四川省遂宁市高考数学零诊试卷文科

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四川省遂宁市高考数学零诊试卷文科

‎2017年四川省遂宁市高考数学零诊试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)已知集合A={﹣1,0,1},B={y|y=|x|},则A∩B=(  )‎ A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{﹣1,0,1}‎ ‎2.(5分)已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于点P(,y),则sin(+α)=(  )‎ A.1 B. C.﹣ D.﹣‎ ‎3.(5分)设函数,则的定义域为(  )‎ A. B.[2,4] C.[1,+∞) D.[,2]‎ ‎4.(5分)设a∈R,则“a>1”是“a2>1”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 ‎5.(5分)在等差数列{an}中,a1=﹣6,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=6时,Sn取得最小值,则d的取值范围为(  )‎ A. B.(0,+∞) C.(﹣∞,0) D.‎ ‎6.(5分)已知变量x,y满足约束条件(k∈Z),且z=2x+y的最大值为6,则k的值为(  )‎ A.﹣3 B.3 C.﹣1 D.1‎ ‎7.(5分)根据如图的程序框图,当输入x为2017时,输出的y=(  )‎ A.28 B.10 C.4 D.2‎ ‎8.(5分)已知平面向量是非零向量,,,则向量在向量方向上的投影为(  )‎ A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2‎ ‎9.(5分)已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若,则的值是(  )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎10.(5分)已知存在实数a,使得关于x的不等式恒成立,则a的最大值为(  )‎ A.0 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣3‎ ‎11.(5分)已知正数a,b,c满足4a﹣2b+25c=0,则lga+lgc﹣2lgb的最大值为(  )‎ A.﹣2 B.2 C.﹣1 D.1‎ ‎12.(5分)函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,∀x∈(0,+∞),f[f(x)﹣lnx]=e+1,函数h(x)=xf(x)﹣ex的最小值为(  )‎ A.﹣1 B. C.0 D.e ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.(5分)若z=1﹣i,则=  .‎ ‎14.(5分)某楼盘按国家去库存的要求,据市场调查预测,降价销售.今年110平方米套房的销售将以每月10%的增长率增长;90平方米套房的销售将每月递增10套.已知该地区今年1月份销售110平方米套房和90平方米套房均为20套,据此推测该地区今年这两种套房的销售总量约为  套(参考数据:1.111≈2.9,1.112≈3.1,1.113≈3.5)‎ ‎15.(5分)已知点A(7,1),B(1,a),若直线y=x与线段AB交于点C,且,则实数a=  .‎ ‎16.(5分)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),当x=﹣时函数f(x)能取得最小值,当x=时函数y=f(x)能取得最大值,且f(x)在区间(,)上单调.则当ω取最大值时φ的值为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)已知a∈R,命题p:∀x∈[﹣2,﹣1],x2﹣a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax﹣(a﹣2)=0.‎ ‎(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.‎ ‎18.(12分)已知△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,有b2+c2=a2+bc ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)求的最大值.‎ ‎19.(12分)已知等差数列{an},a3=4,a2+a6=10.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求的前n项和Tn.‎ ‎20.(12分)如图,在直角三角形ABC中,∠B=90°,,点M,N分别在边AB和AC上(M点和B点不重合),将△AMN沿MN翻折,△AMN变为△‎ A'MN,使顶点A'落在边BC上(A'点和B点不重合).设∠ANM=θ ‎(1)用θ表示线段AM的长度,并写出θ的取值范围;‎ ‎(2)求线段A'N长度的最小值.‎ ‎21.(12分)已知a,b是实数,1和﹣1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.‎ ‎(1)求a和b的值;‎ ‎(2)设函数g(x)的导函数g'(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点;‎ ‎(3)若,当x1,x2∈(0,+∞)时,不等式恒成立,求c的取值范围.‎ ‎ ‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.(10分)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:,直线l:.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程;‎ ‎(2)设直线l与曲线C的两个交点分别为A、B,求|AB|的值.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知函数f(x)=|x+2|+|x﹣4|.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小值;‎ ‎(2)若{x|f(x)≤t2﹣t}∩{x|﹣3≤x≤5}≠∅.求实数t的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2017年四川省遂宁市高考数学零诊试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)(2017•遂宁模拟)已知集合A={﹣1,0,1},B={y|y=|x|},则A∩B=(  )‎ A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{﹣1,0,1}‎ ‎【解答】解:∵集合A={﹣1,0,1},B={y|y=|x|}={0,1},‎ ‎∴A∩B={0,1}.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2017•遂宁模拟)已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于点P(,y),则sin(+α)=(  )‎ A.1 B. C.﹣ D.﹣‎ ‎【解答】解:∵点P(,y)在单位圆上,‎ ‎∴y=±‎ ‎∴α=+2kπ或﹣+2kπ,k∈Z.‎ sin(+α)=cosα=cos(+2kπ)=.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2017•遂宁模拟)设函数,则的定义域为(  )‎ A. B.[2,4] C.[1,+∞) D.[,2]‎ ‎【解答】解:∵函数的定义域为:[1,+∞).‎ ‎∴,‎ 解得2≤x≤4.‎ ‎∴的定义域为:[2,4].‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2016•上海)设a∈R,则“a>1”是“a2>1”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 ‎【解答】解:由a2>1得a>1或a<﹣1,‎ 即“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2017•遂宁模拟)在等差数列{an}中,a1=﹣6,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=6时,Sn取得最小值,则d的取值范围为(  )‎ A. B.(0,+∞) C.(﹣∞,0) D.‎ ‎【解答】解:∵在等差数列{an}中,a1=﹣6,公差为d,前n项和为Sn,‎ ‎∴Sn=﹣6n+=(n﹣)2+‎ ‎∵当且仅当n=6时,Sn取得最小值,‎ ‎∴,‎ 解得1<d<‎ ‎∴d的取值范围为(1,).‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2017•遂宁模拟)已知变量x,y满足约束条件(k∈Z),且z=2x+y的最大值为6,则k的值为(  )‎ A.﹣3 B.3 C.﹣1 D.1‎ ‎【解答】解:作出的可行域,‎ 由,得A(3,0),‎ 将约束条件中:x+3y=﹣k经过A时,目标函数的最大值是6,可得k=﹣3.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2017•遂宁模拟)根据如图的程序框图,当输入x为2017时,输出的y=(  )‎ A.28 B.10 C.4 D.2‎ ‎【解答】解:当输入的x为2017时,‎ 第1次执行循环体后,x=2015,满足x≥0;‎ 第2次执行循环体后,x=2013,满足x≥0;‎ 第3次执行循环体后,x=2011,满足x≥0;‎ ‎…‎ 第1008次执行循环体后,x=1,满足x≥0;‎ 第1009次执行循环体后,x=﹣1,不满足x≥0;‎ 故y=31+1=4,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2017•遂宁模拟)已知平面向量是非零向量,,,则向量在向量方向上的投影为(  )‎ A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2‎ ‎【解答】解:∵平面向量是非零向量,,,‎ ‎∴•()=0,‎ 即+2=0,‎ 即=﹣2,‎ ‎∴向量在向量方向上的投影为==﹣1,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2017•遂宁模拟)已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若,则的值是(  )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎【解答】解:在等差数列{bn}中,由b1+b6+b11=7π,得3b6=7π,,‎ ‎∴,‎ 在等比数列{an}中,由,得,,‎ ‎∴,‎ 则=tan=tan=.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2017•遂宁模拟)已知存在实数a,使得关于x的不等式恒成立,则a的最大值为(  )‎ A.0 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣3‎ ‎【解答】解:关于x的不等式恒成立,‎ 则a≤﹣,‎ 设f(x)=﹣,‎ 则,‎ 解得0≤x≤,‎ ‎∴f(x)在[0,]上单调递增,‎ ‎∴f(x)min=f(0)=﹣3,‎ ‎∴a≤﹣3,‎ 故a的最大值为﹣3,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2017•遂宁模拟)已知正数a,b,c满足4a﹣2b+25c=0,则lga+lgc﹣2lgb的最大值为(  )‎ A.﹣2 B.2 C.﹣1 D.1‎ ‎【解答】解:由题意:4a﹣2b+25c=0,变形为:4a+25c=2b,‎ ‎∵4a+25c≥2,当且仅当4a=25c时,取等号.‎ ‎∴2b≥2;即b2≥100ac 那么:lga+lgc﹣2lgb=lg≤lg=lg10﹣2=﹣2‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2017•遂宁模拟)函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,∀x∈(0,+∞),f[f(x)﹣lnx]=e+1,函数h(x)=xf(x)﹣ex的最小值为(  )‎ A.﹣1 B. C.0 D.e ‎【解答】解:根据题意,对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)﹣lnx]=e+1,‎ 又由f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,‎ ‎∴f(x)﹣lnx为定值,‎ 设t=f(x)﹣lnx,‎ ‎∴f(x)=lnx+t,‎ 又由f(t)=e+1,‎ 即lnt+t=e+1,‎ 解得:t=e,‎ ‎∴f(x)=lnx+e,‎ ‎∴h(x)=xf(x)﹣ex=xlnx,‎ ‎∴h′(x)=1+lnx,‎ 令h′(x)=0,解得x=,‎ 当h′(x)>0时,即x>,函数h(x)单调递增,‎ h′(x)>0时,即0<x<,函数h(x)单调递减,‎ ‎∴h(x)min=h()=﹣,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.(5分)(2017•遂宁模拟)若z=1﹣i,则= 1+i .‎ ‎【解答】解:由z=1﹣i,‎ 得==.‎ 故答案为:1+i.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2017•遂宁模拟)某楼盘按国家去库存的要求,据市场调查预测,降价销售.今年110平方米套房的销售将以每月10%的增长率增长;90平方米套房的销售将每月递增10套.已知该地区今年1月份销售110平方米套房和90平方米套房均为20套,据此推测该地区今年这两种套房的销售总量约为 1320 套(参考数据:1.111≈2.9,1.112≈3.1,1.113≈3.5)‎ ‎【解答】解:由题意可得,今年110平方米套房的销售量构成以20为首项,以1.1为公比的等比数列,‎ 则今年年110平方米套房的销售量为≈420;‎ ‎90平方米套房的销售量构成以20为首项,以10为公差的等差数列,‎ 则90平方米套房的销售量为=900.‎ ‎∴这两种套房的销售总量约为:420+900=1320.‎ 故答案为:1320.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2017•遂宁模拟)已知点A(7,1),B(1,a),若直线y=x与线段AB交于点C,且,则实数a= 4 .‎ ‎【解答】解:根据题意,设C(x,x),‎ 由A(7,1),B(1,a),得 ‎=(x﹣7,x﹣1),‎ ‎=(1﹣x,a﹣x),‎ 又=2,‎ ‎∴(x﹣7,x﹣1)=2(1﹣x,a﹣x),‎ ‎∴,‎ 解得x=3,a=4;‎ ‎∴实数a的值为4.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)(2017•遂宁模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),当x=﹣时函数f(x)能取得最小值,当x=时函数y=f(x)能取得最大值,且f(x)在区间(,)上单调.则当ω取最大值时φ的值为 ﹣ .‎ ‎【解答】解:当x=﹣时f(x)能取得最小值,x=时f(x)能取得最大值,‎ ‎∴(n+)•T=﹣(﹣),‎ 即T=,(n∈N)‎ 解得ω=4n+2,(n∈N)‎ 即ω为正偶数;‎ ‎∵f(x)在(,)上单调,‎ ‎∴﹣=≤,‎ 即T=≥,‎ 解得ω≤12;‎ 当ω=12时,f(x)=cos(12x+φ),‎ 且x=﹣,12×(﹣)+φ=﹣π+2kπ,k∈Z,‎ 由|φ|≤,得φ=0,‎ 此时f(x)=cos12x在(,)不单调,不满足题意;‎ 当ω=10时,f(x)=cos(10x+φ),‎ 且x=﹣,10×(﹣)+φ=﹣π+2kπ,k∈Z,‎ 由|φ|≤,得φ=﹣,‎ 此时f(x)=cos(10x﹣)在(,)单调,满足题意;‎ 故ω的最大值为10,此时φ的值为﹣.‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)(2017•遂宁模拟)已知a∈R,命题p:∀x∈[﹣2,﹣1],x2﹣a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax﹣(a﹣2)=0.‎ ‎(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.‎ ‎【解答】(本小题满分12分)‎ 解:(1)因为命题p:∀x∈[﹣2,﹣1],x2﹣a≥0.‎ 令f(x)=x2﹣a,‎ 根据题意,只要x∈[﹣2,﹣1]时,f(x)min≥0即可,‎ 也就是1﹣a≥0,即a≤1;…(4分)‎ ‎(2)由(1)可知,当命题p为真命题时,a≤1,‎ 命题q为真命题时,△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,解得a≤﹣2或a≥1 …(6分)‎ 因为命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,所以命题p与q一真一假,‎ ‎…(7分)‎ 当命题p为真,命题q为假时,﹣2<a<1,…(9分)‎ 当命题p为假,命题q为真时,a>1.…(11分)‎ 综上:a>1或﹣2<a<1.…(12分)‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2017•遂宁模拟)已知△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,有b2+c2=a2+bc ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)求的最大值.‎ ‎【解答】(本小题满分12分)‎ 解析:(1)∵b2+c2=a2+bc,‎ ‎∴cosA==,‎ 又∵A∈(0,π),‎ ‎∴A=; …(6分)‎ ‎(2)f(x)=sin(x﹣)+cosx ‎=sinx﹣cosx+cosx ‎=sinx+cosx ‎=sin(x+),…(10分)‎ ‎∴f(x)max=1. …(12分)‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2017•遂宁模拟)已知等差数列{an},a3=4,a2+a6=10.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求的前n项和Tn.‎ ‎【解答】解:(1)由a2+a6=10.‎ ‎,可知2a4=10.a4=5,d=a4﹣a3=1,‎ 所以{an}其通项公式为 an=a3+(n﹣3)×1=n+1(n∈N*) ‎ ‎(2)Tn=‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2017•遂宁模拟)如图,在直角三角形ABC中,∠B=90°,,点M,N分别在边AB和AC上(M点和B点不重合),将△AMN沿MN翻折,△AMN变为△A'MN,使顶点A'落在边BC上(A'点和B点不重合).设∠ANM=θ ‎(1)用θ表示线段AM的长度,并写出θ的取值范围;‎ ‎(2)求线段A'N长度的最小值.‎ ‎【解答】(本小题满分12分)‎ 解:(1)∵在直角三角形ABC中,∠B=90°,,‎ ‎∴∠C=30°,∠BAC=60°,∠AMN=120°﹣θ,…(2分)‎ 设MA=MA′=x,则MB=1﹣x.在Rt△MBA′中,cos∠BMA′=,‎ 即cos[180°﹣2(120°﹣θ)]=cos(2θ﹣60°)=,‎ ‎∴MA=x==,…(5分)‎ ‎∵点M在线段AB上,M点和B点不重合,A′点和B点不重合,‎ ‎∴45°<120°﹣θ<90°,‎ ‎∴30°<θ<75°. …(6分)‎ ‎(2)由(1)知,在△AMN中,∠ANM=θ,∠AMN=120°﹣θ,‎ 由正弦定理有,‎ ‎∴A′N=AN== …(8分)‎ ‎===‎ ‎==‎ ‎==,…(10分)‎ ‎∵30°<θ<75°,‎ ‎∴30°<2θ﹣30°<120°,当且仅当2θ﹣30°=90°,‎ 即θ=60°时,A′N有最小值. …(12分)‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2017•遂宁模拟)已知a,b是实数,1和﹣1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.‎ ‎(1)求a和b的值;‎ ‎(2)设函数g(x)的导函数g'(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点;‎ ‎(3)若,当x1,x2∈(0,+∞)时,不等式恒成立,求c的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx,得f′(x)=3x2+2ax+b,‎ ‎1和﹣1是函数f(x)的两个极值点,‎ ‎∴,解得a=0,b=﹣3. ‎ ‎(2)∵由(1)得f(x)=x3﹣3x,‎ ‎∴g′(x)=f(x)+2=(x﹣1)2(x+2),‎ 令g′(x)=0,解得x=1或﹣2,‎ ‎∵当x<﹣2时,g′(x)<0;当﹣2<x<1时,g′(x)>0,‎ ‎∴x=﹣2是g(x)的极值点.‎ ‎∵当﹣2<x<1或x>1时,g′(x)>0,‎ ‎∴x=1不是g(x)的极值点.‎ ‎∴g(x)的极值点是﹣2. ‎ ‎(3)由(1)知a=0,b=﹣3,则h(x)=﹣(cbx﹣)+2lnx=cx﹣+2lnx,‎ 不妨设x1>x2>0,‎ 所以x1﹣x2>0,故不等式[﹣](x1﹣x2)<0,‎ 即﹣<0恒成立,整理得x1h(x1)<x2h(x2),‎ 所以函数y=xh(x)在(0,+∞)上单调递减,‎ 设ω(x)=xh(x),则ω(x)=cx2﹣c+2xlnx,ω′(x)=2cx+2+2lnx,‎ 由题意得ω′(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,‎ 即2cx+2+2lnx≤0在(0,+∞)上恒成立,‎ 因为x>0,所以不等式等价于c≤﹣(x>0),‎ 记F(x)=﹣,(x>0),‎ 则F′(x)=,‎ 所以当x∈(0,1]时,F′(x)≤0,函数单调递减;‎ 当x∈(1,+∞)时,F′(x)>0,函数单调递增,‎ 故F(x)≥F(1)=﹣1,即F(x)的最小值为﹣1,‎ 故c≤﹣1.‎ ‎ ‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.(10分)(2017•遂宁模拟)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:,直线l:.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程;‎ ‎(2)设直线l与曲线C的两个交点分别为A、B,求|AB|的值.‎ ‎【解答】解:(1)直线l的直角坐标方程为x+y=,与y轴相交于(0,),‎ ‎∴直线l的参数方程为(t为参数). …(4分)‎ ‎(2)曲线C的直角坐标方程为=1,把直线l的参数方程代入椭圆方程可得:3t2+8t﹣8=0,‎ ‎∴t1+t2=﹣,t1t2=﹣,‎ ‎∴|AB|=|t1﹣t2|==. …(10分)‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.(2017•遂宁模拟)已知函数f(x)=|x+2|+|x﹣4|.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小值;‎ ‎(2)若{x|f(x)≤t2﹣t}∩{x|﹣3≤x≤5}≠∅.求实数t的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)函数f(x)=|x+2|+|x﹣4|≥|(x+2)﹣(x﹣4)|=6,‎ 所以函数f(x)的最小值为6.…(5分)‎ ‎(2)使{x|f(x)≤t2﹣t}∩{x|﹣3≤x≤5}≠∅,‎ 知存在x0∈[﹣3,5]使得f(x0)≤t2﹣t成立,‎ 即f(x)min≤t2﹣t在[﹣3,5]成立,‎ ‎∵函数f(x)在[﹣3,5]的最小值为6,‎ ‎∴t2﹣t≥6,解得:t≤﹣2或t≥3. …(10分)‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:zlzhan;qiss;sxs123;maths;w3239003;whgcn;lcb001;742048;豫汝王世崇;陈远才;刘老师(排名不分先后)‎ 菁优网 ‎2017年2月23日
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