重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）13

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13.3.2 等边三角形 第十三章 轴对称 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 1 课时 等边三角形的性质与判定 八年级数学上（RJ） 学习目标 1 ． 探索等边三角形的性质和判定．（重点） 2 ． 能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证 明．（难点） 小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为 10cm ， 10cm ， 10cm ， 6cm ， 你能帮他设计出几种形状的三角形？ 问题引入 导入新课 等腰三角形 等边三角形 一般三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是 底与腰 相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作 等边三角形 . 名称 图 形 定 义 性 质 判 定 等 腰 三 角 形 等边对等角 三线合一 等角对等边 两边相等 两腰相等 轴对称图形 A B C 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 等边三角形的性质 一 讲授新课 类比探究 A B C A B C 问题 1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？ 等腰三角形 AB=AC ∠B=∠C 等边三角形 AB=AC=BC AB=AC ∠B=∠C AC=BC ∠A=∠B ∠A=∠B=∠C 内角和为 180 ° =60 ° 结论： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于 60 ° . 已知： AB=AC=BC ， 求证：∠ A= ∠ B=∠C= 60°. 证明： ∵AB=AC. ∴∠B=∠C .( 等边对等角 ) 同理 ∠ A=∠C . ∴∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °. A B C A B C 问题 2 等边三角形有“三线合一”的性质吗 ? 等边三角形有几条对称轴？ 结论 : 等边三角形 每条边上的中线 , 高和所对角的平分线 都“三线合一” . 顶角的平分线、底边的高 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 图形 等腰三角形 　 性 质 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 三个角都相等， 对称 轴 （ 3 条） 等边三角形 对称 轴 （ 1 条） 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 且都是 60º 两条边相等 三条边都相等 知识要点 例 1 如图， △ ABC 是等边三角形， E 是 AC 上一点， D 是 BC 延长线上一点，连接 BE ， DE ，若 ∠ ABE ＝ 40° ， BE ＝ DE ，求 ∠ CED 的度数． 解： ∵△ ABC 是等边三角形， ∴∠ ABC ＝ ∠ ACB ＝ 60°. ∵∠ ABE ＝ 40° ， ∴∠ EBC ＝ ∠ ABC － ∠ ABE ＝ 60° － 40° ＝ 20°. ∵ BE ＝ DE ， ∴∠ D ＝ ∠ EBC ＝ 20° ， ∴∠ CED ＝ ∠ ACB － ∠ D ＝ 40°. 典例精析 方法总结： 等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是 60° ，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合 “ 等边对等角 ” 、三角形的内角和与外角的性质 . 变式训练： 如图， △ABC 是等边三角形， BD 平分 ∠ABC ，延长 BC 到 E ，使得 CE=CD ．求证： BD=DE ． 证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线， ∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°． 又∵CE=CD， ∴∠CDE=∠CED． 又∵∠BCD=∠CDE+∠CED， ∴∠CDE=∠CED=30°． ∴∠DBC=∠DEC． ∴DB=DE（等角对等边）． 例 2 △ ABC 为正三角形，点 M 是 BC 边上任意一点，点 N 是 CA 边上任意一点，且 BM ＝ CN ， BN 与 AM 相交于 Q 点， ∠ BQM 等于多少度？ 解： ∵△ ABC 为正三角形， ∴∠ ABC ＝ ∠ C ＝ ∠ BAC ＝ 60° ， AB ＝ BC . 又 ∵BM ＝ CN ， ∴△ AMB ≌ △ BNC (SAS) ， ∴∠ BAM ＝ ∠ CBN ， ∴∠ BQM ＝ ∠ ABQ ＋ ∠ BAM ＝ ∠ ABQ ＋ ∠ CBN ＝ ∠ ABC ＝ 60°. 方法总结： 此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等 . 类比探究 等边三角形的判定 二 图形 等腰三角形 判 定 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形 从角看： 两个角相等的三角形是等腰三角形 从边看： 两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 小明认为还有第三种方法 “ 两条边相等且有一个角是 60 ° 的三角形也是等边三角形 ” ，你同意吗？ 等边三角形的判定方法： 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 . 辩一辩： 根据条件判断下列三角形是否为等边三角形 . （ 1 ） （ 2 ） （ 6 ） （ 5 ） 不 是 是 是 是 是 （ 4 ） （ 3 ） 不一定 是 例 3 如图 , 在等边三角形 ABC 中， DE ∥ BC , 求证： △ ADE 是等边三角形 . A C B D E 典例精析 证明： ∵ △ ABC 是等边三角形， ∴ ∠ A = ∠ B = ∠ C . ∵ DE//BC , ∴ ∠ ADE = ∠ B , ∠ AED = ∠ C . ∴ ∠ A = ∠ ADE = ∠ AED. ∴ △ ADE 是等边三角形 . 想一想： 本题还有其他证法吗？ 　 证明： ∵ 　 △ ABC 是等边三角形， ∴ 　 ∠ A =∠ ABC =∠ ACB =60° ． ∵ 　 DE∥BC ， ∴ 　 ∠ ABC =∠ ADE ， ∠ ACB =∠ AED . ∴ 　 ∠ A =∠ ADE =∠ AED . ∴ 　 △ ADE 是等边三角形 . 变式 1 　若点 D 、 E 在边 AB 、 AC 的延长线上，且 DE∥BC ，结论还成立吗？ A D E B C 变式 2 　若点 D 、 E 在边 AB 、 AC 的反向延长线上， 且 DE∥BC ，结论依然成立吗？ 　 　证明： ∵ 　 △ ABC 是等边三角形， ∴ 　 ∠ BAC =∠ B =∠ C =60° ． ∵ 　 DE∥BC ， ∴ 　 ∠ B =∠ D ， ∠ C =∠ E ． ∴ 　 ∠ EAD =∠ D =∠ E ． ∴ 　 △ ADE 是等边三角形． A D E B C 变式 3 ： 上题中 , 若将条件 DE ∥ BC 改为 AD=AE , △ ADE 还是等边三角形吗 ? 试说明理由 . A C B D E 证明： ∵ △ ABC 是等边三角形， ∴ ∠ A = ∠ B = ∠ C . ∵ AD=AE , ∴ ∠ ADE = ∠ B , ∠ AED = ∠ C . ∴ ∠ A = ∠ ADE = ∠ AED. ∴ △ ADE 是等边三角形 . 例 4 等边 △ ABC 中，点 P 在 △ ABC 内，点 Q 在 △ ABC 外，且 ∠ ABP ＝ ∠ ACQ ， BP ＝ CQ ，问 △ APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论． 解： △ APQ 为等边三角形． 证明如下： ∵△ ABC 为等边三角形， ∴ AB ＝ AC . ∵BP ＝ CQ ， ∠ABP ＝ ∠ACQ ， ∴△ ABP ≌ △ ACQ (SAS) ， ∴ AP ＝ AQ ， ∠ BAP ＝ ∠ CAQ . ∵∠ BAC ＝ ∠ BAP ＋ ∠ PAC ＝ 60° ， ∴∠ PAQ ＝ ∠ CAQ ＋ ∠ PAC ＝ 60° ， ∴△ APQ 是等边三角形． 方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于 60°. 针对训练： 如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF． 求证：△DEF是等边三角形． 证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF ∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°， ∴△ADF ≌ △BED ≌ △CFE（SAS）， ∴DF=ED=EF， ∴△DEF是等边三角形． 当堂练习 2. 如图，等边三角形 ABC 的三条角平分线交于点 O ， DE∥BC ，则这个图形中的等腰三角形共有（ ） A. 4 个 B. 5 个 C. 6 个 D. 7 个 D A C B D E O 1. 等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（　　） A．105° B．120° C．135° D．150° B 3. 在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 4. 如图 , △ ABC 和 △ ADE 都是等边三角形，已知 △ ABC 的周长为 18cm, EC =2cm , 则 △ ADE 的周长是 cm. A C B D E 12 B 5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF ≌ △BEC． 证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠DAB=60°， ∵∠CAB=30°，∠ACB=90°， ∴∠EBC=180°-90°-30°=60°， ∴∠FAE=∠EBC． ∵E为AB的中点， ∴AE=BE． 又 ∵ ∠ AE F＝∠BEC， ∴△AEF ≌ △BEC（ASA）． 6. 如图， A 、 O 、 D 三点共线， △ OAB 和 △ OCD 是两个全等的等边三角形，求 ∠ AEB 的大小 . C B O D A E 解： ∵ △ OAB 和 △ OCD 是两个全等的等边三角形 . ∴ AO = BO , CO = DO , ∠AOB=∠COD=60°. ∵ A 、 O 、 D 三点共线， ∴ ∠ DOB =∠ COA =120° ， ∴ △ COA ≌ △ DOB (SAS). ∴ ∠ DBO =∠ CAO. 设 OB 与 EA 相交于点 F , ∵ ∠ EFB =∠ AFO ， ∴ ∠ AEB =∠ AOB =60°. F 7. 图 ① 、图 ② 中，点 C 为线段 AB 上一点， △ ACM 与 △ CBN 都是等边三角形． (1) 如图 ① ，线段 AN 与线段 BM 是否相等？请说明理由； (2) 如图 ② ， AN 与 MC 交于点 E ， BM 与 CN 交于点 F ，探究 △ CEF 的形状，并证明你的结论． 拓展提升： 图 ① 图 ② 解： (1) AN ＝ BM . 理由： ∵△ ACM 与 △ CBN 都是等边三角形， ∴ AC ＝ MC ， CN ＝ CB ， ∠ ACM ＝ ∠ BCN ＝ 60°. ∴∠ ACN ＝ ∠ MCB . ∴△ ACN ≌ △ MCB (SAS) ． ∴ AN ＝ BM . 图 ① (2)△ CEF 是等边三角形． 证明： ∵∠ACE ＝ ∠FCM=60 °， ∴∠ECF=60 ° . ∵△ ACN ≌ △ MCB ， ∴∠ CAE ＝ ∠ CMB . ∵AC ＝ MC ， ∴△ ACE ≌ △ MCF (ASA) ， ∴ CE ＝ CF . ∴△ CEF 是等边三角形． 图 ② 课堂小结 等边 三角形 定义 底 = 腰 特殊性 性质 特殊性 边 三边相等 角 三个角都等于 60 ° 轴对称性 轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质 判定 特殊性 三边法 三角法 等腰三角形法