全国卷数学高考真题

全国卷数学高考真题

绝密★启封并使用完毕前 ‎ 试题类型：A ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试 ‎ 理科数学2‎ 注意事项：‎ ‎ 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。‎ ‎ 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。‎ ‎ 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 ‎ ‎ 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ （1） 设复数z满足=i，则|z|=‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ ‎（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）设命题P：nN，>，则P为 ‎ （A）nN, > （B） nN, ≤‎ ‎ （C）nN, ≤ （D） nN, =‎ ‎ （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ‎ （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312‎ ‎ （5）已知M（x0，y0）是双曲线C： 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是 ‎ （A）（-，） （B）（-，）‎ ‎（C）（，） （D）（，）‎ ‎（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 ‎ A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 ‎（7）设D为ABC所在平面内一点=3，则 ‎（A）=+ (B)= ‎（C）=+ (D)= ‎(8)函数f(x)=的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为 ‎(A)（）,k (b)（）,k ‎(C)（）,k (D)（）,k ‎（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=‎ ‎（A）5 （B）6 （C）7 （D）8‎ ‎ ‎ （10） 的展开式中，y²的系数为 ‎（A）10 （B）20 （C）30（D）60‎ （11） 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r=‎ ‎（A）1（B）2（C）4（D）8‎ ‎12.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是（ ）‎ A.[-，1） B. [-，） C. [，） D. [，1）‎ 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 ‎（13）若函数f(x)=xln（x+）为偶函数，则a= ‎ ‎（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。‎ ‎（15）若x,y满足约束条件则的最大值为 .‎ ‎（16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 ‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎ Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0， ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）设 ,求数列}的前n项和 ‎（18）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。‎ ‎（1）证明：平面AEC⊥平面AFC ‎（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值 ‎（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。‎ ‎（x1-）2‎ ‎（w1-）2‎ ‎（x1-）(y-)‎ ‎（w1-）(y-)‎ ‎46.6‎ ‎56.3‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中w1 =1, ， =‎ （1） 根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：‎ （i） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ （ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？‎ 附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （un vn）,其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线y=ks+a(a>0)交与M,N两点，‎ ‎（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当K变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）= ‎ ‎(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线；‎ ‎（Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB是☉O的直径，AC是☉C的Q切线，BC交☉O于E ‎ ‎ （I） 若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；‎ （II） 若OA=CE，求∠ACB的大小. ‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中。直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。‎ （I） 求，的极坐标方程；‎ （II） 若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积 ‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围