ 集合A=xlog‎2‎x<2‎‎=‎x‎0<x<4‎,又B={﹣1,0,1,2,4}‎ ‎∴A‎∩‎B={1,2}‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查对数函数的单调性,是基础题.‎ ‎2.‎‎2‎‎5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.‎ ‎【详解】‎ 复数z=(1+i)(1+3i)=1﹣3+4i=﹣2+4i,‎ ‎∴|z|=‎(-2‎)‎‎2‎+‎‎4‎‎2‎=‎2‎‎5‎.‎ 故答案为:‎2‎‎5‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎3.4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出这组数据的平均数,再求这组数据的方差.‎ ‎【详解】‎ 一组数据2,4,5,6,8,‎ 这组数据的平均数x=‎1‎‎5‎‎(2+4+5+6+8)‎=5,‎ 这组数据的方差S2=‎1‎‎5‎[(2﹣5)2+(4﹣5)2+(5﹣5)2+(6﹣5)2+(8﹣5)2]=4.‎ 故答案为:4.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查方差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意方差公式的合理运用.‎ ‎4.‎‎3‎‎10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算从2男3女共5名同学中任选2名学生和选出的2名都是女同学的选法种数,利用古典概型概率公式计算可得答案.‎ ‎【详解】‎ 从2男3女共5名同学中任选2名学生有C‎5‎‎2‎=10种选法;‎ 其中选出的2名都是女同学的有C‎3‎‎2‎=3种选法,‎ ‎∴2名都是女同学的概率为‎3‎‎10‎.‎ 故答案为:‎3‎‎10‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了古典概型的概率计算,解题的关键是求得符合条件的基本事件个数.‎ ‎5.10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值,模拟程序的运行过程,可得答案.‎ ‎【详解】‎ 当a=1,b=12时,不满足a>b,故a=4,b=10,‎ 当a=4,b=10时,不满足a>b,故a=7,b=8,‎ 当a=7,b=8时,不满足a>b,故a=10,b=6,‎ 当a=10,b=6时,满足a>b,‎ 故输出的a值为10,‎ 故答案为:10‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答.‎ ‎6.2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标,因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎的右焦点重合,所以抛物线的焦点坐标可知,再根据抛物线中焦点坐标为(p‎2‎,0),即可求出p值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎ 中a2=4,b2=3,∴c2=1,c=1‎ ‎∴右焦点坐标为(1,0)‎ ‎∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎的右焦点重合,‎ 根据抛物线中焦点坐标为(p‎2‎,0),‎ ‎∴p‎2‎‎=1‎,则p=2.‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法,属于圆锥曲线的基础题.‎ ‎7.﹣‎‎7‎‎25‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用sin2x=‎-‎cos(2x+π‎2‎)=2sin2(x+π‎4‎)‎-1‎即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵sin(x+π‎4‎)=‎‎3‎‎5‎,‎ ‎∴sin2x=‎-‎cos(2x+π‎2‎)=2sin2(x+π‎4‎)‎-1‎=‎18‎‎25‎﹣1=‎-‎‎7‎‎25‎,‎ 故答案为:﹣‎‎7‎‎25‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了二倍角的余弦函数公式,以及诱导公式的作用,熟练掌握公式是解本题的关键.‎ ‎8.2<a<3‎ ‎【解析】由{an}是递增数列,得解得∴2<a<3‎ ‎9.﹣8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由曲线y=ax2+bx(a,b为常数)过点P(2,﹣5),且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直,可得y|x=2=﹣5,且y′|x=2=﹣‎7‎‎2‎,解方程可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线2x﹣7y+3=0的斜率k=‎2‎‎7‎,‎ ‎∴切线的斜率为﹣‎7‎‎2‎,‎ 曲线y=ax2+bx(a,b为常数)过点P(2,﹣5),且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直,‎ ‎∴y′=2ax﹣bx‎2‎,‎ ‎∴‎4a+b‎2‎=-5‎‎4a-b‎4‎=-‎‎7‎‎2‎,‎ 解得:a=﹣1,b=﹣2,‎ 故2a+3b =﹣8,‎ 故答案为:﹣8‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,其中根据已知得到y|x=2=﹣5,且y′|x=2=﹣‎7‎‎2‎,是解答的关键.‎ ‎10.0‎‎0‎,∴‎α+β∈‎‎ π‎2‎,  π ‎∴cosα+β=-‎1-‎sin‎2‎α+β=-‎‎1-‎‎4-‎‎2‎‎6‎‎2‎=‎-‎‎4+‎‎2‎‎6‎ ‎ ‎ 由α=α+β-β得: ‎cosα=cosα+β-β=cosα+βcosβ+sinα+βsinβ ‎ = ‎-‎‎4+‎‎2‎‎6‎‎-‎‎1‎‎3‎‎+‎‎2‎‎2‎‎3‎‎4-‎‎2‎‎6‎=‎‎2‎‎2‎ ‎ ∵α∈‎‎0 ,  π ∴α=‎π‎4‎.‎ ‎17.(1)L=10×‎sinθ+cosθ+1‎sinθ⋅cosθ,θ∈[π‎6‎,π‎3‎].‎; (2)θ=‎π‎6‎或θ=‎π‎3‎时,L取得最大值为‎20(‎3‎+1)‎米..‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式,再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式,并注明θ的范围.‎ ‎(2)设sinθ+cosθ=t,根据函数 L=‎20‎t-1‎ 在[‎3‎‎+1‎‎2‎,‎2‎]上是单调减函数,可求得L的最大值.‎ 所以当t=‎‎3‎‎+1‎‎2‎时,即θ=‎π‎6‎ 或θ=‎π‎3‎ 时,L取得最大值为‎20(‎3‎+1)‎米.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎由题意可得EH=‎‎10‎cosθ,FH=‎‎10‎sinθ,EF=‎‎10‎sinθcosθ,由于 BE=10tanθ≤10‎‎3‎,AF=‎10‎tanθ≤10‎‎3‎,‎ 所以‎3‎‎3‎‎≤tanθ≤‎‎3‎,θ∈[π‎6‎,π‎3‎]‎,‎ ‎∴L=‎10‎cosθ+‎10‎sinθ+‎‎10‎sinθcosθ‎,‎θ∈[π‎6‎,π‎3‎].‎ 即L=10×‎sinθ+cosθ+1‎sinθ⋅cosθ,‎θ∈[π‎6‎,π‎3‎].‎ ‎(2)‎设sinθ+cosθ=t,则sinθcosθ=‎t‎2‎‎-1‎‎2‎,由于θ∈[π‎6‎,π‎3‎]‎,‎‎∴sinθ+cosθ=t=‎2‎sin(θ+π‎4‎)∈[‎3‎‎+1‎‎2‎,‎2‎].‎ 由于L=‎‎20‎t-1‎在‎[‎3‎‎+1‎‎2‎,‎2‎]‎上是单调减函数,‎ ‎∴‎当t=‎‎3‎‎+1‎‎2‎时,即θ=‎π‎6‎或θ=‎π‎3‎时,L取得最大值为‎20(‎3‎+1)‎米.‎ ‎18.(1)2;(2)证明见解析。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设A2Q的斜率为k,求出直线A1Q和A2Q的方程,得出M,N的坐标,从而得出MN关于k的表达式,进而得出MN的最小值;‎ ‎(2)求出直线方程,得出E、F的坐标,进而得出m与k的关系,从而得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题设可以得到直线A‎2‎Q的斜率存在设方程为y=kx-2‎(k≠0)‎,‎ 直线A‎1‎Q的方程为y=-‎‎1‎kx+2‎,‎ 由y=kx-2‎y+3=0‎,解得x=2-‎‎3‎ky=-3‎;由y=-‎‎1‎kx+2‎y+3=0‎,解得x=3k-2‎y=-3‎ 所以,直线A‎2‎Q与直线y+3=0‎的交点M‎2-‎3‎k,-3‎ 直线A‎1‎Q与直线y+3=0‎的交点N‎3k-2,-3‎,所以MN=‎‎3k+‎3‎k-4‎.‎ 当k>0‎时, MN=‎3k+‎3‎k-4‎≥6-4=2‎,等号成立的条件是k=1‎ 当k<0‎时, MN=‎3k+‎3‎k-4‎≥‎4-‎‎-6‎=10‎,等号成立的条件是k=-1‎.‎ 故线段MN长的最小值是2. ‎ ‎(2)法1:由题意可知A‎1‎‎-2,0‎‎,A‎2‎‎2,0‎,B‎1‎‎0,-2‎,‎B‎2‎‎0,2‎,‎ A‎2‎P的斜率为k,∴直线A‎2‎P的方程为y=kx-2‎,由y=kx-2‎,‎x‎2‎‎+y‎2‎=4‎得P‎2k‎2‎-2‎k‎2‎‎+1‎‎,‎‎-4kk‎2‎‎+1‎ 则直线B‎2‎P的方程为y=-k+1‎k-1‎x+2‎,令y=0‎,则x=‎‎2‎k-1‎k+1‎,即F‎2‎k-1‎k+1‎‎,0‎ ‎∵直线A‎1‎B‎2‎的方程为x-y+2=0‎,由x-y+2=0‎y=kx-2‎解得x=‎‎2k+2‎k-1‎y=‎‎4kk-1‎ ‎∴E‎2k+2‎k-1‎‎,‎‎4kk-1‎,‎ ‎∴EF的斜率m=‎4‎k-1‎‎2k+2‎k-1‎‎-‎‎2‎k-1‎k+1‎=‎k+1‎‎2‎,‎ ‎∴‎2m-k=2k+1‎‎2‎-k=1‎ (定值). ‎ 法2:设Pxo‎,‎yo, x‎0‎‎≠0,x‎0‎≠±2‎,‎ k=kA2P=‎y‎0‎x‎0‎‎-2‎‎,‎ 所以A‎2‎P直线方程: ‎y=‎y‎0‎x‎0‎‎-2‎x-2‎ A‎1‎B‎2‎‎:直线方程y=x+2‎,‎ 则y=‎y‎0‎x‎0‎‎-2‎x-2‎y=x+2‎,得E‎2x‎0‎+2y‎0‎-4‎‎-x‎0‎+y‎0‎+2‎‎,‎‎4‎y‎0‎‎-x‎0‎+y‎0‎+2‎ 而PB‎2‎:y=y‎0‎‎-2‎x‎0‎x+2‎,得F‎2‎x‎0‎‎2-‎y‎0‎‎,0‎ m=kEF=‎4y‎0‎-2‎y‎0‎‎2‎x‎0‎‎2‎‎-y‎0‎‎2‎-2x‎0‎y‎0‎+4y‎0‎-4‎=‎y‎0‎‎2‎‎-2‎y‎0‎y‎0‎‎2‎‎+x‎0‎y‎0‎-2‎y‎0‎‎,‎ 则‎2m-k=y‎0‎‎2‎‎-2‎y‎0‎y‎0‎‎2‎‎+x‎0‎y‎0‎-2‎y‎0‎-‎y‎0‎x‎0‎‎-2‎ ‎=x‎0‎y‎0‎‎2‎‎-2y‎0‎‎2‎-y‎0‎‎3‎-4x‎0‎y‎0‎+8‎y‎0‎x‎0‎y‎0‎‎2‎‎-2y‎0‎‎2‎-y‎0‎‎3‎-4x‎0‎y‎0‎+8‎y‎0‎=1‎(定值)。‎ ‎【点睛】‎ 求定值问题常见的方法 ‎①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.‎ ‎②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.‎ ‎19.(1)单调递减区间为(0,3),单调递增区间为‎3,+∞‎;(2)e‎2‎‎4‎‎,‎e‎3‎‎9‎;(3)证明见解析。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)f′(x)=x-3‎ex‎-kx‎2‎x‎4‎.分别令f′(x)>0,f′(x)<0,解出x的取值范围即可;‎ ‎(2)函数f(x)在(1,3)内存在两个极值点,⇔ex‎-kx‎2‎=0‎有两个实数根.化为gx=exx‎2‎-k,x∈‎‎1,3‎,因此gx在‎1,3‎内存在两个实数根.利用导数研究其单调性极值即可;‎ ‎(3)令hx=‎exx‎3‎,得h'x=‎exx-3‎x‎4‎,hx在‎3,+∞‎上单调递增,进而分析可得结果.‎ ‎【详解】‎ fx=exx-3‎x‎4‎+k‎3‎x‎2‎‎-‎‎1‎x=k‎3-xx‎2‎=‎x-3‎ex‎-kx‎2‎x‎4‎‎,‎ ‎(1)当k≤0‎时,ex‎-kx‎2‎>0‎对任意的x>0‎都成立.‎ 所以,当x>3‎时,f'x>0‎;当‎00‎,所以gx在区间(1,2)上单调递减,在区间(2,3)上单调递增.又g‎2‎=e‎2‎‎4‎-k,g‎3‎=e‎3‎‎9‎-k0‎,即e‎2‎‎4‎‎0‎,当x∈(x2,,3),fx<0‎,满足条件.‎ 所以k的取值范围为e‎2‎‎4‎‎,‎e‎3‎‎9‎‎.‎ ‎(3)令hx=‎exx‎3‎,得h'x=‎exx-3‎x‎4‎,当x≥3‎时,h'x≥0‎,当且仅当x=3‎时等号成立,‎ 所以,hx在‎3,+∞‎上单调递增,‎ 所以,当x>3‎时,hx>h‎3‎h‎3‎=e‎3‎‎27‎>0‎,及ex‎>h‎3‎x‎3‎,‎ 当x>3‎时,fx=x-3‎ex‎-kx‎2‎x‎4‎>x-3‎h‎3‎x‎3‎-kx‎2‎x‎4‎=‎x-3‎h‎3‎x-kx‎2‎.‎ 设x‎0‎为3和kh‎3‎中较大的数,则当x>‎x‎0‎时,fx>0‎,‎ 所以对任意给定的实数k,存在x‎0‎x‎0‎‎>0‎,式得dx在区间x‎0‎‎,+∞‎上单调递增.‎ ‎20.(1)是(2)见解析 ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据定义验证两个条件是否成立,由于函数为分段函数,所以分奇偶分别验证(2)根据定义数列隔项成等差,再根据单调性确定公差相等,最后求各项通项,根据通项关系得数列‎{bn}‎通项,根据等差数列证结论 试题解析:(1)当n为奇数时,an+1‎‎-an=2(n+1)-(2n-1)=3>0‎,所以an+1‎‎≥‎an.‎ an-2‎‎+an+2‎=‎‎ ‎2(n-2)-1+2(n+2)-1=2(2n-1)=2‎an.‎ 当n为偶数时,an+1‎‎-an=(2n+1)-2n=1>0‎,所以an+1‎‎≥‎an.‎ an-2‎‎+an+2‎=‎‎ ‎2(n-2)+2(n+2)=4n=2‎an.‎ 所以,数列‎{an}‎是“R(2)‎数列”.‎ ‎(2)由题意可得:bn-3‎‎+bn+3‎=2‎bn,‎ 则数列b‎1‎,b‎4‎,b‎7‎,‎⋅⋅⋅‎是等差数列,设其公差为d‎1‎,‎ 数列b‎2‎,b‎3‎,b‎8‎,‎⋅⋅⋅‎是等差数列,设其公差为d‎2‎,‎ 数列b‎3‎,b‎6‎,b‎9‎,‎⋅⋅⋅‎是等差数列,设其公差为d‎3‎.‎ 因为bn‎≤‎bn+1‎,所以b‎3n+1‎‎≤b‎3n+2‎≤‎b‎3n+4‎,‎ 所以b‎1‎‎+nd‎1‎≤b‎2‎+nd‎2‎≤b‎1‎+(n+1)‎d‎1‎,‎ 所以n(d‎2‎-d‎1‎)≥b‎1‎-‎b‎2‎①,n(d‎2‎-d‎1‎)≤b‎1‎-b‎2‎+‎d‎1‎②.‎ 若d‎2‎‎-d‎1‎<0‎,则当n>‎b‎1‎‎-‎b‎2‎d‎2‎‎-‎d‎1‎时,①不成立;‎ 若d‎2‎‎-d‎1‎>0‎,则当n>‎b‎1‎‎-b‎2‎+‎d‎1‎d‎2‎‎-‎d‎1‎时,②不成立;‎ 若d‎2‎‎-d‎1‎=0‎,则①和②都成立,所以d‎1‎‎=‎d‎2‎.‎ 同理得:d‎1‎‎=‎d‎3‎,所以d‎1‎‎=d‎2‎=‎d‎3‎,记d‎1‎‎=d‎2‎=d‎3‎=d.‎ 设b‎3p-1‎‎-b‎3p-3‎=b‎3p+1‎-‎b‎3p-1‎ ‎=b‎3p+3‎-b‎3p+1‎=λ,‎ 则b‎3n-1‎‎-b‎3n-2‎=b‎3p-1‎+(n-p)d-(b‎3p+1‎+(n-p-1)d)‎ ‎=b‎3p-1‎-b‎3p+1‎+d=d-λ‎.‎ 同理可得:b‎3n‎-b‎3n-1‎=b‎3n+1‎-b‎3n=d-λ,所以bn+1‎‎-bn=d-λ.‎ 所以‎{bn}‎是等差数列.‎ ‎【另解】λ=b‎3p-1‎-‎b‎3p-3‎ ‎=b‎2‎+(p-1)d-(b‎3‎+(p-2)d)‎ ‎=b‎2‎-b‎3‎+d, ‎ λ=b‎3p+1‎-‎b‎3p-1‎‎ ‎=b‎1‎+pd-(b‎2‎+(p-1)d)=b‎1‎-b‎2‎+d,‎ λ=b‎3p+3‎-b‎3p+1‎‎ ‎=b‎3‎+pd-(b‎1‎+pd)=b‎3‎-‎b‎1‎,‎ 以上三式相加可得:‎3λ=2d,所以λ=‎2‎‎3‎d,‎ 所以b‎3n-2‎‎=b‎1‎+(n-1)d ‎=b‎1‎+(3n-2+1)‎d‎3‎,‎ b‎3n-1‎‎=b‎2‎+(n-1)d‎ ‎=b‎1‎+d-λ+(n-1)d ‎=b‎1‎+(3n-1-1)‎d‎3‎,‎ b‎3n‎=b‎3‎+(n-1)d‎ ‎=b‎1‎+λ+(n-1)d ‎=b‎1‎+(3n-1)‎d‎3‎,‎ 所以bn‎=b‎1‎+(n-1)‎d‎3‎,所以bn+1‎‎-bn=‎d‎3‎,‎ 所以,数列‎{bn}‎是等差数列.‎ ‎21.(1)M‎-1‎‎=‎‎-2‎‎1‎‎3‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎;(2)x+4=0‎。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)M=‎abcd,由已知二阶矩阵M对应的变换将点(1,﹣1)与(﹣2,1)分别变换成点(﹣1,﹣1)与(0,﹣2).可构造关于a,b,c,d的四元一次方程组,解方程组可得矩阵M,进而得到矩阵M的逆矩阵M﹣1;‎ ‎(2)由(1)中矩阵M及直线l在变换M作用下得到了直线m:2x﹣y=4,构造关于x,y的关系式,整理后可得l的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设M=‎abcd,则有abcd‎1‎‎-1‎‎=‎-1‎‎-1‎ , abcd‎-2‎‎1‎=‎‎0‎‎-2‎,‎ 所以a-b=-1‎c-d=-1‎‎,且‎-2a+b=0‎‎-2c+d=-2‎,‎ 解得a=1‎b=2‎c=3‎d=4‎ 所以M=‎‎1‎‎2‎‎3‎‎4‎,从而M‎-1‎‎=‎‎-2‎‎1‎‎3‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎. ‎ ‎(2)因为x'‎‎ y'‎=‎‎1‎‎2‎‎3‎‎4‎xy,且m:2x'-y'=4‎,‎ 所以‎2x+2y-‎3x+4y=4‎,即x+4=0‎,这就是直线l的方程。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了逆矩阵与投影变换,以及直线的一般式方程等基础知识,属于基础题.‎ ‎22.4‎ ‎【解析】‎ 将极坐标方程ρ=3化为普通方程,得圆:x2+y2=9.‎ 极坐标方程ρ(cosθ+‎3‎sinθ)=2化为普通方程,得直线:x+‎3‎y=2.‎ 在x2+y2=9上任取一点A(3cosα,3sinα).‎ 则点A到直线的距离为d=‎|3cosα+3‎3‎sinα-2|‎‎2‎‎=‎‎|6sin(α+30°)-2|‎‎2‎,‎ ‎∴所求d的最大值为4.‎ ‎23.(1)‎2‎‎5‎;(2)‎-‎‎2‎‎3‎。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先以O为原点,OB,OC,OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设出点的坐标,求出直线直线BE与AC的方向向量,最后利用向量的夹角公式计算即得异面直线BE与AC所成的角的余弦值;‎ ‎(2)先分别求得平面ABE的法向量和平面BEC的一个法向量,再利用夹角公式求二面角的余弦值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)以O为原点,OB,OC,OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,‎ 则有A‎0,0,1‎,B‎2,0,0‎,C‎0,2,0‎,E‎0,1,0‎.‎ EB‎=‎2,0,0‎-‎0,1,0‎=‎‎2,-1,0‎‎,‎ AC‎=‎‎0,2,-1‎‎. ‎ cos=‎-2‎‎5‎‎⋅‎‎5‎=-‎‎2‎‎5‎‎. ‎ 由于异面直线BE与AC所成的角是锐角,故其余弦值是‎2‎‎5‎. ‎ ‎(2)AB‎=‎2,0,-1‎ , AE=‎‎0,1,-1‎.‎ 设平面ABE的法向量为n‎1‎‎=‎x,y,z,‎ 则由n‎1‎‎⊥AB , n‎1‎⊥‎AE,得‎2x-z=0,‎y-z=0.‎ 取n‎1‎‎=‎‎1,2,2‎.‎ 同理可得平面BEC的一个法向量为n‎2‎‎=‎‎0,0,1‎, ‎ cos=n‎1‎‎⋅‎n‎2‎n‎1‎‎⋅‎n‎2‎=‎2‎‎1+4+4‎=‎‎2‎‎3‎‎. ‎ 由于二面角A-BE-C的平面角是n‎1‎与n‎2‎的夹角的补角,其余弦值是‎-‎‎2‎‎3‎.‎ ‎24.(1)56;(2)证明见解析。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)确定函数g(x),利用二项式定理可得g(x)中含x2项的系数;‎ ‎(2)确定pn的表达式,根据数学归纳法的步骤,先证n=1时成立,再设n=k时成立,利用归纳假设证明n=k+1时成立即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)gx=f‎4‎x+2f‎5‎x+3f‎6‎x=‎1+‎x‎4‎+2‎1+‎x‎5‎+3‎‎1+‎x‎6‎,‎ ‎∴gx中含x‎2‎项的系数为C‎4‎‎4‎‎+2C‎5‎‎4‎+3C‎6‎‎4‎=1+10+45=56‎. ‎ ‎(2)证明:由题意,pn‎=‎‎2‎n-1‎. ‎ ‎①当n=1‎时,p‎1‎a‎1‎‎+1‎‎=a‎1‎+1‎,成立;‎ ‎②假设当n=k时,pka‎1‎a‎2‎‎⋯ak+1‎‎≥‎1+‎a‎1‎‎1+‎a‎2‎⋯‎‎1+‎ak成立,‎ 当n=k+1‎时,‎‎1+‎a‎1‎‎1+‎a‎2‎‎⋯‎1+‎ak‎1+‎ak+1‎≤‎‎2‎k-1‎a‎1‎a‎2‎‎⋯ak+1‎‎1+‎ak+1‎ ‎=‎2‎k-1‎a‎1‎a‎2‎‎⋯akak+1‎+a‎1‎a‎2‎⋯ak+ak+1‎+1‎.‎‎*‎‎,‎ ‎∵ak‎>1‎,a‎1‎a‎2‎‎⋯akak+1‎‎-1‎≥ak+1‎-1‎,即a‎1‎a‎2‎‎⋯akak+1‎+1≥a‎1‎a‎2‎⋯ak+‎ak+1‎,‎ 代入(*)式得‎1+‎a‎1‎‎1+‎a‎2‎‎⋯‎1+‎ak‎1+‎ak+1‎≤‎‎2‎ka‎1‎a‎2‎‎⋯akak+1‎+1‎成立.‎ 综合①②可知,pna‎1‎a‎2‎‎⋯an+1‎‎≥‎1+‎a‎1‎‎1+‎a‎2‎⋯‎‎1+‎an对任意n∈‎N‎*‎成立. ‎
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