【北师大版】2021版高考数学一轮复习第九章立体几何9.2 空间图形的基本关系与公理

【北师大版】2021版高考数学一轮复习第九章立体几何9.2 空间图形的基本关系与公理

- 1 - 9.2 空间图形的基本关系与公理 核心考点·精准研析 考点一 平面的基本性质 1. 下列说法正确的是 ( ) A.三点可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.四边形是平面图形 D.两条相交直线可以确定一个平面 2.已知α,β,γ是平面,a,b,c 是直线,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,若 a∩b=P,则 ( ) A.P∈c B.P∉ c C.c∩a=∅ D.c∩β=∅ 3.在三棱锥 A-BCD 的边 AB,BC,CD,DA 上分别取 E,F,G,H 四点,如果 EF∩HG=P,则点 P ( ) A.一定在直线 BD 上 B.一定在直线 AC 上 C.在直线 AC 或 BD 上 D.不在直线 AC 上,也不在直线 BD 上 4.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点共面的图形是 ( ) A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③ 【解析】1.选 D.A 错误,不共线的三点可以确定一个平面.B 错误,一条直线和直线外一个点可以确定一个平 面.C 错误,四边形不一定是平面图形.D 正确,两条相交直线可以确定一个平面. 2.选 A.如图,因为 a∩b=P,所以 P∈a,P∈b, 因为α∩β=a,β∩γ=b,所以 P∈α,P∈γ,而γ∩α=c, - 2 - 所以 P∈c. 3.选 B.如图所示, 因为 EF 平面 ABC,HG 平面 ACD, EF∩HG=P,所以 P∈平面 ABC,P∈平面 ACD. 又因为平面 ABC∩平面 ACD=AC,所以 P∈AC. 4.选 D.在图①中分别连接 PS,QR,易证 PS∥QR,所以 P,Q,R,S 四点共面;在图中③分别连接 PQ,RS,易证 PQ ∥RS,所以 P,Q,R,S 共面.在②图中过点 P,Q,R,S 可作一正六边形,故四点共面;在图④中 PS 与 QR 为异面直 线,所以四点不共面. 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法:①先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;②证两平面重合. (2)证明共线的方法:①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同 一条特定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点. 【秒杀绝招】 排除法解 T4,在图④中 PS 与 QR 为异面直线,所以四点不共面,可排除 A,B,C,直接选 D. 考点二 异面直线所成的角 【典例】 1.(2018·全国卷 II)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 CC1 的中点,则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 ( ) A. B. C. D. 2.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. - 3 - 【解题导思】 序号 联想解题 1 画出图形,由 AB∥CD,联想到 AE 与 CD 所成角为∠EAB,解直角三角形. 2 画出图形,图中没有与 AB1,BC1 平行的直线,联想到作辅助线. 【解析】1.选 C.因为 CD∥AB,所以∠EAB 即为异面直线 AE 与 CD 所成角,连接 BE,在直角三角形 ABE 中,设 AB=a,则 BE= a,所以 tan∠EAB= = . 2.选 C.如图,取 AB,BB1,B1C1 的中点 M,N,P,连接 MN,NP,PM, 可知 AB1 与 BC1 所成的角等于 MN 与 NP 所成的角. 由题意可知 BC1= ,AB1= , 则 MN= AB1= ,NP= BC1= . 取 BC 的中点 Q,连接 PQ,QM,则可知△PQM 为直角三角形. 在△ABC 中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=4+1-2×2×1× =7,即 AC= . 又 CC1=1,所以 PQ=1,MQ= AC= . 在△MQP 中,可知 MP= = . 在△PMN 中,cos∠PNM = = =- , - 4 - 又异面直线所成角的范围为 , 故所求角的余弦值为 . 【一题多解】选 C.把三棱柱 ABC-A1B1C1 补成四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,如图, 连接 C1D,BD,则 AB1 与 BC1 所成的角为∠BC1D(或其补角). 由题意可知 BC1= , BD= = ,C1D=AB1= .可知 B +BD2=C1D2, 所以 cos∠BC1D= = . 求异面直线所成的角的三个步骤 (1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角. (2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角. (3)三求:解三角形,求出所作的角. 1.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】选 C.如图,可补成一个正方体, 所以 AC1∥BD1. 所以 BA1 与 AC1 所成的角为∠A1BD1. 又易知△A1BD1 为正三角形, - 5 - 所以∠A1BD1=60°.即 BA1 与 AC1 成 60°的角. 2.如图,已知圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形,C 是圆柱下底面弧 AB 的中点,C1 是圆柱上底面弧 A1B1 的中点,那 么异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为 . 【解析】取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D,连接 C1D,AD, 因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点, 所以 AD∥BC,所以直线 AC1 与 AD 所成的角即为异面直线 AC1 与 BC 所成的角,因为 C1 是圆柱上底面弧 A1B1 的 中点,所以 C1D 垂直于圆柱下底面,所以 C1D⊥AD. 因为圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形, 所以 C1D= AD, 所以直线 AC1 与 AD 所成角的正切值为 , 所以异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为 . 答案: 考点三 空间两条直线的位置关系 命 题 精 解 读 1.考什么:(1)考查异面直线的判断,直线平行、垂直的判断等问题.(2)考查直观想象的核心 素养. 2.怎么考:以柱、锥、台、球及组合体为载体,考查直线位置关系的判断. 3.新趋势:以异面直线、平行直线为载体考查点的不共面与共面问题. - 6 - 学 霸 好 方 法 1.直线位置关系的判断方法: 异面直线可采用直接法或反证法;平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线 面平行与面面平行的性质定理;垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决. 2.交汇问题:与线面、面面平行与垂直相结合命题. 两条异面直线的判定 【典例】在图中,G,N,M,H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直 线 GH、MN 是异面直线的图形有 .(填上所有正确答案的序号) 【解析】图①中,直线 GH∥MN; 图②中,G,H,N 三点共面,但 M∉ 面 GHN, 因此直线 GH 与 MN 异面; 图③中,连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面; 图④中,G,M,N 三点共面,但 H∉ 面 GMN, 因此 GH 与 MN 异面,所以图②④中 GH 与 MN 异面. 答案:②④ 两直线平行或相交的判定 【典例】已知空间四边形 ABCD 中,E,H 分别是边 AB,AD 的中点,F,G 分别是边 BC,CD 的中点. 求证:EG 与 FH 相交. 【证明】如图,连接 AC,BD,则 EF∥AC,HG∥AC, 因此 EF∥HG;同理 EH∥FG,则 EFGH 为平行四边形.又 EG,FH 是▱ EFGH 的对角线,所以 EG 与 HF 相交. - 7 - 1.若两条直线是异面直线,则称为一对异面直线,则从正方体的 12 条棱中任取两条,共有 对异面直线 ( ) A.48 B.36 C.24 D.12 【解析】选 C.每一条棱所在的直线与其余的棱所在的直线成异面直线的有 4 对,所以共有 4×12=48 对,但 是这 48 对中每一种都重复了一对,所以所求的异面直线共有 24 对. 2.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别为棱 C1D1,C1C 的中点,有以下四个结论: ①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线; ④直线 AM 与 DD1 是异面直线. 其中正确的结论为 .(注:把你认为正确的结论序号都填上) 【解析】因为点 A 在平面 CDD1C1 外,点 M 在平面 CDD1C1 内,直线 CC1 在平面 CDD1C1 内,CC1 不过点 M,所以 AM 与 CC1 是异面直线,故①错;取 DD1 中点 E,连接 AE,则 BN∥AE,但 AE 与 AM 相交,故②错;因为点 B1 与 BN 都在平面 BCC1B1 内,点 M 在平面 BCC1B1 外,BN 不过点 B1,所以 BN 与 MB1 是异面直线,故③正确;同理④正确,故填③④. 答案:③④ 1.若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面α内,l2 在平面β内,l 是平面α与平面β的交线,则下列说法正确的 是 ( ) A.l 与 l1,l2 都不相交 B.l 与 l1,l2 都相交 C.l 至多与 l1,l2 中的一条相交 D.l 至少与 l1,l2 中的一条相交 【解析】选 D.由直线 l1 和 l2 是异面直线可知 l1 与 l2 不平行,故 l1,l2 中至少有一条与 l 相交. 2.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面三角形 A1B1C1 是正三角形,E 是 BC 的中点,则下列叙述正确的是 ( ) - 8 - A.CC1 与 B1E 是异面直线 B.C1C 与 AE 共面 C.AE 与 B1C1 是异面直线 D.AE 与 B1C1 所成的角为 60° 【解析】选 C.由于 CC1 与 B1E 都在平面 C1B1BC 内,故 C1C 与 B1E 是共面的,所以 A 错误;由于 C1C 在平面 C1B1BC 内,而 AE 与平面 C1B1BC 相交于 E 点,点 E 不在 C1C 上,故 C1C 与 AE 是异面直线,B 错误;同理 AE 与 B1C1 是异面 直线,C 正确;而 AE 与 B1C1 所成的角就是 AE 与 BC 所成的角,E 为 BC 中点,△ABC 为正三角形,所以 AE⊥BC,D 错误.