北师大版九年级上册数学第二章测试题附答案

北师大版九年级上册数学第二章测试题附答案

北师大版九年级上册数学第二章测试题附答案 ‎(满分：120分　　　考试时间：120分钟)‎ 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)‎ ‎1．一元二次方程y2－y－＝0配方后可化为(　B　)‎ A.＝1 B.＝1‎ C.＝ D.＝ ‎2．已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(　B　)‎ A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 ‎3．如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程（ D ）‎ A．2x·x＝24‎ B．(10－2x)(8－x)＝24‎ C．(10－x)(8－2x)＝24‎ D．(10－2x)(8－x)＝48‎ ‎4．运用换元法解方程＋＝7时，如果设y＝，那么将原方程化为关于y的一元二次方程的一般形式是(　A　)‎ A．2y2－7y＋6＝0 B．y2＋7y＋6＝0‎ C．2y2－7y－6＝0 D．y2＋7y－6＝0‎ ‎5．关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（ D ）‎ A．m≤3 B．m＜3‎ C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2‎ ‎6．等腰三角形的底和腰是方程x2－7x＋12＝0的两个根，则这个三角形的周长是（ C ）‎ A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)‎ ‎7．方程(x－1)2－81＝0的两个实数根是x1＝－8，x2＝10.‎ ‎8．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋4x＋m2＋4m－5＝0有一根为0，则m＝－5.‎ ‎9．某公司通过两次技术革新，使生产成本下降了36%.则平均每次生产成本的降低率是20%.‎ ‎10．已知m，n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n＝ 8 ．‎ ‎11．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，可知长比宽多 12 步．‎ ‎12．近些年，魔术表演风靡全球，某魔术师发明了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入魔术盒中时，会得到一个新的实数：a2＋b－1.例如，把(3，－2)放入魔术盒中，就会得到32‎ ‎＋(－2)－1＝6.现将实数对(m，－2m)放入魔术盒中，得到实数2，则m＝__－1或3 ．‎ 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)‎ ‎13．解方程：‎ ‎(1)x2－18x－40＝0；‎ 解：x2－18x＝40，‎ x2－18x＋92＝40＋92，‎ ‎(x－9)2＝121，‎ x－9＝±11，‎ x1＝20，x2＝－2.‎ ‎(2)(x－5)2＝4(2x＋1)2.‎ 解：(x－5)2－[2(2x＋1)]2＝0，‎ ‎[x－5＋2(2x＋1)][x－5－2(2x＋1)]＝0，‎ x1＝，x2＝－.‎ ‎14．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？‎ 译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；叙放，竿与门的对角线恰好相等．问门的高、宽、对角线的长分别是多少？若设门的对角线长为x尺，根据题意列出方程并化为一般形式．‎ 解：根据题意可列方程为：x2＝(x－4)2＋(x－2)2，‎ 将其化为一般形式为x2－12x＋20＝0.‎ ‎15．(潍坊中考)关于x的方程3x2＋mx－8＝0有一个根是，求另一个根及m的值．‎ 解：设方程的另一根为t.依题意得：3×＋m－8＝0，解得m＝10.又t＝－，所以t＝－4.综上所述，另一个根是－4，m的值为10.‎ ‎16．已知a，b，c是△ABC的三边长，且关于x的方程b(x2－1)－2ax＋c(x2＋1)＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．‎ 解：原方程可化为(b＋c)x2－2ax－b＋c＝0.‎ ‎∵方程有两个相等的实数根，‎ ‎∴Δ＝(－2a)2－4(b＋c)(－b＋c)‎ ‎＝4a2－4c2＋4b2＝0，‎ ‎∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．‎ ‎17．一个直角三角形的斜边长为4 cm，两条直角边的长相差4 cm，求这个直角三角形两条直角边的长．‎ 解：设其中一条较长的直角边为x cm，则另一条直角边长为(x－4)cm.依题意得，‎ x2＋(x－4)2＝(4)2，‎ x1＝－4(舍去)，x2＝8，‎ ‎∴x－4＝4.‎ ‎∴两条直角边的长分别为4 cm，8 cm.‎ 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)‎ ‎18．学校为了奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买奖品，他看到下表关于某种商品的销售信息，便用1 400元买回了该种商品作为奖品，求王老师购买该种商品的件数．‎ 购买件数 销售价格 不超过30件 单价40元 超过30件 每多买1件，购买的所有商品的单价降低0.5元，但单价不得低于30元 解：∵30×40＝1 200(元)＜1 400元，∴购买的该种商品的件数超过了30.设王老师购买该种商品的件数为x，则每件商品的价格为[40－(x－30)×0.5]元．根据题意，得x[40－(x－30)×0.5]＝1 400.解得x1＝40，x2＝70.∵当x＝70时，40－(70－30)×0.5＝20(元)＜30元，∴x＝70不符合题意，舍去．答：王老师购买该种商品的件数为40.‎ ‎19．观察下列一组方程：‎ ‎①x2－x＝0；‎ ‎②x2－3x＋2＝0；‎ ‎③x2－5x＋6＝0；‎ ‎④x2－7x＋12＝0……它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．‎ ‎(1)若x2＋kx＋56＝0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；‎ ‎(2)请写出第n个方程和它的根．‎ 解：(1)由题意可得k＝－15，则原方程为x2－15x＋56＝0，‎ 即(x－7)(x－8)＝0，解得x1＝7，x2＝8.‎ ‎(2)第n个方程为x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，‎ 即(x－n)(x－n＋1)＝0，解得x1＝n－1，x2＝n.‎ ‎20．解方程x2－|x|－2＝0.‎ 解：(1)当x≥0时，‎ 原方程可化为x2－x－2＝0，‎ 解得x1＝2，x2＝－1(不合题意，舍去)；‎ ‎(2)当x<0时，原方程可化为x2＋x－2＝0.‎ 解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2.‎ ‎∴原方程的根是x1＝2，x2＝－2.‎ 请你参照例题解方程x2－|x－1|－1＝0.‎ 解：(1)当x－1≥0，即x≥1时，原方程化为x2－x＝0，解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝1.‎ ‎(2)当x－1<0，即x<1时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝1(不合题意，舍去)．‎ ‎∴原方程的根是x1＝1，x2＝－2.‎ 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)‎ ‎21．已知关于x的一元二次方程x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0.‎ ‎(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足(x1－x2)2＝16－x1x2，求实数m的值．‎ 解：(1)根据题意可知Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－1)≥0，解得m≥－1，∴实数m的取值范围是m≥－1.‎ ‎(2)根据根与系数的关系可知x1＋x2＝－2(m＋1)，x1x2＝m2－1，∵(x1－x2)2＝16－x1x2，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝16－x1x2，即(x1＋x2)2＝16＋3x1x2，∴[－2(m＋1)]2＝16＋3(m2‎ ‎－1)，解得m＝1或－9.又∵m≥－1，∴m＝－9不合题意，舍去，∴m＝1.‎ ‎22．如图，在边长为12 cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1 cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2 cm的速度移动．若P，Q分别从A，B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：‎ ‎(1)经过6秒后，BP＝________ cm，BQ＝________cm；‎ ‎(2)经过几秒后，△BPQ是直角三角形？‎ ‎(3)经过几秒△BPQ的面积等于10 cm2?‎ 解：(1)6，12；‎ ‎(2)∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB＝BC＝12 cm，∠A＝∠B＝∠C＝60 °，‎ 当∠PQB＝90 °时，∴ ∠BPQ＝30 °，‎ ‎∴BP＝2BQ.‎ ‎∵BP＝12－x，BQ＝2x，∴12－x＝2×2x，∴x＝，‎ 当∠QPB＝90 °时，∴∠PQB＝30 °，∴BQ＝2PB，‎ ‎∴2x＝2(12－x)，x＝6.‎ 答：6秒或秒时，△BPQ是直角三角形；‎ ‎(3)作QD⊥AB于D，∴∠QDB＝90 °，∴∠DQB＝30 °，‎ ‎∴DB＝BQ＝x，‎ 在Rt△DBQ中，由勾股定理，得DQ＝x，‎ ‎∴＝10，解得：x1＝10，x2＝2，‎ ‎∵x＝10时，2x＞12，故舍去，∴x＝2.‎ 答：经过2秒△BPQ的面积等于10 cm2.‎ 六、(本大题共12分)‎ ‎23．(2018·宜昌)某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12.‎ ‎ 经过三年治理，境内长江水质明显改善．‎ ‎(1)求n的值；‎ ‎(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；‎ ‎(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加一个相同的数值a. 在(2) 的情况下， 第二年，用乙方案所治理的工厂 合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．‎ 解：(1)∵40n＝12，∴n＝0.3；‎ ‎(2)∵40＋40(1＋m)＋40(1＋m)2＝190，‎ 解得m1＝，m2＝－(舍去)．‎ ‎∴第二年用乙方案治理的工厂数量为40(1＋m)＝40×(1＋50%)＝60(家)；‎ ‎(3)设第一年用甲方案治理降低的Q值为x，‎ 第二年Q值因乙方案治理降低了100n＝100×0.3＝30，得 　∴x＝20.5，a＝9.5.‎