江苏启东中学高考数学二轮复习之考点透析概率与统计

江苏启东中学高考数学二轮复习之考点透析概率与统计

江苏启东中学高考数学二轮复习之考点透析17：概率与统计 ‎【考点聚焦】‎ 考点1：概率的基本概念，古典概率，几何概率；‎ 考点2：用列举法计算事件的个数； ‎ 考点3：三种抽样、统计图表、样本的数据特征分析。‎ ‎【考点小测】‎ ‎1．(重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，‎ 抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体 重(kg) ,得到频率分布直方图如下： 根据上图可得这 ‎100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生 人数是(A)20 (B)30 (C)40 （D）50‎ ‎2．(重庆卷)某地区有300家商店， 其中大型商店有 ‎30家 ，中型商店有75家，小型商店有195家。为了 掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是 ‎（A）2 （B）3 （C）5 （D）13‎ ‎3．某次考试，班长算出了全班40人数学成绩的平均分M，如果把M当成一个同学的成绩与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M：N为：（ ）‎ A．40：41 B．41：‎40 C．2 D．1‎ ‎4. 某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下:‎ 行业名称 计算机 机械 营销 建筑 化工 应聘人数 ‎215830‎ ‎200250‎ ‎154676‎ ‎74570‎ ‎65280‎ 行业名称 计算机 机械 营销 建筑 化工 招聘人数 ‎124620‎ ‎102935‎ ‎89115‎ ‎76516‎ ‎70436‎ 若用同一行业应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形式一定是 A.计算机行业好于化工行业 B.建筑行业好于营销行业 C.机械行业最紧张 D.营销行业比化工紧张 ‎5. 某公司在甲、乙片区分别有若干个销售点。公司为了调查产品销售情况，用按5%比例分层抽样的方法抽取了甲片区15个销售点，乙片区45个销售点进行调查，则该公司在甲、乙片区的销售点数分别为 A．75，225 B．150，‎450 ‎ ‎ C．300，900 D．600，600‎ ‎6．如果数据x1、x2、…、xn 的平均值为，方差为S2 ，则3x1+5、3x2+5、…、3xn+5 的平均值和方差分别为（ ）‎ ‎(A)和S2 (B) 3+5和9S2 ‎ ‎(C) 3+5和S2 (D)3+5和9S2+30S+25‎ ‎7、如图，一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落 在阴影区域的概率为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎8．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先 将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右 盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）‎ A．大于 B．小于 ‎ C．大于等于D．小于等于 ‎9．两位同学去某大学参加自主招生考试，根据右图学校负责人与他们两人的对话，可推断出参加考试的人数为 ( ) ‎ ‎ A. 19 B. ‎20 C. 21 D.22‎ ‎10．（全国II）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．‎ ‎11.（山东卷）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所 有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，‎ 那么该学校的教师人数是　　　　　.‎ ‎12．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3‎ 个球至少有一个红球的概率是____________。‎ ‎13． 某工厂生产某种产品4800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为了检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数的比值为５∶4∶3，则乙生产线生产了　　　 件产品。 ‎ ‎14．某校为了了解高三年级学生的身体状况，现用分层抽样的方法，从全段600名学生中抽取60名进行体检，如果在抽取的学生中有男生36名，则在高三年级中共有女生 ▲ 名。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 C C D B C B D A B ‎25‎ ‎15.‎ ‎0.8‎ ‎1600‎ ‎240‎ ‎【典型考例】‎ ‎1．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率： (1) 标签的选取是无放回的； (2) 标签的选取是有放回的．‎ ‎15解： (1) 无放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}总数为2×10个 ……3分 ‎ 两张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}总数为2×4个……2分 ‎∴P=； ……6分 ‎(2) 有放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}和（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5）总数为2×10+5=25个 P= ……12分 ‎2．（本小题满分12分）将、两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：（1）共有多少种不同的结果？（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？（3）两数之和是3的倍数的概率是多少？‎ 解：（1）共有种结果； （2）共有12种结果； （3）． ‎ ‎3、将A、B枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：（1）共有多少种不同的结果？（5分）‎ ‎（2）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？（5分）（3）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率为多少？（4分）‎ 解: ① 共有种结果　　　　　　　　　………………5分　‎ ‎② 若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3），（4,5），（5,4），（3,6），（6,3），（6,6）共12种 ………………10分 ‎③两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是：P＝ 　　…………14分 ‎4．某高校在进行自主招生面试时，共设3道试题，每道试题回答正确给10分、否则都不给分。‎ ‎（Ⅰ）某学生参加面试得分为20分的情况有几种？‎ ‎（Ⅱ）若某学生对各道试题回答正确的概率均为，求他至少得10分的概率。‎ 解：（Ⅰ）某学生参加面试得分为20的不同情况有种 ‎（Ⅱ）设该学生的得分为ξ，则ξ＝0，10，20，30 ‎ ‎ 所以他至少得10分的概率为 ‎ ‎5． 同时掷两颗质地均匀的骰子(六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体)，‎ ‎ 两颗骰子向上的点数之和记为.（Ⅰ）求的概率; （Ⅱ）求的概率.‎ 解: (Ⅰ) 掷两颗质地均匀的骰子，两颗骰子向上的点数之和的所有结果如下表所示:‎ ‎1点 ‎2点 ‎3点 ‎4点 ‎5点 ‎6点 ‎1点 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎2点 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎3点 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎4点 ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎5点 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎6点 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎ 显然，的取值有11种可能，它们是2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12. …… 3分 ‎ 点数和为5出现4次,. 答：的概率是.…… 5分 ‎ (Ⅱ) 点数和为2出现1次, 点数和为3出现2次, 点数和为4出现3次,‎ ‎. ‎ 答：的概率是. …… 8分 ‎6、甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题。① 甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？(6分)②‎ ‎ 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？(6分)‎ 解：（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A， ‎ ‎　甲抽到选择题有6种抽法，乙抽到判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为　 ‎ ‎　　　　∴ ‎ ‎　 （2）记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B，“至少一人抽到选择题”为事件C，则B含基本事件数为 　　　　　 由古典概率公式得 ‎　　　　 　由对立事件的性质可得　 ‎ ‎7．箱中装有15张大小、重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到15中的一个号码，正面号码为的卡片反面标的数字是．（卡片正反面用颜色区分）（1）如果任意取出一张卡片，试求正面数字大于反面数字的概率；（2）如果同时取出两张卡片，试求他们反面数字相同的概率．‎ 解：（1）由不等式，得 由题意知，即共有2张卡片正面数字大于反面数字，故所求的概率为．答：所求的概率为． ‎ ‎（2）设取出的是第号卡片和号卡片（），则有 ‎ 即，由得 故符合条件的取法为1，11；2，10；3，9；4，8；5，7．‎ 故所求的概率为． 答：故所求的概率为．）‎ ‎8．（江西卷）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率．‎ 解:（1）‎ ‎（2）方法一：‎ 方法二：‎ 方法三：‎ ‎9．(重庆卷)甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为、、。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求：‎ ‎（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；‎ 解：（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式，‎ ‎ 所求概率为：‎ ‎ （Ⅱ）这是n=3，p= 的独立重复试验，故所求概率为 ：‎ ‎10．为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下表：‎ 预防措施 甲 乙 丙 丁 P ‎0.9‎ ‎0.8‎ ‎0.7‎ ‎0.6‎ 费用（万元）‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎10‎ 预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.（15班）‎ 解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9.‎ 方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，由表可知.联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为：1—(1—0.9)(1—0.7)=0.97.‎ 方法3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为：1—（1—0.8）(1—0.7)(1—0.6)=1—0.024=0.976.‎ 综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大.‎ ‎11．甲、乙两人玩投篮球游戏，他们每次投进的概率都是0.5，现甲投3次，记下投进的次数为m；乙投2次，记下投进的次数为n. （1）分别计算甲、乙投进不同次数的概率；‎20070122‎ （2）现在规定：若m>n，则甲获胜；若n≥m，则乙获胜。你认为这样规定甲、乙获胜的机会相等吗？请说明理由.（15班）‎ ‎ 解：（1）‎ m ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ P(m)‎ n ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ P(n)‎ ‎ ………………6分 ‎ （2）这样规定甲、乙获胜的机会相等，这是因为甲获胜，则m>n，即：‎ ‎ 当m=3时，n=2，1，0其概率为；‎ ‎ 当m=2时，n=1，0，其概率为；‎ ‎ 当m=1时，n=0，其概率为；‎ ‎ ∴甲获胜的概率为 从而乙获胜的概率也为.‎ ‎ 甲和乙获胜的概率都是，所以甲、乙获胜的机会相等.……………………13分 ‎12.某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的。（1）若上午某一时段A、B、C三位教师需要使用电脑的概率分别是、、，求这一时段A、B、C三位教师中恰有2位教师使用电脑的概率；（2）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是，求这一时段该办公室电脑数无法满足需求的概率。(15班)‎ 解：（1）甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为A、B、C，因为各位教师是否使用电脑是相互独立的，所以甲、乙、丙三位教师中恰有2位使用电脑的概率是：‎ ‎ ……6分 ‎（2）电脑数无法满足需求，即指有4位以上（包括4位）教师同时需要使用电脑，记有4位教师同时需要使用电脑的事件为M，有5位教师同时需要使用电脑的事件为N，‎ P（M）=……………………………………10分 所以，所求的概率是：P=P（M）+P（N）= 。 …………12分 ‎13（本题满分14分）车间检验60只热水瓶，其中48只是一等品，其余是二等品，从中任意取出2只，求：‎ ‎(1)拿出2只都是二等品的概率；(2)拿出的2只，一只是一等品，一只是二等品的概率；(3)拿出的2只，不全是二等品的概率。‎ 解：（1）（2）（3）P（不全是二等品）=1－P（全是二等品）=‎ ‎14（辽宁卷）甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；（2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率．(15班)‎ 解：（Ⅰ）甲班参赛同学恰有1名同学成绩及格的概率为0.48‎ 乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为0.48‎ 故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩几个的概率为 ‎（Ⅱ）解法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为 故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为 ‎15（全国卷I）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率。‎ 解: (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,‎ Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2, ‎ 依题意有: P(A1)=2×× = , P(A2)= × = . P(B0)= × = , ‎ P(B1)=2× × = , 所求概率为: P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)= × + × + × = ‎ ‎(Ⅱ)所求概率为: P=1－(1－)3= ‎16（山东卷）盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；(Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念；(Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.(15)‎ 解：（I）“抽出的3张卡片上最大的数字是‎4”‎的事件记为A，由题意 ‎（II）“抽出的3张中有2张卡片上的数字是‎3”‎的事件记为B，则 ‎ ‎（III）“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D，由题意，C与D是对立事件，因为 所以 .‎ ‎17.(陕西卷)甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , .现3人各投篮1次,求:‎ ‎(Ⅰ)3人都投进的概率;(Ⅱ)3人中恰有2人投进的概率.‎ 解: (Ⅰ)记"甲投进"为事件A1 ， "乙投进"为事件A2 ， "丙投进"为事件A3，‎ 则 P(A1)= ， P(A2)= ， P(A3)= ，∴ P(A‎1A2A3)=P(A1) ·P(A2) ·P(A3) = × ×= ‎ ∴3人都投进的概率为 ‎(Ⅱ) 设“3人中恰有2人投进"为事件B,P(B)=P(A‎2A3)+P(A‎1A3)+P(A‎1A2)‎ ‎ =P()·P(A2)·P(A3)+P(A1)·P()·P(A3)+P(A1)·P(A2)·P() =(1－)× × + ×(1－)× + × ×(1－) = ‎ ∴3人中恰有2人投进的概率为 ‎18（四川卷）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为；在实验考核中合格的概率分别为，所有考核是否合格相互之间没有影响 ‎（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；‎ ‎（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）‎ 解：记“甲理论考核合格”为事件；“乙理论考核合格”为事件；“丙理论考核合格”为事件；记为的对立事件，；记“甲实验考核合格”为事件；“乙实验考核合格”为事件；“丙实验考核合格”为事件；‎ ‎（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件，记为的对立事件 解法1：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为 ‎（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件 ‎ 所以，这三人该课程考核都合格的概率为 ‎19.（天津卷）甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95．（Ⅰ）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）；‎ ‎（Ⅱ）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）．‎ 本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等基础知识，及分析和解决实际问题的能力。 ‎ 解：（I）任取甲机床的3件产品恰有2件正品的概率为：‎ ‎ （II）解法一：记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A，“任取乙机床的1件产品是正品”为事件B。则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为 ‎ ‎ ‎ 解法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为：‎