广东省韶关市第一中学2019届高三上学期第一次调研考试数学（文）试题

广东省韶关市第一中学2019届高三上学期第一次调研考试数学（文）试题

第页 1 2019 届高三上学期第一次调研 数学（文）考试试题 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合 A x|1 x  2 ，  2| 2 0 B x x x   ，则 AUB=（ ） A.  |0 2 x x  B.  |0 2 x x  C.  | 1 0 x x   D.  | 1 0 x x   2. 在复平面内，复数 z 所对应的点 A 的坐标为 ），（ 43 ，则  z z （ ） A. 4 3 5 5 i B. i5 3 5 4  C. 3 4 5 5 i D. i5 4 5 3  3.若双曲线 2 2 13 x y  与椭圆 2 2 18 x y p   有公共焦点，则 p 的值为（ ） A． 2 B．3 C． 4 D． 4 2 4.将函数 sin(2 )6y x   图象向左平移 4  个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ） A． 3x  B． 6x  C． 12x  D． 12x   5.已知向量 (2, 1)a   ， (1,3)b  ，且 ( )a a mb  ，则 m  （ ） A．1 B．5 C． 1 D． 5 6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）、侧视图、俯 视图.则该几何体的体积为（ ） A． 5 3 B．10 3 C． 8 3 D．3 7.已知实数 x ， y 满足条件 0 1 2 2 1 0 x y x y        ，若目标函数 ( 0)z mx y m   取得最大值时的最优解有无 穷多个，则实数 m 的值为（ ） 第页 2 A．1 B． 1 2 C． 1 2  D． 1 8.偶函数 ( )f x 在 0, 单调递增，若 ( 2) 1f   ，则 ( 2) 1f x   的 x 的取值范围是（ ） A． 0,2 B． 2,2 C． 0,4 D． 4,4 9.执行如图的程序框图，如果输入 8p  ，则输出的 S  （ ） A． 63 64 B．127 64 C．127 128 D． 255 128 10.若曲线 21 2y xe  与曲线 lny a x 在它们的公共点 ( , )P s t 处具有公共切线，则实数 a  （ ） A．1 B． 1 2 C． 1 D． 2 11. 直线 l 过抛物线 )02  aaxy （ 的焦点 F 且与抛物线交于 A , B 两点，则   BFAF BFAF （ ） A. 2 a B. 4 a C. a2 D. a4 12. 已知函数       0,3 0),1ln( )( 2 xxx xx xf ，若 0)2()(  xmxf ，则实数 m 的取值范围是（ ） A.  1, B.  12, C.  0,3 D. [3, 二、填空题（本大题每题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 方程   2 0 0,1x x n n    没有实根的概率为__________． 14. 已知 ,x y 满足       0 2 0 y yx yx ，则 yxz  2 的最大值为__________． 15.若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比为 ． 16.在锐角 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且满足 ( )(sin sin ) ( )sina b A B c b C    ， 第页 3 若 3a  ，则 2 2b c 的取值范围是 ． 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图,在四边形 ABCD 中, π,tan 3, 6 2, 2 2,4 4A ABD AD BC CD       . （1）求 BD 的长; （2）求证: πABC ADC    . 18.如图，在四棱锥 S ABCD 中， SD  底面 ABCD ， M 为 SD 的中点，底面 ABCD 为直角梯形， AB AD ， / /AB CD ，且 2 2 2CD AB AD   . （1）求证： / /AM 平面 SBC ； （2）若 SB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 3 3 ，求四棱锥 S ABCD 的体积. 19.某校初一年级全年级共有500 名学生，为了拓展学生的知识面，在放寒假时要求学生在假期期间进行广 泛的阅读，开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查，得到了如图所示的频率分布直方图（部分 已被损毁），统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为8.3 万字.根据阅读量分组按分层抽 样的方法从全年级 500人中抽出 20 人来作进一步调查. 第页 4 （1）在阅读量为 3 万到5 万字的同学中有 20 人的成绩优秀，在阅量为11万到13 万字的同学中有 25 人成 绩不优秀，请完成下面的 2 2 列联表，并判断在“犯错误概率不超过 0.005”的前提下，能否认为“学生 成绩优秀与阅读量有相关关系”； 阅读量为3 万到5 万人数 阅读量为11万到13万人数 合计 成绩优秀的人数 成绩不优秀的人数 合计 （2）在抽出的同学中，1）求抽到被污染部分的同学人数；2）从阅读量在3 万到5 万字及11万到13万字 的同学中选出 2 人写出阅读的心得体会.求这 2 人中恰有1人来自阅读量是11万到13万的概率. 参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    . 参考数据： 2 0( )P K k 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 第页 5 20.已知抛物线C 的方程为 2 2 ( 0)y px p  ，点 (1,2)R 在抛物线C 上. （1）求抛物线C 的方程； （2）过点 (1,1)Q 作直线交抛物线C 于不同于 R 的两点 A ，B .若直线 AR ，BR 分别交直线l ： 2 2y x  于 M ， N 两点，求线段 MN 最小时直线 AB 的方程. 21.设函数     21 2 x kf x x e x   （其中）. （1）当 1k  时，求函数  f x 的单调区间； （2）当 0k  时，讨论函数  f x 的零点个数. 第页 6 请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号. 22.[选修 4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系中，已知曲线 M 的参数方程为 1 2cos 1 2sin x y        ( 为参数 ), 以原点为极点 x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系，直线 1l 的极坐标方程为：  ，直线 2l 的极坐标方程为 = + 2   ． （Ⅰ）写出曲线 M 的极坐标方程，并指出它是何种曲线； （Ⅱ）设 1l 与曲线 M 交于 ,A C 两点， 2l 与曲线 M 交于 ,B D 两点，求四边形 ABCD 面积的取值范围． 23.[选修 4—5：不等式选讲] 已知函数 ( ) ( )f x x x R  . （Ⅰ）求不等式 ( 1) ( 1) 4f x f x    的解集 M ； （Ⅱ）若 , ,a b M 证明： 2 ( ) ( ) 4f a b f ab   第页 7 数学试题(文科)（参考答案） 一、选择题 1-5: DCCCB 6-10: CACCA 11、12：BB 二、填空题 13. 4 3 14. 4 15. 5：2 16. 5，6 三、解答题 17、解：（Ⅰ）在 ABD 中,因为  tan 3, 0, πABD ABD    ,所以 3in 10 0s 1ABD  , 根据正弦定理有: sin sin BD AD A ABD   ,代入 π6 2, 4AD A   ,可得 2 10BD  . （Ⅱ）证明:在 BCD 中,根据余弦定理 2 2 2 cos 2 BC CD BDC BC CD     , 代入 2 2, 4BC CD  , 2 10BD  得 2cos 2C   , 因为  0,πC  ,所以 3π 4C  ,所以 πA C    , 而在四边形 ABCD 中, 2πA ABC C ADC        , 所以 πABC ADC    . 18、证明：(I)设 SC 中点分别是 E ，连接 ,BE ME 则 1 2ME/ / DC ， 1 2 Q AB/ / DC ， 四边形 ABEM 为平行四边形， / /Q AM EB ， Q EB 平面 SBC ， AM  平面 SBC ， 平面. （II） 平面SD ABCDQ , 第页 8 是SB与平面ABCD所成角SD DB SBD    , 3sin 3 SDSBD SB    , 2 23SB SD  又正方形 ABED 中 BD= 2 2 直角三角形 中BD AB SDB   2 2SB SD DB  2 23 2SD SD   1SD  . 又 S 梯形 ABCD= 1 1 3( ) (1 2) 12 2 2AB DC AD     ， 四棱锥 梯形 1 1 3 113 3 2 2S ABCD ABCDv S SD       . 19、解答：(I) 阅读量在 3 万到 5 万的小矩形的面积为 0.1，阅读量在 9 万到 11 万的小矩形的面积为 0.25, 阅读量在 11 万到 13 万的小矩形的面积为 0.15. 阅读量在 3 万到 5 万的人数为 50， 9 万到 11 万的人数为 125, 11 万到 13 万的人数为 75. 则 阅读量为 3 万到 5 万人数 阅读量为 11 万到 13 万人数 合计 成绩优秀的人数 20 50 70 成绩不优秀的人数 30 25 55 合计 50 75 125 2 2 2 ( ) 125(20 25 50 30) 8.658 7.879( )( )( )( ) (20 50)(30 25)(20 30)(50 25) n ad bcK a b c d a c b d               . 能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“学生成绩优秀与阅读量有相关关系” . (II) 1）由(I)知阅读量在 5 万到 9 万的小矩形的面积为 1-（01+0.25+0.15）=0.5 则被污损部分的同学人数为 10 人， 2）按分层抽样的方法，抽得阅读量在 3 万到 5 万的人数为 2 人，阅读量在 11 万字到 13 万字的为 3 人， 设阅读量在 3 万字到 5 万字的 2 个同学为 ,a b ，阅读量为 11 万字到 13 万字的 3 个同学为 , ,A B C 则从这 8 个同学中选出 2 个同学的情况有：      , , , , ,a b a A a B a C    , , ,b A b B b C    , , ,A B A C B C ，共 10 种情况， 第页 9 2 人中恰有 1 人来自阅读量是 11 万到 13 万的有：     , , , ,a A a B a C    , , ,b A b B b C ，共 6 种情况， 3 5P  这 2 人中恰有 1 人来自阅读量是 11 万到 13 万的概率为 3 5 . 20、解答：(I)将 (1,2)R 代入抛物线中，可得 2p  ，所以抛物线方程为 2 4y x . （II）设 AB 所在直线方程为 ( 1) 1( 0)x m y m    ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 与抛物线联立 2 4 1 y x x my m       得： 2 4 4( 1) 0y my m    ，所以 1 2 1 24 , 4( 1)y y m y y m    ， 设 AR ： 1( 1) 2y k x   ， 由 1( 1) 2 2 2 y k x y x       得 1 1 2M kx k   ，而 1 1 1 2 11 1 2 2 4 1 214 y yk yx y      ， 可得 1 2 Mx y   ，同理 2 2 Nx y   ， 所以 2 1| | 5 | | 2 5 | 1|M N m mMN x x m      . 令 1 ( 0)m t t   ，则 1m t  ， 所以 21 1 3| | 5 | | 2 5 ( ) 152 4M NMN x x t       ， 此时 1m   ， AB 所在直线方程为：x+y-2=0. 21、解答：(I)函数  f x 的定义域为 ,  ，      1x x x xf x e x e kx xe kx x e k         ， 1 0k  时，令   0f x  ，解得 0x  ，所以  f x 的单调递减区间是  ,0 ， 单调递增区间是 0, ， ②当 0 1k  时，令   0f x  ，解得 lnkx  或 0x  ， 所以  f x 在  ,ln k 和 0, 上单调递增，在 ln ,0k 上单调递减， 第页 10 （II）  0 1f   ，①当 0k  时，  1 02 kf    ，又  f x 在 0, 上单调递增，所以函数  f x 在  0, 上只有一个零点，在区间  ,0 中，因为     2 21 12 2 x k kf x x e x x x      ，取 2 1x k   ， 于是 22 2 21 1 1 1 02 2 k kf k k k                         ，又  f x 在 ,0 上单调递减，故  f x 在 ,0 上也只有一个零点， 所以，函数  f x 在定义域  ,  上有两个零点； ②当 0k  时，    1 xf x x e  在单调递增区间 0, 内，只有  1 0f  ． 而在区间  ,0 内   0f x  ，即  f x 在此区间内无零点． 所以，函数  f x 在定义域  ,  上只有唯一的零点. 22.解：（Ⅰ）由 1 2cos 1 2sin x y        （β为参数）消去参数β得： 2 2( 1) ( 1) 4x y    ， 将曲线 M 的方程化成极坐标方程得： 2 2 (sin cos ) 2 0       ， ∴曲线 M 是以 (1,1) 为圆心， 2 为半径的圆． （Ⅱ）设 1 2| | ,| |OA OC   ，由 1l 与圆 M 联立方程可得 2 2 (sin cos ) 2 0       1 2 1 2+ =2(sin cos ) = 2        ， ， ∵ , ,O A C 三点共线，则 2 1 2 1 2 1 2| | | | ( ) 4 12 4sin 2AC               ①， 同理用 + 2  代替 可得 | | 12 4sin 2BD   , 2 1 2 1 1, = |AC||BD|= (144 16sin 2 )2 2ABCDl l S    四边形 2sin 2 [0,1] [4 2,6]ABCDS   四边形 ． 23.解：（Ⅰ）        1,2 11,2 1,2 11 xx x xx xx , 由 ];2,2[411  Mxx （Ⅱ）法一：要证 42  abba ，只需证 24( ) ( 4a b ab   ）， 即证 2 2 24 8 4 ( ) 8 16a ab b ab ab     （*）式 第页 11 abab 88  ，又由（Ⅰ） ,2,2  ba： 则 2 2( 4)( 4) 0a b   ，即 2 2 24 4 ( ) 16a b ab   所以（*）式显然成立，故原命题得证. 法二： baba  ，要证 42  abba 只需证 422  abba ，即证 ( 2)( 2) 0a b   由（Ⅰ） ,2,2  ba： 上式显然成立，故原命题得证.