中考数学模拟试卷含解析2

中考数学模拟试卷含解析2

‎2016年天津市和平区中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．sin60°的值等于（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎2．一只口袋中放着若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，袋中的球已经搅匀，蒙上眼睛从口袋中取出一只球，取出红球的概率是．则取出白球的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．一个几何体的三视图如下图所示，那么这个几何体是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知一元二次方程x2+x﹣1=0，下列判断正确的是（　　）‎ A．该方程有两个相等的实数根 B．该方程有两个不相等的实数根 C．该方程无实数根 D．该方程根的情况不确定 ‎5．若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为（　　）‎ A． B． C．12 D．24‎ ‎6．在Rt△ABC，∠C=90°，AB=2，AC=，则∠A=（　　）‎ A．75° B．60° C．45° D．30°‎ ‎7．已知反比例函数y=，当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是（　　）‎ A．y＜0 B．﹣3＜y＜﹣1 C．﹣6＜y＜﹣2 D．2＜y＜6‎ ‎8．如图是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如图，用两根等长的钢条AC和BD交叉构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度，设，且量得CD=b，则内槽的宽AB等于（　　）‎ A．mb B． C． D．‎ ‎10．复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸较长边的中点对折后，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似（如图），那么这些型号的复印纸的长宽之比为（　　）‎ A．2：1 B．：1 C．：1 D．3：1‎ ‎11．直线l1和l2在同一直角坐标系中的位置如图所示，点P1（x1，y1）在直线l1上，点P2（x2，y2）在直线l2上，点P3（x3，y3）为直线l1、l2的交点，其中x3＜x1，x3＜x2，则（　　）‎ A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2‎ ‎12．如图，一次函数的图象上有两点A、B，A点的横坐标为2，B点的横坐标为a（0＜a＜4且a≠2），过点A、B分别作x的垂线，垂足为C、D，△AOC、△BOD的面积分别为S1、S2，则S1、S2的大小关系是（　　）‎ A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．无法确定 ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13．等边三角形绕它的中心至少旋转______度，才能和原图形重合．‎ ‎14．已知图中的曲线是反比例函数y=图象上的一支，如果A（a1，b1），B（a2，b2）两点在该反比例函数图象的同一支上，且a1＞a2，那么b1______b2．‎ ‎15．一个透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同，摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率是______．‎ ‎16．如图AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为______度．‎ ‎17．若b=2a+3c，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点的个数是______．‎ ‎18．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．‎ ‎（1）如图①，△ABC是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，判断△DAB与△EBC是否相似：______（填“是”或“否”）；‎ ‎（2）如图②，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，则△ABC的三分线的长为______．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答赢写出文字说明、演算步骤或推理过程）‎ ‎19．解下列方程：‎ ‎（1）x（x﹣1）+2（x﹣1）=0；‎ ‎（2）x2+1.5=3x．‎ ‎20．（1）抛物线的顶点在原点，且经过点（﹣2，8），求该抛物线的解析式．‎ ‎（2）如图，抛物线y=ax2+bx的顶点为A（﹣3，﹣3），且经过点P（t，0）（t≠0）．‎ y的最小值=______；‎ 点P的坐标为______；‎ 当x＞﹣3时，y随x的增大而______．‎ ‎21．已知，AB是⊙O的直径，点P，C是⊙O上的点，△APO≌△CPO，‎ ‎（I）如图①，若∠PCB=36°，求∠OPC的大小；‎ ‎（Ⅱ）如图②，过点C作AP的垂线DE，垂足为点D，且CD是⊙O的切线，若PD=1，求⊙O的直径．‎ ‎22．小唐同学在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上．‎ ‎（1）如图①，已知旗杆PQ高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，在A处测得点P的仰角为45°，求A，B之间的距离；‎ ‎（2）如图②，在（1）的条件下，在A处测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC的长．‎ ‎23．一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12．用这块废料剪出一个矩形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使剪出的矩形CDEF面积最大，点E应选在何处？‎ ‎24．如图，把边长为4的等边三角形OAB置于平面直角坐标系中，点O与坐标原点重合，OB在x轴的负半轴上，点A在第二象限，AC⊥x轴于点C．‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2）设∠ABO的平分线交y轴于点D，请直接写出以BD为底边，底角为30°的等腰三角形BDH的顶点H的坐标；‎ ‎（3）将△ACB绕点C顺时针方向旋转得到△A′C′B′，设A′C′交直线OA于点E，当△COE的面积为时，求E点的坐标．‎ ‎25．如图，抛物线y=﹣x2+x+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B．‎ ‎（1）求点A，点B的坐标及AB的长；‎ ‎（2）已知M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以点M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D，设AD的长为m（m＞0），BC的长为n．‎ ‎①求n随m变化的函数解析式；‎ ‎②若点E（﹣k﹣1，﹣k2+1）在抛物线y=﹣x2+x+4上，且点E不在坐标轴上，当m，n为何值时，∠PMQ的边过点E？‎ ‎　‎ ‎2016年天津市和平区中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．sin60°的值等于（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．‎ ‎【解答】解：根据特殊角的三角函数值可知：sin60°=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．一只口袋中放着若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，袋中的球已经搅匀，蒙上眼睛从口袋中取出一只球，取出红球的概率是．则取出白球的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】概率公式．‎ ‎【分析】根据概率的求法，找准两点：‎ ‎1、符合条件的情况数目；‎ ‎2、全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率；同时互为对立事件的两个事件概率之和为1．‎ ‎【解答】解：∵红球的概率是，‎ ‎∴取出白球的概率是1﹣=；‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．一个几何体的三视图如下图所示，那么这个几何体是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图判断几何体．‎ ‎【分析】由正视图和左视图可确定此几何体为柱体，锥体还是球体，再由俯视图可得具体形状．‎ ‎【解答】解：由正视图和左视图可确定此几何体为柱体，由俯视图是三角形可得此几何体为三棱柱．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．已知一元二次方程x2+x﹣1=0，下列判断正确的是（　　）‎ A．该方程有两个相等的实数根 B．该方程有两个不相等的实数根 C．该方程无实数根 D．该方程根的情况不确定 ‎【考点】根的判别式．‎ ‎【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．‎ ‎【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣1，‎ ‎∴△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0，‎ ‎∴方程有两个不相等实数根．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为（　　）‎ A． B． C．12 D．24‎ ‎【考点】正多边形和圆．‎ ‎【分析】首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为24，即可求得BC的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该六边形的面积．‎ ‎【解答】解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，‎ ‎∴∠BOC=×360°=60°，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴△OBC是等边三角形，‎ ‎∵正六边形ABCDEF的周长为24，‎ ‎∴BC=24÷6=4，‎ ‎∴OB=BC=4，‎ ‎∴BM=BC=2，‎ ‎∴OM==2，‎ ‎∴S△OBC=×BC×OM=×4×2=4，‎ ‎∴该六边形的面积为：4×6=24．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．在Rt△ABC，∠C=90°，AB=2，AC=，则∠A=（　　）‎ A．75° B．60° C．45° D．30°‎ ‎【考点】解直角三角形．‎ ‎【分析】通过解该直角三角形得到∠B的度数，然后结合三角形内角和定理来求∠A的度数．‎ ‎【解答】解：∵∠C=90°，AB=2，AC=，‎ ‎∴sinB===，‎ ‎∴∠B=60°，‎ ‎∴∠A=180°﹣∠C﹣∠B=30°，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．已知反比例函数y=，当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是（　　）‎ A．y＜0 B．﹣3＜y＜﹣1 C．﹣6＜y＜﹣2 D．2＜y＜6‎ ‎【考点】反比例函数的性质．‎ ‎【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．‎ ‎【解答】解：∵k=6＞0，‎ ‎∴在每个象限内y随x的增大而减小，‎ 又∵当x=﹣3时，y=﹣2，‎ 当x=﹣1时，y=﹣6，‎ ‎∴当﹣3＜x＜﹣1时，﹣6＜y＜﹣2．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．如图是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可．‎ ‎【解答】解：左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．如图，用两根等长的钢条AC和BD交叉构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度，设，且量得CD=b，则内槽的宽AB等于（　　）‎ A．mb B． C． D．‎ ‎【考点】相似三角形的应用．‎ ‎【分析】易知CD∥AB，可得△COD∽△AOB，它们的对应边成比例即可解答．‎ ‎【解答】解：∵，∠COD=∠AOB，‎ ‎∴△COD∽△BOA∴，‎ 又∵CD=b，∴AB=bm．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸较长边的中点对折后，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似（如图），那么这些型号的复印纸的长宽之比为（　　）‎ A．2：1 B．：1 C．：1 D．3：1‎ ‎【考点】相似多边形的性质．‎ ‎【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．‎ ‎【解答】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，‎ ‎∵得到的矩形都和原来的矩形相似，‎ ‎∴=，‎ 则b2=2a2，‎ ‎∴=，‎ ‎∴这些型号的复印纸的长宽之比为：1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．直线l1和l2在同一直角坐标系中的位置如图所示，点P1（x1，y1）在直线l1上，点P2（x2，y2）在直线l2上，点P3（x3，y3）为直线l1、l2的交点，其中x3＜x1，x3＜x2，则（　　）‎ A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2‎ ‎【考点】一次函数图象上点的坐标特征；两条直线相交或平行问题．‎ ‎【分析】根据题意把三个点都表示到图象上，可以直观的得到y1、y2、y3的大小．‎ ‎【解答】解：根据题意把P1（x1，y1）、点P2（x2，y2）、点P3（x3，y3）表示到图象上，如图所示：‎ 故y1＜y3＜y2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．如图，一次函数的图象上有两点A、B，A点的横坐标为2，B点的横坐标为a（0＜a＜4且a≠2），过点A、B分别作x的垂线，垂足为C、D，△AOC、△BOD的面积分别为S1、S2，则S1、S2的大小关系是（　　）‎ A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．无法确定 ‎【考点】一次函数综合题．‎ ‎【分析】△AOC的面积S1已知，△BOD的面积S2可由关于a的函数表示，求出S2的取值范围，跟S1比较即可．‎ ‎【解答】解：由一次函数图象可得出A（2，1），‎ 则S1==1，‎ S2==‎ 又0＜a＜4且a≠2，‎ ‎∴S2＜1=S1，‎ 故选：A ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13．等边三角形绕它的中心至少旋转　120　度，才能和原图形重合．‎ ‎【考点】旋转对称图形．‎ ‎【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形作答即可．‎ ‎【解答】解：由于等边三角形三角完全相同，‎ 旋转时，只要使下一个角对准原角，就能重合，‎ 因为一圈360度，除以3，就得到120度．‎ 故答案为：120°．‎ ‎　‎ ‎14．已知图中的曲线是反比例函数y=图象上的一支，如果A（a1，b1），B（a2，b2）两点在该反比例函数图象的同一支上，且a1＞a2，那么b1　＜　b2．‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．‎ ‎【分析】根据函数的图象得出m＞0，在每个象限内，y随x的增大而减小，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵根据图象可知：m＞0，‎ ‎∴在每个象限内，y随x的增大而减小，‎ ‎∵A（a1，b1），B（a2，b2）两点在该反比例函数图象的同一支上，a1＞a2，‎ ‎∵b1＜b2，‎ 故答案为：＜．‎ ‎　‎ ‎15．一个透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同，摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率是　　．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球恰好颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：画树状图得：‎ ‎∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种情况，‎ ‎∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率是：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．如图AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为　30　度．‎ ‎【考点】圆周角定理；三角形内角和定理．‎ ‎【分析】连接OC，则∠OCD=90°，由圆周角定理知，∠COB=2∠A=60°，即可求∠D=90°﹣∠COB=30°．‎ ‎【解答】解：连接OC，‎ ‎∴∠OCD=90°，‎ ‎∴∠COB=2∠A=60°，‎ ‎∴∠D=90°﹣∠COB=30°．‎ ‎　‎ ‎17．若b=2a+3c，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点的个数是　2　．‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点．‎ ‎【分析】运用判别式进行分析即可．‎ ‎【解答】解：抛物线y=ax2+bx+c，b=2a+3c，‎ ‎△=b2﹣4ac=4a2+12ac+9b2﹣4ac=（2a+2b）2+5b2，‎ 当b≠0时，△＞0，此时抛物线与x轴由两个交点，‎ 当b=0时，2a+3c=0，由于a≠0，可得c≠0，此时：y=ax2+c，与x轴由2个交点，‎ 综上所述，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点的个数是2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎18．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．‎ ‎（1）如图①，△ABC是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，判断△DAB与△EBC是否相似：　是　（填“是”或“否”）；‎ ‎（2）如图②，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，则△ABC的三分线的长为　和　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；黄金分割．‎ ‎【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论．‎ ‎（2）根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；根据∠B=α，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，则△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，得出对应边成比例，设AE=AD=x，BD=CD=y，得出方程组，解方程组即可．‎ ‎【解答】解：（1）是，‎ 故答案为：是；‎ ‎（2）如图3所示，CD、AE就是所求的三分线．‎ 设∠B=α，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，‎ 此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，‎ 设AE=AD=x，BD=CD=y，‎ ‎∵△AEC∽△BDC，‎ ‎∴x：y=2：3，‎ ‎∵△ACD∽△ABC，‎ ‎∴2：x=（x+y）：2，‎ 所以联立得方程组，‎ 解得，‎ 即三分线长分别是和．‎ 故答案为： 和．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答赢写出文字说明、演算步骤或推理过程）‎ ‎19．解下列方程：‎ ‎（1）x（x﹣1）+2（x﹣1）=0；‎ ‎（2）x2+1.5=3x．‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．‎ ‎【分析】先观察再确定方法解方程，（1）用因式分解法，（2）利用求根公式法解方程．‎ ‎【解答】解：（1）x（x﹣1）+2（x﹣1）=0，‎ ‎（x﹣1）（x+2）=0，‎ x﹣1=0，或x+2=0，‎ x1=1，x2=﹣2；‎ ‎（2）x2+1.5=3x，‎ 整理，得x2﹣3x+1.5=0，‎ ‎∵△=9﹣4×1×1.5=3，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴x1=，x2=．‎ ‎　‎ ‎20．（1）抛物线的顶点在原点，且经过点（﹣2，8），求该抛物线的解析式．‎ ‎（2）如图，抛物线y=ax2+bx的顶点为A（﹣3，﹣3），且经过点P（t，0）（t≠0）．‎ y的最小值=　﹣3　；‎ 点P的坐标为　（﹣6，0）　；‎ 当x＞﹣3时，y随x的增大而　增大　．‎ ‎【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值．‎ ‎【分析】（1）设二次函数的解析式为y=ax2（a≠0），再把点（﹣2，8）代入求出a的值即可；‎ ‎（2）根据函数图象的顶点坐标可得出其最小值，再由函数图象经过原点，对称轴为直线x=﹣3可得出P点坐标，由函数图形可得出x＞﹣3时函数的增减性．‎ ‎【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2（a≠0），‎ ‎∵点（﹣2，8）在此函数的图象上，‎ ‎∴4a=8，解得a=2，‎ ‎∴抛物线的解析式为：为y=2x2；‎ ‎（2）∵抛物线y=ax2+bx的顶点为A（﹣3，﹣3），‎ ‎∴y的最小值=﹣3；‎ ‎∵抛物线经过原点，对称轴为x=﹣3，‎ ‎∴t=﹣6，‎ ‎∴P（﹣6，0）．‎ 由函数图象可知，当x＞﹣3时，y随x的增大而增大．‎ 故答案为：﹣3，（﹣6，0），增大．‎ ‎　‎ ‎21．已知，AB是⊙O的直径，点P，C是⊙O上的点，△APO≌△CPO，‎ ‎（I）如图①，若∠PCB=36°，求∠OPC的大小；‎ ‎（Ⅱ）如图②，过点C作AP的垂线DE，垂足为点D，且CD是⊙O的切线，若PD=1，求⊙O的直径．‎ ‎【考点】切线的性质；全等三角形的性质．‎ ‎【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，圆的半径都相等，由∠PCB=36°，可以推出∠OPC的大小；‎ ‎（2）根据题意可以得到OC∥AD，从而可以得到∠POA与∠POC的关系，从而可以得到△OCP的形状，由PD=1，通过转化可以得到CP的长，从而可以得到⊙O的直径．‎ ‎【解答】解：（1）∵△APO≌△CPO，‎ ‎∴∠A=∠PCO，‎ ‎∵∠A=∠PCB，‎ ‎∴∠PCO=∠PCB，‎ ‎∵OP=OC，‎ ‎∴∠OPC=∠PCO，‎ ‎∴∠OPC=∠PCB，‎ 又∵∠PCB=36°，‎ ‎∴∠OPC=36°；‎ ‎（2）∵CD是⊙O的切线，C为切点，‎ ‎∴DE⊥OC，‎ ‎∴∠OCD=∠OCE=90°，‎ ‎∵DE⊥AD ‎∴∠ADE=90°，‎ ‎∴∠ADE=∠OCE，‎ ‎∴AD∥OC，‎ ‎∴∠APO=∠POC，‎ ‎∵△APO≌△CPO，‎ ‎∴∠APO=∠CPO，‎ ‎∴∠POC=∠CPO，‎ ‎∴OC=PC，‎ ‎∵OC=OP，‎ ‎∴OC=OP=PC，‎ ‎∴△OPC是等边三角形，‎ ‎∴∠OCP=60°，OC=PC，‎ ‎∵∠OCD=90°，‎ ‎∴∠PCD=∠OCD﹣∠PCO=30°，‎ ‎∵∠ADE=90°，PD=1，‎ ‎∴PC=2PD=2，‎ ‎∵OC=PC，‎ ‎∴OC=2，‎ ‎∴⊙O的直径是4．‎ ‎　‎ ‎22．小唐同学在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上．‎ ‎（1）如图①，已知旗杆PQ高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，在A处测得点P的仰角为45°，求A，B之间的距离；‎ ‎（2）如图②，在（1）的条件下，在A处测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC的长．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形在直角三角形△BPQ中求出AQ的长度，然后求出AB=BQ+AQ；‎ ‎（2）过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，求出AE的长度，然后在△CAE中求出AC的长度；‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△BPQ中，PQ=10米，∠B=30°，‎ ‎∴∠BPQ=90°﹣30°=60°，‎ 则BQ=tan60°×PQ=10，‎ 又在Rt△APQ中，∠PAB=∠APQ=45°，‎ 则AQ=tan45°×PQ=10，‎ 即AB=10+10（米）；‎ ‎（2）过A作AE⊥BC于E，‎ 在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=10+10，‎ ‎∴AE=sin30°×AB=（10+10）=5+5（米）．‎ ‎∵∠CAD=75°，∠B=30°，‎ ‎∴∠C=45°，‎ 在Rt△CAE中，sin45°=，‎ ‎∴AC===5+5（米）．‎ ‎　‎ ‎23．一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12．用这块废料剪出一个矩形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使剪出的矩形CDEF面积最大，点E应选在何处？‎ ‎【考点】相似三角形的应用；二次函数的最值．‎ ‎【分析】首先在Rt△ABC中利用∠A=30°、AB=12，求得BC=6、AC的长，然后根据四边形CDEF是矩形得到EF∥AC从而得到△BEF∽△BAC，设AE=x，则BE=12﹣x．利用相似三角形成比例表示出EF、DE，然后表示出有关x的二次函数，然后求二次函数的最值即可．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=12，‎ ‎∴BC=6，AC=AB•cos30°=．‎ ‎∵四边形CDEF是矩形，‎ ‎∴EF∥AC．‎ ‎∴△BEF∽△BAC．‎ ‎∴．‎ 设AE=x，则BE=12﹣x．‎ ‎．‎ 在Rt△ADE中，．‎ 矩形CDEF的面积S=DE•EF=•=（0＜x＜6）．‎ 当时，S有最大值．‎ ‎∴点E应选在AB的中点处．‎ ‎　‎ ‎24．如图，把边长为4的等边三角形OAB置于平面直角坐标系中，点O与坐标原点重合，OB在x轴的负半轴上，点A在第二象限，AC⊥x轴于点C．‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2）设∠ABO的平分线交y轴于点D，请直接写出以BD为底边，底角为30°的等腰三角形BDH的顶点H的坐标；‎ ‎（3）将△ACB绕点C顺时针方向旋转得到△A′C′B′，设A′C′交直线OA于点E，当△COE的面积为时，求E点的坐标．‎ ‎【考点】几何变换综合题．‎ ‎【分析】（1）由等边三角形的边长为4，求出OC，AC即可；‎ ‎（2）先判断出以BD为底边，底角为30°的等腰三角形BDH的顶点在直线AB上或x轴，分两种情况先设出点H的坐标，用HB=HD建立方程即可；‎ ‎（3）先设出点E的坐标，△COE的面积是以OC为底，点E的纵坐标的绝对值为高，建立方程求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，‎ ‎∴OC=BC=0B=2，AC=2，‎ ‎∵点A在第二象限，‎ ‎∴A（﹣2，2），‎ ‎（2）∵等边三角形的∠ABO的平分线交y轴于点D，‎ ‎∴∠ABD=∠OBD=30°，‎ 设直线BD的解析式为y=x+b，直线AB的解析式为y=x+m，‎ ‎∵点B（﹣4，0）在直线BD和直线AB上，‎ ‎∴b=，m=4，‎ ‎∴直线BD的解析式为y=x+，直线AB的解析式为y=x+4，‎ ‎∴点D（0，）‎ ‎∵以BD为底边，底角为30°的等腰三角形BDH，‎ ‎∴点H可能在直线AB上，也可能在x轴上，‎ ‎①点H在x轴上时，设点H（n，0），‎ ‎∴n﹣（﹣4）=，‎ ‎∴n=﹣，‎ ‎∴H（﹣，0），‎ ‎②点H在直线AB上，设H（x， x+4），‎ ‎∴AH=DH，‎ ‎∴（x+4）2+（x+4）2=x2+（x+）2，‎ ‎∴x=﹣，‎ ‎∴H（﹣，），‎ ‎∴点H（﹣，0）或H（﹣，）；‎ ‎（3）设直线OA解析式为y=kx，‎ ‎∵点A（﹣2，2）在直线OA上，‎ ‎∴k=﹣，‎ ‎∴直线OA解析式为y=﹣x，‎ 设点E（a，﹣a）‎ ‎∵OC=2，‎ ‎∴S△COE=×OC×|﹣a|=×2×|a|=，‎ ‎∴a1=，a2=﹣，‎ ‎∴E1（，﹣），E2（﹣，）．‎ ‎　‎ ‎25．如图，抛物线y=﹣x2+x+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B．‎ ‎（1）求点A，点B的坐标及AB的长；‎ ‎（2）已知M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以点M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D，设AD的长为m（m＞0），BC的长为n．‎ ‎①求n随m变化的函数解析式；‎ ‎②若点E（﹣k﹣1，﹣k2+1）在抛物线y=﹣x2+x+4上，且点E不在坐标轴上，当m，n为何值时，∠PMQ的边过点E？‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）由坐标轴上点的特点计算即可；‎ ‎（2）①判断出∠AMD=∠BCM，∠OAB=∠OBA得到△ADM∽△BMC，得出比例式即可；‎ ‎②E（﹣k﹣1，﹣k2+1）在抛物线y=﹣x2+x+4上，求出k值，然后分两种情况讨论．‎ ‎【解答】解：（1）令y=0，得到0=﹣x2+x+4，‎ ‎∴x1=﹣1，x2=4，‎ ‎∵点A在x轴正半轴，‎ ‎∴A（4，0），‎ 令x=0，得y=4，‎ ‎∴B（0，4），‎ 在Rt△AOB中，OA=4，OB=4，‎ ‎∴AB==4；‎ ‎（2）①由（1）有，OA=OB，‎ ‎∴∠OAB=∠OBA，‎ ‎∵∠AOB=90°，‎ ‎∴∠OAB=∠OBA=45°，‎ ‎∵∠PMA=∠OBA+∠BCM，‎ ‎∴∠AMD+∠CMD=∠ABO+∠BCM，‎ ‎∴∠AMD=∠BCM，‎ ‎∵∠OAB=∠OBA，‎ ‎∴△ADM∽△BMC，‎ ‎∴，‎ 由（1）有，AB=4，‎ ‎∵M为AB中点，‎ ‎∴AM=BM=2，‎ ‎∴，‎ ‎∴n=（m＞0），‎ ‎②∵E（﹣k﹣1，﹣k2+1）在抛物线y=﹣x2+x+4上，‎ ‎∴k1=1，k2=3，‎ 当k=1时，﹣k﹣1=﹣2，﹣k2+1=0，‎ ‎∴（﹣2，0）在坐标轴上，不符合题意，‎ 当k=3时，﹣k﹣1=﹣4，﹣k2+1=﹣8，‎ ‎∴点E（﹣4，﹣8），‎ 设直线ME解析式为y=mx+n，‎ ‎∵点M（2，2），‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线ME的解析式为y=x﹣，‎ 直线ME与x轴的交点为（，0）与y轴的交点为（0，﹣），‎ 当∠PMQ的边MP过点E（﹣4，﹣8），‎ ‎∴C（0，﹣），‎ ‎∴B（0，4），‎ ‎∴n=4﹣（﹣）=，‎ m==，‎ ‎∴m=，n=，‎ 当∠PMQ的边MQ过点E（﹣4，﹣8），‎ ‎∴D（，0），‎ ‎∵A（4，0）‎ ‎∴m=AD=4﹣=，‎ ‎∵n==，‎ ‎∴m=，n=，‎ 即：m=，n=；m=，n=，‎