河南省南阳市六校2019-2020学年高二下学期第一次联考数学（理）试题 Word版含解析

河南省南阳市六校2019-2020学年高二下学期第一次联考数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年春期六校第一次联考 高二年级数学试题（理科）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若函数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的定义可直接化简求得结果.‎ ‎【详解】.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查根据导数的定义求值的问题，属于基础题.‎ ‎2.观察图形规律，在图中右下角空格内应填入的图形为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：观察图形不难发现每行有两个阴影图形，三个图形有长方形、圆、三角形 详解：其规律是每行有方块，三角形，圆形各一个，且有两块是有阴影部分，照此规律，第三行第三格应填方块，由于前两格只有一格有阴影部分，故第三格应是阴影部分的方块 故选 点睛：本题属于规律题，只要观察图形做出判断不难发现规律．‎ ‎3.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 18 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导后代入可求得，进而得到；代入即可求得结果.‎ ‎【详解】由题意得：，，解得：，‎ ‎，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查导数值的求解问题，关键是能够明确为常数，其导数为零.‎ ‎4.用反证法证明“至少存在一个实数，使成立”时，假设正确的是（ ）‎ A. 至少存在两个实数，使成立 B. 至多存在一个实数，使成立 C. 不存在实数，使成立 D. 任意实数，恒成立 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反证法的原理可直接判断得到结果.‎ ‎【详解】根据反证法的原理知：假设是对“至少存在一个实数”的否定，‎ 即“不存在实数，使成立”.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查反证法原理的应用，属于基础题.‎ ‎5.下列使用类比推理正确的是（ ）‎ A. “平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”‎ B. “若，则”类比推出“若，则”‎ C. “实数，，满足运算”类比推出“平面向量满足运算”‎ - 18 -‎ D. “正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据类比结果进行判断选择.‎ ‎【详解】因为空间中平行于同一平面的两直线位置关系不定，所以A错；‎ 因为“若，则”，所以B错；‎ 因为，所以C错；‎ 因为正方体的内切球切于各面的中心，所以正确.选D.‎ ‎【点睛】本题考查线面位置关系判断、向量运算律以及正方体性质，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎6.函数的单调递增区间是（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导后，令求得的范围即为所求单调递增区间.‎ ‎【详解】由题意得：.‎ 令得：，的单调递增区间为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间的问题，关键是明确导函数与原函数单调性之间的关系.‎ ‎7.已知函数在上不单调，则m的取值范围是（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】A - 18 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，函数不单调，解得答案.‎ ‎【详解】.‎ 因为在上不单调，所以，故.‎ 故答案为A ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，意在考查学生的计算能力.‎ ‎8.有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖.”乙说：“是丙或丁获奖.”丙说：“乙、丁都未获奖.”丁说：“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四位大学生的话只有两人说的是对的，假设其中一人说的对，如果和条件不符合，就说明假设的不对，如果和条件相符，则按假设的方法解决问题.‎ ‎【详解】若甲说的对，则乙、丙两人说的也对，这与只有两人说的对不符，故甲说的不对；‎ 若甲说的不对，乙说的对，则丁说的也对，丙说的不对，符合条件，故获奖的是丁；‎ 若若甲说不对，乙说的不对，则丁说的也不对，故本题选D.‎ ‎【点睛】本题考查了推理的应用，假设法是经常用的方法.‎ ‎9.设曲线在处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 18 -‎ 根据导数的几何意义可求得在处的切线方程，进而得到，代入所求式子，根据对数运算法则可求得结果.‎ ‎【详解】，在处的切线斜率，切线方程为：，‎ 令，解得：.‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查导数几何意义的应用，关键是能够利用导数的几何意义准确求得在某点处的切线方程.‎ ‎10.观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第个图案中正六边形的个数是.‎ 由，，，…，可推出（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；…‎ 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数．‎ ‎【详解】由图可知，，‎ ‎ ‎ - 18 -‎ ‎…‎ ‎ ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当时，‎ ‎11.设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性的定义可判断出函数为偶函数；利用导数可求得在上单调递增，由奇偶性知在上单调递减，由此可将原不等式化为，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】当时，，，为偶函数.‎ 当时，，在上单调递增；‎ 又为偶函数，在上单调递减，‎ 由得：，即，‎ 解得：，即的取值范围为.‎ 故选：.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够利用奇偶性的定义求得函数奇偶性、利用导数求得函数的单调性，进而将函数值的大小关系变为自变量的大小关系.‎ ‎12.对任意的实数，关于的方程都有两个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程变形为，采用换元法将问题变为与有两个不同的交点的问题；结合导数可得到的图象，利用数形结合的方式可求得结果.‎ ‎【详解】由得：，.‎ 令，则，‎ 原方程有两个不同的实根，等价于与有两个不同的交点.‎ ‎，‎ 当时，；当时，，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，‎ 又当时，；当时，，由此可得图象如下图所示：‎ 当时，与有两个不同的交点，‎ - 18 -‎ 即当时，方程有两个不同的实根.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，关键是能够通过变形和换元，将问题转化为两函数图象交点个数问题的求解，进而通过数形结合的方式求得结果.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.函数的图象在点处的切线方程是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出在1处的导数，再求出在1处的函数值，然后用点斜式求出方程即可.‎ ‎【详解】，∴且，切线方程是，即．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数在点处的切线方程，属于基础题.‎ ‎14.若函数的最小值为，则________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数可求得函数的单调性，进而确定，由此构造方程求得结果.‎ ‎【详解】.‎ 当时，；当时，，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，解得：.‎ 故答案为：.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的最值求解参数值的问题，关键是能够利用导数准确求解出函数的单调性，进而确定最值点.‎ ‎15.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先换元令，平方可得方程，解方程即可得到结果.‎ ‎【详解】令，则两边平方得，得 即，解得：或（舍去）‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.‎ ‎16.设函数是偶函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数可求得时单调递增，结合可确定当时，即，利用偶函数的性质可确定当时，‎ - 18 -‎ ‎，由此可得最终结果.‎ ‎【详解】令，.‎ 当时，，当时，，‎ 在上单调递增.‎ 是偶函数且，，，‎ 当时，，则当时，，‎ 又为偶函数，当时，.‎ 综上所述：当时，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的单调性求解函数不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式，利用导数得到所构造函数的单调性，结合函数奇偶性求得原不等式的解集.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数，.‎ ‎（1）当时，求的极值；‎ ‎（2）若有三个单调区间，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由a＝1得到f（x）的解析式，求出导函数等于0时x的值，讨论函数的单调性，可得到函数的极值；‎ ‎（2）由题意转化为f′（x）＝0有两个不相等的实数根，利用可求得结论．‎ ‎【详解】（1）当时，则，‎ 即.‎ 当时，则或-1.‎ - 18 -‎ 当时，；此时在递减，‎ 当时，. 此时在递增，‎ 故，.‎ ‎（2）若函数有三个单调区间，则有两个不等实根.‎ 即，解得.‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调区间和极值问题，考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．‎ ‎18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．‎ ‎（1）若，证明：；‎ ‎（2）若，证明：．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理边转角，即可得到本题答案；‎ ‎（2）用反证法证明，假设，得到，与已知矛盾，故假设错误，结论正确.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 则，‎ 由正弦定理得；‎ ‎（2）假设，则，，‎ 那么，，‎ 于是，即，‎ 与已知矛盾，故假设错误，‎ 所以当时，．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及利用反证法证明结论.‎ - 18 -‎ ‎19.已知若椭圆：（）交轴于，两点，点是椭圆上异于，的任意一点，直线，分别交轴于点，，则为定值.‎ ‎（1）若将双曲线与椭圆类比，试写出类比得到的命题；‎ ‎（2）判定（1）类比得到命题的真假，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）命题为真命题，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据类比推理的基本原则可直接写出结果；‎ ‎（2）设，，，表示出直线方程后可求得点坐标，由此得到，同理得到，根据平面向量的数量积运算可构造方程，结合点在双曲线上可化简得到结果.‎ ‎【详解】（1）类比得命题：若双曲线：交轴于两点，点是双曲线上异于的任意一点，直线分别交轴于点，则为定值.‎ ‎（2）在（1）中类比得到的命题为真命题，证明如下：‎ 不妨设，，，则，‎ ‎∴直线方程为.‎ 令，则，∴点坐标为.‎ 又，∴.‎ 同法可求得：.‎ - 18 -‎ ‎∴.‎ 又∵，∴.‎ ‎【点睛】本题考查类比推理的应用、双曲线中定值问题的证明；关键是能够熟练应用直线与双曲线的相关知识，表示出所需的平面向量，根据平面向量数量积的坐标运算可化简得到结果.‎ ‎20.已知函数，数列对于，总有，.‎ ‎（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的猜想.‎ ‎【答案】（1），，，；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数解析式可得递推关系式，依次代入可求得，由数字变化规律可猜想得到通项公式；‎ ‎（2）当时，可知结论成立；假设当时结论成立，则当时，由递推关系式和假设的结论整理可知结论成立，由此可知猜想成立.‎ ‎【详解】（1）由得：，‎ ‎，所以，，，‎ 由此可猜想：.‎ ‎（2）用数学归纳法证明如下：‎ ‎①当时，，猜想成立；‎ ‎②假设当时猜想成立，即，‎ - 18 -‎ 则当时，，‎ 所以当时猜想也成立.‎ 由①②知，对，都成立.‎ ‎【点睛】本题考查根据递推关系式求解数列中的项、猜想通项公式、利用数学归纳法证明数列中的结论问题；证明数学归纳法时需注意一定要用到所作的假设.‎ ‎21.设函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别在和两种情况下，根据的正负可确定的单调性；‎ ‎（2）根据（1）的结论可确定不合题意；当时，根据指数函数值域可知满足题意；当时，令，由此构造不等式求得结果.‎ ‎【详解】（1）由题意得：，‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，令得：.‎ 当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增.‎ - 18 -‎ 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）由（1）可知：当时，在上单调递增，‎ 当时，，，此时，不合题意；‎ 当时，恒成立，满足题意.‎ 当时，在处取最小值，且，‎ 令，解得：，此时恒成立.‎ 综上所述：的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论，将问题转化为函数最小值大于零的问题，由此构造不等式求得结果.‎ ‎22.设函数，.‎ ‎（1）证明：.‎ ‎（2）若恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）证明：当时，.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令函数，证明其最小值大于等于0即可（2）原题转化为恒成立，令，求导求其最小值即可；（3）由（1），令，得 - 18 -‎ ‎，裂项相消求和得即可 ‎【详解】（1）证明：令函数，，‎ ‎，‎ 所以为单调递增函数，，‎ 故 ‎（2），即为，‎ 令，即恒成立，‎ ‎，‎ 令，即，得.‎ 当，即时，在上单调递增，‎ ‎，‎ 所以当时，在上恒成立；‎ 当，即时，在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以，‎ 所以不恒成立.‎ 综上所述：的取值范围为.‎ ‎（3）证明：由（1）知，‎ 令，，，‎ ‎，即，‎ 故有，‎ ‎，‎ ‎…‎ - 18 -‎ ‎，‎ 上述各式相加可得.‎ 因为，‎ ‎，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查导数与函数的最值，利用导数求解恒成立问题，利用导数证明不等式，分类讨论思想，分析求解能力，第三问关键是利用（1）令,裂项求和，是中档题 - 18 -‎ - 18 -‎